Обобщение теоремы Пригожина о минимальном производстве энтропии на системы, взаимодействующие с энтростатом Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.И. Шаповалов

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПРИГОЖИНА О МИНИМАЛЬНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ ЭНТРОПИИ НА СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ С ЭНТРОСТАТОМ

Введение

В настоящее время в современном естествознании сложилась парадоксальная ситуация: ученые различных научных направлений все чаще используют понятие «открытая система», хотя само это понятие не является обоснованным на фундаментальном уровне. В частности, в физике словосочетание «открытая система» не имеет смысла до тех пор, пока не уточнено, что система вместе с объектом, с которым она взаимодействует, составляет общую замкнутую систему. Последнее означает, что с физической точки зрения нельзя ограничиться изучением одной только открытой системой без учета того, что происходит в тех системах, с которыми она образует общую замкнутую систему. Синергетика же вступает как бы в противоречие со сказанным. Влияние внешнего мира в синергетике учитывается через управляющие параметры, входящие в эволюционное уравнение (здесь и далее используется терминология, принятая в [1]). При этом управляющие параметры считаются постоянными величинами. Иными словами, в синергетике принято пренебрегать возможными изменениями во внешних системах. Вопрос, образует ли выбранная внешняя система вместе с изучаемой замкнутую общую систему, даже не ставится. Да он и не может быть поставлен, так как если рассматривать замкнутую систему в целом, то самоорганизация в одной ее части должна сопровождаться дезорганизацией в другой, и поэтому считать неизменной одну из частей было бы некорректным. Корректным же такой подход был бы только в одном случае - если изучаемая система представляла бы собой бесконечно малую часть общей замкнутой системы. Но тогда общая система не могла бы считаться замкнутой, поскольку бесконечно малой частью замкнуть конечную невозможно.

Таким образом, хотя практика и показала эффективность синергетического подхода, правомерность его методов до сих пор не закреплена на фундаментальном уровне. В работах [2-5] неопределенность в данном вопросе была разрешена путем введения понятия энтростата. В результате термин «открытая система» получил фундаментальное обоснование.

1. Синергетическая открытая система

Энтростатом назовем внешнюю систему, энтропия которой не изменяется при взаимодействии с исследуемой системой. На практике свойством энтростата обладает внешняя по отношению к исследуемой системе среда, для которой выполняется условие [3, 4] |Д5,| |Д5, |

£ 5-е

где Дй1 и Дй'е - изменения энтропии соответственно исследуемой системы и внешней среды, вызванные их взаимодействием. Как видим, в роли энтростата выступает

внешняя среда, изменением энтропии которой можно пренебречь по сравнению с изменением энтропии исследуемой системы.

Например, в физике энтростатом является термостат. Напомним, что термостат - это система с бесконечным числом степеней свободы и, как следствие, с бесконечной энергией [6]. Нетрудно сообразить, что исследуемая система, взаимодействующая с энтростатом, не может вместе с ним составлять замкнутую общую систему. Это следует из того, что энергия исследуемой системы есть конечная величина, которая при сложении с бесконечной энергией энтростата ничего к последней не добавляет.

Так как синергетика, исследуя систему, не замыкает ее с внешней средой, то делать это она может только в том случае, если внешняя среда является энтростатом. Заметим, что такая синергетическая открытая система должна отличаться от физической открытой системы. Действительно, открытые по отношению друг к другу физические системы вместе составляют замкнутую систему. Чтобы описать процессы, происходящие в них, достаточно обоих начал термодинамики, а применения синергетических принципов здесь не требуется. Если же система взаимодействует с энтростатом, то построить из них замкнутую систему невозможно. В этом случае началами термодинамики пользоваться нельзя, и на первый план выступают синергетические закономерности.

Итак, синергетической открытой системой или просто синергетической системой называется система, взаимодействующая с энтростатом. Далее в тексте под открытой системой будет пониматься именно синергетическая система.

Для наглядности приведем несколько очевидных примеров энтростата в окружающем нас мире. Сильный ветер, дующий навстречу идущему человеку, вынуждает его наклоняться вперед, т.е. совершать определенные действия, но так как эти действия не оказывают влияния на то, что происходит в атмосфере, последняя является энтростатом по отношению к человеку. Большой шум за открытым окном, созданный потоком транспорта, скорее всего, заставит нас закрыть окно, при этом транспортный поток-энтростат даже не заметит нашего поступка. Хорошо известно, что легче выполнить бюрократическую инструкцию, чем добиться ее отмены, т.е. законы общества - это правила, которые одному человеку, взаимодействующему с обществом-энтростатом, изменить практически невозможно.

