ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СГЛАЖИВАНИЯ, "РЫСКАНИЯ" СУДНА НА КУРСЕ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.61.052:62.501.72

DOI 10.52375/20728689_2022_2_234

ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СГЛАЖИВАНИЯ, «РЫСКАНИЯ» СУДНА НА КУРСЕ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Троеглазов А.П., к.д.п., к.т.н., докторант, преподаватель кафедры «Судовождение», ФГБОУВО «Государственный морской

университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова»

Исследуется проблема идентификации морского дискретного линейного объекта по данным наблюдения, при нормальном функционировании на конечном интервале времени. Принята обобщенная форма линейной относительности неизвестных параметров модели идентифицируемого объекта, частным случаем которого инварируемы модели Гудмена-Резвика-Калмана. Исследовано качество обобщенной модели, при использовании для прогнозирования выходной реакции объекта, при каждом времени наблюдения, при оптимальном прогнозтическом модифицировании обобщенной модели.

Ключевые слова: дискретный, модель, фильтр Калмана, функционал, линейный, параметрический, прогноз, модификация, априори, регрессия, асимптотический, линейный фильтр, матрица.

GENERALIZATION OF THE KALMAN FILTERING MODEL OF SMOOTHING, "YAWING" OF A SHIP ON COURSE IN IDENTIFICATION PROBLEMS

Troeglazov А., Master Mariner, Ph.D, doctoral candidate, lecturer of the Navigation chair, FSBEIHE «Admiral UshakovMaritime University»

The problem of identification of a marine discrete linear object according to observation data, with normal functioning at a finite time interval, is investigated. A generalized form of linear relativity of unknown parameters of the model of the identified object is adopted, a special case of which the Goodman-Rezvik-Kalman models are invariable. The quality of the generalized model is investigated, when used to predict the output reaction of an object, at each observation time, with optimal predictive modification of the generalized model.

Keywords: discrete; model; Kalman filter; functional; linear; parametric; forecast; modification; a priori; regression; asymptotic; linear filter; matrix.

Введение. Современные интегрированные ходовые мостики, как конфигурация структуры системы судового управления оснащается авторулевыми, построенными на множестве конструкций линейных фильтров Калмана для сглаживания "рысканий" судна на курсе, в процессе прохождения судового пути. Осуществляется функционирование с целью максимальной оптимизации движения судна на курсе при различных внешних воздействиях на навигационно-управляющий комплекс.

X, А.

Исследуем проблему идентификации дискретного объекта по данным наблюдения его входного сигнала J и выходного сигнала J

й t = j A, (j = 1,2,..., N)

полученным в процессе его нормальной эксплуатации в моменты времени .

1. Пусть дано, что:

*J = ^ + Ф j , (1)

|ф ■} У-

где: ^ ■ ' - центрированная, случайная последовательность статистически независимая от ',

y. x

1 - результат прохождения через линейный устойчивый фильтр.

Исследуем уравнение описывающее дискретный процесс с данными переменными:

m 1

yj = Z ayj-s +Z btxj--i

J ¿—i j-s t J -

s=1 t=1 , (2)

a b

где: и - неизвестные параметры,

т 1

и - заданные значения.

В исследовании принято, что идентификация объекта в задачах управления, как цель завершается построением модели, восстанавливающей функциональную связь между входом и выходом управляющего сигнала.

Обычно модель представляется в виде, априори выбранной структуры с некоторым числом неизвестных параметров, значение которых выявляется на основании эксперимента. В исследованных объектах (1-2), применили два вида построения модели.

