Обобщение и применение закона взаимности Эйзенштейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 1

ОБОБЩЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ ЭЙЗЕНШТЕЙНА

1. Введение

Квадратичный закон взаимности — один из наиболее красивых результатов алгебры и теории чисел. С 1801 года было выведено и доказано множество его обобщений, развитие которых можно проследить в двух направлениях: разные расширения и более высокие степени. Например, квадратичный закон взаимности можно сформулировать не только в кольце Z. Для кольца гауссовых целых чисел Z[i] такая теорема была доказана Дирихле. Гильберт же смог доказать, что квадратичный закон взаимности верен в любом поле алгебраических чисел [1].

Хотя Гаусс [2] и открыл биквадратичный закон взаимности, но до конца его не доказал. Первые опубликованные доказательства кубического и биквадратичного законов взаимности принадлежат Эйзенштейну [3].

Результаты по квадратичному и кубическому законам взаимности обобщает закон взаимности Эйзенштейна. Приведем его формулировку. Пусть K = Q(Z), где Z = e2nl/p — круговое расширение поля рациональных чисел для нечетного простого p. Возьмем числа a и a такие, что a G Z, (a,p) = 1, а число a — примарное в K, т.е. a Ф b (mod (Z — 1)2) при некотором b G Z, (b,p) = 1

Теорема (закон взаимности Эйзенштейна). Для символов степенных вычетов p-ой степени выполняется соотношение

Основная цель работы — доказать следующее частичное обобщение Пусть K = Q(Z), Z = e2ni/n, где n > 1 —нечетное натуральное число.

Теорема 1. Если a G Z[Z], a Ф 1 (mod n) и a G Z, (a,p) = 1, то степенных этого закона. вычетов n-ой степени выполняется соотношение

В качестве применения теоремы 1 будет дано новое доказательство следующей теоремы Анкени—Роджерса.

Теорема 2. Предположим, что a G Z и (a, N) = 1, где N — нечетное число. Если сравнение xN Ф a (mod p) разрешимо для всех, кроме конечного числа, простых чисел, то a : bN для некоторого b G Z.

2. Начальные обозначения

Везде считаем, что р — нечетное простое число. Введем обозначения: • K = Qp(Z), где Z := Zpn;

© С. В. Востоков, К. Ю. Орлова, 2008

• п = Z — 1 —простой элемент поля K. Для элемента ® G K* пишем

• а := a(x) = атхт + am+ ixm+1 + .. ai G Zp, то G Z,am G Ap- Если вместо ж в разложение а подставить 7Г, то получим alji) = а = атпт + am+i7rm+1 + .

• res — вычет ряда ЛоранаА aA, равный коэффициенту при ж-1;

• R — мультипликативные представители классов вычетов;

• Д — оператор Фробениуса на рядах Лорана Zp((x)):

Д(£оА) = (Saixi)A = SaiXpi. Нам также понадобится функция

l{a) = - \ogap/aA, P

определенная в работе [5] для элемента ®, у которого первый коэффициент am взаимно прост с p. Эта функция обладает следующими свойствами: l(a) G Zp [x]; l(afi) = l(a) + l(0; l(aa) = а/(а)для a G Zp;

если a(x) = в + атХт (mod deg(m + 1)), в G Atp-1, то

l(a) = CimOA1Xm (mod deg(m + 1)). Более подробно свойства функции l(a) рассмотрены в [4, гл.У1] и в [5].

3. Явная формула для символа Гильберта рп-ой степени в поле K = Qp(Z„n)

Рассмотрим символ Гильберта: (, )„n : K* x K* д ар„. В работе [5] была найдена следующая явная формула для этого символа:

(a,Ay=Qres$(a'/3)/(A""1), (1)

где Ф(a,f3) = l(a)dl(f3) — l(a)f3~1df3 + l(f3)a~1da, а d := a. B частном случае n = 1 и ® = в = 1 (mod п) имеем более простую формулу

(a, р)р = Cesil°g Ad i°g 2>/A-i>. (2)

Заметим, что Zp — 1 = хр (mod p) и поэтому формулу (3) можно переписать в виде

(aJj)p = CesflosE-dl°s-)x~P- (3)

Более подробно о вычислении символа Гильберта можно прочитать в [5] и в [4].

4. Предварительные вычисления

Перед доказательством непосредственно обобщения теоремы Эйзенштейна проверим следующий факт. Положим n = pr. Пусть K = Qp(Z), где Z := Zpr.

Теорема 1. Если ® G Zp[Z] и ® = 1 (mod pr), то (а, av = 1 для a G Zp, (a,p) = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим формулу (1) и в ней положим в := a. По условию a G Zp, следовательно d1(a) и a_1da равны нулю. Поэтому в условиях теоремы получаем, что Ф(а,а) = l(a)aAA-dl(a) = l(a)d log(a).

Далее, рассмотрим разложение a = 1+ pr0+pr0in + pr02п2 +..., где Ai G R. Заменив 7г на ж получим разложение а: а = 1 + ргв+ргв 1 х+ргв2х2 + . .. = (1+ргв)(1 + ргв'1 х+ргв'2х2 + .. .) = а'аъ где а' G Zp, а Cx1 = 1 +PrO4X +PrO12X2 + ... Тогда имеем

(a, a)pr = (a'ai,a)pr = (a',a)pr (ai,a)pr.

Сначала рассмотрим чему равен символ (a', av-. Как уже было замечено ранее, d1(a) и a-ida равны нулю. Следовательно, фА', a) = 1(a)a'-id(a'). Но a' G Zp, и, следовательно, da' =

0. Из чего, воспользовавшись формулой (1), выводим (a',a)„r = 1. Посмотрим, что происходит с (ai,a)pr:

U1 = 1 +ргв[х+ргв 2 X2 + .. ., da1=pre'1 + 2pre'2x + ... = 0 (mod pr).

Следовательно l(a)a11da1 = 0 (mod pr) и Ф(«1, a) = 0 (mod pr). Поэтому (a1: a)pr = 1 и, значит, (a, av = (a', av (ai, a)„r = 1, что завершает доказательство теоремы.

5. Общий случай

В этом параграфе мы остановимся на свойствах символа Гильберта (, )n, где n — нечетное число, с помощью которого позднее мы вычислим произведение символов степенных вычетов.

Пусть n > 1 —нечетное натуральное число, Z := Zn, K = Qp(Z), и пусть n = nipr, (ni,p) = 1. Тогда рассмотрим башню полей

Qp — T — K,

где T = Qp(Zni), K = T(Zpr). Поскольку (ni,p) = 1, расширение T/Qp неразветвлено. Введем некоторые дополнительные обозначения:

• От = Zp[Zni ] —кольцо целых поля T;

• a — автоморфизм Фробениуса в T;

• Д — оператор Фробениуса в кольце рядов Лорана от ((x)):

A(SaiXi) = (SaiXiA = S a(ai)x^,

• Tr — оператор следа в T/Qp;

• R — представители Тейхмюллера в Qp(Zn).

Как и выше, для элемента a G K* и его разложения

a := amnm + am+inm+i + . .., где ai G от , (p, am) = 1, п = Zpr — 1, пишем

a : = a(x) = атхт + am+1xm+1 + . ..

Явная формула для символа Гильберта pr-ой степени ( , )„r в поле K имеет в нашем случае вид

, дч Trres4>(a,A)/(CA-1) , ,

(a, A)pr- = CpA - , (4)

где C := Cp-, Ф{a,p) = 1{а)с1Щ - 1{а)А1с1р + ЩоГ1с1а (см [4, ra.VII]). 24 Теорема 3'. Если ® G Ox[Zpr], ® = 1 (mod pr), a G Zp, (a, p) = 1, то

(а, a)pr = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим формулу (2) и в ней положим в := a.

По условию a G Zp C От, следовательно d1(a) и a-1da равны нулю. Поэтому в условиях теоремы получаем, что Ф(а,а) = l(a)aT1dl(a) = l(a)d log(a). Далее теорема доказывается аналогично теореме 3 из предыдущего параграфа.

Пусть n = n1pr, где (n1,p) = 1, и k«1 + mpr = 1 для некоторых k,m G Z. Тогда, используя стандартные свойства символа Гильберта, получаем

(а, в)п = Кв)А (а,в)кг. (5)

Используем полученные формулы в доказательстве следующей леммы.

Лемма 1. Если а, в —единицы поля K, то (а,в)ш = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем неразветвленное расширение T = Qp(Zni), степень которого f = [T : Qp] = y(n1); тогда число элементов q в поле вычетов поля T равно pf. Сведем доказательство леммы к вычислению символа (а, в)д-ь По теореме Эйлера число q — 1 = pf — 1 = pA(ni) — 1 делится на «1 Обозначим через q' частное от деления q — 1 на «1. Таким образом, q — 1 = n1q'.

Так как Zq-1 G K, над K определен символ Гильберта (а,в)д-1. Если (а,в)д-1 = 1, то (а,в)ш = 1, поскольку верно равенство

(а,в)п1 = (а, в^— 1.

Как известно, ручной символ (а,в)д-1 можно вычислить по следующей формуле (см., например, [6, гл. 8, т. 5]):

(а, в),-1 = ( — 1)А(а)А(в)а-А(в)вА(а) (mod п).

В нашем случае А(а) = 0, А(в) = 0, и значит, (а,в)д-1 = 1 (mod п). Поскольку (а,в)д-1 —корень из 1 степени q — 1, предыдущее сравнение дает (а,в)д-1 = 1.

Теорема 4. Пусть K = Qp(Zn), « = «1pr, (n1,p) = 1, n —нечетное число. Пусть а G Zp[Zn], а = 1 (mod n). Тогда

(а, a)n = 1 для a G Zp, (a,p) = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как следует из формулы (5), достаточно доказать, что (аА)А = 1 и (аА)А = 1. Элемент а принадлежит кольцу Ок = Zp[Zn] целых элементов поля K и сравним с 1 по модулю n; тем более элемент а сравним с 1 по модулю pr | n. Тогда по теореме 3' имеем (а, a)„r = 1. Далее, поскольку а = 1 (mod p)r, элемент а принадлежит группе единиц OK поля K, а поскольку a G Zp, (a,p) = 1, мы получаем a G Z* C OK; из леммы 1 следует (а, a)ni = 1.

6. Доказательство обобщения теоремы Эйзенштейна

В этом параграфе мы соберем воедино полученные результаты, чтобы приступить уже к непосредственно доказательству обобщения теоремы Эйзенштейна. Для начала сформулируем закон взаимности для символов степенных вычетов, который связывает произведение символов степенных вычетов с произведением символов норменного вычета (символ Гильберта).

Пусть К = Q(Z), Z = е2ш/п, где П > 1 —нечетное натуральное число. Тогда для а,в О К*, (ав,п) = 1, имеем следующую формулу для произведения степенных вычетов:

где p— простой идеал поля K, делящий n, и — —символ норменного вычета в

W n

пополнении Kp поля K. В нашем случае Kp = Qp(Z), где (p) = Z П р.

Пустьp — простой делитель числа n и p|n; тогда символ совпадает с симво-

а,

/Зл

Pj

б

лом Гильберта (а, в)п в поле Qp(Zn), который, как уже говорилось, можно представить в виде произведения

(а, в)п = (а,в)т (а,в)кг,

где kni+mpr = 1, k, m G Z. Напомним, что по лемме 1 если а, в — единицы поля Qp(Zn), то (а,в)п1 = 1. Далее, по теореме 3' для в = a G Z, (a,p) = 1 и а = 1 (mod pr) будет (а,а)рг = 1. Таким образом, мы доказали, что выполняется следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть p — простой делитель числа n и p |n. Если а G Z[Z], a G Z, причем а = 1 (mod n) и (a,p) = 1, то

a

(a, a\ , ч

■и,-

(символ Гильберта берется в поле Qp(Zn)).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Пусть n > 1 —нечетное натуральное число, Z = e2ni/n, K = Q(Z), а G Z[Z], a G Z, причем а = 1 (mod n) и (a,p) = 1. Из закона взаимности для символов степенных вычетов и леммы 2 непосредственно вытекает,

что

э

т

о

п

а, а

р

Таким обра:юм,

ь утверждение теоремы 1. 7. Доказательство теоремы Анкени и Роджерса

Сначала скажем несколько слов об истории этого красивого результата. Давно известно, что если a — целое число, не являющееся квадратом, тогда существует бесконечно много простых чисел p, по модулю которых a — квадратичный невычет. Некоторое обобщение этой теоремы было открыто Тростом в 1934 году. Затем в самом общем виде его сформулировал в качестве гипотезы Чоул.

В 1951 году Анкени и Роджерс доказали, что если xn = a (mod p) имеет решение для почти всех простых чисел, то либо a = bn, либо 8|n и a = 2n/8bn. Харли Фландерс

и

е

с

т

в статье [7] обобщил теорему на поле алгебраических чисел и поле алгебраических функций от одной переменной.

В настоящей работе при помощи полученного выше обобщения закона Эйзенштейна мы докажем результат Анкени и Роджерса для нечетных n.

В этом параграфе N — фиксированное нечетное число; через DN мы обозначаем кольцо целых элементов поля Q(ZN). Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.

Лемма 3. Пусть a G Z — целое число, не являющееся N-ой степенью и взаимно простое с N. Пусть далее aDN = Pl1 . . PAn —разложение идеала aDN в произведение простых идеалов кольца DN. Тогда существует k такое, что N не делит 13Л.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим образующую простого идеала Pk П Z в Z через pk. Таким образом pfcZ = Pfc П Z. Далее, из того что Pfc | aDN следует, что Pfc D aDN, а потому

PfcZ = Pk П Z D aDn П Z D aZ,

т.е. pfc j a. Поскольку (a,N) = 1, это означает, что (pfc,N) = 1 и тем самым pfc не делит N. Тогда pfc неразветвлено в Q(ZN); следовательно, ordpka = ordpka = 1%. Таким образом,

a = ±pOrdp1 a ...pnrdpn a = ±pl1 ...рП»;

если бы все lk делились на N, то поскольку ±1 — N-я степень (N нечетно!), число a было бы N-ой степенью целого числа, что противоречит условию леммы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2. Напомним, что мы хотим доказать, что если N — нечетное число, a — целое число, взаимно простое с N, и сравнение xN = a (mod p) разрешимо для всех, кроме конечного числа, простых чисел, то число a является N-ой степенью некоторого целого числа. Переформулируем его следующим образом: если a не является N-ой степенью, то существует бесконечно много простых чисел p, для которых сравнение xN = a (mod p) неразрешимо.

Предположим, что a не равно N-ой степени в Z. Пусть aDN = P11 ... PAn —разложение на простые идеалы в Dn. Тогда мы находимся в условиях леммы З и N не делит хотя бы одно lk . Можно считать, что N не делит In

Покажем, что существует бесконечно много простых идеалов W кольца Dn, для которых сравнение xN = a (mod W) неразрешимо в Dn. Если это не так, то есть лишь конечное множество {Qi,..., Qm} простых идеалов, отличных от всех Pk и от простых идеалов, входящих в разложение N, и таких, что сравнения xN = a (mod Q)j неразрешимы (j = 1,..., m). При

помощи китайской теоремы об остатках мы можем найти такой элемент т G Dn, что т = 1 (mod Qk) при k = 1, 2 ..., m, т = І

(mod N), т = 1 (mod Pj) для j = 1, 2,..., n — 1 и т = а mod Pn, где элемент а G Dn выбран так,

что ( — ) = Сдг. Так как r = 1 (mod N), по теореме 1

Pn N

в =(') •

т N a N Таким образом, получаем с одной

стороны, что

С другой стороны, пусть (т) = Ш... — разложение т на простые идеалы. Тогда

а

'/(f)

:Y

п

J=1

R

и потому ( — ) ф 1 при некотором j, а это значит, что сравнение xN = а (mod R)j I Щ) N

неразрешимо в Dn . Но из сравнений, которым удовлетворяет т, непосредственно следует, что Rj не совпадает ни с одним из идеалов Qi,..., Qm-

Мы показали, что существует бесконечно много простых идеалов W, для которых сравнение xN = a (mod W) неразрешимо. Пусть wZ = W П Z. Тогда xN = a (mod w) неразрешимо и таких w существует бесконечно много, поскольку каждое рациональное простое число содержится лишь в конечном числе простых идеалов кольца DN. Этим завершается доказательство теоремы 2.

Summary

S. V. Vostokov, K. Yu. Orlova. А generalization and an application of the Eisenstein reciprocity

law.

А generalization of the Eisenstein reciprocity law is proved. Using it, a short prove of the following fact is obtained: if N is even and if for almost all prime p an integer is the N-th power modulo p, then this integer is the N-th power of an integer.

Литература

1. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. Bd 1: Zahlentheorie XIV. 5395. Berlin: Springer Ver- lag, 1935.

2. Gauss K. F. Untersuchungen ueber hoehere Arithmetik Chelseu publishing company. Bronx; New York, 1889.

3. Eisenstein G. Gesammelte Werke. Springer Verlag, 1975.

4. Fesenko I., Vostokov S. Local Fields and Their Extensions. Providence; R.I.: AMS, 2002.

5. Востоков С. В. Явная форма закона взаимности. Изв АН СССР. Сер. матем., 1978. Т. 42. №6. С. 1288-1321.

6. Ивасава К. Локальная теория полей классов / Пер. с япон. М.: Мир, 1983. 184 с.

7. Flanders H. Generalization of a theorem of Ankeny and Rogers // Ann. Math., 1953. Vol. 57. P. 392-400.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.