О гомеоморфизмах пространств Iх[1,а] с топологией Зоргенфрея Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 5(25)

УДК 515.12

Н.Н. Трофименко, Т.Е. Хмылева

0 ГОМЕОМОРФИЗМАХ ПРОСТРАНСТВ /х[1,а]

С ТОПОЛОГИЕЙ ЗОРГЕНФРЕЯ1,2

Проводится топологическая классификация пространств I х [1, а], где а -произвольный ординал, а полуинтервал I = (0,1] наделен топологией Зор-генфрея. Доказывается, что пространство I х [1, а] гомеоморфно I х[1, р] тогда и только тогда, когда а< р <а • ю .

Ключевые слова: прямая Зоргенфрея, непрерывные функции, линейные гомеоморфизмы, отрезок ординалов.

В статье используются следующие обозначения: полуинтервал I = (0,1] рассматривается в топологии Зоргенфрея, т.е. базу окрестностей точки х образуют множества вида (х -е, х], е> 0. Для произвольного ординала а интервал [1, а] наделяется порядковой топологией. Хорошо известно, что отрезок ординалов [1, а] является компактом.

Теорема 1. Пусть у - произвольный ординал и n е N. Тогда пространства I х [1, юу ] и I х [1, юу • n] являются гомеоморфными.

Доказательство. Представим пространство I х [1, юу] следующим образом:

П-1 ( k k +Г

1 х [1, юу ] = П |-,- х [1, юу ] - (I И...И I )х [1, юу ] -

k=0 V n n J

- (I х [1,юу])u(I х [1,юу])П...И(I х [1,юу]).

Нетрудно видеть, что пространство (Iх[1,юу])U(Iх [1,юу])U-U(Iх[1,юу])

гомеоморфно пространству I х [1, юу • n]. Теорема доказана. ■

Лемма 2. Любое открыто-замкнутое подмножество V в отрезке можно представить как

v = ЦI,,

i=1

где Ii =( ai, bi ].

Доказательство. Для каждой точки х е V обозначим через

х -ех = inf {х -е: (х -е, xjcV} и х + 5х = sup{x + 5: (х -ех, х + 5] с V}.

1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями».

2 Работа выполнена частично в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета.

Нетрудно видеть, что точка х -ех й У, поскольку интервал (х -ех, х + 5х ] -наибольший, входящий в У , а точка х + 5х е У в силу его замкнутости. Положим Ух = (х -ех, х + 5х ]. Ясно, что Ух с У . Заметим, что если х ф х’, то Ух = Ух- либо Ух П Ух' = 0 . Действительно, если Ух П Ух' ф0 и Ух ф Ух, , то Ух и Ух' содержит точки х и х’ одновременно, а это противоречит тому, что интервалы Ух наибольший, входящий в У .

Очевидно, что У = и Ух . Семейство {Ух }хе/ содержит только счетное число

хе1

непересекающихся интервалов, так как отрезок I является сепарабельным пространством. ■

Теорема 3. Пространства I и I х [1, ю] не являются гомеоморфными. Доказательство. Предположим, что существует гомеоморфизм

на

Ф: I х [1, ю] ^I.

Так как I х{п} - открыто-замкнутое множество, то ф(I х{п}) - открытозамкнутое подмножество в отрезке I. Согласно лемме 2,

ад

ф(! х{п}) = Ц ^ , где ИП = (а”, ЬП ] для любого п е N.

г=1

Для обратного отображения ф-1 и открыто-замкнутого подмножества (аП, ЬП ^ с I по лемме 2 имеем

ф-1 (I” ) = ф-1 (,bn ]) = UKs, (D

j=1

где I’nij = (c”j, d’nj ] x {n} для любого n e N.

{чад /• чад

сП i} U {dni} является счетным. Следователь-

’•> fi, j,n=1 v ’•'•'i, j,n=1

{чад /• чад

е’Пj} . 1 U {d”j}} ^ 1. Это означает, что для любого n e N существуют номера in и jn такие, что

(0,n )e( eU, dU )x{n}c In, in . (

Ясно, что lim (x0,n) = (x0,ю) и lim ф((x0,n)) = ф((x0,ю)). Не нарушая общности

(если нужно, переходя к подпоследовательности), можно считать, что

ф( x0, n )<ф( x0, n + 1) < ф (x0, ю) (3)

для любого n e N. В силу (1) и (2), получаем

i W Л

ФIx0,n)еф(11,]п )<=ф ЦIi

ln, 1

V1=1

= In. (4)

Поскольку для любого n e N In П Ii”+1 =0 и выполняется неравенство (3), то

4 <1И2 < ••• < ^ < - < ф(х0’а)-

Отсюда следует, что для любой последовательности точек уп е 1" выполняется условие lim yn =ф (х0, ю).

п^ад

Так как точка (х0, п)е(сП ,■ , d" ■ ), то существует число еп, такое, что

V 0 / \ lп, Jn гп, Jn / п

(х0 + еп , п)е(сг”п ,j , dl ,j )С 1п„ ,j , п eN . В силу условия (4) ф(х0 + еп , п )е 1п„ И, следовательно, lim ф(х0 + еп,п) = ф(x0,ю). С другой стороны, очевидно, что

п^ад

lim (х0 + еп, п)ф (х0, ю). Таким образом, получаем противоречие с непрерывно-

п^ад

стью отображения ф-1. ■

В работе Бурке и Мур [1] доказано, что любое замкнутое подмножество прямой Зоргенфрея, не имеющее изолированных точек, гомеоморфно ей самой. Отсюда и из теоремы 3 получаем

Следствие 4. Пространство 1 х [1, ю] не гомеоморфно никакому замкнутому

подпространству пространства 1 .