У ■

А. Примем, метод Гудмена и Резвика, где выходной сигнал модели ■ , определяем, как:

J

у j = Zй ^

г ]-г+\

г=1 , (3)

где: ^ - заданный параметр,

^ - априори неизвестные параметры, значение которых выбираются из условия минимизации по ', и суммы квадратов невязок. Получим:

/ N 2

N ( J V

i j-i+1 j =J V i=t

Zl* j -Z hx

j =J V I

Б. Примем метод Калмана, где модель объекта строится в виде разностного уравнения той же структуры, что и в (2), в которой неиз-

as bt as bt as bt

вестные параметры и , заменяем их оценками и , минимизирующими по и , в виде квадратичной структуры:

N f m l Л2

Z\®j -ZaPj-s+Zbx-t+i \;(q=max(m+1l))

j=q \ s=t t=\ J , (4)

В исследованных случаях восстанавливаемые модели являются линейными, как относительно сигналов , так и относительно неизвестных параметров, поскольку определяются как коэффициенты линейной регрессии при решении системы нормальных уравнений,

при числе наблюдений N , достаточно большим по сравнению с числом неизвестных параметров модели, откуда система нормальных уравнений имеет единственное решение. В исследовании цель предполагает дополнить методику применимости модели Калмана , вида линейных ( относительно сигналов и неизвестных параметров ) уравнений может быть предложено множество структур, характеризуемых промежуточное значение между моделями А. и Б. При этом целесообразность применения каждой из них зависит от времени наблюдения

объекта N и отношения сигнал/шум на выходе полосы белого Гауссовского линейного потока. [1] 2. Физический смысл и практическое обобщение модели Калмана в авторулевых.

Примем У в виде решения \ фиксированное целое число, тогда

У] У] - кУ] - к - т к > 0

Примем в виде решения разностного уравнения (2) с начальными условиями ' ' , при условии — как

(5)

т к+1

у = Е а(к) у ]-к-*+Е ь (к)хj

¿=1 t=l

а(к) Ь (к) к

Примем, что 4 ' и 4 ' , определимы, как функции от и от коэффициентов (2), вида

а., Ь. т = 1 = 1

4 и ' , так для объектов первого порядка , при условии , получим:

а (к) = 4+1; Ь (к) = Ьха[1; ( = 1,2,..., к +1) , (б)

Ь (к) г = 1 ^ к к

предложим величины , в (5) , при , совпадающими со значениями импульсной характеристики объекта 1 , и

\а* (к0 к ^ (к + т +1)

в силу устойчивости объекта 1 1 при . Исследуем (5), как модель объекта (2) с параметрами у ' ,

0 (к) е (к )= (ах (к),..., (к), ьх (к),..., ьы (к)) (т I)

объединенными в вектор , тогда: при априори заданными

а, (к ) Ь (к)

доставляющим минимум по и в квадратичной форме, вида:

-]2

N

]=q

-

f m k+l \

Za A-k-s + Zb (k)

\ s=t t=1

-t+1

0 (k)

Оценим погрешность 4 ' и обозначим, как:

(q = max (m +1, l + к ))

при v V ' // , (7)

89 (к) = 0~(к)-0 (к) = (8О, (к),...,8ат (к),8Ь, (к),...,8Ьк+1 (к)) , (8)

е~ (к ) к

Восстановленная на основании 4 ' , модель (5) будет -я модификация модели Калмана, нулевой модификации. На основании предложенной модификации в задаче управления получили алгоритм, позволяющий прогнозировать выходную реакцию объекта на заданную последовательность входных сигналов . [2]

Исследуем и выводим на основании восстановленной модели (5), прогноз выходной реакции объекта в виде сигнала ( ), определяемую рекуррентной формулой, вида:

т к+1 ^

уп = Е а (к) Уп-к(к)+ Е ь (к) ^+1

í=1 (9)

Рис. 1. Уравнение замкнутого линейного фильтра в модели авторулевого

Качество полученного прогноза характеризуем средним квадратом его ошибки:

Г т ^

-]2

n (k )=M [ уя (k)-yn ]2 = M [ h (k)-hi

Zn-i +1

(10)

у

где: п - истинная реакция объекта,

К

- истинная весовая функция объекта,

к1 (к) Ф й Ф (9) Ьг (к )=ьг (к,е (к))

- весовая функция замкнутого линейного фильтра, описываемого уравнением (9) и условием 4 ' .

