ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 5(25)
УДК 515.12
Н.Н. Трофименко, Т.Е. Хмылева
0 ГОМЕОМОРФИЗМАХ ПРОСТРАНСТВ /х[1,а]
С ТОПОЛОГИЕЙ ЗОРГЕНФРЕЯ1,2
Проводится топологическая классификация пространств I х [1, а], где а -произвольный ординал, а полуинтервал I = (0,1] наделен топологией Зор-генфрея. Доказывается, что пространство I х [1, а] гомеоморфно I х[1, р] тогда и только тогда, когда а< р <а • ю .
Ключевые слова: прямая Зоргенфрея, непрерывные функции, линейные гомеоморфизмы, отрезок ординалов.
В статье используются следующие обозначения: полуинтервал I = (0,1] рассматривается в топологии Зоргенфрея, т.е. базу окрестностей точки х образуют множества вида (х -е, х], е> 0. Для произвольного ординала а интервал [1, а] наделяется порядковой топологией. Хорошо известно, что отрезок ординалов [1, а] является компактом.
Теорема 1. Пусть у - произвольный ординал и n е N. Тогда пространства I х [1, юу ] и I х [1, юу • n] являются гомеоморфными.
Доказательство. Представим пространство I х [1, юу] следующим образом:
П-1 ( k k +Г
1 х [1, юу ] = П |-,- х [1, юу ] - (I И...И I )х [1, юу ] -
k=0 V n n J
- (I х [1,юу])u(I х [1,юу])П...И(I х [1,юу]).
Нетрудно видеть, что пространство (Iх[1,юу])U(Iх [1,юу])U-U(Iх[1,юу])
гомеоморфно пространству I х [1, юу • n]. Теорема доказана. ■
Лемма 2. Любое открыто-замкнутое подмножество V в отрезке можно представить как
v = ЦI,,
i=1
где Ii =( ai, bi ].
Доказательство. Для каждой точки х е V обозначим через
х -ех = inf {х -е: (х -е, xjcV} и х + 5х = sup{x + 5: (х -ех, х + 5] с V}.
1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями».
2 Работа выполнена частично в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета.
Нетрудно видеть, что точка х -ех й У, поскольку интервал (х -ех, х + 5х ] -наибольший, входящий в У , а точка х + 5х е У в силу его замкнутости. Положим Ух = (х -ех, х + 5х ]. Ясно, что Ух с У . Заметим, что если х ф х’, то Ух = Ух- либо Ух П Ух' = 0 . Действительно, если Ух П Ух' ф0 и Ух ф Ух, , то Ух и Ух' содержит точки х и х’ одновременно, а это противоречит тому, что интервалы Ух наибольший, входящий в У .
Очевидно, что У = и Ух . Семейство {Ух }хе/ содержит только счетное число
хе1
непересекающихся интервалов, так как отрезок I является сепарабельным пространством. ■
Теорема 3. Пространства I и I х [1, ю] не являются гомеоморфными. Доказательство. Предположим, что существует гомеоморфизм
на
Ф: I х [1, ю] ^I.
Так как I х{п} - открыто-замкнутое множество, то ф(I х{п}) - открытозамкнутое подмножество в отрезке I. Согласно лемме 2,
ад
ф(! х{п}) = Ц ^ , где ИП = (а”, ЬП ] для любого п е N.
г=1
Для обратного отображения ф-1 и открыто-замкнутого подмножества (аП, ЬП ^ с I по лемме 2 имеем
ф-1 (I” ) = ф-1 (,bn ]) = UKs, (D
j=1
где I’nij = (c”j, d’nj ] x {n} для любого n e N.
{чад /• чад
сП i} U {dni} является счетным. Следователь-
’•> fi, j,n=1 v ’•'•'i, j,n=1
{чад /• чад
е’Пj} . 1 U {d”j}} ^ 1. Это означает, что для любого n e N существуют номера in и jn такие, что
(0,n )e( eU, dU )x{n}c In, in . (
Ясно, что lim (x0,n) = (x0,ю) и lim ф((x0,n)) = ф((x0,ю)). Не нарушая общности
(если нужно, переходя к подпоследовательности), можно считать, что
ф( x0, n )<ф( x0, n + 1) < ф (x0, ю) (3)
для любого n e N. В силу (1) и (2), получаем
i W Л
ФIx0,n)еф(11,]п )<=ф ЦIi
ln, 1
V1=1
= In. (4)
Поскольку для любого n e N In П Ii”+1 =0 и выполняется неравенство (3), то
4 <1И2 < ••• < ^ < - < ф(х0’а)-
Отсюда следует, что для любой последовательности точек уп е 1" выполняется условие lim yn =ф (х0, ю).
п^ад
Так как точка (х0, п)е(сП ,■ , d" ■ ), то существует число еп, такое, что
V 0 / \ lп, Jn гп, Jn / п
(х0 + еп , п)е(сг”п ,j , dl ,j )С 1п„ ,j , п eN . В силу условия (4) ф(х0 + еп , п )е 1п„ И, следовательно, lim ф(х0 + еп,п) = ф(x0,ю). С другой стороны, очевидно, что
п^ад
lim (х0 + еп, п)ф (х0, ю). Таким образом, получаем противоречие с непрерывно-
п^ад
стью отображения ф-1. ■
В работе Бурке и Мур [1] доказано, что любое замкнутое подмножество прямой Зоргенфрея, не имеющее изолированных точек, гомеоморфно ей самой. Отсюда и из теоремы 3 получаем
Следствие 4. Пространство 1 х [1, ю] не гомеоморфно никакому замкнутому
подпространству пространства 1 .
Теорема 5. Пусть а - произвольный ординал. Тогда пространство 1 х [1, юа -ю] не гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства 1 х [1, юа ].
