ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ ХОРД ПО НАПРАВЛЕНИЯМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Б01 10.24412/с1-37235-2024-1-16-23

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ ХОРД ПО НАПРАВЛЕНИЯМ

Р.Г. Арамян, Л.А. Апинян

Российско-Армянский (Славянский) университет apinlev00@gmail. сот, [email protected]

АННОТАЦИЯ

Задача нахождения информации или полного восстановления выпуклых тел по распределениям характеристик к-мерных сечений - одна из основных задач стохастической томографии. Данная статья посвящена восстановлению эллипса на плоскости через распределения случайных хорд по направлениям. Предлагается алгоритм восстановления.

Ключевые слова: эллипс, выпуклость, функция распределения, опорная функция, восстановление эллипса.

1. Введение

Геометрические характеристики выпуклого тела К, инвариантные относительно Евклидовых движений, могут быть вычислены статистическими методами. Решение таких задач выходит далеко за рамки теоретического интереса.

Эта область была значительно развита в течение последних десятилетий, когда требовалось все большее количество реальных приложений. В частности, восстановление выпуклого тела по его случайным сечениям является центральной задачей стохастической томографии.

Восстановление выпуклых тел (компактных множеств) является главной задачей геометрической томографии. Геометрическая томография - это математическая область, которая фокусируется на проблемах восстановления однородных (часто выпуклых) объектов из томографических данных (это могут быть рентгеновские лучи, проекции, сечения, функции яркости или коварио-граммы). По словам Ричарда Гарднера, «Геометрическая томография посвящена поиску информации о геометрическом объекте из данных о его проекциях (тенях) на плоскостях или сечениях плоскостями». Геометрическая томография в рамках математики в основном связана с выпуклой геометрией,

интегральной геометрией, геометрией Минковского, функциональным анализом и комбинаторикой, а также вне математики, с компьютерной томографией, медицинской томографией, дискретной томографией, электронной микроскопией, компьютерным зрением и распознаванием образов.

Стохастическая томография посвящена поиску информации о геометрическом объекте из случайных данных о его проекциях (тенях) на плоскостях или распределения случайных сечений к-мерными плоскостями.

Постановка задачи

Задача состоит в восстановлении эллипса с помощью функции распределения длин хорд по направлениям. В данной статье мы определим несколько геометрических понятий и рассмотрим возможность восстановления эллипса с помощью функции распределения длин хорд по направлению.

Проблему восстановления выпуклых тел по распределению длин случайных хорд впервые рассмотрел Вильгельм Бляшке [1]. Пусть задана выпуклая фигура. Случайная прямая (с инвариантной мерой), пересекающая фигуру, задает случайную хорду х(^). В. Бляшке поставил задачу: определяется ли выпуклое тело по распределению длины случайных хорд с точностью до параллельных переносов и отражений? Позже Колин Л. Маллоус и Джон Морис Кларк опровергли вышесказанное [2], построив два неконгруэнтных 12-уголь-ника с одинаковыми распределениями длин хорд.

После была поставлена вторая гипотеза: восстанавливается ли выпуклая фигура по распределению длин случайных хорд по направлению с точностью до параллельных переносов и отражений? Также эту проблему рассматривал Жорж Матерон. В 1975г. он ввел понятие «ковариограммы», показал связь между ней и функцией распределения длины случайной хорды по направлению [6], а в 1986г. предложил гипотезу [4]: ковариограмма однозначно определяет выпуклое тело в Мп, с точностью до параллельных переносов и отражений. В 1993г. Вернер Нагель доказал эту гипотезу для всех выпуклых многоугольников [3]. Матерон также предложил положительный ответ при п = 2, который был доказан в 2007г. Аверковым и Г. Бьянки [4]. Габриэль Бьянки построил контрпримеры в Мп для каждого п> 4 и показал, что задача ковариограммы в общей постановке имеет отрицательный ответ [5]. Для п = 3 проблема пока не решена. Но, несмотря на то, что задача имеет положительный ответ при п = 2, алгоритм восстановления выпуклых фигур с помощью распределения длин хорд по направлению до сих пор остается открытым.

Цель данной статьи - найти какие-то характеристики эллипса от его рас-

пределений хорд и выяснить способ восстановления эллипса через его распределения длин хорд по направлениям.