8б" (к 0

Поэтому при

с точностью до малых высшего порядка имеем:

h (к)= h (к)+Zas (к)+Z^Шзbt (к)

Л) Л) да, (к) Л 1 £ dbt (к) t

К (к)

где: - весовая функция фильтра (5) .

Так для модели объекта первого порядка при любых ' и к , связанных соотношениями :

(11)

I

i = j (к +1)+1 -1; (j = 0,1,...; t = 1,2,..., к +1)

, имеем:

h (к ) = [ о, (к )] Ч (к )

(12)

(к) Ь (к) (6)

где : и - определяются согласно выражению (6).

к (к = 0 )

Исследуем зависимости критерия (10) от , как целесообразность перехода от модели Калмана 4 ' к обобщенной модели

(к > 0)

. Допустим:

к (к > 0)

А. Пусть при любом 4 ' , оценка параметров (5) помощью критерия (7) имеет практическую интерпретацию при малости

отношения сигнал/шум на выходе объекта, тогда примем, что:

V ()'Ъ (1 „ ( = ) , „3,

где:

(i ) = M } Du = ruu (0 )

ЬП {*«} ы й

Ь. Последовательности 4 ' и v , примем, как случайные, стационарные, центрированные, статистически независимые между

собой с последовательностью

ы fc} { ,}

Последовательности и , эргодические по отношению к своим корреляционным функциям.

В. Исследование рассмотрено, как касающееся асимптотических свойств оценок при ^ ^ т , когда полезное время наблюдения

N - ц д.

( определяется по (7) много больше длительности практического затухания авто- и, взаимно- корреляционных функций сиг-

Л х

налов и .

89 (к)

3. Асимптотические свойства вектора , определяющего направленность движения

0 (к)

Вектор , соответствующий минимуму (7), определяется решением системы нормальных уравнений, вида:

{гг, = (М - д)-1 X

п=д+1

модифицируем и представим уравнение в виде:

' Я : Б ^

N

1

w

п+i п+m

е~ = p-lu =

Vs I Ту

и

_ _ _ , (14)

К = (Ра в ) ^ =(аа в ) Т =(Та в ) (ш X ш) (ш X к + I) (к + I X к + /)

где: - матрицы , и , соответственно с

ра .В = \^-к-а^- к- В /. °а .В = \Р-к-а Хг-В /'Та. В \ Х-а Х-

а R \^-k-a^-k-R h a,R -k-a^i-R ' а,В \л-ал-В

компонентами

и к + I + т \"0"-к-г /,

- вектор размерности , с компонентами

(«0«- к-г ) , ( ^ т ); иг = («0 Х1-г - т) ' ( > ™ )

89 (к)

С учетом (8) и (14) определяем случайный вектор ^ ' , два первых момента которого обозначим , как:

| (к ) = М [80 (к

Q(к) = М -(80 (к)-ц (к)][80 (к)-ц (к)]т }

(15)

(16)

N Др ! Ду ^ 0

Для получения приближенных значений (15-16) при и х ' ,

векторы и их компоненты , в виде разложений:

р = р0 + рр 0 = р 0 х + р 0ф • р1 = р1х + р1ф

представим все входящие элементы матрицы,

с принятыми обозначениями:

^0 = Нш ^; ^0х = Нш ^0; ^1х = Нш ^1

NД Д

(17)

(18)

В исполнении допуска пункта Б. для элементов матриц ^' ^' Т и вектора ^ в (14), (18) с индексами и ^Ф , равны:

Ра0ГР = V (а - в кГР = (к +1 + а - в )

при

Св = 0;= ^ (а - в );т«0фР = 0

(19)

-0х = [ (к + 0> ( ^ т) М0Ф Яф (к + 0' ( < т)

' V (т + 1 - / ) ( > т) ' [

0, ( > т )

(20)