Теорема 5. Пусть а - произвольный ординал. Тогда пространство 1 х [1, юа -ю] не гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства 1 х [1, юа ].

Доказательство. Доказательство проведем методом трансфинитной индукции.

База индукции. Пусть а = 0. Согласно следствию 4, пространство 1 х[1, ю] не гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства 1 .

Предположим, что для всех ß < у пространство 1 х[1, roß -ю] не гомеоморфно

никакому замкнутому подпространству пространства 1 х|^1, roß] .

Докажем, что предположение индукции выполнено для ординала y. Предположим, что существует гомеоморфизм ф: 1 х[1,юу-ю]^- 1 х|\юу] такой, что

ф(1 х[1,юу-ю]) = F, где F - замкнутое подпространство в пространстве

1 х^1, юу] . Пусть точка (х, юу)е 1 х{юу} переходит в точку (у, 5)е 1 х{5}, где

5<юу. Так как отображение ф является непрерывным, то для любого е > 0 и р<5 существует открыто-замкнутая окрестность

(х -ej, х]х(|, юу] с 1 х[1, юу -ю]

такая, что ф(( х-е1, х ]х(^ юУ])с( У-8, У ]х(P, 8]

как замкнутое подпространство в 1 х [1, юу ] (поскольку ф - гомеоморфизм на замкнутое подпространство). Так как отрезки ординалов (|, юу] ~ [1, юу] гомео-морфны, то

(х -е1, х] х (|, юу ] ~ 1 х[1, юу ] .

Представим ординал 5 в следующем виде [2]:

5 = юв • п + ... + ювп • пт.

Тогда [1,5] ~ [1, юв • п1 ] . Применяя теорему 1, получаем

ф(( х -е1, х ] х (|, юу]) с I х [1,5] ~ I х[1, юв • п1 ] ~ I х[1, юв ].

Следовательно, ф((х -е1, х]х ]) гомеоморфно вкладывается как замкнутое подпространство в Iх[1,юв ]. Так как (х-е1,х]х(|,юу] ~Iх[1,юу] , то пространство I х[1, юу] гомеоморфно вкладывается в I х[1, юв ], что невозможно,

поскольку ЮУ > юв •ю .

Таким образом, ф(I х{юу})с I х{юу}. Аналогично можно доказать, что

ф(I х {юу • п}) с I х {юу} для всех п е N. Следовательно,

ф^ЦI х{юу • п}| И(I х{юу •ю}) с I х{юу}.

В силу того, что

^Ц1 х {юу • п}| И(I х {юу •ю}) ~ I х [1, ю]

и Iх |юу} ~ I, получаем противоречие с теоремой 3. Теорема доказана. ■

Следствие 6. Пусть а - произвольный ординал. Тогда пространства I х [1, юа • ю] и I х [1, юа ] не являются гомеоморфными.

Теорема 7. Пусть а и р произвольные ординалы и а < р. Пространства

I х [1, а] ~ I х [1, р] тогда и только тогда, когда а < р < а • ю .

Доказательство. Пусть ф: I х[1,а] ^ I х[1, р] - гомеоморфизм. Представим ординалы а и р в виде

а = юУ1 • п +... + юУп • пт и Р = ю51 • п +... + ю5п •пт .

1т1т

Из неравенства а<рследует, что у1 <51. Так как [1,а] ~[1,юУ1 • п1] и [1, Р]~ [1, ю51 • т1], получаем I х [1, юУ1 • п1] ~ I х [1, ю51 • т1]. Используя теорему 1, имеем I х [1, юУ1 ] ~ I х [1, ю51 ].

В силу теоремы 5 неравенство ю51 • к > юУ1 •ю невозможно для любого к е N .

Следовательно, ю51 < ю5 • к <юУ1 •ю для любого к е N .

Таким образом,

а<р<ю5 • п1 + ю5 =ю51 • (п1 +1) <юУ1 • ю = а • ю.

Последнее равенство верно, так как

юУ1 • ю = (юУ1 • n1 ) • ю < а • ю = (юУ1 • n1 + юУ2 • n2 +... + юу" • nm ) -ю

< (oY1 • п1 + юУ1) -ю = юУ1 (п1 +1) • ю = юУ1 -ю

и, следовательно,

юУ1 -ю = а-ю. (1)

Пусть теперь а < р < а - ю. Используя равенство (1), получаем

а = юУ1 • n1 +... + юУп • nm < Р = ю51 • n1 + . + ю5п • пт < а- ю = юУ1 -ю = юУ1+1.

Из последного неравенства видим, что Yj < 5j < Yj +1 и, следовательно, 5j = Yj. Так как I х [1, юYl ] ~ I х [1, а] и I х [1, ю51 ] ~ I х [1, р], то I х [1, а] ~ I х [1, р] . ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Burke D.K., Moore J.T. Subspaces of the Sorgenfrey line // Topology and Its Applications. 1988. V. 90. P. 57-68.

2. Куратовский К.,Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

Статья поступила 04.07.2013 г.

Trofmenko N.N., Khmyleva T.E. ON HOMEOMORPHISMS OF SPACES I х [1, а] WITH THE SORGENFREY TOPOLOGY. In this paper, a topological classification of spaces I х [1,а] is presented. Here, а is an arbitrary ordinal and the semi-interval I = (0,1] is equipped with the Sorgenfrey topology. It is proved that the space I х [1,а] is homeomorphic to the space I х [1,P] if and only if а< p< а • ю .

Keywords: line of Sorgenfrey, continuous functions, linear homeomorphisms, interval of ordinals.

TROFIMENKO Nadezhda Nikolaevna (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]

KHMYLEVA Tatiana Evgenievna (Tomsk State University)

E-mail: [email protected].