Полугруппы вычетов с циклическими группами обратимых элементов, допускающие планарные графы Кэли Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 57-62.

УДК 512.532.3

Л.М. Мартынов, Д.В. Соломатин

ПОЛУГРУППЫ ВЫЧЕТОВ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ГРУППАМИ ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ,

ДОПУСКАЮЩИЕ ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ КЭЛИ

Доказано, что мультипликативная полугруппа 2п вычетов по любому модулю п с циклической группой обратимых элементов порождается не более чем тремя элементами. Найдены все числа п > 1, для которых такая полугруппа 2п порождается двумя или тремя элементами соответственно. С использованием этих результатов охарактеризованы рассматриваемые полугруппы вычетов с планарными графами Кэли.

Ключевые слова: вычет, мультипликативная полугруппа вычетов, порождающее множество полугруппы, граф Кэли полугруппы, планарный граф.

В работе [1] анонсирован результат, в котором охарактеризованы мультипликативные полугруппы Zn колец вычетов целых чисел по всем модулям n с планарными гиперграфами Кэли. Любая такая полугруппа Zn при n > 1 (это условие предполагается выполнимым в дальнейшем всегда) имеет в классе коммутативных полугрупп с нулем и единицей копред-ставление вида

Zn = < a, b | a1 = 0, bk = 1, a • b = a > (*) для некоторых натуральных чисел l и к. Однако в явном виде не указано, для каких n условие (*) выполнено. Кроме того, в работе [1] высказана гипотеза: граф Кэли мультипликативной полугруппы вычетов Zn планарен тогда и только тогда, когда n < 9 или n - простое число, но никаких результатов по ее изучению не приводится. Эти обстоятельства подтолкнули авторов к дальнейшему исследованию свойства планарности графов Кэли полугрупп вычетов и изучению сопутствующей задачи нахождения порождающих элементов таких полугрупп. Учитывая известный результат К.Ф. Гаусса (1801), который по существу описывает модули n, для которых группа Zn1 обратимых элементов полугруппы Zn является циклической, естественно стартовать именно с этого важного случая.

Пусть Zn - мультипликативная полугруппа вычетов по модулю n с циклической группой Zn'1 обратимых элементов. Рангом полугруппы Zn назовем число элементов любого ее минимального (по мощности) порождающего множества. В настоящей работе доказано, что ранг Zn для любого n не превосходит числа 3. Найдены все n, для которых полугруппа Zn имеет ранг 2, - это числа 2, 4 и pm; а также все n, для которых полугруппа Zn имеет ранг 3, - это числа вида n = 2pm (в обоих случаях m > 1, p - простое нечетное число). Для полугрупп Zn ранга 2 указаны те n, при которых Zn имеет копредставление вида (*) - это число 4, или n - простое число. Это позволяет, в частности, сформулировать основной результат работы [1] в более изящном виде. С использованием этих результатов охарактеризованы полугруппы Zn с планарными графами Кэли: это в точности те Zn, для которых либо n = 4, либо n = 6, либо n - простое число. В частности, для полугрупп вычетов с рассматриваемым свойством подтверждена сформулированная выше гипотеза о планарности графов Кэли полугрупп вычетов.

1. Основные определения и обозначения

Напомним, что вычетом целого числа а по модулю n называется остаток от деления а на n и обозначается через a mod n. Мультипликативная

© Л.М. Мартынов, Д.В. Соломатин, 2012

полугруппа Тп вычетов по модулю п - это множество Тп = {0, 1, ..., п-1} всех вычетов по модулю п с операцией умножения а ■ Ь = аЬ шоіі п, где через аЬ - обозначается произведение целых чисел а и Ь в кольце Z целых чисел. В частности, а ■ Ь = аЬ, если аЬ < п. Определение используемых здесь понятий теории полугрупп можно найти в работе [2], теории чисел - в [3], а теории графов - в [4].

Заметим, что полугруппа Тп является дизъюнктным объединением идеала Тп0 всех необратимых в Тп элементов и группы Тп-1 всех обратимых в Тп элементов, т. е. Тп = Тп0 и Тпл (на самом деле Тп является коммутативной связкой идеала Тп0 и группы Тп'1).

