О гомеоморфизме прямой Зоргефрея и ее модификации Sq Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2016 Математика и механика № 1(39)

УДК 515.12

DOI 10.17223/19988621/39/6

Т.Е. Хмылёва

О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ПРЯМОЙ ЗОРГЕФРЕЯ И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ SQ

Доказывается негомеоморфность двух топологических пространств, а именно, прямой Зоргенфрея S и ее модификации Sq , где Q - множество рациональных чисел на прямой. При доказательстве используется монотонность гомеоморфизма ф: S ^ S на некотором интервале (a, b) с S . Этот факт установил E. K. Van Douwen. Вопросы о гомеоморфизме прямой Зоргенфрея и ее модификаций рассматривались в работе V.A. Chatyrko, Y. Hattory, где топология «стрелки» на некотором множестве A заменена на евклидову топологию, а также в работе Е.С. Сухачевой, Т.Е. Хмылевой, где доказывается гомеоморфность пространств S и SA, если A - это подмножество счетного замкнутого множества на прямой К. и пространство SA определяется аналогично пространству SQ.

Ключевые слова: стрелка Зоргенфрея, гомеоморфизм, бэровское пространство, множество первой категории.

В работе используются следующие обозначения: N - множество натуральных чисел; Ж. - множество вещественных чисел, наделенное стандартной евклидовой топологией; Q с Ж. - подмножество рациональных чисел; J с Ж - подмножество

иррациональных чисел; S - прямая Зоргенфрея (или «стрелка») с топологией, порожденной базой {(a,b]: a,b e Ж, a < b}.

Если множество A с Ж , то через SA обозначается множество вещественных

чисел, наделенное топологией, в которой база окрестностей определяется следующим образом:

если х e A , то Bx = {[x, a): a e Ж, x < a}; если x e Ж \ A , то Bx = {(a, x]: a e Ж, a < x}. Если промежуток (a,b) с SA , то пишем (a,b)A .

Определение 1 Топологическое пространство X называется бэровским, если пересечение любой последовательности открытых всюду плотных в X подмножеств является всюду плотным.

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема 1 . Пространства S и Sq не являются гомеоморфными.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующие факты.

Предложение 1. Пространство S является бэровским.

Доказательство. Пусть {Gn - последовательность открытых всюду плотных подмножеств в S. Каждое множество Gn есть объединение непересекающихся интервалов вида (a, b] или (c, d). Заменяя интервалы вида (a, b] на интервалы

(а, Ь), получим множество О„', которое будет открыто на прямой Ж. и всюду

ад

плотно в Ж.. Так как Ж - бэровское пространство, то ^ О^ всюду плотно в Ж, а

n

n=1

следовательно, всюду плотно в S.

Поскольку плотные Gs -множества в бэровском пространстве являются бэров-скими (Ткачук [4]), получаем следующее следствие.

Следствие 1. Подмножество иррациональных точек J с Sq является бэров-

ским пространством.

Предложение 2. Для любого подмножества A с Ж пространство SA является бэровским.

Доказательство аналогично предложению 1 с тем отличием, что открытое множество G с SA есть объединение непересекающихся интервалов вида интервалов вида (a,b), [a,b), (a,b] или [a,b].

Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы проведем методом от противного. Предположим, что существует гомеоморфизм ф: Sq — S. Тогда ф| J

является гомеоморфизмом пространства J на некоторое подмножество S . Для каждого п е N рассмотрим множество

Fn ={x е J : x - — < у < x иу е J ^ ф(y) < ф(x)}. I n )

Нетрудно видеть, что F с F2 с.... Так как отображение ф непрерывно, то

для каждой точки x е J найдется окрестность (x -е, x], такая, что ф(у) < ф(x) для

ад

любого у е (x -е, x]. Следовательно, ^ Fn = J .

п=1

Покажем, что множества Fn замкнуты в J . Пусть точка x0 е J является предельной для множества Fn . Тогда существует возрастающая последовательность

xk е Fn, такая, что lim xk = x0. Для точки у е [ x0 -—, x0 | П J найдется xk , для

x—V n ) 0

которой у < xk^ < x0. Следовательно, при всех k > k0 выполняется неравенство

у < xk < x0. Так как xk е Fn, а у е [ xk -—, xk , то ф(у) < ф(xk) и в силу непре-

V n J

рывности функции ф выполняется неравенство ф(у) < ф(x0). Поскольку ф является гомеоморфизмом и у ^ x0, то ф(у) < ф(x0) и по определению Fn получаем,

что x0 е Fn .

По предложению 1 множество J является бэровским пространством и, значит, существует номер n0 е N , для которого int у Fn . Следовательно, существует

интервал (p, q), такой, что (p, q) n J с F„0 . Не нарушая общности, можно считать, что q - p < — . Для любых двух точек x, у е (p, q) n J выполняется нера-

n0

О гомеоморфизме прямой Зоргефрея и ее модификации Sa

55

венство ф(x) <ф(y), поскольку y e Fn и y - — < x < y, т.е. функция ф на ин-

0 no

тервале (p, q) n J является строго возрастающей.