Доказательство. Доказательство проведем методом трансфинитной индукции.
База индукции. Пусть а = 0. Согласно следствию 4, пространство 1 х[1, ю] не гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства 1 .
Предположим, что для всех ß < у пространство 1 х[1, roß -ю] не гомеоморфно
никакому замкнутому подпространству пространства 1 х|^1, roß] .
Докажем, что предположение индукции выполнено для ординала y. Предположим, что существует гомеоморфизм ф: 1 х[1,юу-ю]^- 1 х|\юу] такой, что
ф(1 х[1,юу-ю]) = F, где F - замкнутое подпространство в пространстве
1 х^1, юу] . Пусть точка (х, юу)е 1 х{юу} переходит в точку (у, 5)е 1 х{5}, где
5<юу. Так как отображение ф является непрерывным, то для любого е > 0 и р<5 существует открыто-замкнутая окрестность
(х -ej, х]х(|, юу] с 1 х[1, юу -ю]
такая, что ф(( х-е1, х ]х(^ юУ])с( У-8, У ]х(P, 8]
как замкнутое подпространство в 1 х [1, юу ] (поскольку ф - гомеоморфизм на замкнутое подпространство). Так как отрезки ординалов (|, юу] ~ [1, юу] гомео-морфны, то
(х -е1, х] х (|, юу ] ~ 1 х[1, юу ] .
Представим ординал 5 в следующем виде [2]:
5 = юв • п + ... + ювп • пт.
Тогда [1,5] ~ [1, юв • п1 ] . Применяя теорему 1, получаем
ф(( х -е1, х ] х (|, юу]) с I х [1,5] ~ I х[1, юв • п1 ] ~ I х[1, юв ].
Следовательно, ф((х -е1, х]х ]) гомеоморфно вкладывается как замкнутое подпространство в Iх[1,юв ]. Так как (х-е1,х]х(|,юу] ~Iх[1,юу] , то пространство I х[1, юу] гомеоморфно вкладывается в I х[1, юв ], что невозможно,
поскольку ЮУ > юв •ю .
Таким образом, ф(I х{юу})с I х{юу}. Аналогично можно доказать, что
ф(I х {юу • п}) с I х {юу} для всех п е N. Следовательно,
ф^ЦI х{юу • п}| И(I х{юу •ю}) с I х{юу}.
В силу того, что
^Ц1 х {юу • п}| И(I х {юу •ю}) ~ I х [1, ю]
и Iх |юу} ~ I, получаем противоречие с теоремой 3. Теорема доказана. ■
Следствие 6. Пусть а - произвольный ординал. Тогда пространства I х [1, юа • ю] и I х [1, юа ] не являются гомеоморфными.
Теорема 7. Пусть а и р произвольные ординалы и а < р. Пространства
I х [1, а] ~ I х [1, р] тогда и только тогда, когда а < р < а • ю .
Доказательство. Пусть ф: I х[1,а] ^ I х[1, р] - гомеоморфизм. Представим ординалы а и р в виде
а = юУ1 • п +... + юУп • пт и Р = ю51 • п +... + ю5п •пт .
1т1т
Из неравенства а<рследует, что у1 <51. Так как [1,а] ~[1,юУ1 • п1] и [1, Р]~ [1, ю51 • т1], получаем I х [1, юУ1 • п1] ~ I х [1, ю51 • т1]. Используя теорему 1, имеем I х [1, юУ1 ] ~ I х [1, ю51 ].
В силу теоремы 5 неравенство ю51 • к > юУ1 •ю невозможно для любого к е N .
Следовательно, ю51 < ю5 • к <юУ1 •ю для любого к е N .
Таким образом,
а<р<ю5 • п1 + ю5 =ю51 • (п1 +1) <юУ1 • ю = а • ю.
Последнее равенство верно, так как
юУ1 • ю = (юУ1 • n1 ) • ю < а • ю = (юУ1 • n1 + юУ2 • n2 +... + юу" • nm ) -ю
< (oY1 • п1 + юУ1) -ю = юУ1 (п1 +1) • ю = юУ1 -ю
и, следовательно,
юУ1 -ю = а-ю. (1)
Пусть теперь а < р < а - ю. Используя равенство (1), получаем
а = юУ1 • n1 +... + юУп • nm < Р = ю51 • n1 + . + ю5п • пт < а- ю = юУ1 -ю = юУ1+1.
Из последного неравенства видим, что Yj < 5j < Yj +1 и, следовательно, 5j = Yj. Так как I х [1, юYl ] ~ I х [1, а] и I х [1, ю51 ] ~ I х [1, р], то I х [1, а] ~ I х [1, р] . ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Burke D.K., Moore J.T. Subspaces of the Sorgenfrey line // Topology and Its Applications. 1988. V. 90. P. 57-68.
2. Куратовский К.,Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
Статья поступила 04.07.2013 г.
Trofmenko N.N., Khmyleva T.E. ON HOMEOMORPHISMS OF SPACES I х [1, а] WITH THE SORGENFREY TOPOLOGY. In this paper, a topological classification of spaces I х [1,а] is presented. Here, а is an arbitrary ordinal and the semi-interval I = (0,1] is equipped with the Sorgenfrey topology. It is proved that the space I х [1,а] is homeomorphic to the space I х [1,P] if and only if а< p< а • ю .
Keywords: line of Sorgenfrey, continuous functions, linear homeomorphisms, interval of ordinals.
TROFIMENKO Nadezhda Nikolaevna (Tomsk State University)
E-mail: Trofimenko@sibmail.com
KHMYLEVA Tatiana Evgenievna (Tomsk State University)
E-mail: TEX2150@yandex.ru.