Напомним, что группа Тп'1 состоит из всех чисел полугруппы Тп, взаимно простых с числом п, и поэтому ее порядок | Тп_1| равен ф(п), где ф - функция Эйлера. В то же время идеал Тп0 состоит из всех чисел полугруппы Тп, не взаимно простых с числом п, и |Тп0 | = п - ф(п).

Заметим, что, поскольку при любом п имеет место Тп0 Ф Тп1, ранг полугруппы Тп не меньше 2. Ясно, что если полугруппа Тп порождается двумя элементами, то один из них принадлежит идеалу Тп0, а другой - группе Тп1 .

Условимся считать, что запись Тп = <а, Ь> означает: полугруппа Тп порождается элементами а и Ь, и при этом а є Тп0, а Ь є Тп_1. Договоримся для элемента а из ^ вместо записи а? шоіі п писать просто ав (т. е. не делать различия в обозначении степени целого числа а в полугруппе Тп и кольце Z). Понятно, что любой элемент из Тп = <а, Ь> представим в виде ав ■ Ь для некоторых неотрицательных целых чисел в и Ь

Плоским графом называется обыкновенный граф (т. е. неориентированный, без петель и кратных ребер), вершины которого являются точками плоскости, а ребра - непрерывными плоскими линиями без самопересечений, соединяющими вершины так, что никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины. Любой граф, изоморфный плоскому графу, называется планарнъш.

Для обоснования планарности обыкновенного графа используются различные критерии. Наиболее распространен критерий Понтрягина - Куратовского: граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному пятиэлементному графу К или полному двудольному графу К3,3, содержащему по три вершины в каждой из долей. Напомним, что два обыкновенных графа называются гомеоморфнъши, если оба они могут быть получены из одного и того же графа подразбиением его ребер.

Графом Кэли полугруппы 3 относительно её порождающего множества X называют ориентированный мультиграф Сау(Б, X) с помеченными дугами, состоящий из мно-

жества вершин 3 и множества помеченных дуг - всевозможных троек (а, х, Ь), где

а, Ьє Б, х є X и а ■ х = Ь.

Основой помеченного ориентированного мультиграфа мы называем обыкновенный граф, полученный из данного графа удалением меток, петель и заменой всех дуг, соединяющих две вершины одним ребром, соединяющим эти вершины. Ориентированный же мультиграф естественно назвать планарным, если его основа является планарным графом.

Будем говорить, что полугруппа Б допускает планарный граф Кэли, если относительно некоторого её минимального (по мощности) порождающего множества X, основа графа Кэли Сау(Б, X) является планарным графом.

Наконец, условимся, что символ □ обозначает окончание доказательства соответствующего утверждения.

2. Порождающие элементы полугрупп вычетов с циклическими группами обратимых элементов

Напомним в удобной для нас формулировке используемое ниже общеизвестное утверждение:

Теорема (Гаусс, 1801). Мультипликативная группа кольца вычетов Тп является циклической в том и только в том случае, когда п - одно из чисел 2, 4, рт или 2рт , где т > 1, р - простое нечетное число.

Лемма 1. Если Тп = <а, Ь>, то Тп-1 - циклическая группа, Ь - порождающий элемент группы Тп-1, а - нильэлемент идеала Тп0, и поэтому Тп0 - нильидеал.

Доказательство. В самом деле, если Тп-1 не является циклической, то полугруппа Тп не может быть порождена 2 элементами. Следовательно, Тп'1 - циклическая группа и Ь - порождающий элемент группы Тп'1. В тоже время если предположить, что элемент а идеала Тп0 не является нильэлементом, то произведение ав ■ Ь отлично от нуля для любых неотрицательных целых чисел в и Ї, и поэтому множество {а, Ь} не является порождающим для полугруппы Тп, что противоречиво.

Таким образом, а - нильэлемент. Учитывая, что любой элемент из ^0 представим в виде ав ■ Ь1, где в > 0, и потому является нильэлементом (если ак = 0, то (ав ■ Ь1)к = = (а к)в ■ Ьк 1 = 0), заключаем, что Тп° - нильидеал. □

В связи с леммой 1 важно знать описание полугрупп Тп, в которых нет ненулевых нильэлементов, в то же время тех полугрупп Тп, в которых все необратимые элементы являются нильэлементами. Будем говорить, что п свободно от квадратов, если п не делится на квадрат простого числа.

Лемма 2. Полугруппа Тп не имеет ненулевых нильэлементов тогда и только тогда, когда число п свободно от квадратов.

Доказательство. Пусть полугруппа Zn не имеет ненулевых нильэлементов, и предположим, что n = pks для некоторого k >1. Тогда (ps)k = 0 в Zn , следовательно, ps - ненулевой нильэлемент, что противоречиво.

Наоборот, пусть n - свободно от квадратов и а - ненулевой элемент из Zn. Если предположить, что а - нильэлемент, то ясно, что a є Zn0. Тогда a представим в виде a = p1p2. psq, где p1 p^.. ps - попарно различные простые числа, входящие в разложение n, q - число, взаимно простое с n. Пусть n = p1p2... ps ps+1ps+2. pt. Учитывая, что ak = 0 для некоторого k > 1, в кольце Z имеем сравнение p1kp2k. pskqk = 0 (mod n), поделив обе части которого и модуль на число p1p2. ps, получим противоречивое сравнение p1k-1p2k-1. psk-1qk =

0 (mod ps+1ps+2. pt), поскольку в левой части ни одно из чисел не делится, например, на простое число ps+1. Таким образом, полугруппа Zn не имеет ненулевых нильэлементов. □

Непосредственно из леммы 2 вытекает следствие 1.

Следствие 1. Полугруппа Zn имеет, по крайней мере, один ненулевой нильэлемент тогда и только тогда, когда n делится на квадрат некоторого простого числа.

Лемма 3. Идеал Zn0 является нильидеа-лом тогда и только тогда, когда n = pm, где m > 1, p - простое число.

Доказательство. Пусть идеал Zn0 является нильидеалом, и предположим, что число n имеет, по крайней мере, два различных простых делителя p, q и n = pkqls, где k, l > 1, а s взаимно просто с числами p и q. Покажем, что число q из Zn0 (впрочем, как и p, поскольку p и q равноправны) не является нильэлементом в Zn0. Пусть, напротив, qt = 0 (mod pkqls) для некоторого t > 1. Отсюда при t > l и при t < l получаем противоречивые сравнения qt- = 0 (mod pks) и

1 = 0 (mod pkql-t s). Таким образом, в разложение числа n может входить только одно простое число, т. е. n имеет вид n = pm, где m > 1, p - простое число.

Обратно, пусть n = pm, где m > 1, p -простое число. Если m = 1, то кольцо Zp является полем, и поэтому идеал Zn0 = {0} является нильидеалом. Пусть m > 1. Тогда любой ненулевой элемент а из Zn0 имеет вид а = pt для некоторого t < pm-1. Понятно, что am = 0 в Zn. Итак, в обоих случаях Zn0 - нильидеал. □

Следствие 2. Идеал Zn0 не является нильидеалом тогда и только тогда, когда в разложение n входит, по крайней мере, два простых числа.

Теорема 1. Ранг полугруппы Zn равен 2 тогда и только тогда, когда n совпадает с одним из чисел 2, 4, pm, где m > 1, p - простое нечетное число.

Доказательство. Пусть Zn = <a, b>. Тогда по лемме 1 имеем: Zn0 - нильидеал, а Zn'1 -циклическая группа. Из теоремы Гаусса и

леммы З получаем, что только числа 2, 4, pm, где m > 1, p - простое нечетное число, удовлетворяют одновременно этим утверждениям.

Обратно, пусть n одно из чисел 2, 4, pm, где m > 1, p - простое нечетное число. Из леммы З и теоремы Гаусса и следует, что Zn0

- нильидеал, а Zn'1 - циклическая группа.

Имеем Z2 = <0, 1> и Z4 = <2, З>, т. е. полугруппы Z и Z4 порождаются двумя элементами.

Пусть n = pm, где m > 1, p - простое нечетное число. Если m = 1, то Zp = <0, b>, где b - порождающий элемент группы Zp'1.

Пусть m > 1. Утверждается, что в этом случае Zn = <p, b>, где b - порождающий элемент группы Zn'1. Действительно, идеал Zn0 в этом случае состоит из чисел вида psl , где s < m, а l взаимно просто с p, т. е. они получаются как произведение некоторой степени числа pє Zn0 на число l є Zn'1. Поскольку l = bl для некоторого t < ф^™) = pm -

- pm-1, то любой элемент из Zn представим в виде psbt для некоторых s < m и t < фф™) = pm - pm-1.

Таким образом, в каждом из случаев полугруппа Zn является 2-порожденной. С

Теорема 2. Полугруппа Zn имеет в классе коммутативных полугрупп c нулем

0 и единицей 1 копредставление вида

Zn = <a, b I a1 = 0, bk = 1, a • b = a> (*) для некоторых натуральных чисел l и k тогда и только тогда, когда n = 4 или n - простое число.

Доказательство. Необходимость.

Предположим, что для полугруппы Zn выполнено условие (*). По теореме 1 число n может быть одним из чисел n = 2, 4, pm, где m > 1, p - простое нечетное число. Предположим, что n = pm, где m > 1 и p - простое нечетное число, и получим противоречие двумя способами, используя соответственно группу Zn'1 и полугруппу Zn0.

1-й способ. По лемме 1 имеем, что b -порождающий элемент циклической группы Zn'1, и поэтому наименьшее число k со свойством bk = 1, с одной стороны, должно быть равным порядку циклической группы Zn'1, т. е. ф^™) = k = pm - pm-1.

Покажем, что, с другой стороны, порядок элемента b в группе обязан быть меньше, чем pm - pm-1, т. е. элемент b в этом случае не может быть порождающим группы Zn'1. Действительно, идеал Zn0 в этом случае состоит из чисел вида pst, где s < m, а t взаимно просто с p. Предположим, что a = pst для некоторых 0 < s < m, t взаимно просто с p. Учитывая, что в кольце Zn имеет место равенство a b = a, в кольце Z целых чисел имеем сравнение

pstb = pst (mod pm). (1)

Поделив обе части сравнения на t (это можно сделать, так как число t взаимно просто с модулем pm), а также обе части сравнения и модуль на число p3, получим сравнение b = 1 (mod pm-s).

Таким образом, сравнение (1) имеет ps решений:

1, pm-s + 1, 2pm-s + 1, ..., kpm-s + 1,. , ( ps-1)pm-s + 1. (2)

Покажем, что ни одно из указанных чисел не является порождающим элементом циклической группы Zn 1. Что касается числа 1, то это очевидно.

Пусть b = kpm-s + 1, где к > 0 . Возводя число kpm-s + 1 в степень p в кольце Z целых чисел по формуле бинома Ньютона и учитывая, что число сочетаний Cpk при 0 < к < p делится на p, увидим, что полученное число представимо в виде k1pm-s+1 + 1. Затем это число возведем в степень p и увидим, что полученное число представимо в виде k2pm-s+2 + 1 и т. д. Через s шагов получим,

что число (kpm-s +1)p имеет вид kspm + 1 для некоторого натурального числа ks. Это означает, что bp = 1 в группе Zn'1.

Поскольку ps< pm-1(p - 1), элемент b не является порождающим элементом циклической группы Zn'1. Таким образом, ни одно из чисел системы (2) не является порождающим элементом циклической группы Zn'1. Полученное противоречие показывает, что в случае n = pm, где m > 1 и p - простое нечетное число, требуемого копредставления (*) не существует. Следовательно, должно выполняться условие n = 4 или n - простое число.

2-й способ. Из равенства a • b = а получаем, что as • bt = as для любых натуральных чисел s и t. Но это означает, что полугруппа Zn0 является циклической и состоит из степеней элемента a. Поскольку элемент a имеет вид a = pt для некоторого t < pm-1, am mod pm =(pt)m mod pm = = pmtm mod pm = 0, то Zn0 содержит не более m различных элементов, т. е . | Zn01 < m. В то же время | Zn01 = = pm - ( pm - pm-1) = pm-1. Нетрудно показать, что при любом m > 1 и нечетном простом p имеет место строгое неравенство pm-1 > m.

Полученное противоречие показывает, что в случае n = pm, где m > 1 и p - простое нечетное число, требуемого копредставления не существует. Следовательно, должно выполняться условие n = 4 или n - простое число.

Достаточность. Пусть n = 4 или n = p -простое число. Тогда ясно, что

Z4 = < 2, 3 | 22 = 0, 32 = 1, 2 • 3 = 2 > и Zp = <0, b | 01 = 0, bp-1 = 1, 0 • b = 0 >, где b - любой порождающий элемент циклической группы Zp'1, требуемые копредставления полугрупп Z4 и Zp. □

Предложение 1. Ранг полугруппы Zn с циклической группой Zn-1 равен 3 только тогда, когда n= 2 pm, где m > 1, p - простое нечетное число.

Доказательство. Пусть группа Zn'1 полугруппы Zn является циклической.

Если ранг полугруппы Zn равен 3, то из теоремы Гаусса и теоремы 1 следует, что n= 2pm, где m > 1, p - простое нечетное число.

Обратно, пусть n= 2pm, где m > 1, p -простое нечетное число. По теореме 1 ранг

полугруппы Zn больше двух. Докажем, что Zn = <2, р, с >, где с - порождающий элемент группы Zn'1. Действительно, легко видеть, что zn = {0, 2, 4, ..., р, 2р,..., р2,..., 2вр^,... }, где 2вр^ < 2рт, в > 0, t > 0, а число q либо равно 0, либо не делится ни на 2, ни на р. Отсюда легко получаем, что любой элемент из Z^ представим в виде 2Э-pt■ q, где в, t -неотрицательные целые числа, а q е Zn^1. Поскольку элемент q является степенью элемента с, отсюда следует требуемое равенство Zn = <2, р, с >. □

Из теоремы Гаусса, теоремы 1 и предложения 1 вытекает следствие 3.

Следствие 3. Ранг полугруппы ^ с циклической группой Zn~1 либо равен 2 и при этом п есть одно из чисел 2, 4, рт, либо равен 3 и при этом п= 2рт (в обоих случаях т > 1, р - простое нечетное число).

Поскольку в дальнейшем мы будем интересоваться плоской укладкой основы графа Кэли, которая, вообще говоря, зависит от системы порождающих, укажем необходимое условие того, чтобы множество {а, Ь, с} было порождающим для полугруппы Zn при п= 2рт, где т > 1, р - простое нечетное число.

Предложение 2. Если трехэлементное подмножество М полугруппы Z^ при п = 2рт, где т > 1, р - простое нечетное число, явля~ ется порождающим для Zn, то среди его элементов найдутся:

1) четное число а, взаимно простое с р;

2) нечетное число Ь, кратное р;

3) порождающий элемент с цикличе~ ской группы Zn~1.

Доказательство. Очевидно, что множество М содержит некоторый порождающий элемент с циклической группы Zi1. Любые два других элемента, пусть это будут а и

Ь, обязаны принадлежать идеалу ^, который состоит из чисел меньших 2рт, каждое из которых делится либо на 2, либо на р.

Если бы оказалось, что оба числа а и Ь четные, то в этом случае р нельзя было представить в виде произведения аг ■ Ь ■ С в полугруппе Zn ни для каких неотрицательных целых чисел г, в, 1 Действительно, числа г и в одновременно не могут быть равны нулю, и поэтому целое число аг Ь С является четным. Но четное целое число не может быть сравнимо с нечетным числом р по четному модулю п= 2рт, и, следовательно, р £ <а, Ь, с > = Zn , что противоречиво.

Аналогично показывается, что оба числа а и Ь не могут делиться на р, ибо в противном случае 2 £ <а, Ь, с > = ^ : противоречие.

Таким образом, одно из чисел должно быть четным, не делящимся на р, пусть это будет а, а другое - нечетное, делящееся на р, пусть это будет Ь. □

3. Полугруппы вычетов с циклическими группами обратимых элементов, допускающие планарные графы Кэли. Применим результаты п. 2 для исследования задачи описания мультипликативных

полугрупп вычетов со свойством планарности их графов Кэли. Прежде всего, учитывая теорему 2, основной результат работы

[1] может быть сформулирован следующим образом: гиперграф Кэли мультипликативной полугруппы Тп вычетов по модулю п планарен тогда и только тогда, когда п = 4 или п - простое число.

Основным результатом этого параграфа является теорема 3.

Теорема 3. Граф Кэли мультипликативной полугруппы вычетов Тт с циклической группой Тт-1 планарен тогда и только тогда, когда п = 4 или п = 6, или п - простое число.

Доказательство. Достаточность.

Пусть п = 4 или п = 6, или п = р - простое число. Тогда легко видеть (см. рис. 1), что основы графов Сау(Т4, {2, 3}),

Сау(Т6, {2, 3, 5}) и Сау(Тр, {0, Ь}), где Ь - образующий циклической группы ТР"1, допускают плоские укладки.

Необходимость. Пусть полугруппа Тп с циклической группой Тт1 допускает планарный граф Кэли Сау(Тп, X) (напомним, что число |Х| равно рангу полугруппы Тч). Тогда в силу следствия 3 ранг г полугруппы Тп равен 2 или 3. Рассмотрим возможные случаи.

1. Пусть г = 2 и Тп = <а, Ь>. Предположим, что п Ф 4 и п не является простым числом. Тогда по теореме 1 п = рт, где т > 1, р - простое нечетное число.

Рис. 1. Графы Cay(Z4, {2, 3}), Cay(7s, {2, 3, б}) и Cay(Zp, {о, b})

Приступим к построению предполагаемой плоской укладки (см. рис. 2а). По

внешнему циклу расположим вершины вида Ъ5, соответствующие элементам группы Тг1; очевидно, что их число равно числу | Тп-11. Ребра, образованные умножением этих вершин на порождающий элемент а, направим внутрь, соединяя всевозможные Ъ с соответствующими вершинами вида аЪ5. Число таких ребер оказывается не больше числа |ТП°\{0}|. Кроме того, они тоже соединены циклом между собой. Убедимся в том, что вершин внешнего цикла оказывается как минимум на 4 больше, чем вершин внутреннего, что собственно и приведёт к появлению запрещенной конфигурации. Имеем | ТП-11 = ф(рт) = рт - рт-1 =

= рт-1(р - 1) > 6, |ТП°| = рт-1 > 3 и |Тn~1| -

- |ТП°\{0}| = (рт - рт-1) - ( рт-1 - 1) = (р - 2) х х рт-1 +1 > 4. При меньшем вычитаемом разность лишь увеличивается, что и требовалось показать.

б

Рис. 2. Фрагмент графа Cay(Z^ ;{a,b}) и его «запрещенный» подграф, где X < n - ф(п)

Покажем, как можно найти число X (рис. 2). Возьмем в качестве X наименьшее Ф 1 натуральное решение сравнения bx-1 = 1 (mod pm-1), которое всегда разрешимо относительно x ввиду взаимной простоты чисел b, pm-1 и теоремы Эйлера. Более того, число X-1 по свойству показателей делит число ф(рт-1) = pm-1 - pm-2. Напомним, что a е Тп°, и поэтому a= kp для некоторого k < pm-1. Умножая обе части сравнения

b -1= 1 (mod pm-1) и модуль на р, а затем обе части полученного сравнения на к, имеем сравнение abX-1 = a (mod pm), из которого вытекает сравнение abx = ab (mod pm). Таким образом, в полугруппе Zn имеют место равенства a ■ bX-1 = a и a ■ bx = ab, что обеспечивает корректность сплошных стрелок от bX-1 к a и от bx к ab .

Учитывая очевидное неравенство a ■ b Ф 0, а также a Ф a ■ b, которое имеет место в силу теоремы 2, заключаем, что изображенный на рис. 2а граф Cay(Zn, {a, b}) содержит изображенный на рис. 2б подграф, основа которого гомеоморфна графу K3,3.

В силу критерия Понтрягина - Кура-товского граф Cay(Zn, {a, b}) не является планарным, что противоречиво. Таким образом, n = 4 и n - простое число.

2. Пусть r = 3 и Zn = <a, b, с>. Предположим, что n Ф 6. Тогда в силу предложения 1 должно быть n = 2pm, где m > 1, р - простое нечетное число, причем если m = 1, то p > 5. Имеем Z2pm =<a, b, c >, где в силу предложения 2 можно считать, что число a имеет вид a = 2 k и к не делится на p, число b имеет вид b = pl и l не делится на 2 и

< c > = Z-lm . Тогда при 2pm > 6 граф Cay(Z2pm ;{a,b,c}) содержит подграф, изображенный на рис. 3.

\''*abr=0/a \с X + ж X. * J£a '/асъ

Y /

ж *

ж / ^ X. с с Ж * X.V \ vf с2Ь

і

ус

Рис. 3. Фрагмент графа Cay(Z2pm ;{a,b,c}), основа которого гомеоморфна Кз,з

Покажем, что a Ф a ■ с в полугруппе Z2pm .

Действительно, если бы a = ac (mod 2pm), то

2k = 2kc (mod 2pm), т. е. к = kc (mod pm), где к не делится на p, следовательно,

1 = c (mod pm), что противоречит выбору с. Далее докажем, что a ■ с Ф a ■ с2 в полугруппе Z2pm . Действительно, если бы a ■ с = a ■ с2, то

в силу обратимости элемента с получили бы равенство a = a ■ с, противоречащее доказанному выше неравенству a Ф a ■ с. Аналогично показываем, что a ■ с2 Ф a ■ с3 и a ■ с Ф a ■ с3 в полугруппе Z2pm .

В заключение убедимся, что существует последовательность ребер, соединяющих вершину a с вершиной с2, изображенных на рис. 3. Так как b делится на p, то, умножая

элемент a на b достаточное количество раз, получим О. В то же время, умножая c2 на b достаточное количество раз, получим вершину c2 • bm, которая, в свою очередь, соединяется с О ребром, помеченным элементом a, в силу равенства a • bm = 2k • (pl)m = 0 в Z2pm .

Следовательно, и в этом случае в силу критерия Понтрягина - Куратовского граф Cay(Z2pm ;{a,b,с}) не является планарным,

что противоречиво. Таким образом, n = б. С

Обратим внимание на то, что полугруппа Zs имеет ранг З и основа ее графа Кэли Cay(Zs, {2, З, 5}) допускает плоскую укладку (рис. 4).

Вместе с теоремой 3 это означает, что сформулированная в начале статьи гипотеза подтверждена для полугрупп вычетов с циклической группой обратимых элементов и для полугруппы Zs. Желательное подтверждение её в общем случае делает весьма актуальной следующую задачу: для фиксированного r > 3 найти все натуральные числа n, для которых мультипликативная полугруппа Zn имеет ранг r .

В заключение заметим, что мультипликативные полугруппы колец вычетов целых чисел привлекали внимание исследователей. Например, в статье [5] изучался вопрос о вложении коммутативных конечных полугрупп в такие полугруппы, а в работе [6] -полухарактеры мультипликативных полугрупп колец вычетов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Соломатин Д. В. Мультипликативные полугруппы колец вычетов с планарными гиперграфами Кэли : тез. докл. Междунар. конф. по теории колец, посвящ. 90-летию со дня рождения А. И. Ширшова (14-18 июля 2011 г.). Новосибирск, 2011. URL: http://math.nsc.ru/ LBRT/a1/pavelsk/abstracts.pdf.

[2] Клиффорд А., Престон Т. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М. : Мир, 1962. 287 с.

[3] Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. : Наука, 1972. 168 с.

[4] Емеличев В. А, Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М. : Наука, 1990. 384 с.

[5] Parker E. T. On multiplicative semigroups of residue classes // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. Vol. 5. P. 612-616.

[6] Hewitt E. and Zuckerman H. S. The multiplicative semigroup of integers modulo m // Pacific J. Math. 1960. Vol. 10. № 4. P. 1291-1308.

з

a

2

с