Учитывая (17-19) и модифицируя, получим путем разложения в ряд, и используя формулу производной обратной матрицы, по степеням

Гфф ()1Гуу () б 500

, получим приближенное соотношение для

е0ф = й0ф -

где:

5л0 , 0х—0 а , 0х —0 , 0Ф г>0ф {, 0х\Т

О0 = р м -0 «р I м + м т - (р )

р0ф (р01 )й0х, (р0 )=(Р0 )-1

-0 х

-0 =р0 хе0 ф

(21)

р0 * = (р° х

К

0х

+

№ 0 х )

8 о*

Т 0 х

л

Г Я0х

р° х =

+

У

Р и й1

Поскольку вторые моменты всех элементов и стремятся к нулю при

, метод линеаризации функции случайног (20), преобразуем и модифицировав, получим

N ^ 0

можно применить при достаточно большом

^ , метод линеаризации функции случайного аргумента, представив с точностью до малых высшего порядка в виде аналогичном

80 ' = р

0 х

и - р1 (р0 х У:

-0 х

801х = 0

Ф всегда 0 = 0

Отсюда, применив , как физический смысл, что при отсутствии помехи ™ , всегда , получим:

801 = 801ф =р0 хе1ф

, (21)

(

р1ф =

я1ф ;

Л

(у * )Т

1ф и< =

Г<Фс У-к-г + УоФ-к-г) ; ( ^ т )

[ (фс; (г > т)

Р?р ={<Р-к -а У-к-в) + { У-к -аф-к-в) = (ф-к-а Х1-в)

. 0 х

р к

Для исследования (20-21) находим " в виде явной функции от и параметров процесса и объекта. [3] Применим метод разбиения обратной матрицы на клетки и учитывая, что Р , симметричная, получим:

г о \ ь ^

р01 =

Ь \ м

(22)

На основании (17) представим

G = (gsj )= R0^ - S0х (T01 ) (S01)

где:

L = (XsJ )= GS0- (T0- )1 = (^ )= (T0- )1 [ 1- (S0x) L

ься

(T01)

сно (22) производится при известной

89 (k)

Поскольку для моделей реального прохождения судна на курсе можно ограничиться

/•-П-Ч-1

т, I < 2 р0х

, то вычисление , согласно (22) производится при известной

входного сигнала.

как обратной корреляционной матрицы

, в виде:

80 (Л ) = 800 (к )+801 (к )

800 (к) 801(к)

где: и - определяются согласно (20-21).

Тогда для объекта удовлетворяющего перечисленным ограничениям, вектор и матрица (15-16) в асимптотике, то есть при

(М-д Лит

, будут обладать следующими свойствами:

(Ы -д Лит

1) при , в (15 -16) равны:

(к) = 800 (k);Q(k) = M {о0'Ф(р°x ) }

t р л '

(23а)

Ф= M

О(к) 1/ N

2) при убывает со скоростью , то есть:

й (к )= 0(1/N)

' (к ) к

3) если каждый элемент матрицы является ограниченной функцией от , тогда:

и

(к ^0, при (N-q и (к

(23б)

(23в)

N к 0 (к) (к)

откуда, если при , растущем быстрее чем , оценка на основании (23а-23в) с ростом приближается к состоятельной.

D = 0 0 (к

Примем, что , тогда формула (14) обращается в тождество

0 х — 0 х

u

, тогда получим из (20-21), выражение вида:

e0ф = u0ф

- P Оф0 (к ); ё1ф = й1ф - Р1ф0 (к )

(24) ■iq>

800 (к) е

В исследовании уравнений (20-21) следует, что 4 ' - регулярный вектор, а в правой части (21) случайным будет лишь

На ,Р>иа ,Р> I

. При этом все его компоненты являются линейными формами от переменных , которые ввиду некоррелированности

X У ф

и с , являются централизованными случайными величинами, вторые моменты которых в асимптотике при , определяются соотношением, вида:

(N-q)^

ю

1 ю

M {УаФР)( )} N Z Гху (i + S - « К (i + t - в )

N. .

Из анализа соотношений (21 и (250 следует, что все элементы ^ , убывают, как 11 ^ .

