Удвоение по Александрову и его обобщение Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.В. Гензе, Т.Е. Хмылева УДВОЕНИЕ ПО АЛЕКСАНДРОВУ И ЕГО ОБОБЩЕНИЕ

В работе рассматривается обобщение одной операции над топологическими пространствами, введенной Александровым и Урысоном. Рассматриваются свойства пространств, полученных таким образом, и пространств непрерывных функций на этих пространствах.

Обозначения и соглашения. В статье использованы терминология и обозначения из [2]. В частности, символами c(X), d(X), w(X), х(^), у^), t(X)

и XI обозначаем соответственно число Суслина,

плотность, вес, характер, псевдохарактер, тесноту и мощность пространства X. Компактами называем компактные хаусдорфовы пространства.

Определение. Пусть X - произвольное Т -пространство и п е N. Символом X ® п будем обозначать множество X х {0, 1,..., п -1}, снабженное следующей топологией: объявим базой одноточечные множества вида {(х, k)} для каждого х е X и

k = 1, 2,., п -1 и множества вида

п-1

(их{0, 1,.,п-1}\и{(х,к)} для каждого хеX и

k=1

каждого открытого в X множества U, такого, что

хеU .

Из определения сразу следует, что пространства X ® 1 и X гомеоморфны и что подпространство X х {0} пространства X ® п гомеоморфно пространству X. Если X - окружность и п = 2, то получим известный пример «Двойная окружность Александрова» [1]. Кроме того, несложно увидеть, что

(X ® m)® п = X ® mn .

Отметим простейшие соотношения между пространствами X и X ® п .

Теорема 1. Пусть X - бесконечное Т -пространство. Тогда с^ ® п) = d(X ® п) = X, w( X ® п) = тах{| XI, w(X)} (в частности, если X -компакт, то w(X ® п) = [X]), х^ ® п) = х^), у (X ® п) = у (X) для любого п е N.

Теорема 2. Пусть п е N. Пространство X является компактом тогда и только тогда, когда пространство X ® п является компактом.

Оказывается, что мощность пространства X существенным образом сказывается на свойствах пространств X ® п: если X - счетный компакт, то при т Ф п пространства X ® т и X ® п гомеоморфны, а если X - несчетный метрический компакт, то эти пространства не гомеоморфны.

Теорема 3. Если X - несчетный метрический компакт, т, п е N и т Ф п, то пространства X ® т и X ® п не гомеоморфны.

Доказательство. Если X - несчетный метрический компакт, то по теореме Кантора - Бендиксона [2. С. 102] X можно представить в виде объединения двух непересекающихся множеств: X = У и 2 , где У - не-

счетное совершенное (замкнутое и плотное в себе) множество, а Z - не более чем счетное. Предположим, что существует гомеоморфизм ф: X ® m ^ X ® n

и пусть m > n . Тогда точки (х,0) е Y х {0} с Y ® m при этом гомеоморфизме будут переходить в точки вида (х',0) е Y х {0} с Y ® n. Зафиксируем метрику р на пространстве X. Пусть п - отображение из X ® n на свое подпространство X х {0}, которое мы отождествляем с X, п(х,к)_(х,0), для всех к _ 0,...,n-1.

Очевидно, что п - непрерывная ретракция. Докажем, что для любого р е N множество

A ={(х ,к) е Y® m : р(ф(х,0),пф(х,к) > 1/р} ко-

нечно. Предположим, что |Ар|>К0. Пусть (х,0) -точка полного накопления множества Ар . Заметим, что (х,0) е Y ® m, так как Y замкнуто в X. Выберем последовательность |(хг-, ktс Ар , сходящуюся к

точке (х,0). Тогда последовательность |(хг- ,0)}._1 тоже сходится к точке (х,0). В силу непрерывности отображения ф, ф(хг-,0)^-ф(х,0) и

