CC BY
23
Экономическая наука современной России
№ 1, 2003 г.
Пространственно-непрерывная экономика и информационно-термодинамические принципы управления
© В.Т. Волов, 2003
Предложен синтетический метод анализа и управления пространственно-континуальной экономической структурой для случая, когда экономические переменные подчиняются гра-диентно-дивергентным законам. Получена формула для определения условной энтропии распределения соответствующих переменных.
1. Введение
В научно-технической литературе, посвященной исследованию динамики развития городов, можно выделить три направления:
1) неоклассический подход к развитию экономики городов; данное направление предложено экономистами-урбанистами (Debreu, 1959). Он анализирует только равновесные состояния и при условии их устойчивости;
2) наука о регионах и географии - регио-новедение (Wilson, 1981). При данном подходе экономическое пространство разбивается на дискретные зоны, что не позволяет объяснить динамические процессы внутри градообразующих систем (Занг, 1999);
3) применение уравнений поля к экономическим переменным в некотором замкнутом пространстве позволяет по-новому
взглянуть на экономическую теорию размещения фон Тюнена.
Рассмотрим модель М. Бекмана и Т. Пуу (Занг, 1999) транспортировки товаров в непрерывном экономическом пространстве. Считаем, что экономическая система располагается в непрерывном двухмерном пространстве и исследуемая область А замкнута. Предположим, что в каждой точке заданы количества произведенного и потребляемого товара. Требуется определить равновесные цены, объем и направление перевозок товаров для пространственных и протяженных конкурентных рынков, а также условия устойчивости экономики.
Пусть разность между плотностями спроса и предложения в каждой точке пространства (хь х2) задается функцией г = г(хь Х2). Условие равновесия пространственных рынков для замкнутой области
имеет вид:
Цг(х1, х2)йх1йх2 = 0.
(1)
Л |дл=о,
(2)
— = б ятай р - в к (г) ,
(3)
йр йг
= -( г + —),
(4)
Предположим, что существуют области, в которых г(хь Х2) ^ 0. Это означает, что функция г знакопеременна, т.е. существуют области, где спрос превышает предложение, а есть области, где предложение превышает спрос. Следовательно, имеют место потоки товаров, направленные от точек превышения предложения товаров к точкам превышения спроса. Движение товаров описывается с помощью непрерывного векторного поля потока товаров, обозначим
его — = — (х1, х2). Аналитическое выражение замкнутости системы имеет вид:
где п - направление, ортогональное к и границе 5Л области А.
Развивая модель М. Бекмана и Т. Пуу, В.-Б. Занг добавил динамический механизм установления равновесия, который способен возвратить возмущенную систему в равновесное состояние (Занг, 1999). Наличие такого механизма доказывает, что найденная динамика устойчива в долговременном масштабе.
Если р и — - возможные градообразующие распределения (например, р - цена
товара, — - поток товаров), которые удовлетворяют граничным условиям, то динамические уравнения установления по В.-Б. Зангу имеют вид:
где к(г) - транспортные издержки на перевозку единицы товара на единицу расстояния ([к] = 1 руб./(ед. тов. х ед. пути). В уравнениях (3)-(4) коэффициенты а и Р имеют одну и ту же размерность ([а] = [Р] = [м2/с2]). Следует отметить, что эти уравнения являются уравнениями поля сплошной среды: (3) - уравнение движения сплошной среды, (4) - уравнение сплошности, а ¿(х^ х2) - это функция источника (в экономическом пространстве г(хь х2), где плотность спроса превышает плотность предложения).
Устойчивость решения уравнений поля сплошной среды доказана в многочисленных работах (см., например Ландау, Лиф-шиц, 1986). Согласно этим работам, модель (3)-(4) пространственно-непрерывной экономики является также устойчивой. Но этот факт не дает ответа на вопрос: какое из устойчивых состояний экономической системы предпочтительнее с точки зрения долговременной перспективы развития? В общем случае критерием устойчивости для данной экономической системы является критерий Ляпунова - отсутствие роста флуктуации экономических переменных (производства товаров, цен, инфляции и т.д.) во времени.
2. Синтетическая модель для пространственно -непрерывной экономики
Применим к динамическому описанию пространственно-непрерывной экономики
§
а о 2 К £
а а о
р
о
(уравнения (1)-(4)) информационно-термодинамический подход, что позволит нам использовать весь арсенал универсальных термодинамических методов, которые имеют фундаментальные критерии устойчивости систем и учитывают деструктивные необратимые процессы в развивающихся экономических системах. С этой целью введем выражение для условной энтропии (квазиэнтропии) Н для оценки качества распределения плотности антропогенных и экономических параметров (количество товаров на единицу площади (плотность товаров)), имеющее следующий вид:
Н (г ) = 1 -а1п<
р (г )
равном.
