CC BY
9Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып.Л.4.2011
УДК 51-37
ОБОБЩЕНИЕ АЛГОРИТМА УПАКОВКИ НАРЕЗАННЫХ
РУЛОНОВ
В. Л. Никитенков, О. В. Байбородина, А. А. Поберий
В данной статье рассматривается обобщение задачи упаковки нарезанных рулонов, рассматриваемой в статье [10]. Теперь будет рассматриваться случай рулонов не одного диаметра, а нескольких, а проблема перерасхода будет решаться не путем добавления новых форматов упаковочной бумаги (УБ), а заменой действующих форматов на другие, дающий меньший перерасход. Ключевые слова: оптимизация, упаковка нарезанных рулонов, упаковочная бумага, уменьшение перерасхода.
В качестве введения напомним об исходной задаче, рассматриваемой в [10]. Основной задачей любого предприятия является эффективная работа производства, позволяющая обеспечить конкурентоспособность продукция на мировом рынке. Необходимость снижения себестоимости производимой продукции в целлюлозно-бумажной отрасли без значительных капиталовложений заставляет искать места нерационального использования как финансовых, так и материальных средств и ресурсов [1] - [7]. Одним из таких узких мест является заключительная стадия производства бумаги - линия отделки рулонов. На данном участке выработанный рулон оборачивается в упаковочную бумагу (УБ). Но в поставленной ранее задаче рассматривались рулоны одного диаметра [10], однако на производстве приходится сталкиваться с достаточно большим числом диаметров, что усложняет задачу. Тогда нужно проверить поставить общую задачу (для множества диаметров) и разработать общий алгоритм ее решения.
© Никитенков В. Л., Байбородина О. В., Поберий А. А., 2011.
1. Постановка общей задачи
1.1. Обобщение основных формул Имеется к диаметров, а каждому г-ому диаметру ё\г\ соответствует А^ типов форматов бумаги, с длинами 1[Щ (плинейкапформатов), вырезанные в количестве Ь[А^] (плинейкапколичества). Для их упаковки используется упаковочная бумага нескольких типов, закупаемая в достаточном для осуществления упаковки количестве.
Для начала рассмотрим действующую ситуацию на производстве. Имеется т типов форматов УБ с форматами и[г\, ъ Е 1 : т. Упорядочим форматы по возрастанию.
и[ 1] > и[2] > ... > и[т] (1)
(г[1]) (г[2]) (г[т\)
Пусть все закупаемые типы УБ используются в раскатах при упаковке рулонов. Упорядочим также по возрастанию форматы рулонов г-го диаметра (с учетом попарной упаковки коротких форматов (при действующих стандартах, короткими являются форматы менее 500мм.))
/[1] > /[2] > ... > 1[т] (2)
(Ь[1])(Ь[2]) (ЪЩ)
(выше в скобках указано количество закупаемых форматов УБ и упаковываемых рулонов). Все форматы г-го диаметра при этом будут разбиты на т групп, в ^-ой из которых содержатся форматы от /[А^/-1 +1] до /[ТУ/]. И для каждого г-го диаметра справедливо: 7Уг° = 0,7Угш = А^.
Обозначим через I минимальный выступ (обязательный по ГОСТу) при намотке У Б на рулон. Теперь можно подсчитать перерасход от упаковки рулона. Перерасходом УБ будем считать превышение минимального выступа:
Ыу,Ь] = иу]-1Щ-21_ (3)
Таким образом, определяется перерасход от упаковки рулона формата 1Щ в У Б формата и[]}.
Пусть теперь с^ - длина рулона УБ, идущая на упаковку одного рулона бумаги диаметра ё\ъ\ (оборачивает рулон соответствующего диаметра в 3 оборота):
с^ = 37\d\i\
(4)
Тогда для упаковки ^'-й группы форматов, всех к диаметров требуется следующее количество УБ:
ш к
Х>1 •«* = £(( Е ьде'"1+ *])•<*) (5)
э=1 1=1 г=1
(где г [^-количество рулонов упаковываемых в УБ формата и[]\) Подсчитаем расход У Б при упаковке всех рулонов.
