CC BY
68
1УДК 372.851 ББК 74.262.21
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
И. Г. Одоевцева, Н. В. Маркова, Н. В. Эйрих
Аннотация. Опыт работы в вузе показывает, что знания, умения и навыки студентов-первокурсников по математике недостаточно прочные, они обрывочные и несистематизированные, что связано, на наш взгляд, с «натаскиванием» школьников на решение ЕГЭ, отсутствием преемственности школьного и высшего математического образования. В качестве пути решения данной проблемы авторы статьи предлагают способы реализации компонентов учебно-познавательной преемственности на уроках математики. В статье описан потенциал школьного курса математики, указаны школьные темы, которые являются «основой» для успешного освоения курса высшей математики, приводятся примеры и решения заданий по высшей математике, с указанием опорных школьных навыков.
Ключевые слова: непрерывное образование, преемственность, содержание, компоненты учебно-познавательной преемственности, мотивация, самоконтроль.
THE CONTINUITY OF SECONDARY GENERAL AND HIGHER EDUCATION IN THE TEACHING OF MATHEMATICS
I. G. Odoevceva, N. V. Markova, N. V. Eyrikh
Abstract. Teaching experience at the University demonstrates that the knowledge and skills of first-year students in mathematics is insufficient, fragmentary and unsystematic, which is due, in our opinion, to „coaching" students just to pass the State exam, lack of continuity of school and high mathematics education. As a way of solving this problem, the authors propose to implement components of the teaching and learning continuity in mathematics classes. The article describes the potential of school mathematics course, indicates the school subjects that are the „basis" for the successful completion of the course of higher mathematics, gives examples and solutions of tasks in higher mathematics with the indication of basic school skills.
Keywords: continuing education, continuity, content, components of teaching and learning continuity, motivation, self-control.
В настоящее время новой парадигмой образования стала идея непрерывного образования, базовым механизмом которого является преемственность. Процессы, происходящие в отечественном образовании, свидетельствуют о том, что механизмы преемственности в нем выражены очень слабо. Сегодня наблюдается значительный разрыв между общим и высшим математическим образованием в содержании, в формах и методах обучения, характере учебно-познавательной деятельности школьников и студентов.
Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) высшего образования (далее - ВО) уже введен в действие и требует до-
стижения определенных компетенций обучающимися, но это возможно, если сформирован некий базовый уровень на предыдущем этапе при обучении в школе. Г. Р. Ломакина отмечает, что основная задача ВО в данном случае - способствовать развитию уже сформированных в школе результатов, переходу их на более сознательный, осмысленный уровень [1]. Предполагается, что результаты, сформированные в школе, будут развиваться и переводиться на уровень профессиональной деятельности. Однако ФГОС среднего общего образования (далее - СОО), ориентированный на новые результаты (личностные, метапредметные и предметные), начнет повсеместно вводиться лишь с 2020 г.
В этот переходный период все более заметным становится противоречие между требованиями, предъявляемыми к абитуриентам в высшей школе, и заданным базовым уровнем выпускников школ. Как показывает практический опыт авторов, первокурсники не вполне готовы к освоению курса высшей математики, им свойственны репродуктивный уровень познавательной активности, слабое владение интеллектуальными и общеучебными умениями, приемами самостоятельной познавательной деятельности, недостаточное развитие волевых процессов, низкая мотивация к самообразованию, самосовершенствованию, к выбору направления обучения в вузе, что свидетельствует о недостаточном обеспечении учебно-познавательной преемственности при переходе из системы СОО в систему ВО [2].
А. П. Сманцер выделяет мотивационно-це-левой, содержательно-деятельностный, опера-ционально-деятельностный, оценочно-рефлексивный компоненты учебно-познавательной преемственности [3].
Рассмотрим, как можно реализовывать каждый компонент учебно-познавательной преемственности на уроках математики в школе и на занятиях в вузе.