ф(х1,к )^ф(х,0), а в силу непрерывности п, пф(хг-,к) ^ пф(х,0) _ ф(х,0) (последнее равенство следует из того, что (х,0) е Y х {0} с Y ® m, и из того, что п(х,0)_(х,0)). Теперь для всех натуральных i

имеем -р < р (ф (,0), пф (х, ki)) < р (ф (х,0), ф ( 0)) +

+ р(ф(х,0) ,пф(х{ ,ki)), чего быть не может, так как

оба слагаемых в правой части неравенства стремятся к нулю при i . Таким образом, все множества Ар конечны, следовательно, множество

го

А _ U Ар _{, к) е Y® m : ф(х,0)фпф(х,к)} не бо-

р_1

лее чем счетно, а в силу счетности множества Z и несчетности компакта X , окончательно получаем, что существует такой х е Y, что при всех к е {1,...,m-1} пф(х,к)_ф(х,0), т.е. для каждого

к е{0,..., m -1} ф( х, к )_(y, l) , где l е{0,..., n -1}

для некоторого y е Y, что противоречит тому, что

m > пи что ф - биекция. Теорема доказана.

Замечание 1. На самом деле мы доказали немного больше, чем утверждается в теореме, а именно, что при m > n пространство X ® m нельзя уплотнить на

X®n.

Замечание 2. Теорема 3 не верна для произвольных несчетных компактов - например, если <аК -александровская компактификация несчетного дискретного пространства X, то пространства оГ ® т и аX ® п гомеоморфны при любых натуральных т и п .

Теорема 4. Если X - счетный бесконечный компакт, т, п е N и т Ф п , то пространства X ® т и X ® п гомеоморфны.

Доказательство. По теореме Мазуркевича - Сер-пинского [3], любой счетный компакт гомеоморфен

отрезку ординалов |^0, и“ • п^ , где а - последний ординал со свойством, что производное множество X(а) не пусто, а натуральное число п - мощность множества X(а). Таким образом, пара (а, п) полностью характеризует топологический тип счетного компакта. Осталось заметить, что если X имеет тип (а, п), то и X ® п имеет этот же тип. Теорема доказана.

Перейдем теперь к изучению пространств С(X ® п) непрерывных функций на компактах вида X ® п. Оказывается, эти пространства имеют довольно простую структуру - они линейно гомеоморфны пространству С^) х с0 (X), где

С0 (X) = { : X — X : Уе > 0 |{х е X | ^ (х)>е}<^0}.

Сначала докажем техническую лемму.

Лемма. Пусть X - компакт. Функция / : X ® п — Я непрерывна тогда и только тогда, когда /\х {0} непрерывна и /(-,0) - /(•, k) е с0 (X) для всех k = 1, 2,., п —1.

Доказательство. Пусть функция / : X ® п — Я непрерывна. Ясно, что /\хх{0} непрерывна. Предположим теперь, что существует такое k е {1, 2,.., п —1} и е > 0, что множество

А = {х е X : |/(х,0) - /(х, k)| > е} бесконечно. Пусть

х - точка полного накопления множества А . Рассмотрим и = и(/(х* ,0), е/2), где е/2 - окрестность точки /(х , 0). Ясно, что для любой базисной окрестности V точки (х* ,0) будет выполняться /(V) и, что противоречит непрерывности функции /. Пусть теперь /\хх{0} непрерывна и /(-.0)-/(-Д)е Со^) для всех k = 1, 2,...,п—1. Так как точки вида (х,k) при k = 1,...,п—1 являются изолированными точками пространства X ® п, то достаточно показать непрерывность функции / в точках вида (х,0). Рассмотрим произвольную точку (х0,0) и

произвольную е-окрестность и = и(/(х0,0),е) точ-

/ (х0,0). Так как /|

IX х{0}

непрерывна, то сущест-

ве X хХ0}, что /\х х{0} ^ )с и (/(хо,0),^2). Рассмотрим множества

^ {хеX :|/(х,0)-/(х,к))>е/2},

k = 1, 2,., п —1. По условию, эти множества конеч-

п-1

ны, значит конечно и множество В = и В . Рассмот-

k=1

рим теперь окрестность V = (V \ В) и {х0} точки х0.