га к га к
^ = = Е ьдог1+*])•<*) (6)
3 = 1 1=1 з = 1 1=1 1=1
тогда суммарный перерасход УБ выражается формулой
га к
5« = Е £("'•( Е ^Ы-ь^Г+г})) (7)
3 = 1 1=1 1=1
Или в относительной форме
= У----Г~Т-1-^ • 10°(%) (8)
Таким образом, мы считаем, что безотходная упаковка - это упаковка, дающая ноль процентов перерасхода (в формуле (8)). Из последней формулы видно, что ноль процентов получится при ¿о = 0. А так как величины щ - длина и 6[ТУ/-1 + - количество упаковываемых в УБ рулонов - ненулевые, следовательно, нулевой процент возможен при Д7[?, {] = 0. Такой эффект возможен, когда все рулоны упаковываются с краевым выступом равным /, или другими словами - при упаковке рулонов формата 1Щ в У Б и[]\ = /[£] + 21 такую упаковку будем называть безотходной. Нам также понадобится определить денежную стоимость этого перерасхода. Так как УБ закупается компанией, а ее стоимость зависит от массы - 32, 6руб/кг. Через формулу (7) определяется площадь израсходованной УБ и нам известно, что масса I2 УБ равна 0, 22, зная
это - преобразуем формулу (7) для определения стоимости перерасхода в рублях:
л = з2,6.О,22.1:е(З,.]^( Е (9)
2 — \ г—1 г—1
1.2. Вычисление перерасхода При действующей политике используются следующий набор УБ: 1000, 1250, 1550, 1750, 1950. Рассмотрим "линейку"форматов в заданном количестве трех диаметров 900мм., 940мм., 950мм., упаковываемых в 5 типов УБ, и с посчитанными перерасходами от упаковки в соответствующий формат:
с1,мм 1,мм Ь,рул А 1,мм
15*900 600 155 200
620 1 180
680 5 120
699 7 101
700 41 100
750 3 50
800 30 0
840 823 210
880 2 170
900 4 150
1245 9 105
1260 11 90
1400 14 150
1660 3 90
1680 24 70
¿,мм 1,мм Ь,рул А1,мм
19*950 594 6 206
600 611 200
620 8 180
680 23 120
700 294 100
720 1 80
760 2 40
762 1 38
800 185 0
830 16 220
840 2901 210
900 8 150
1160 7 190
1260 40 90
1400 22 150
1450 6 100
1660 9 90
1680 64 70
б1,мм 1,мм Ь,рул А1,мм
9*940 600 100 200
620 2 180
700 6 100
800 27 0
830 1 220
840 602 210
1260 8 90
1660 1 90
1680 15 70
Для оценки оптимальности 5 используемых форматов УБ, нужно определить перерасход (воспользуемся формулой (8)):
¿(бо,^) = 15, 61964086(%)
Зафиксируем данный перерассход, чтобы в дальнейшем использовать его для сравнения и обозначим: = 15, 61964086(%), а соответ-
ствующую стоимость перерассхода обозначим В нашем случае стоимость перерасхода (формула (9)) У Б при действующей политике в рублях составит:
щ = 32, 6 • 0, 22 • 10191, 5307717678 « 73093, 66 2. Новая политика
2.1. Ориентация на "лидеров" Форматами - "лидерами"будем называть форматы с наибольшим количеством рулонов. Раньше проблема перерасхода решалась добавлением новых форматов УБ (для 3-х "лидеров") [10], но на производстве не всегда можно свободно добавлять новые форматы, т.е. их число постоянно. Тогда нужно заменить используемые пять форматов на новые.
Обозначим форматы УБ при новой политике: и*^]^ Е 1 : 5. Выбор одного формата У Б в новой политике очевиден, он должен упаковывать все форматы, но с наименьшим расходом, то есть он должен быть равен сумме максимального (среди всех диаметров) по высоте рулона 1тах и минимального обязательного загиба с каждой стороны : и*[5] =
/ + 2/
1тах \
В рассматриваемом случае 1тах = 1680, следовательно: и*[5] = 1680 + 2-100 = 1880(мм.).
Оставшиеся четыре формата выберем из расчета, чтобы они были безотходными для первых 4-х "лидеров". Для этого нужно упорядочить
рулоны всех диаметров по убыванию их количества и рассматривать первые четыре формата (обозначим их как /*):
1,мм Ь,рул
840 4326
600 866
700 341
800 242
Выберем оставшиеся четыре формата УБ таким образом, чтобы они являлись безотходными для "лидеров", т.е. к их величине нужно добавить обязательный загиб / с каждой стороны: u*\j] = l*\j] + 21.