Рассмотрим теперь рациональную точку r e (p, q) с Sq и последовательность иррациональных точек xk e (p, q), такую, что lim xk = r и x1 > x2 >____В силу

возрастания функции ф на интервале (p, q) П T последовательность ф(xk) является убывающей на «стрелке» S, что противоречит условию lim ф(xk) = ф(г), которое должно быть выполнено в силу непрерывности функции ф .

Теорема 2. Если подмножество T с S гомеоморфно S, а D счетное всюду плотное в T подмножество, то пространства SD и S не являются гомеоморфны-ми.

Доказательство. Поскольку T гомеоморфно S, то по предложению 1 пространство T является бэровским. Следовательно, T \ D также бэровское, так как является плотным G5 -подмножеством в T [4]. Кроме того, из гомеоморфности T и S следует, что для любых е> 0 и t e T множество (t -е, t] П (T \ D) является несчетным. Это означает, что для любой точки d e D с T найдется последовательность yn e T \ D , которая сходится к точке d , возрастая, и, значит, в пространстве SD последовательность {yn }^=1 не имеет предельных точек.

Предположим теперь, что существует гомеоморфизм ф: SD ^ S. Так же, как и в теореме 1, доказываем существование интервала (p, q), такого, что функция ф| (р q)n(T\D) является возрастающей. Рассмотрим точки d1, d2 e (p, q) П D,

d1 < d2 и последовательности точек {yn и {zk }^=1 из множества T \ D, которые, возрастая, сходятся к точкам d1 и d2 соответственно, но не имеют предельных точек в SD . Отсюда следует, что

ф(yi) < ••• <ф(Уп) < ••• <ф(zi) < ••• ф(zn) < ... и, следовательно, возрастающая последовательность ф( yn) является ограниченной, а значит, сходящейся в пространстве S . Получаем противоречие с предположением о непрерывности отображения ф-1.

Следствие 2. Пусть F с S замкнутое подпространство без изолированных точек и D с F счетное всюду плотное в F подмножество. Тогда пространства SD и S не являются гомеоморфными.

Для доказательства достаточно заметить что в этом случае подпространство F гомеоморфно S . Доказательство этого факта можно найти в работе [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Van Douwen E.K. Retracts of the Sorgenfrey line // Compositio Mathematica. 1979. Т. 38. No. 2. P. 155-161.

2. Chatyrko V.A., Hattori Y. A poset of topologies on the set of real numbers // Comment. Math. Univ. Carolin. 2013. V. 54. No. 2. P. 189-196.

3. Хмылева Т.Е., Сухачева Е.С. О некоторых линейно упорядоченных топологических пространствах, гомеоморфных прямой Зоргенфрея // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 5.

4. Tkachuk V.V. Cp-theory Problem Book. Topological and functional analysis. Springer, 2015.

5. Burke D.K., Moore J.T. Subspaces of the Sorgenfrey line // Topology and its Applications. 1998. V. 90. No. 1. P. 57-68.

Статья поступила 11.01. 2016 г.

Khmyleva T.E. ON THE HOMEOMORPHISM OF THE SORGENFREY LINE AND ITS MODIFICATIONS SQ

DOI 10.17223/19988621/39/6

Khmyleva T.E. ON THE HOMEOMORPHISM OF THE SORGENFREY LINE AND ITS MODIFICATIONS SQ.

In this paper, it is proved that two topological spaces, namely, the Sorgenfrey line S and its modifications Sq , where Q is the set of rational numbers on the real line, are nonhomeomorphic. Topology of the space Sq is defined as follows: if x e Q с S , then the base of neighborhoods of the point x is the family of semiintervals {[x,x + g) : 8 > 0} ,and if x e S \ Q , then the base of the neighborhood is a family of semiintervals {(x - g, x] : g > 0}. The proof of this fact uses monotonicity of the homeomorphism ф : S ^ S on some interval (a, b) с S (E.K. Van Douwen, 1979).

Keywords: Sorgenfrey line, Baire space, homeomorphism, first category set.

KHMYLEVA Tatiana Evgenievna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: [email protected].

REFERENCES

1. Van Douwen E.K. Retracts of the Sorgenfrey line. Compositio Mathematica, 1979, vol. 38, no. 2, pp. 155-161.

2. Chatyrko V.A., Hattori Y. A poset of topologies on the set of real numbers. Comment. Math. Univ. Carolin, 2013, vol. 54, no. 2, pp. 189-196.

3. Khmyleva T.E., Sukhacheva E.S. O nekotorykh lineyno uporyadochennykh topologicheskikh prostranstvakh, gomeomorfnykh pryamoy Zorgenfreya. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2014, no. 5.

4. Tkachuk V.V. Cp-theory Problem Book. Topological and functional analysis. Springer, 2015.

5. Burke D.K., Moore J.T. Subspaces of the Sorgenfrey line. Topology and its Applications, 1998, vol. 90, no. 1, pp. 57-68.