е 0ф = ( 0ф 0ф ) е ,...+т+к I

Исследуем х х , тогда из (19) и (20) получим:

(25)

0ф

е, =<

r

фф

(к + i)+ZГфф (i-s)a (к)(i = 1,...,т) 0, (i > т )

s=1

Поскольку

к ^ю

(к )

- величина, определяющая влияние

У ■ - - к У ■

J s , на ■ , получим устойчивость объекта

a.

(к 0

(26)

. Исследуем, при устойчивости объекта ^ — 0 и к ^ ю имеет место

Г

ФФ

(k + i 0

\\e

'0ф

, получим из (26)

, при ^ 0

к ^ ю

, при , что дает

11^ (к °при k

^ ю

Р

, при , если параметры (в виде элементов и ограничены. Исследуем с

Си L

помощью приближенного соотношения (11) и допущений (А. и Б.) , получим

П (к) =п0 (к)+ п1 (к)

П (к)

в выражении:

П0 (к)

где:

П (к )

, (27)

- составляющая, зависящая от

Ц (к )

составляющая, зависящая от элементов матрицы

Q (к)

Следует, что при увеличении параметра модели к , сохраняя соотношение ^ к 1 к * 1 , можем как угодно уменьшать

П0 (к)

, а следовательно и , что дает преимущества свойственные модели Гудмена-Резвика, состоящие в практической не смещенности

о V (к )

оценок. При этом растет размерность вектора неизвестных параметров и рост элементов , вместе с . [4]

П1 (к) 1/N - я * 1/N N

Отсюда, приняв, что пропорциональна , находим, что для каждого , существует оптимальная

п

модификация обобщенной модели, минимизирующая ошибку прогноза . 3. Обобщенная модель простейшего динамического объекта

Исследуем, случай модификации уравнения (2) при упрощении путем исключения индексов и ввода обозначений типа

а = а.

Ь = Ь

, тогда:

У] = аУ]-1 + Ьх.1

1 ]-1 1 и корреляционная функция входного сигнала равна:

Гх () = в И,0 < в < 1, ( = 0, ±1, ±2,...) ,

После упрощения и модифицирования, получим:

(28)

ъа

(> пав ■в '' ^ )=

ъвх [(1-)(3'+1 -(1-в2У

г ( ) =__

^ (1 - а 2)(! - а в )(р - а )

(1-а(3 >((3 - а )

[(1 - а2 )р Ч4 -(1 - р2 у+1 'I

( > 0)

_ ____, (29)

Р0х, й0х О, ь ,м

Отсюда, все элементы определены: , а подматрицы , в (22) для объектов первого порядка имеют размерность,

(1x1), (1 + к х1 + к )

соответственно.

Примем, с учетом выражения (28) для

(Т01 )

О, Ь

, тогда элементы равны:

"]-1

= а (1 - ав )(1 - а2)Г2 й = [Эх (1 - в2)]- , ^ =0,5 < к, \к+1 = -ЬЕц

при

М к > 0 ^1.1 = й4 = й(1-в2)2 < 5 < к

ледовании элементы при , равны: ,

V.к+1 к+1 =а (1 + в 2 -а2 в 2) ^,,+1 = ^-и = -в < * <к 2 < ^ < к +1 = 0 к - ^ >1 1 < ^ г < к +1

, тогда:

(30а)

(30б)

при

В исследовании при к = 0 , имеем:

Мчл М':

1,1 Г\+к,\+к

На основании (20), (26), (28), (30) получим выражения для компонентов вектора

Дф (1 - а2 в2) Г 8а0 (к)=- А }

й (1 - а2 в2)

89 0 (к ) (к +1)'

(30в)

Д (1 - в2)

ао+к -V

д

ф у

(31)

при

8Ъ0 (к)= 0 ( = 2,...,к +1) б (к )

х 1,0 " Р с 0

Н+2 = -"-(Г 1

1 - ар

Корреляционную матрицу

г Ф 0

й Ф ^фф (0)= Ч, гфф (/)= 0

, вычисляем для случая некоррелированной помехи , при условии

1

Ф = (ф, ,)

Проведем преобразования, получим на основании (21), (29) матрицу , (23), вида:

Ф1,1 =

РЛь

N

1 + в а а2 к (в + а) Шкак

(1-а2)(1 - ав ) (1 - а2)(в - а) (1 - ав )(в - а)

Ф1,* =

ББЬ

х ф

N

Ф*.х =

в,в2

(1-«в )

(1 - ак ^ + а2к )

ак(3'

а,а

- (1 - в2)

в - а (1-ав )(в - а)

; (5 >1)

РЛ

N

[(1 + скы) в* + аквк (в|г-* + в*)];(*,X > 1)

(32)

ак = ак+1 вк = в ^

Используем в обработке данных обозначение: К и к , откуда на основании (29), (30) и (32) получим при условии

к > 1

, матрицу вида:

б (к ) = .

"\,к+2

: : ОТ (к) : :

V Ск+2,1

Р„

; со =

р.N (1 - в2)

"к+2,к+2 У

где элементы окаимляющие

, равны выражениям, вида:

б '(к )

, р

еи = (1 - а2 )(1 - ак )2 (1 - а в )Ь-2 с12 = (1 - ав )2 (а2 -1)(1 - в2 - ав ак (1 - ав ) (а2 - 1)Ь ~\а'- 2; (3 < Я < к +1) = (1 - ав )(а2 - 1)Г> [(1 - ав )акак + в

"1, к+2

¡,к+2

"к+1,к+2

С2,к+2 =-ав (! -ав )(в +а )ак -- в (1 - а2 )(1 - ав )ака*-2; (3 < 5 < к)

= в [(1-а2)(1-ав)акак-(1 -а\))

"к+2,к+2

= 1 + в2 - а2 в2 + а

1 + в (1 - а2 )(2 - ав )

О' 0 (к )

Остальные, входящие в ^ элементы у ' , равны выражениям, вида:

С2,2

(1 + а2к) с„ =(1 + а2к )(1 + в2), (3 < 5 < к + 1)

в (1 + а2к)(3<5<к + 1)

= 0, - г\ > 1, (1 < г, ^ < к + 2)

В соответствии с (10-12) для объекта первого порядка получим:

П (к) = М-

£ аЖ 1 - + £ ^ а (к УЛ1 -

5=0

к+1

к+1

% ]-. = Ь£ г

] - ^к-1)+1-

г; 8%; _ =£ 8 Ь (к ) г

] - я(к+1)+1-г

где:

(33а)

(32б)

(34)

П (к) а Ь

На основании (31) и (33) определяем , в виде явноИ функции от параметров объекта и и от параметров автокорреляци-

онных функциИ сигналов Х , ^ и Ф , тогда при условиях , получим:

(i ) = ^ (i ) = Dx в1, (i = 0,1,...)

(35)

Ь } X }

Примем, отличие статистических независимостей "контрольной" 4 ^ и "обучающей" 4 ^ последовательностей при условии к = 0

, и с учетом (27), получим:

2D -2a2 (l + a2 )(l- a2 в2)

пЧоЬттт-^п0(o)= ф v Л в ;

£

В исследовании, если , велико , при условии

а/" в, p + q > 3

tf(l - a2)" W" - (l - a2 )(l - в2)

ak << 1 в << 1

(36а)

, при пренебрежении членами , пропорциональными величинам

, получим выражение:

к + 2, ч Д2 (l + я2 в2 V П1 (к) = D —(l + 2а2);п0 (к) = ф ^ Р С ' W ф N V к) У } D (l - в2)

П (к) D (J )