Упорядочим полученные форматы УБ по возрастанию и в результате получим следующие пять форматов УБ:
и[1] = 800, и[2] = 900, и[3] = 1000, u[4] = 1040, u[5] = 1880
Теперь для оценки эффективности нового метода нужно определить перерасход УБ при новых форматах. Определим новые остатки по формуле (3) и посчитаем перерасход при новой политике, воспользовавшись формулой (8):
Ô(S0,S) = 0, 903335344(%)
Подсчитаем денежную стоимость перерасхода в рублях по формуле (9):
р0 = 32, 6 • 0, 22 • 501, 879793666726 « 3599,48
Сравним с перерасходом при действующей политике:
щ - Ро = 73093, 66 - 3599,48 = 69494,18
Таким образом, внедрение новой политики даст экономию примерно 69494,18 рублей.
2.2. Поиск оптимального набора Нам удалось выбрать получить экономию от замены форматов, но появляется вопрос о возможности еще большей экономии. Так как мы по-прежнему ограничены в количестве форматов, то можем только заменить используемые 5 форматов. Чтобы выбрать новый формат, нужно убрать один из предыдущего набора - очевидно, что этот формат - формат с наименьшим числом рулонов, так как, выбрав этот формат, мы увеличим перерасход на наименьшую возможную величину. Далее, заменим убранный формат новым - следующим из списка форматов, упорядоченных по убыванию:
1,мм 840 600 700 800 1680 1260 1400 680 830 1660
Ь,рул 4326 866 341 242 103 59 36 28 17 13
В нашем случае формат с наименьшим числом рулонов - 800 (формат 1680 - не рассматривается, так как это формат с максимальной высотой рулона (см. пункт 2.1.) и его нельзя убирать, так как из-за его отсутствия не все рулоны будут упакованы). Вместо него ставим следующий по числу рулонов неиспользуемый формат. В нашем случае это 1260, и берем для него безотходную упаковку: п* = 1260 + 2 • 100 = 1460 (мм.) - таким образом мы заменили один формат УБ и получили следующий набор УБ: 800, 900, 1040, 1460, 1860.
Теперь нужно определить перерасход при этой политике. Для этого воспользуемся формулой (7).
¿(бо,^) = 0,472022983(%)
Перерасход получился меньше, чем при действующем оптимальном наборе форматов УБ: 800, 900, 1000, 1040, 1860; так как 0, 903335344(%) > 0, 472022983(%). Теперь зафиксируем этот набор, и будем считать его оптимальным.
Мы нашли оптимальную замену безотходной упаковки для формата 800 (УБ формата 1000), дальше попробуем найти какой еще формат можно найти для еще большего уменьшения перерасхода. Следующий по старшинству формат - это формат 700. Для этого формата используется безотходная У Б - 900. Теперь нужно определить, каким форматом можно заменить эту УБ. Следующий по количеству рулонов свободный формат (т.е. для него нет безотходной УБ в действующем наборе) - это формат 800. Безотходная У Б для которого - 1000 мы использовали ранее, но убрали из действующего оптимального набора, так как нашли ему замену. Заменим УБ 900 на 1000 и получим следующий набор: 800, 1000, 1040, 1460, 1880.
Посчитаем перерасход при таком наборе форматов УБ:
= 0, 929478788(%)
Перерасход получится меньше при действующем оптимальном наборе форматов: 0,929478788(%) > 0,472022983(%). Следовательно, замена У Б 900 на 1000 нецелесообразна, так как она даст больший перерасход УБ. Таким образом, оптимальный план остается прежним: 800, 900, 1040, 1460, 1880.
Заменять формат 900 на безотходную УБ для следующего формата нецелесообразно, так как мы пытались делать подобную замену для
формата 1000 и получили больший перерасход. А так как замена 1000 дает меньшую потерю (от остатков при упаковке рулонов формата 800), чем формат 900 (за счет того, что рулонов формата 700 больше, то перерасход при замене формата 900 будет еще большим, чем при замене формата 1000. Таким образом, замена формата 900 и следующие форматы с большим количеством рулонов в оптимальном наборе будет лишь увеличивать перерасход.