п—1

Тогда Ш = (Vх{0, 1,.,п —1}\и{(х0,k)} - такая ок-

k =1

рестность точки (*0,0), что /(Ш)с и, так как для

(л;k)е Ш |У(х0,0) — /(х,k)|^|/(х0,0) — /(х,0)| +

+|/(х,0) — / (хД)| < ■е + ■— < е . Лемма доказана.

Теорема 5. Пусть X - бесконечный компакт,

п = 2, 3,__ Тогда пространства С (X ® п) и

С^) х с0(X) линейно гомеоморфны, когда они оба наделены нормированной топологией или когда оба наделены топологией поточечной сходимости. В частности, пространства С (X ® п) и С (X ® т) линейно гомеоморфны (т = 2, 3,.).

Доказательство. Достаточно доказать, что пространство С (X ® п) линейно гомеоморфно пространству С (X) х(c0(X))” 1. Заведем отображение Н : С (X ® п) — С(X) х(c0(X))п 1 по правилу

Н (/) = ( /^ х{0} , /^ х{0}— /\хх{í} ,., /^ х{0}— /lхх{„-l}) ■

По предыдущей лемме отображение Н определено корректно. Очевидно, что отображение Н биективно и линейно. Обратное отображение имеет вид

Н—1 (Ф, ф1,...,фп—!)(х,k^^ k = 0,

Если на произведении X1 х X2 пространств Xi с нормами II

)-Фk (х), k ф 0.

X р банаховых

|| • ||. рассматривать норму .}, то в случае, когда про-

вует такая окрестность V точки (х0,0) в пространст-18

странства С (X ® п) и С(X) х(c0(X))п 1 наделены нормированной топологией, имеем ||Н|| = ||н1| = 2 . Докажем теперь непрерывность отображений Н и

Н — в том случае, когда эти пространства наделены топологией поточечной сходимости. В силу линейности этих отображений достаточно показать их непрерывность в нуле. Пусть и = и (0, ^0, е0 )х

х и (0, ^1, е1) х . х и (0, Рп— 1, еп—1) - стандартная окрестность нуля в пространстве С(X) х(c0(X))п ', т.е.

и(°Fо,е0 ) = {/ е С()/(х)|<ех е р}

и и (° Р, е, ) = {/ е с0 (())/(х)<е, х е } ,

ки

i = 1,..., n -1, где Fi с X - конечные множества и ег- > 0, i = 0,..., n -1. Рассмотрим множество

n-1 1

(х, к)е X ® n : х e U F, к = 0,.,n -1>, e = — min {ег-} и окрестность V (0, F, е) нуля в про-

2 i=0,..,n-1

странстве C (X ® n). Тогда H (V (0, F, е)) с U . Таким

образом, отображение H непрерывно. Пусть теперь V (0, A, 5) - окрестность нуля в пространстве

C (X ® n). Рассмотрим множество

и окрестность

и = и (0, А, 8/ 2 ) х и (0, А, 8/ 2 ) х... х и (0, А, 8/ 2 )

нуля в пространстве С^) х(c0(X))п '. Тогда Н-1 (и )с V (0, А, 8) и отображение Н непрерывно.

Теорема доказана.

В связи с последней теоремой заметим, что если X - несчетный метрический компакт и п = 2,3,., то

пространства С (X ® п) и С(X), наделенные нормированной топологией или топологией поточечной сходимости, даже не гомеоморфны. В обоих случаях пространство С^) сепарабельно, а пространство

С (X ® п) сепарабельным не является.

A = {x e X : Эк (x, к) e A}

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров П.С., Урысон П.С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971. 144 с.

2. ЭнгелькингР. Общая топология: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 752 с.

3. Mazurkiewicz S., Sierpinski W. Contribution a la topologie des ensembles denombrales// Fund. Math. 1920. T. 1. P. 17-27.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 20 октября 2003 г.