(36б)

Для сравнения с , проведем смысловой аналог , как среднеквадратичную ошибку прогноза, в стационарных условиях

В (I)

модели (3), тогда получим , вида:

DJ (1 - в2 >^

В (/) = Д (J )+ D0 ^), D1 (J) = , D0 (Г ) = Л. 2 ¿2

где

^ ) б й Ф

- слагаемое , обусловленное помехой т

(37)

в 0 С7) Тм = 3 А

- аппроксимация объекта с бесконечной памятью модели (3) или с конечной памятью . [5]

Выразим приближенные соотношения практической конфигурации авторулевого в судовом вычислителе, когда а и Ь , близки к 1, принятые, как постоянные времени непрерывного объекта и автокорреляционной функции непрерывного сигнала, при квантовании

которых с периодом А , выявляются дискретные объект и сигнал, откуда получим:

в =1 -А/Тх, а = 1 -А/Тр ,0 < А/Тх, А/Тр <<1

Учитывая, что при малом А , получено модифицированное выражение:

(38)

/ ч 2 J

fi-АЛ

T

V ''f J

exp<

2 J A

T

f A 1 T

V J

exp

2 (k + 1)A

T

T7

основываясь на (36а и б), (37), получим:

n (0)«

+ D (TF + Tx )TF

T D

1H ^y

t = tf a

при к >> 1, тогда:

n (k)«

(к + 2)A + Д (TF + Tx ) _ exp Г 2 (k + 2)A

T D T

1H ^y 1F

при J >> 1 , получим выражение:

D (J )=D

JA DTf

У F

exp<

T

F

2 J A

TH Dv [TF +Tx] 4 Tf

(39а)

(39б)

(40)

J к

Значения и , минимизирующие

T

Jon « — In

D (J) n (*) Jon к

2A

2D T

и ^ , обозначим, как on и on , применив (40) и модифицировав, полу-

2 DT

D, (Tx + TF )

D on) = ^

1 + ln

D„ (Tx+TF)

(41) k + 2

Исследуем выражение (396), количество неизвестных параметров в обобщенной модели и модели Гудмена и Резвика равно

к + 2 = J +1. TRANSPORT BUSINESS IN RUSSIA | №2 2022 | 241

Т +1 П (к)/^О)< 1

и , получим, что обобщенная модель в тех же условиях точнее:

при условии

n (k ) / D (J W 1

В исследовании с ростом числа неизвестных параметров свойства двух моделей неуклонно сближаются, при этом

' F = (T+tf )

D T- р > i

Обозначим : у , при 1 1, то сравнительно с (41) , получим:

n (kon)= Dr ■{! +ln F}

H , (42)

С D IDy << 1 П (*сл)< D(Jon) koU + 2 < Jon

Сравнивая , с учетом т ^ , тогда х ' х ', причем .

Заключение. Таким образом, обобщенная модель по сравнению с оптимальной, при монотонно возрастающей функции от k к on меньше значений расчетных формул и преимущества становятся еще большими , когда возрастает сигнатура. При всех прочих равных

k T

П|~|ТТ „ 1 и

'бывает с ум

к0-п = О

условиях убывает с уменьшением времени "рыскания" судна, так что при достаточно малых н оптимальной становится простая

модель Калмана .

Литература:

1. Пугачев В.С. - Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Наука, 2007. - 342 с.

2. Лицкевич А.П., Старжинская Н.В., Попов В.В. - Математические методы в электродинамике. Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф.Ушакова, 2009.- 60 с.

3. Сангин И.Л. - Электромагнитная совместимость и непреднамеренные помехи / Пер. с английского под редакцией Сангина И.Л. - М.: Сов. Радио, т.1, 1975.

4. Демьянов В.В., Лицкевич А.П., Попов В.В. - Вопросы обеспечения качественных показателей морских систем связи. - Новороссийск: НГМА, 1997. - 270 с.

5. . Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. - Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 2018. - 319 с.