В итоге оптимальный план остается следующим: 800, 900, 1040, 1460, 1880 с перерасходом: = 0, 472022983(%). Обозначим оптималь-
ный перерасход: а соответствующую стоимость перерасхода
обозначим: Если сравнивать с действующей политикой выбора форматов, то получим экономию:
8(во, в) - ОД, £)* = 15, 61964086 - 0,472022983 = 15,147617877(%)
Посмотрим, какую денежную экономию относительно действующей политики выбора форматов даст полученный оптимальный план, воспользовавшись формулой (9):
р1 = 32, 6 • 0, 22 • 261,11253092532 « 1872, 79 р^ - р1 = 73093, 66 - 1872, 79 = 71220, 87 3. Заключение
В результате удалось добиться существенной экономии, лишь заменив использованный набор форматов - новым набором, определенным с помощью соответствующего алгоритма. В результате, на рассмотренном промере нам удалось добиться экономии 71220, 87(руб.). что говорит о существенной эффективности данного метода. А выработанный в ходе работы алгоритм - модифицированная политика "лидеров" (ориентированный на безотходную упаковку форматов - "лидеров") и основные формулы для определения перерасхода легли в основу программы, которая полезна для определения эффективности указанного плана закупок УБ, с помощью которой можно определить разницу в расходах при сравнении двух планов закупок. Также с помощью программы можно выработать оптимальный план для рассматриваемых данных.
Рассматриваемые данные по трем диаметрам 900, 940 и 950 по числу рулонов составляют примерно 1,341% от всех упаковываемых диаметров за период 1 год. Применив программу к этим данным был получен
оптимальный перерасход: 4,13%, при действующем перерасходе по данным за весь год: 12,85%. Тем самым получаем экономию:
6(S0,S) - 6(So, Sy « 12, 85 - 4,13 = 8, 72(%)
С помощью программы также можно определить денежную экономию за год: 3313408,64 руб.
Также на рассмотренном примере, можно выделить целый класс задач, на оптимизацию использования конечного набора ресурсов, различного типа, за счет рационального выбора этого набора, ориентированного на плидеровппо какому-либо признаку.
Литература
1. JT.B. Канторович, В.А. Залгаллер Рациональный раскрой промышленных материалов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд, 1971. 298с.
2. Э. А. Мухачева Рациональный раскрой промышленных материалов. Применение АСУ - М: Машиностроение, 1984. 177с.
3. А. В. Воронин, В. А. Кузнецов Математические модели и методы в планировании и управлении предприятием ЦБП. - Петрозаводск: ПетрГУ, 2000. 256с.
4. В. JI. Никитенков, А. А. Холопов Задачи линейного программирования и методы их решения. - Сыктывкар: СыктГУ, 2008. 277с.
5. Байбородина О.В. Работа продолжается // Целлюлоза, бумага, картон. 2010 №-6. С. 42-44.
6. Никитенков B.JT., Подоров А.Е. Модификации задачи раскроя отходов // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. Информатика. 2009 №10. С. 119 - 136.
7. Поберий A.A. Оптимизация бизнес-процесса упаковки нарезанных рулонов // II Республиканская молодежная научная выставка. Материалы выставки 2010 С. 64 - 65.
JT.B. Культин сновы программирования в Delphi 7. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 608с.
9. Е. А. Веденеева Функции и формулы Excel 2007. СПб.: Питер, 2008. 384с.
10. Никитенков B.JT., Байбородина О.В., Поберий А.А. Оптимизация бизнес-процесса упаковки нарезанных рулонов // КНЦ УрО РАН. [в печати]
Summary
Nikitenkov V. L., Bayborodina О. V., Poberii A. A. Generalization algorithm packing sliced rolls
In this article considered generalization problem packing sliced rolls, that is consider in article [10]. Now we shall look at situation not only one diameter, but several diameters and problem of overspending would solved not by adding new formats packing paper (PP), it would solved by changing current formats by others, which would give us lesser overspending. Keywords: optimizing, sliced rolls packing, packing paper, decrease in overspending.
Сыктывкарский университет
Поступила 19.10.2011