Важно отличать ситуации, в которых ни одна из взаимодействующих систем не может считаться энтростатом. Представим себе, что в теплоизолированную комнату с нормальной температурой внесли очень горячий предмет. Через некоторое время температура предмета и температура воздуха в комнате сравняются. При этом изменение температуры окажется заметным как в одной, так и в другой системе. Следовательно, ни одна из них не может выступать в качестве энтростата. Теперь предположим, что в комнате широко открыто окно. Спустя какое-то время горячий предмет неизбежно остынет, его температура будет в точности равна температуре воздуха за окном. А так как температура воздуха после остывания предмета останется прежней, то в этом случае его обязательно следует считать энтростатом [4].

Главное преимущество введения понятия энтростата заключается в том, что оно позволяет сосредоточиться только на процессах, происходящих внутри изучаемой системы. Влияние же внешней среды можно свести к некоторому постоянному фактору (например, управляющие параметры в эволюционном уравнении, а также управляющая функция, изменение которой задается извне [1, 7, 8]).

2. Теорема о минимальной скорости изменения энтропии открытой системы

Сформулированное выше определение открытой системы расширяет круг явлений, в которых можно ожидать возникновения процессов упорядочения и самоорганизации. Один из примеров такого расширения будет рассмотрен в настоящей статье. Ниже будет показано, что известная теорема И. Пригожина о минимальном производстве энтропии для открытых систем, взаимодействующих с энтростатом, претерпевает изменение, достаточное, чтобы описывать и процессы упорядочения.

Напомним, что, согласно этой теореме, в линейных необратимых процессах (при заданных внешних условиях) по мере приближения системы к стационарному состоянию производство энтропии уменьшается и в стационарном состоянии достигает минимума [9, 10]. Под производством энтропии понимается та часть скорости изменения энтропии, которая связана исключительно с внутренними процессами в системе. Для локальных величин эта связь учитывается в известном уравнении баланса для энтропии:

где а - скорость изменения локальной энтропии; в = с18/с1У - локальная энтропия; Б - энтропия системы; V - объем; .1 - плотность потока энтропии через площадку, перпендикулярную направлению потока.

В этом уравнении ае - часть скорости изменения локальной энтропии, обусловленная взаимодействием с внешней средой; <т* - часть скорости изменения локальной энтропии, обусловленная внутренними процессами и названная локальным производством энтропии.

Кроме приведенных, нам понадобится еще одна известная величина:

у

— скорость изменения энтропии системы. При этом Pi = / - часть скорости

у

изменения энтропии системы, обусловленная внутренними процессами и названная полным производством энтропии. Математически теорема о минимальном производстве энтропии представлена следующим неравенством [10]:

где знак “=” соответствует стационарному состоянию. Данное неравенство является следствием того, что при <т* > 0 экстремум функции Р* соответствует минимуму.

Далее будет показано что для систем, взаимодействующих с энтростатом, нет необходимости выделять в а ее часть <т*, поскольку для таких систем рассуждения, приведенные в [10], справедливы и для величин, определенных по формулам (1), (2). В результате будет сформулирована теорема о минимальной скорости изменения энтропии в линейных процессах, расширяющая соотношение (3) на случай взаимодействия системы с энтростатом.

Как уже было сказано выше, энтропия энтростата не меняется. Поэтому все изменения, которые происходят при взаимодействии системы с энтростатом, относятся к ней самой. Следовательно, и новые переменные, необходимые для описания этих изменений, будут относиться к самой системе. С учетом данного положения было получено следующее соотношение [2, 4]:

сів

сМ

divJ + Оі = ае + а*

(1)

(2)

S(X) > ОДУ1) > SiX^Yi) >■■■> SiX^Yi (4)

где S(X) - энтропия замкнутой системы в равновесном состоянии, описываемом обобщенной переменной X; S{X\Y{Y2 • • • Yi) ~ условная энтропия, соответствующая значению энтропии системы в стационарном состоянии, которое отличается от замкнутого состояния изменениями в структуре, появившимися благодаря внешнему воздействию и описываемыми переменными Y\, Y2,..., Yi.

В выражении (4) переход от одного неравенства к другому происходит при изменении величины взаимодействия с энтростатом. Последняя была обобщена в виде феноменологического параметра - степени открытости системы [2]. Степенью открытости а системы называется параметр, количественно характеризующий величину всех изменений, которые произошли в системе в результате ее взаимодействия с энтростатом. Для крайней левой позиции соотношения (4) выполняется а = 0, что соответствует замкнутому состоянию системы, для крайней правой а = атах, что соответствует максимально разомкнутому ее состоянию.