1. Мотивационно-целевой компонент преемственности включает в себя цели, потребности, мотивы, интересы, то есть все то, что обеспечивает включение обучающегося в процесс активного учения и поддерживает эту активность на протяжении всех этапов учебного познания.
Для реализации данного компонента преемственности педагогу необходимо обращать внимание учащихся на важность овладения методами учебной работы, рассказывать о значении изучаемого материала для овладения теорией той или иной науки, устанавливать взаимосвязь этого материала со смежными учебными дисциплинами, показывать его практическое приложение в науке и технике, производстве и роль в профессиональной деятельности, использовать исторические экскурсы.
Например, вычисление длин, площадей и объемов, вычисление моментов инерции, работы, силы и т. п. приводит к процедуре построения интегральной суммы. Таким образом, введение понятия «определенный интеграл» как предела интегральных сумм появляется как закономерная необходимость. Кроме того, это определение
используется и в вузовских курсах математического анализа. Однако такое определение оказывается достаточно сложным для понимания учащимися ввиду высокого уровня абстракции новых понятий и недостаточностью времени для их осмысления. Поэтому при изучении темы «Интеграл и его вычисление» при знакомстве школьников с понятием площади криволинейной трапеции для первичного осмысления, развития познавательного интереса и формирования мотивации целесообразно предложить ученикам выполнить следующий проект.
Задание. Вычислить приближенно площадь SФ одной из плоских фигур, представленных на рисунке (рис. 1).
План выполнения
1. Обвести контуры выбранной плоской фигуры на листе в клетку (или на листе миллиметровой бумаги).
2. Обвести «ступенчатую» фигуру, состоящую из квадратов со стороной 2 клетки (1 см), которые целиком содержатся в плоской фигуре (рис. 2a). Вычислить площадь этой фигуры ^
3. Обвести «ступенчатую» фигуру, состоящую из квадратов со стороной 2 клетки (1 см), которые содержат хотя бы одну точку плоской фигуры (рис. 2б). Вычислить площадь этой фигуры
4. За примерное значение площади взять среднее арифметическое полученных значе-
S1 +
ний £,
Ф1
2
¥ * *
Рис. 1. Фигуры, предлагаемые для вычисления площадей
Рис. 2. Вписанная (а) и описанная (б)
«ступенчатые» фигуры, состоящие из квадратов со стороной две клетки
5. Повторить пункты 2-4 для квадратов со стороной 1 клетка (0,5 см), вычислив соответственно ^/2 и £ 1 /2 (рис. 3). За примерное значение площади взять среднее арифметическое
„ £ 1/2 + £ 1/2 Ф1/2~ 2 .
полученных значений £
6. Сравнить полученные значения
Ф1
SФ1/2. Какое из этих значений точнее дает значение искомой площади фигуры? Почему?_
7. Сравнить значения ^ и ¿1/2, £ 1 и £ 1 /2. Какие значения дают приближенное значение площади с недостатком, а какие с избытком?
8. Если повторить пункты 2-4 для квадратов со стороной1/2 клетки (0,25 см), то как изменятся ¿л/4 и £ 1 /4 по сравнению с предыдущими значениями?
Выполнение данного проекта позволит учащимся осмыслить понятие площади плоской фигуры как предельного перехода, «увидеть» его. В данном случае наглядность используется не как вспомогательное средство обучения, а как полноценный способ объяснения нового с опорой на визуальное мышление [4; 5].
Кроме того, у учителя появляется возможность ввести понятие квадрируемости плоской фигуры, верхних и нижних площадей фигур. Учитель может раскрыть и «дальнюю перспективу»: дать геометрическое истолкование определенного интеграла как площади криволинейной
Рис. 3. Вписанная (а) и описанная (б) «ступенчатые» фигуры, состоящие из квадратов со стороной одна клетка
трапеции, ввести понятия нижних и верхних сумм Дарбу. Умения, полученные учащимися в процессе выполнения данного проекта, будут необходимы им в вузовском курсе математического анализа при изучении геометрических приложений определенного интеграла.
2. Содержательно-информационный компонент преемственности. Прочность знаний учащихся в значительной мере зависит от преемственности при формировании научных понятий на всех ступенях обучения.
Математика является обязательной дисциплиной для изучения как в школе, так и в вузе. Она занимает важнейшее место в системе образования, являясь методом познания действительности, позволяющим описывать и изучать реальные процессы и явления. Фундаментальность математической подготовки отличается достаточной общностью математических понятий и конструкций, обеспечивающей широкий спектр их применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения. В математике существуют тесные взаимосвязи между вновь вводимыми и старыми понятиями, новое знание включает в себя все элементы старого, идет постоянное переосмысление новых фактов, их обобщение и упорядочивание. Поэтому знания, которые были приобретены на школьной ступени образования, являются фундаментом для обучения математике в вузе (таблица).
При этом заметим, что некоторые темы не включены в задания ЕГЭ последних лет.
Для установления преемственности в определении основных математических понятий необходимо выделять особенности определения отдельных понятий в школьном курсе математики, указывать те понятия, на которых базируется введение новых и которые очень важны при изучении высшей математики в вузе. Необходимо отметить, что подлинное усвоение теоретических знаний у учащихся происходит не мгновенно, а поэтапно. Прочное усвоение знаний происходит не в момент приобретения знаний, а позднее. При этом значительная часть времени затрачивается на поэтапное приращение знаний, на установление преемственных связей между различными порциями учебного материала.
Например, выпускник средней школы обычно умеет решать задачи на отыскание производных,
Таблица
Содержание школьного курса математики, которое играет важную роль для дальнейшего обучения в вузе
Темы школьного курса Место в вузовском курсе
1. Рациональные преобразования Проведение качественных вычислений
2. Специальные методы: подстановки, неопределенных коэффициентов, выделения полного квадрата Интегрирование, решение дифференциальных уравнений, приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду
3. Модуль Определение предела функции, исследование рядов на сходимость
4. Геометрическая прогрессия Исследование рядов на сходимость, составление закона распределения случайной величины
5. Однородные уравнения различного типа Решение дифференциальных уравнений
6. Координаты, векторы Составление уравнений прямых и плоскостей
но при этом часто не знает, что называется производной, для чего нужно это понятие, с какими другими понятиями оно связано (рис. 4). С помощью производной мы изучаем не только скорость механического движения, но и скорость радиоактивного распада, изучаем движение жидкости и газа, теорию теплоты, электромагнитные явления [6].
3. Учебно-операциональный компонент преемственности. Успешность учебной деятельности как учащихся школы, так и студентов зависит от того, в какой мере они владеют определенными приемами учебной работы, общеучебными умениями и навыками. У них должны быть развиты основные мыслительные операции (анализ и синтез, классификация, обобщение, определение необходимых и достаточных условий).
Изучение математики на разных ступенях образования позволяет сформировать умения видеть общие подходы при решении задач, применять ранее изученный материал в новых условиях, проводить анализ и синтез, использовать сравнение и аналогию, но в школьном курсе математики этому уделяется недостаточно внимания.
Например, в школе учащиеся учатся вычислять значение функции в заданной точке, то есть если у(х ) = х2 + 3х - 4 и нужно найти у (2), то
для них не составляет труда подставить в функцию вместо х значение 2, выполнить указанные действия 22 + 3 • 2 - 4 и дать ответ у(2) = 6. Однако обобщенное умение у них не формируется, что ведет к трудностям при изучении тем «Непрерывность функции», «Дифференцирование функции» в курсе высшей математики. Задания, в которых нужно найти у(х0) или у(х0 + Ах), вызывают затруднения!? Хотя при выполнении этого задания также нужно подставить в функцию вместо х выражение х0 или х0 + Ах, раскрыть скобки и дать ответ:
У(х0 ) = х02 + 3х0 - 4 , y(x0 + Ax) = (x0 + Ax )2 + 3(x0 + Ax) - 4 =
= x02 + 2 x0 Ax + (Ax )2 + 3x0 + 3Ax - 4 . Такие задания выполняются при вычислении приращения функции
АУ = У(х0 + Ах)- У(х0). Обобщенные умения необходимы и для того, чтобы научиться составлять сложные функции. Если даны две функции f(х) = х2 и g(х) = sin х, то чтобы найти f (g(х)), нужно подставить в функцию f (х) вместо х функцию g (х), выполнить указанные действия и дать ответ: f (g(х)) = (Я(х))2 или f (g(х)) = (sin х)2.
Мгновенная скорость Предел разностного отношения
Правила дифференцирования
i <
Производная
Геометрический смысл
производной
Касательная К графику функции
Производные функции
Уточнение графика в окрестности точки
Промежутки возрастания, убывания, постоянства функции, экстремумы
Рис. 4. Связи между понятиями в разделе «Производная»
Аналогично, чтобы найти g (f (х)), нужно подставить в функцию g(х) вместо х функцию f (х), выполнить указанные действия и дать ответ: g (f (х)) = sin f (х) или g (f (х)) = sin (х2).
Такой общий подход к восприятию формул позволяет в дальнейшем, например, при изучении тем «Производная сложной функции» или «Интегрирование внесением под знак дифференциала» увидеть в сложном выражении табличную производную или первообразную. Например, из табличной производной степенной функции (х") = n • х"-1, получаем формулу для производной сложной функции (и") = n • U"-1 • U', где
U = U (х), и применяем:
/ г
(sin5 х) = 5 • sin4 х (sin х) = 5 • sin4 х • cos х,
((3x + 7)11)' = 11 • (3x + 7)10 • (3x + 7)' = 33 • (3x + 7)10.
Или из табличного интеграла от степенной
х
п+1
ем ее:
sin5 X
+ C,
Например, при изучении темы «Выделение полного квадрата» в школе, получив для многочлена второй степени х2 + 3х - 4 искомое представление в виде разности квадрата дву' 3Л
члена
х + -
2
25
и числа =4., следует выполнить
обратное действия - применить формулу квадрата суммы:
V
' 3
х + -
V 2 У
25 2 „ 3 9 25
— = х + 2 • х---1----=
4 2 4 4
16
= х2 + Эх--= х2 + Эх - 4 .
4
Умение выделять полный квадрат очень часто используется в высшей школе. Так, при изучении темы «Интегрирование функции» инте-
г dx г йх гралы вида I—-или I-
х + px + q
Vx
функции [ х dx =--+ C получаем формулу
J n +1
jn+1
[ JndJ =--+ C, где U = U(х), и применя-
J n +1
J sin4 x cos xdx = J sin4 xd (sin x )
J(3x + 7)10 dx =1 J(3x + 7)10 d(3x + 7) =1 • (3x +7" + С.
4. Оценочно-рефлексивный компонент преемственности. Реализация данного компонента направлена на обучение школьников и студентов рефлексии своих действий, на оценку и самооценку результатов своего труда, на самоанализ, самопознание, саморазвитие.
Внедрение ФГОС нового поколения в вузе привело к увеличению доли самостоятельной работы студентов. К сожалению, школьные методы обучения состоят в основном в организации активной работы учащихся в классе и систематическом контроле учителя за их деятельностью, в то время как обучение в вузе ориентировано на большую самостоятельность и ответственность [7]. Поэтому важная составляющая подготовки школьников - формирование умения учиться самостоятельно, применять методы самоконтроля в процессе обучения. При изучении математики можно применять разнообразные приемы самоконтроля, один их которых - решение обратной задачи, что позволяет исключить ошибки при выполнении тождественных преобразований.
¡х + рх + q г dx
сводятся к табличным интегралам I —--
л 2 I 2
, х ± а
г иХ
или I . — соответственно. Этот же прием
Чх2 ± а2
используется и при приведении к каноническому виду уравнений кривых второго порядка:
х2 + 4у2 -10х + 16у + 37 = 0,
(х - 5)2 + 4(y + 2)2 = 4, (х - 5)2
+ (у + 2)2 = 1.
4
Другой пример: при разложении квадратного трехчлена х2 + 3х - 4 на множители (х - 1)(х + 4) , где х1 = 1 и х2 = -4 - корни квадратного уравнения х2 + 3х - 4 = 0, выполнение обратного действия - перемножения двух скобок - опять дает возможность самопроверки:
(х - 1)(х + 4)= X2 + 4X - х - 4 = X2 + 3х - 4.
Прием разложения многочлена на множители используется в высшей математике, например, при изучении темы «Пределы функций» для
"0"
раскрытия неопределенностей вида
lim
5х2 - 20х +15
3хz - 15х +12
0
5( х -1)( х - 3)
= lim
3( х -1)( х - 4)
= lim
5(х - 3) 10
х - 4) 9 ' Отрабатывая умение сложения алгебраических дробей с разными знаменателями, обяза-
тельно необходимо учить и обратному действию - разложению на сумму простых дробей.
1) Сложить дроби:
2 + 3 _ 2Ь + 3а _ 2Ь + 3а а Ь аЬ аЬ аЬ Разложить на сумму простых дробей: 2Ь + 3а _ 2Ь + 3а _ 2 + 3 аЬ аЬ аЬ а Ь
2) Сложить дроби:
2 3
2( х + 2) + 3( х -1)
х -1 х + 2 (х - 1)(х + 2) (х -1)(х + 2) 5 х +1
(х - 1)(х + 2) • Разложить на сумму простых дробей:
5х +1
A B
- + -
А(х + 2) + В(х -1) (х -1)(х + 2) х -1 х + 2 (х -1)(х + 2) '
где неизвестные коэффициенты А и В находятся из условия равенства числителей равных дробей:
5х +1 = А( х + 2) + В( х -1),
при х = 1, получаем 6 = 3А, А = 2, при х = -2, получаем - 9 = -3В, В = 3, откуда
5x +1
2 3
(х - 1)(х + 2) х -1 х + 2
Этот прием используется при вычислении интегралов от правильных рациональных дробей, когда подынтегральную рациональную дробь представляют в виде суммы элементарных дробей:
J
5 х +1
(х -1)( х + 2)
dx = J
2
3
х
+
1 х + 2
dx =
= 2 In х -ll + 31n х + 2 + C.
Таким образом, учебно-познавательная преемственность проявляется в практике во взаимосвязи мотивации и целеполагания, ориентации на личностно значимое и профессионально направленное содержание обучения и личностно ориентированный учебный процесс (мотивационно-це-левой аспект); в последовательном овладении обучающимися знаниями, понятийным аппаратом, способами деятельности, умениями и навыками их переноса в новые ситуации и условия, в целе-
направленном развитии умений организации и планирования познавательной и практической деятельности (содержательно-деятельностный и операционально-деятельностный аспекты); в формировании умений самоконтроля и самооценки, рефлексии учебной деятельности и результатов обучения, самопознания себя как личности (оценочно-рефлексивный аспект). Все компоненты учебно-познавательной преемственности взаимосвязаны и взаимообусловлены.
Если в процессе обучения в школе и вузе вести целенаправленную систематическую работу по установлению учебно-познавательной преемственности, то выпускники школ будут готовы не только сдать ЕГЭ, но и успешно учиться в вузе. При этом всегда нужно помнить, что «новое не возникнет на пустом месте, не образуется из ничего».
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломакина, Г. Р. Преемственность стандартов среднего общего и высшего профессионального образования [Текст] / Г. Р. Ломакина // Вестн. Новосибирского гос. ун-та. - 2013. -Т. 14, № 2. - С. 76-83.
2. Одоевцева, И. Г. