Обобщающая модель пластического деформирования дискретных материалов дорожных конструкций при воздействии циклических нагрузок Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 625.04

А.С. АЛЕКСАНДРОВ, канд. техн. наук, доцент (aleksandrov00@mail.ru)

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (644080, Россия, г. Омск, пр-т Мира, 5)

Обобщающая модель пластического деформирования дискретных материалов дорожных конструкций при воздействии циклических нагрузок

Установлено, что при воздействии повторных нагрузок процесс пластического деформирования грунтов и дискретных материалов носит наследственный характер. Для математического моделирования пластической деформации применены интегральные уравнения теории наследственной ползучести, в которых функция времени заменена функцией числа повторных нагрузок. Получены степенные и логарифмические зависимости, связывающие пластическую деформацию с количеством повторных нагрузок, параметрами материала и компонентами тензора напряжений в главных осях. Показано, что эти зависимости обобщают ряд моделей, предложенных ранее за рубежом и в РФ. На основе анализа экспериментальных данных, полученных при испытаниях материалов в динамических приборах трехосного сжатия при различной величине девиатора напряжений, определены коэффициенты в предлагаемых моделях деформирования. Определена область применения логарифмических и степенных зависимостей.

Ключевые слова: грунт, дискретный материал, трехосное сжатие, пластическая деформация, циклическая нагрузка.

A.S. ALEKSANDROV, Candidate of Sciences (Engineering), Docent (aleksandrov00@mail.nj) Siberian State Automobile and Highway Academy (5, Mira Avenue, Omsk 644080, Russian Federation)

A Generalizing Model of Plastic Deformation of Discrete Materials of Road Structures under Impact of Cyclic Loads

It is established that under the impact of repeated loads the process of plastic deformation of soils and discrete materials is hereditary. For mathematical simulation of the plastic deformation, integral equations of the theory of hereditary creep in which the time function is replaced by the function of the number of repeated loads are used. Exponential and logarithmic dependences connecting the plastic deformation with number of repeated loads, material parameters and components of the stress tenser in principal axes have been obtained. It is shown that these dependences generalize a number of models previously proposed abroad and in the Russian Federation. On the basis of the analyze of experimental data obtained during the test of materials in dynamic devices of three-axial compression at different values of the stress deviator, coefficients of the proposed models of deformation have been determined. The sphere of using logarithmic and exponential dependences has been also defined.

Keywords: soil, discrete material, three-axial compression, plastic deformation, cyclic load.

Потребительские свойства автомобильной дороги зависят от ровности покрытий, что обусловливает актуальность работ, направленных на прогнозирование изменения ровности покрытий. Глубина неровности в рассматриваемой точке определяется разностью пластических смещений поверхности покрытия в этой точке и в точке с наименьшим пластическим перемещением. Пластическое смещение поверхности элемента дорожной конструкции в сечении по оси симметрии нагрузки определяют интегрированием функции пластической деформации по глубине зоны ее распространения. Сумма пластических перемещений поверхностей слоев дорожной одежды и грунта земляного полотна определяет пластическое смещение поверхности покрытия в рассматриваемом сечении. Изложенная схема решения задачи записывается интегральным уравнением:

п О

Je[Oife); o2(z); CT3fe); a(z), b{z), c(z)...m(z)№ t\dz, (1)

¿=1 -z,

где г и n — номер и количество слоев дорожной конструкции, включая земляное полотно; zK — ордината точки, ограничивающей зону распространения пластических деформаций в сечении по оси симметрии нагрузки; £ — пластическая деформация, являющаяся функцией ряда параметров материала; o^z), o2(z), o3(z) — главные напряжения, являющиеся функцией глубины z, Па; a(z), b(z), c(z)...m(z) — параметры материала, представляющие собой функцию глубины и показателей физических свойств (плотность, влажность, температура, пористость и т. п.); N — количество приложенных нагрузок; t — время воздействия одной нагрузки, с.

Таким образом, определение подынтегральной функции уравнения (1) является важной задачей про-

гнозирования изменения ровности дорожной конструкции.

Математическое моделирование пластической деформации в условиях трехосного сжатия дискретных материалов и воздействия повторных (циклических) нагрузок является целью работ, выполняемых во всем мире [1—5]. Особенность таких моделей — представление накапливаемой пластической деформации £N, произведением функции числа нагрузок f(N) и деформации £„, накапливаемой от сравнительно малого числа повторных нагрузок n (n<<N), т. е.:

(2)

При подборе эмпирических формул (2) количество нагрузок принимают в пределах n=1...103, а N=105...106 и более. Испытания образцов из грунтов и щебеночных материалов выполняют при помощи динамических приборов трехосного сжатия [1, 6].

В настоящее время получены логарифмические, степенные и экспоненциальные функции количества нагрузок, используемые в моделях типа (2). Предложение использовать логарифмические зависимости для прогнозирования величины пластической деформации принадлежит Р.Д. Барксдейлу [6]. Г. Свери в своей диссертации (Sweere G.T.H. Unbound granular bases of roads. // PhD thesis, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands. 1990) предложил использовать степенные функции, которые получили развитие в работах [7—9]. Экспоненциальные зависимости применены в работах [10, 11].

Точность этих зависимостей обусловливается числом нагрузок N, от воздействия которых выполняются прогнозирования накапливаемой деформации е№ При сравни-

май 2016

27

10

о 3

0,1

> т?

0,01

6 5 • *

4 .-..- - 3

* • • ■ 2

1 и • 1

1

106

101 102 103 104 103 Количество приложенных нагрузок (^ шкала)

Рис. 1. Зависимость вертикальной пластической деформации ГЩ от числа нагрузок и напряжений при о3=40 кПа по данным [12]: 1-6 - при (0,-03) 40; 80; 120; 160; 200 и 360 кПа соответственно

ф 3

сс ^

100

10

0,1

СО

0,01

..г* * 4 ■ 3

» • А „ о ВЗ&Й А А „ ппи д " о о , о а О с п.й»®0' 1 2

О □ „с^

1

106

101 102 103 104 103 Количество приложенных нагрузок (1д шкала)

Рис. 2. Зависимость вертикальной пластической деформации ПГС от числа нагрузок и напряжений при о3=40 кПа [12]: 1-4 - при (о,-о3) 40; 80; 120 и 160 кПа соответственно

® 3

100

10

0,1

со

т-&

>

0,01

8

4 з 7

о о45 2 6

/ О 1

1

106

Результаты обзора показывают, что математическое моделирование пластического деформирования материалов и грунтов выполняется подбором эмпирических формул. Обилие эмпирических формул и отсутствие теоретического обоснования приводят к затруднениям при выборе математической модели. В силу того, что такая формула является подынтегральной функцией уравнения (1), решение задачи о пластическом смещении поверхности покрытия, а значит, и глубине неровности также затруднено.

Поэтому автор ставит задачу поиска теоретического решения, которое позволит получить обобщающую математическую модель для ряда известных эмпирических формул.

Анализ данных лабораторных трехосных динамических испытаний позволяет сделать вывод, что величина наблюдаемой пластической деформации, приобретаемой образцом при реализации ^й по счету нагрузки, зависит как от этой, так и от всех предшествующих нагрузок. Следовательно, пластическое деформирование материалов и грунтов при приложении повторных нагрузок имеет наследственный характер. Поэтому для математического моделирования таких пластических деформаций можно воспользоваться интегральными уравнениями теории ползучести, в которых функция времени должна быть заменена функцией числа нагрузок.

Анализируя деформирование материалов и грунтов, отметим, что в процессе каждого приложения нагрузки пластическая деформация увеличивается во времени, т. е. непрерывно возрастает от начала к концу воздействия рассматриваемой нагрузки. Таким образом, процесс накапливания пластических деформаций можно считать непрерывным, а для их расчета можно выполнить интегрирование по числу нагрузок. Подынтегральные выражения примем в виде степенных функций, определяющих приращение пластической деформации от нагрузки с порядковым номером п. Тогда ядра интегральных уравнений дадим в виде:

деМп=а-»1; Д^вп=а-п\ Ае»ш=Ь-пс; Де^Ь-и0,

(3)

(4)

101 102 103 104 103 Количество приложенных нагрузок (1д шкала)

Рис. 3. Зависимость вертикальной пластической деформации ПГС от числа нагрузок и напряжений при о3=40 кПа: 1-4 - эксперимент при (о1-о3)/о3 1; 2; 3; 4; 5-8 - расчет при (о1-о3)/о3 1; 2; 3; 4

тельно малом числе приложенных нагрузок ^103 наилучшее приближение дают экспоненциальные функции. При числе нагрузок, варьирующемся в диапазоне 103>^105, наибольшей точностью обладают логарифмические зависимости. Степенные зависимости позволяют с наибольшей точностью прогнозировать пластические деформации при числе нагрузок вследствие чего они наиболее пригодны для расчетов деформаций материалов дорожных конструкций. Кроме того, степенные функции позволяют получать результаты с приемлемой точностью и для меньшего числа нагрузок.

Вследствие зависимости точности расчета пластических деформаций от числа повторных нагрузок для каждого типа функций можно указать область применения. Например, логарифмические функции могут быть использованы для расчета пластических деформаций материалов и грунтов, применяемых в дорожных конструкциях, на дорогах IV или V технических категорий. Степенные функции нужно применять при прогнозе деформаций материалов и грунтов для дорог 1—Ш технических категорий. Экспоненциальные функции для наших целей неприменимы.

где Де,,], и Де,,,, — соответственно мгновенная и вязкопла-стическая деформации, возникающие от нагрузки с порядковым номером п; а, Ь и с — параметры модели, учитывающие вид материала и величину напряжений.

Тогда интегральные уравнения дадим в виде:

Г м ' \+Ь-\псап ;

еЛ^(Емпл+Евпл)'

1

N

\+Ъ-]пс<1п

Проинтегрировав (5), получим:

%=(емпп+ешп)

1 + а-|1п^

(5)

(6)

(7)

где £мпи и £впи — мгновенная и вязкая составляющие пластической деформации, накапливаемой при воздействии п-го числа нагрузок (п<<К); а — параметр логарифмической модели, учитывающий величину напряжений, вид материала и показатели его физических свойств (плотность, влажность и т. п.).

Взяв интеграл от (6), имеем:

еЛГ_(Емпи+евпл)'

1 + 6

№

с + 1

(8)

где Ь и с — параметры степенной модели, учитывающие те же факторы, что и параметр а в модели (7).

28

май 2016

Таблица 1

Характеристика (ст1-ст3)/ст3 Параметры модели (11)

n d a

1,5 100 1,0134 0,3722

1,94 100 4,3009 0,2895

2,83 100 3,1082 0,2141

4,6 100 0,8723 0,415

Таблица 2

Характеристика (СТ1-СТ3)/СТ3 Параметр n ст3<40 кПа ст3=70 кПа ст3>210кПа

b c b c b c

<0,5 100 - - - - 0,073 -0,84

1 100 0,072 -0,832 0,085 -0,818 0,071 -0,865

1,5 100 - - 0,071 -0,809 0,074 -0,742

2 100 0,065 -0,871 0,06 -0,915 0,056 -0,741

3 100 0,079 -0,699 0,071 -0,861 - -

4 100 0,072 -0,656 0,079 -0,805 - -

>5 100 - - 0,046 -0,505 - -

Таблица 3

Характеристика (ст1-ст3)/ст3 ст3<40кПа ст3=70 кПа ст3>210кПа

<0,5 1,734 0,895 0,378

1 1,566 0,883 0,611

1,5 1,397 0,871 0,77

2 1,229 0,92 0,644

3 0,682 0,887 0,611

4 2,457 2,295 2,019

>5 2,213 2,05 1,774

Если число нагрузок п сравнительно мало и составляет п=10; п=100 или п=200, то связь составляющих £мпи и £впи пластической деформации с этим числом нагрузок и остаточными деформациями от первого воздействия нагрузки целесообразно искать в виде:

= (£Mnl + eBnl)'

Взяв интеграл (9), получим:

я

l+djn^dn

(9)

(10)

Учитывая выражение (10) в формулах (7) и (8), эти модели приводим к виду:

, = («W+*J) • [1 ■+ d ■ (1пи)]- [l + я•

еЛГ_(Емп1 + Е1

N1

с + 1

(11)

(12)

Область применения моделей (11) и (12), а также их параметры а, Ь, с и d необходимо устанавливать на основе анализа экспериментальных данных по трехосному сжатию материалов и грунтов циклической нагрузкой. При этом из всего многообразия опытных данных для решаемой задачи пригодны только те, которые получены при достаточно большом числе приложений нагрузки ^>105. Такие эксперименты выполняются за рубежом при помощи динамических приборов трехосного сжатия. Конструкции приборов трехосного сжатия и методы экспериментальных испытаний отличаются многообразием. Поэтому анализ таких приборов и экс-

периментальных методов заслуживает рассмотрения в отдельной статье. В настоящей публикации автор ограничится данными С. Веркмейстер [12], представленными на рис. 1, 2.

Анализируя данные рис. 1 и 2, а также подобные им зависимости, автор определил коэффициенты моделей (11) и (12). Здесь можно оговориться, что экспериментальные данные о пластическом деформировании материалов при воздействии циклических нагрузок получены другими специалистами, а значения коэффициентов а, Ь, с и d установлены автором по данным этих испытаний. Поэтому представленные ниже таблицы с коэффициентами а, Ь, с и d являются новыми, но вычисленными из известных экспериментальных данных.

В табл. 1 приведены значения коэффициентов п, а и d модели (11) для расчета деформации, накапливаемой щебеночным материалом из гранита или гнейса.

В табл. 2 и 3 приведены значения коэффициентов п, с, Ь и d модели (12) для расчета остаточной деформации, накапливаемой образцом из песчано-гравийной смеси.

Аналогичные коэффициенты определены автором для расчета деформаций, накапливаемых грунтами и щебеночными материалами из различных пород (диабаза, гранодиорита, известняка, доломита и др.). Спектр материалов, к которым применимы модели (11) и (12) и для которых определены параметры моделей, велик. Поэтому для освещения параметров моделей (11) и (12) для различных материалов и разновидностей грунтов целесообразно посвятить отдельную публикацию, являющуюся продолжением этой работы. В настоящей статье автор ограничится данными, представленными в табл. 1—3, а также сопоставлением результатов расчета

научно-технический и производственный журнал

® май 2016 29

деформации, накапливаемой песчано-гравийной смесью с экспериментальными данными. Такое сопоставление приведено на рис. 3. Данные эксперимента и результаты расчета получены при величине минимального главного напряжения 40 кПа.

Из анализа данных рис. 3 следует, что предлагаемая автором обобщающая степенная модель (12) позволяет прогнозировать процесс накапливания пластической деформации с приемлемой точностью. Точность модели (11) также можно считать удовлетворительной, это продемонстрировано автором в работе [13].

Заключение.

По материалам работы можно сформулировать выводы и задачи будущих исследований и публикаций:

1. Установлено, что при воздействии циклической нагрузки в грунтах и дискретных материалах процесс накапливания пластической деформации имеет наследственный характер. Для определения приращения пластической деформации от n-го приложения нагрузки предложены степенные функции, которые рассматриваются как ядра интегральных уравнений наследственной теории.

2. Интегрированием уравнений получены логарифмическая и степенная модели (11) и (12), которые обобщают ряд известных эмпирических формул и обладают большей точностью при расчете пластической деформации.

3. Из анализа данных трехосных испытаний установлены коэффициенты предлагаемых моделей для широкого спектра щебеночных материалов и грунтов.

4. Задачами дальнейших публикаций является:

— разработка методики и ее применение при определении параметров моделей (11) и (12) для различных материалов;

— разработка метода расчета вязкой составляющей пластической деформации £впи, что позволит учитывать влияние продолжительности воздействия нагрузки, а значит, скорости движения;

— разработка метода расчета пластического смещения поверхности покрытия и глубины неровностей, формирующихся в продольном и поперечном направлениях.

Список литературы / References

1. Мирсаяпов И.Т., Брехман А.И., Королева И.В., Иванова О.А. Прочность и деформации песчаных грунтов при трехосном циклическом нагружении // Известия КГАСУ. 2012. № 3 (21). С. 58-63.

1. Mirsayapov I.T., Brechman A.I., Koraleva I.V., Ivanova O.A. Strength and deformation of sandy soils under triaxial cyclic loading. Izvestiya KGASU. 2012. No. 3 (21), pp. 58-63. (In Russian).

2. Chen C., Ge L., Zhang J. Modeling permanent deformation of unbound granular materials under repeated loads. International journal of geomechanics. 2010. Vol. 10, pp. 236-241.

3. Perez I., Medina L., Gallego J. Plastic deformation behaviour of pavement granular materials under low traffic loading. Granular Matter. 2010. No. 1, pp. 57-68.

4. Rondon H.A. Deformacion permanente de materiales granulares en pavimentos flexibles: estado del conocimiento. Revista Ingenierías Universidad de Medellin. 2009. Vol. 8. No. 14, pp. 71-94.

5. Gidel G., Hornych P., Chauvin J., Breysse D., Denis A.. A new approach for investigating the permanent deformation behaviour of unbound granular material using the repeated load triaxial apparatus. Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées. 2001. No. 14 (233), pp. 5-21.

6. Barksdale R.D. Laboratory evaluation of rutting in base course materials. Proceedings of the 3-rd Internatio-

nal Conference on Asphalt Pavements. London. 1972, pp. 161-174.

7. Erlingsson S., Ahmeda A. Performance prediction modelling of flexible pavement structures. Transport Research Arena. Paris. 2014, pp. 1-10.

8. Siripun K., Nikraz H., Jitsangiam P. Mechanical behavior of unbound granular road base materials under repeated cyclic loads. International Journal of Pavement Research and Technology. 2011. Vol. 4. No. 1, pp. 56—66.

9. Hornych P., Corte J.-F., Paute J.-L. Étude des déformations permanentes sous chargements répétés de trois graves non traitées. Bulletin de Liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées. 1993. No. 184, pp. 77-84.

10. Theyse H.L. The development of mechanistic-empirical permanent deformation design models for unbound pavement materials from laboratory accelerated pavement. Proceedings of the 5-th International symposium on unbound aggregates in road. Nottingham. 2000, pp. 285-293.

11. Wolff H., Visser A. Incorporating elasto-plasticity in granular layer pavement design. Proceedings of Institution of Civil Engineers Transport. 1994. 105, pp. 259—272.

12. Werkmeister S. Permanent deformation behavior of unbound granular materials in pavement constructions. Ph.D. thesis, University of Technology. Dresden. The Germany. 2003.

13. Александров А.С., Киселева Н.Ю. Пластическое деформирование гнейс и диабаз материалов при воздействии повторяющихся нагрузок // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2012. № 6. С. 49—59.

13. Aleksandrov A.S., Kiseleva N.Yu. Plastic deformation of the gneisses and diabase materials exposure repeated loads. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Stroitel'stvo. 2012. No. 6, pp. 49—59. (In Russian).

ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ КЕРАМИКИ

Химическая технология керамики

Авторы - коллектив ученых РХТУ им. Д.И. Менделеева под редакцией И.Я. Гузмана

Издание 2-е, исправленное М: РИФ «СМ». 2012 г. 494 с.

В пособии освещены вопросы современного состояния технологии основных видов керамических изделий строительного, хозяйственно-бытового и технического назначения, а также различных видов огнеупоров. Книга соответствует программе общего курса химической технологии керамики и огнеупоров при наличии также курсов соответствующих специализаций. Подробно изложены характеристика сырья, проблемы подготовки керамических масс и их формование, особенности механизмов спекания, а также дополнительные виды обработки керамики: металлизация, глазурование, декорирование, механическая обработка.

Описаны механические, деформационные, теплофизиче-ские, электрофизические свойства керамических изделий, в том числе при высоких температурах.

Учебное пособие рассчитано на студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Химическая технология тугоплавких неметаллических и силикатных материалов» и специалистов, работающих в области технологии керамики и огнеупоров.

Тел./факс: (499) 976-22-08; 976-20-36 www.rifsm.ru

30

май 2016

.úJ ®