Стационарное значение энтропии системы, имеющей степень открытости оц, обозначим как Sai. В работах [2-5] было показано, что выражение (4) содержит важные закономерности. В частности, из (4) следует, что каждой степени открытости однозначно соответствует свое стационарное значение Sai:

S(X) >S(X\Y1) >S'(X|y1y2) >... >S'(X|y1y2...yi) > ...

a=0 a\ «2 ai

Sa3 Sa 1 Sa2 Sai

При этом если увеличить открытость системы от а\ до а2, то ее энтропия должна уменьшиться от Sai до Sa2, т.е. в системе должно произойти упорядочение до уровня, соответствующего новой степени открытости. Наоборот, при уменьшении открытости системы от «2 до а\ ее энтропия должна увеличиться от Sa2 до Sai, т.е. должно произойти увеличение беспорядка до уровня, соответствующего новой степени открытости.

Таким образом, для системы, взаимодействующей с энтростатом, было найдено условие, при выполнении которого она стремится к состоянию с меньшей энтропией. В связи с этим возник вопрос о возможности сформулировать для данной ситуации теорему, аналогичную (3). С этой целью определим экстремум функции скорости уменьшения энтропии в линейных процессах.

Предварительно заметим, что рассуждения, приведенные в [10] в качестве доказательства неравенства (3), справедливы и для величин а и Р, а не только для их частей ai и Pi. Напомним, что необходимость перехода именно к <jj была обусловлена знаком этой величины (<jj > 0), благодаря чему было найдено, что экстремумом функции Pi является минимум. Но, как уже было сказано выше, для систем, взаимодействующих с энтростатом, появляется определенность в знаках величин а и Р. Действительно, при увеличении степени открытости система стремится к состоянию с меньшей энтропией (а < 0, Р < 0), а при уменьшении степени открытости, наоборот, - к состоянию с большей энтропией (а > 0, Р > 0). Поэтому дальнейшие рассуждения будут относиться к а и Р.

Следуя [10], рассмотрим систему, состоящую из двух сосудов, разделенных перегородкой и имеющих разные температуру и состав вещества. Между сосудами поддерживается постоянная разность температур. Перегородку убирают, при этом в системе появляются два потока. Тепловой поток /1 соответствует обобщенной силе Xi, возникающей из-за разности температур. Диффузионный поток /2 соответствует обобщенной силе Х2, возникающей благодаря неодинаковому составу вещества.

В отличие от X2 сила Х\ является постоянной, так как обусловлена постоянной разностью температур. При достижении системой стационарного состояния диффузия прекращается и поток /2 становится равным нулю.

П П

Воспользовавшись известными уравнениями <т= ^ XiIi, /*= ^ Ьц-Х^ и £^=2^,

1=1 1=1

(Хг = дя/дщ - обобщенная сила, /* = с1а^/сМ - обобщенный поток, Ьц; - кинетические коэффициенты), приходим к соотношениям, отличающимся от аналогичных в [10] только тем, что в них вместо стоит а:

7ГТГ" — 2(1,21X1 + 1^22X2) — 2/2, 7ГГГ"

ил 2 ил 2

= 0.

Индекс указывает на то, что значение величины берется в стационарном состоянии. Как видим, в линейных процессах в стационарном состоянии скорость изменения локальной энтропии, определенная в (1), имеет экстремум.

Далее предположим, что степень открытости системы увеличилась (увеличилось внешнее воздействие со стороны энтростата - например, увеличилась разность температур между сосудами). В этом случае, согласно закономерностям, описанным выше, система будет стремиться к состоянию с меньшей энтропией: а < 0 и Р < 0. Сделаем замену переменных: о~ = —а; Р~ = —Р. При этом о~ > 0 и Р~ > 0. Легко увидеть, что для новых переменных остаются в силе предыдущие рассуждения. Действительно,

йв с1( — в) д( — в) с1аI

а = —

<М <М дсм <М

где в данном случае X* = д( — в)/9а*. В результате мы приходим к положительной квадратичной форме по обобщенным силам X*: > 0,

откуда следует, что экстремумами функций о~ и Р~ является минимум. В итоге мы получаем неравенство, которое по своему математическому виду аналогично (3):

дР-

— <»■ <5> Знак «=» соответствует стационарному состоянию.

Величину Р~ назовем скоростью уменьшения (убывания) энтропии системы. Итак, в линейных процессах по мере приближения системы к стационарному состоянию эта скорость должна уменьшаться.

Теперь предположим, что степень открытости системы уменьшилась (уменьшилось внешнее воздействие со стороны энтростата). В этом случае, согласно описанным выше закономерностям, система будет стремиться к состоянию с большей энтропией: а > 0 и Р > 0. Квадратичная форма в выражении для а является положительной. Это означает, что мы опять приходим к неравенству, по виду аналогичному (3):

(в)

Из данного неравенства следует, что если в линейных процессах энтропия системы возрастает, то по мере приближения системы к стационарному состоянию скорость этого возрастания должна уменьшаться.