(5)
5 (г )
Л
где
и
СО
о
о
с^
т-н
01
2
♦
к
к
о
о
О
сх
>я
о
я
я
ф
2
ф
а
со
о
о
я
и
л
я
я
к
я
и
о
ф
У
я
2
о
я
о
И
СО
Н = 1 -а 1п
511
5 (г )1'
(5а)
ранения экономической переменной, время г в (5) является параметром:
р«
равном
'шах
| р (5(г), г) (г)
5ш
(6)
Изменение абсолютной величины распределенной экономической переменной (товаров, людей, денег и т.д.) может быть описано уравнением:
т = т0 ехр (Р(г)-г), (7)
5 (0)
где то=
| р((0),0) - абсолютное
усред-
р (г) = 1 | р (5, г) (г) / 5(г)
V о 0
ненное по площади 5 значение плотности экономической переменной; 5(г) - площадь распространения экономической переменной - это территория, где экономическая переменная р не равна нулю; р(5, г) -текущее распределение плотности экономической переменной по площади 5(г); а -безразмерный коэффициент, 0 < а < 1, конкретное значение а выбирается по минимальному значению площади 5ш;п = 50 для рассматриваемого экономического процесса. Выражение (5) может быть переписано в эквивалентной форме через площади распространения процесса:
суммарное значение экономической переменной, находящейся на территории 5(0); Р(г) - декремент затухания или роста экономической переменной р(5(г), г).
Выражения (5) и (5а) для условной энтропии отвечают всем необходимым условиям:
1) величина условной энтропии позитивна Н > 0;
2) условная энтропия Н подчиняется принципу:
N
Н Н;
г=1
(8)
3) условная энтропия изменяется в пределах Н е [0, 1]:
5
а) Н = 0,
б) Н = 1,
5 (г) 5 (г)
= ехр
= 1;
(9)
где 5шах - общая площадь территорий, 5(г) - текущее значение площади распрост-
в) Н = Н
5„
5 (г)
= ехр
1 - Н 0
а
0
где Н* = 0,618 - так называемое золотое сечение.
Выражение условной энтропии (5а) удовлетворяет второму началу термодинамики в информационном прочтении:
йН = 1 (г)
йг £>(г) йг
> 0,
(10)
с18 (г)
> 0
если нет противодействующих
Синтетическое описание модели - динамическое описание экономики (уравнения (1)-(4)) и энтропийное (5а) - позволяет использовать весь арсенал методов линейной неравновесной термодинамики. Согласно теореме о минимуме производства энтропии (Гленсдорф, Пригожин, 1973), получаем условие для структурной устойчивости трансформирования пространственно-непрерывной экономики:
йг
сил извне.
На рис. 1 показано применение условной энтропии (5) для распределения пространственно-непрерывных экономических переменных.
ЖР п п ЖН
— < 0, где Р =-.
йг йг
(11)
Подставив в уравнение (11) выражение (5 а) для случая нейтральной устойчивости
Н = 0
р' * --ь-
"V"
Н =1
^/Ррагн.
- 0 —
§
а о 2 а л (о о к и а
а
о и чз (о 2 (О
а а о к<
р
о
Рис. 1. Иллюстрация использования условной энтропии (5) для распределения пространственно-непрерывных экономических переменных
структуры экономической системы (йР/йг = 0), получим в явном виде следующее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
йУ йг
У 2 5 (г)
где У =
(г) йг
(12)
5 (г) - 5 (0) = }
(
1/
• йгх
ад
+с
л
йг.
(13)
и
СО
о
о
с^
т-н
01
2
♦
к
к
о
о
О
сх
>к
о
я
я
ф
2
ф
а
со
о
о
я
и
л
я
я
к
я
и
о
ф
У
я
2
о
я
о
И
СО
5 шах(г,) - 5 (0) = |
4 Г Г
Г г
0 Г
V J _ 0
1
л
1 йг1
Щ)
+с
йг. (14)
5 (г) = 5 (0) +
5 шах(г,) - 5 (0)
г;
(15)
5 (г ) = 5 ( 0 ) ехр (а-г).
(16)
ких переменных (см. рис. 2, 3). Экспоненциальный режим распространения экономических переменных приводит систему в состояние нейтральной устойчивости, что представляет собой границу структурной устойчивости трансформирования экономической системы, за которой следует
В результате интегрирования уравнения (12) получаем закон распространения экономических переменных пространственно-непрерывной экономики для случая нейтральной структурной устойчивости системы:
Константа С в (13) определяется при конечном времени эволюции системы:
Рассмотрим два случая распространения экономических переменных:
1) линейный закон распространения:
2) экспоненциальный закон распространения:
После подстановки соответствующих законов (15), (16) в выражение условной энтропии (5а) и определения знака производной по времени от производства энтропии (Р = йН/йг) видна устойчивость линейного случая распространения экономичес-
Рис. 2. Зависимость изменения условий энтропии Н экономической системы от времени при экспоненциальном законе распространения экономических переменных
И
0,75 0,5 0.25
0
/
/ /
/ 1/
/
ГШ 0.5 0,75 1
Рис. 3. Зависимость изменения условий энтропии Н экономической системы от времени при линейном законе распространения экономических переменных
структурная неустойчивость системы, т.е. ее кризис.
В работах (Волов, 2000, 2001) было показано, что правило «золотого сечения» отвечает наилучшему функционированию сложных систем самой разнообразной природы. Критерием оптимизации структурной перестройки пространственно-непрерывной экономики в предлагаемом методе является не максимизация прибыли или минимизация издержек, а устойчивое, бескризисное развитие системы (Волов, 2001). В качестве целевой функции структурной перестройки пространственно-непрерывной экономики используем приведение структуры экономической системы к состоянию, соответствующему «золотому сечению»:
/(Н)^ Н. (17)
Функция /(Н) позволяет трансформировать пространственно-непрерывную структуру экономической системы из состояния, соответствующего условной энтропии Н, в оптимальное состояние, соответствующее энтропии «золотого сечения» Н*. В качестве структурной траектории трансформирования экономической системы для функции /(Н) берутся решения (13), (14), опирающиеся на фундаментальные понятия термодинамики (5), (5а) и теорему о производстве энтропии (Гленсдорф, Пригожин, 1973).
Система уравнений (1)-(3), (5), (11), (12) представляет собой основу предлагаемого синтетического метода прогнозирования пространственно-непрерывных экономических систем. Уравнения (1)-(3) при заданных постоянных значениях q и к решаются независимо от уравнений (4), (5), (11), (12), а уравнения (4), (6), (9), (10) позволяют оценить качество распределения
экономических параметров в пространственно-непрерывной экономической системе и дать рекомендации по ее устойчивому трансформированию.
3. Обсуждение результатов использования моделей
В общем случае при непостоянных г и к имеем систему нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений (1)- (3), решающихся совместно с информационно-термодинамическими уравнениями (4), (5), (11), (12). Это позволяет дать комбинированное описание эволюции экономической системы и управления ею с помощью динамического и термодинамического подходов.
Рассмотрим конкретный пример пространственно-непрерывной экономики (1)-(4), представленный в (Занг, 1999) для ста-
(лт Яр \
~д1= 0, ~дГ = 0). В
этом случае уравнение (2) будет иметь вид:
к — = вгаН р, — * 0). (18)
Поток товаров — имеет размерность:
[—] = [ рК ] = х м,
ед. тов. с
где V - скорость перемещения товаров.
Как известно, в области А в условиях чистой конкуренции продажа товаров осуществляется только тогда, когда продавцы не имеют потерь (Занг, 1999):
§гаё р = к, (19)
§
а о 2 а л
а а о к<
р
о
N3
о
О
ы
, = ф г др г г
где §гай р = дХ* + , где *,./ - единичные орты по оси X и У. При величине потока товара, равной нулю, должно выполняться неравенство:
|§гаё р| < к.
Уравнение (1) в данном случае определяет соотношения между монетарными, а уравнение (2) - между вещественными переменными. Следует отметить, что поток товаров имеет то же направление, что и градиент цен на товары (§гаё р). Превышение плотности спроса над плотностью предложения имеет размерность:
ед. тов. с '
И = = [Р V],
ед. тов. с где V - частота спроса (1/с).
4. Заключение
Предлагаемый синтетический метод при дальнейшей опытной апробации может стать перспективным инструментом анализа структурной эволюции экономической системы. Используя энтропийные критерии устойчивости (5), (5а), (11), можно осуществлять управление пространственно-непрерывной экономикой, например, за счет ценовой политики.
Литература
Волов В. Т. Фрактально-кластерная теория управления образовательными структурами. - Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2000.
Волов В. Т. Экономика, флуктуации и термодинамика. - Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2001.
Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. -М.: Мир, 1973.
Занг В.-Б. Синергетическая экономика. - М.: Мир, 1999.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986.
Arrow K.J., Nurwich L. On the Stability of the Competitive Equilibrium // Econometrica. V. XXVI.
1958. P. 522-552.
Debreu G. Theory of Value. Yale University press,
1959.
Wilson A.G. Catastrophe Theory and Bifurcation: Application to Urban and Regional Systems. London: Choom Helm, 1981.
Статья поступила в редакцию 9.04.2002 г.
