CC BY
2DOI 10.24412^-37235-2024-1-24-28
ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ КРОФТОНА В ТРЕХМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Э.Р. Арамян1
1 Российско-Армянский (Славянский) университет е1еп. агатуап@уакоо. сот
АННОТАЦИЯ
В этой статье мы рассмотрим уравнение Крофтона и найдем обобщенное выражение этого уравнения в Я3.
Ключевые слова: выпуклое тело, уравнение Крофтона, опорная функция.
Пусть K - выпуклое множество, рассмотрим пару прямых д1г дкоторые пересекают это множество:
д1 П К , д2 П К
Определим меру множества прямых, пересекающих выпуклое ограниченное фиксированное множество ^ Пусть O 6 K - начало координат, и р = р - опорная функция K относительно O. Обе части уравнения dg=dpd^ умножим на а, где а - это длина отрезка g, которая пересекает ^ gПK, а затем интегрируем по всем прямым g.
Так как о^ - элемент площади множества ^ то интеграл dp для фиксированного ^ (0 < ^ < я) будет S площадью по отношению ^ Применяя уравнение
/02п S(ф)dф = /0^(ф) + S(ф + п) ]dф = ^ (1),
получим
Применяя уравнение (2), получим:
4пк*0 ^ = 4пк*0 ^ф = Г Р^Ф =L (3)
где L это периметр ^
Следовательно, мера множества прямых, пересекающих выпуклое множество К, равна периметру этого множества.
Случайная прямая, переская выпуклое множество ^ образует хорду, из (2) и (3) можно предположить, что средняя длина этой хорды равна
E(ст) = -^/1 (4)
где S - это площадь, а L - периметр множества ^ Рассмотрим следующее уравнение:
d,g,1d,g,2= |sin( а2— a1)|dPda1da2 (5),
где ёа1, ёа.2 - плотность прямых в точке Р.
Сначала посчитаем двойной интеграл для всех пар прямых, которые пересекают выпуклое ограниченное множество.
Согласно (3), левая сторона уравнения равна I2, где L - периметр множества ^ Правая сторона сначала интегрируем по всем точкам, которые пренад-лежат ^ PG ^ а затем по точкам, которые лежат вне ^
// ¿^¿5^= /// |sin( а2 — а^йРйа^й^ =
=Я/Р№ Ип( а2- аОМРйа^аъ = Я/Р№ Ип( «2- аОИРйа^аъ (6)
При PG K, будем иметь
1
|sin( а2— а1)|dPdа1dа2 =
PGK
= /Р<Е^Р /0 /0TT|sin( а2- аl)|dаldа2 = 2^ (7).
Для точек, которые находятся вне к, через а и ^ обозначим те углы, которые образовались с координатом OX прямыми, касательными к К и проведенными из Р.
«2- «ОИ«!^^ = /э^р/3/^тС а2-=
= /Ре^Р /^ dаl[/all sin( а2- аl)dа2 + /£= sin( а2- аl)dа2 ] = (8) Р
= I dP I [ 2 — cos( а1- а) — соз(^ — а1)]dа1 = ■'рек ■'а
= [2(£ — а) — sin(^ - а)] I
Jр(
= 2/Рек(ш —
dP 'рек
где ш = р —а это угол образованный с прямыми, проведенными из Р к касательными ^
Из этого следует лемма.
Лемма: Для любого выпуклого ограниченного множества К и для любой случайной пары прямых, которые пересекают это множество, имеет место следующее равенство:
где S - площадь ^ L периметр ^ P - это точка пересечения прямых, а ш угол, образованный этими прямыми.
Формула Крофтона в Я3
Пусть В - выпуклое ограниченное множество в Р3, множество плоскостей, пересекающих В. Рассмотрим вероятностную меру ?! в В со следующим элементом:
Выбор такого коэффициента обеспечивает Р]^] =1.
В р^р] произведении множеств рассмотрим вероятностную меру, которая определяется как следующее произведение Р1ДР1 и поставим такую задачу.
Задача:
Пусть в произведении множеств р^р] выбрана пара плоскостей (е;, в2), найти вероятность р;, если случайная прямая у = е;П будет пересекать множество B.
Решение поставленной задачи:
По определению, искомая вероятность р; равна
М-1 /[3]^,
где М это интеграл Минковского.
Мы использовали тот факт, что при у G [В], 1[В](е1) = 1[В](е2) = 1. Для е1, е2 пар плоскостей, для которых определена прямая у = е1 П е2, рассмотрим следующие координаты:
У,<Pl,<P2,
где ^ I = 1,2, угол вращения е^ плоскости вокруг оси у. Уже увидели, что
de1de2 = — ^2)| dyd^1d^2.
Итегрируем обе части уравнения по множеству р]
I I = 11 Шп(<р1 —
* ■'[в] X [В] Ш
С одной стороны,
1=М-2//[В] X [В]^1^2.
Следовательно,
1 = М-2 1 ^^ — ^2)1 ^1^2 = = м-2 [Я/у(Е[в]^т(<Р1 — ^2)| + Я/уе[в]^т(^1 — ^2)| ]=
= М-2 I ¿у Ц^т(<Р1 — <Р2)1 ^^1^^2+1 ¿У М^т(<Р1 — <¿^1^2 Первый интеграл равен:
I ¿у||^т(<Р1 — ¿<М<?2 =
Г Гп Гп
= I ^у I I sin|^1 — ^2| = X — =
■^[в] о ^о 2
I ^У М — ^2)| = I (^ — sinw) dy,
^уе[в] ^уе[в]
где S это площадь поверхности тела В. Второй интеграл равен
I ^У М —^2)| = I (^ — sinw) dy
^уе[в] ^ ^уе[в]
Лемма: Для любого выпуклого ограниченного множества B и для любой случайной пары прямых, которые пересекают это множество B, в R3, имеет место следующее равенство:
Д[В](Ш - = М2 - ,
где S - это площадь поверхности тела B, M - интеграл Минковского, у - прямая пересечения плоскостей, ш - это угол, образованный плоскостями.
ЛИТЕРАТУРА
1 Ambartzumian R. Combinatorial integral geometry, metric and zonoids. Acta Appl. Math. 1987, vol. 9, 3-27.
2. Santalo L. Integral Geometry and Geometric Probability, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
3. Gardner R. Geometric tomography, Second ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
4. Goodey P., Weil W. Zonoids and generalizations. In Handbook of convex geometry, ed. by P. M. Gruber and J. M. Wills, North Holland, Amsterdam, (1993), PP. 1297-326.
5. Aramyan R., Yeranyan D. Chord length distribution and the distance between two random points in a convex body in Rn // The General Letters in Mathematics, vol.9, issue.2, 2020.
GENERALIZATION OF CROFTON'S FORMULA IN THREE-DIMENSIONAL SPACE
E. Aramyan
Russian-Armenian (Slavonic) University
ABSTRACT
In this article we will consider Crofton's equation and find a generalized expression for this equation in ft3.
Keywords: convex body, Crofton's equation, support function.