Следующая формула объединяет неравенства (5) и (6):

Я,о.

Неравенство (7) является расширением известной теоремы о минимальном производстве энтропии на системы, взаимодействующие с энтростатом. В таком виде эту теорему назовем теоремой о минимальной скорости изменения энтропии открытой системы, взаимодействующей с энтростатом. Ее формулировка гласит: в линейных процессах (при заданной величине взаимодействия с энтростатом) по мере приближения системы к стационарному состоянию скорость изменения ее энтропии уменьшается; при этом: а) если система становится более упорядоченной, то уменьшается скорость убывания энтропии; б) если система становится менее упорядоченной, то уменьшается скорость возрастания энтропии.

3. Энтропийные колебания

Неравенство (7) имеет важное методологическое значение. В качестве примера используем это неравенство, чтобы обосновать возможность возникновения энтропийных колебаний вокруг стационарного состояния. В частности, на возможность данного явления было указано в работах [4, 5].

При изменении величины внешнего воздействия на систему, последняя может выйти из своего стационарного состояния и устремиться к новому. По достижении нового стационарного состояния в ней могут возникнуть энтропийные колебания. Чтобы получить соответствующее уравнение, к левой части неравенства (7) добавим некоторую функцию _Р(Р, й1)*:

дР/дЬ + Р(Р, 5) = 0 (8)

(мы опустили знак модуля, так как для уравнения он не имеет принципиального значения).

На уравнение (8) распространяются те же ограничения, что и на неравенство (7). В частности, оно выполняется в области линейных процессов. Последнее позволило пренебречь всеми слагаемыми, кроме линейных, в разложении функции Р в окрестности стационарного состояния:

Р(Р, Б) = Р(Ра, Ба) + /3(Р - Ра) + - Ба) = /3Р + ИБ- ИБа.

Индекс а указывает на то, что значение величины берется в стационарном состоянии, степень открытости которого равна а. Кроме того, введены следующие обозначения: [3 = (<9Р/<9Р)р ; /х = (дР/дв)3 . А также Р(Ра, Ба) = 0 и Ра = 0, так как в стационарном состоянии функция Р и скорость изменения энтропии Р равны нулю.

В результате (8) примет вид обычного уравнения колебаний:

я2 о яс

= цва. (9)

Нетрудно убедиться, что: а) при ц < 0 уравнение (9) имеет только неустойчивые стационарные решения; б) при 0 < /х ^ /З2 /4 стационарные решения являются апериодическими; в) при /л > /З2/4 стационарные решения представляют собой колебания вокруг ва. При /3 > 0 энтропийные колебания являются затухающими. При /3 < 0 амплитуда колебаний увеличивается с течением времени.

*Функция .Р, добавляемая к дРв неравенстве(7), должна иметь тот же смысл, что и дР Поэтому было сделано предположение, что и зависеть она должна от тех же величин, что и дР т.е. в общем случае следовало бы записать: ¥ = .Р(<9Р/<9£, Р, б'). Но в дальнейшем из математических расчетов стало ясно, что в линейном приближении учет дРв качестве переменной функции Р не приводит к существенному изменению полученного ниже уравнения колебаний энтропии И сводится лишь к переобозначению постоянных коэффициентов.

Таким образом, для систем, взаимодействующих с энтростатом, вблизи стационарного состояния в линейной области принципиально возможно возникновение энтропийных колебаний. Строгое обоснование данному явлению оказалось возможным дать только на основе неравенства (7), поскольку в неравенстве (3) Р* не может менять знак, и, следовательно, уравнение колебаний из него получить нельзя.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990.

2. Шаповалов В.И. Формирование системных свойств и статистический подход// Автоматика и телемеханика. 2001. №6. С. 57-68.

3. Шаповалов В.И. Законы синергетики и глобальные тенденции//Общественные науки и современность. 2002. №3. С. 141-148.

4. Шаповалов В.И. К вопросу о критериях изменения порядка в открытой системе: статистический подход//Прикладная физика. 2004. №5. С. 25-33.

5. Шаповалов В.И. О фундаментальных закономерностях управления тенденция-ми//Проблемы управления. 2005. №2. С. 2-11.

6. Климонтович М.Ю. Статистическая физика. - М.: Наука, 1982.

7. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управ-ления/Под ред. А.А. Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. II.

8. Колесников А.А. Основы теории синергетического управления. - М.: Испо-Сервис, 2000.

9. Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985.

10. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. - М.: Едиториал УРСС, 2003.