2. Предварительные понятия

2.1.Координаты прямой на плоскости

Пространство прямых на плоскости R2 будем обозначать через G. Прямую g EG параметризуем парой координат (^ ф), p > 0, 0 < ф < 2п, то есть полярными координатами основания перпендикуляра опущенного на прямую g из начала координат O. Введем в G инвариантную относительно Евклидовых движений, инвариантную меру dg = dpdф.

2.2. Распределение длины хорды по направлению

Пусть D - компактное множество в Евклидовом пространстве М2. С -пространство прямых в М2, д 6 С, (р,ф) —полярные координаты прямой д, где р > 0, <р 6 51, 51 - единичная окружность на плоскости с центром в начале координат. Прямая д пересекает множество И и образует хорду, которую обозначим х(9) (Рис. 1).

у и

ф

Рисунок 1.

Зафиксируем направление ^. Рассмотрим все прямые в этом направлении. Каждая такая прямая однозначно определяется ее пересечением с осью 0x.

Функция распределения длины хорды по направлению - это:

^(0 = Р{1х(д<р)1 < ь: х(д<р) = 9<р^о} ,

где ду имеет направление (р. 3. Основные результаты

Здесь рассмотрен эллипс на R2 и выявлена его функция распределения длин хорд по направлению, описана опорная функция и представлен способ восстановления.

3.1. Опорная функция эллипса

Опорная функция тела К - это 5ир(<р, х) = 1т.(ф), где (р есть единичный

* ек

вектор в направлении ф. Известно, что опорная функция выпуклого тела К

однозначно задает К. Пусть К эллипс с полуосями а и Ь:

2 2 X2 V2

а2 Ь2

Известно, что опорная функция эллипса имеет следующий вид:

к(ф) = ^а2соз2<р + Ь2зт2ф.

3.2. Функция распределения длин хорд для эллипса по направлению

Для эллипса К обозначим через 1 длину хорды (А, В) отсекаемой произвольной прямой g, брошенной по направлению ф, обозначим через р длину перпендикуляра, проведенного от центра эллипса до хорды 1. Найдем функцию распределения длины хорды К по направлению ф, то есть ^ (Ь).

LV

Из определения функции распределения имеем:

К<р) - р

Fcp(t) =

h((p)

Чтобы найти координаты А = (х1, у1) и В = (Х2, У2), рассмотрим следующую систему:

22 X2 у2

а2 Ь2

[xcosty + ysin<p = р

Заметим, что

t = \АВ\ = ^(Х2-Х1)2+ (У2-У!)2.

Подставляя выражение для x из второго уравнения системы в первое, получим:

2

т — ysin<p \ I cos<p ) у2 _ ^

a2 b2 Откуда получим

, ^2 _ 4p2b4sin2y 4b2p2-4b2a2cos2y

(У2 — 7i) = h4(v) h2(v) .

Аналогичными образом получим

2 4 p2a4cos2<p 4a2p2 — 4 b2a2sin2<p

(X2—Xl) = h4(<p) Щр) ■

Так как

t2 = (X2 — Xi)2 + (У2 — yi)2 =

_ 4p2 fa4cos2v-b4sin2v 2 j.2\ i 4a2b2

= КЦу) ( h2^) a —b) +

h2(v)

Окончательно получается

и

2 4a2b2\ _ 4p2a2b2 — h2((p)) = — h4((p) .

Отсюда и получается выражение для p

р = h(<p)2

М

1

h(<p)2 4 a2b2

Подставив его в Р(р(Ь), и, сделав соответствующие упрощения, был получен окончательный вид для функции распределения длин хорд по направлению:

Fcp(t) = 1

N

t2h(<p)2 4a2b2 ■

Отсюда можно выразить h(^) через F(p(t)

2 аЬ I "

к<р) = — ^1 — (1 — р^а))2.

Получается следующая лемма.

Лемма. Для любого эллипса и для любого направления ^ выражение

25 I--

- 11 — (1— г„(0)2

не зависит от t.

2

t

Обратное утверждение мы представляем как гипотезу.

Гипотеза. Если для некой фигуры и любого направления ф выражение

^ — (1 — РфЮ)2 не зависит от 1, то эта фигура является эллипсом. 3.3. Восстановление неповëрнутого эллипса

Мы предлагаем следующий алгоритм для восстановления неповернутого эллипса.

Для восстановления необходимы 2 самые длинные хорды в двух, некол-линеарных направлениях. Самую длинную хорду в направлении ф обозначим 1ф. Найти ее можно из данной системы:

2 2 X2 у2

а2 Ь2 [х cos <р + у sin <р — 0

lV = V(х2 - х\)2 + (У2 - Vi)2

abcos<p

У\,2 = ± X2,i = ±

Va2cos2<p + b2sin2<p absinip

' i — I

Va2cos2<p + b2sin2<p Откуда получаем, что

. _ 2ab

trn

Ф ^а2соз2ф+ Ь2зт2ф

Остается решить следующую систему выразив а и Ь через эти хорды и их направления

2аЬ

/-.2 ГЛС^ . -I- А207'П2

1<Р2 =

Va2cos2<pi + b2sin2<pi 2ab

v V a2cos2(p2 + b2sin2<p2

Окончательное выражение для полуосей выглядят так: ?

М

а =

2

Бт2ф2 — £д2<р1

1ф.2С052^1- 1Ф72С052(Р2

_ ¡^¡^ятф! соз2ф2- сгд2<р1

2 ^1ф12зт2фг- 1,р22зт

3.4. Восстановление повёрнутого эллипса

2Я(П2ф2'

Мы предлагаем следующий алгоритм для восстановления эллипса повёрнутого на угол ^ Аналогичным образом составляется следующая система:

2 аЬ

^2

=

^а2соз2(<р1 — тр) + Ь2з1п2{^1 — тр)

2 аЬ

^а2соз2((р2 — тр) + Ь251п2(ф2 — тр)

2 аЬ

^а2соз2(<р 3 — тр) + Ь2Бт2(ф3 — тр)

Решив систему аналогичным образом, мы получим a, Ь и ^ в терминах , (Р3, , 1ф2, ^з. Получаются следующие выражения для параметров эллипса:

^2

ф =

агс1э{сг-с;)

2

а =

Ь =

С1 + Сз—1(С1 — Сз)2+ С22

Где

С1 + Сз+1(С1 — Сз)2+ С22

С1= ,2' Ы

2 4

С3 = Т~2' 10

V

2

2

С2 - С-1 + Съ- —2 In2

4

Заключение

Таким образом, мы показали, способ восстановления произвольного эллипса (повернутого) по его распределению случайных хорд по трем направлениям. Вопрос восстановления произвольной выпуклой фигуры по распределению случайных хорд по направлениям открыт.

ЛИТЕРАТУРА

1. Luis A. Santalo. Integral Geometry and Geometric Probability, Addision-Wesley, Reading, MA, (2004).

2. Mallows C., Clark J. Linear-intercept distributions do not characterize plane sets. J. Appl. Probab. 7, 240-244 (1970).

3. Nagel W. Orientation-dependent chord length distributions characterize convex polygons. J. Appl. Probab. 30, 730-736 (1993).

4. Averkov G., Bianchi G. Confirmation of Matheron's conjecture on the covariogram of a planar convex body, J. Eur. Math. Soc., in press, arXiv:0711.0572 [math.MG].

5. Bianchi G. The covariogram determines three-dimensional convex polytopes. Advances in Mathematics 220 (2009), 1771-1808; arXiv:0805.1605v1 [math.MG].

6. Matheron G. Random Sets and Integral Geometry. Willey, New York (1975).

8

RECONSTRUCTION OF AN ELLIPSE FROM THE DISTRIBUTIONS OF CHORDS IN DIRECTIONS

R. Aramyan, L. Apinyan

Russian-Armenian (Slavonic) University

ABSTRACT

The problem of finding information or completely reconstructing convex bodies from the distributions of characteristics of k-dimensional sections is one of the main problems of stochastic tomography. This work is devoted to the reconstruction of an ellipse on a plane through the distribution of random chords in directions. A reconstruction algorithm is proposed. Keywords: ellipse, convexity, distribution function, support function, ellipse restoration.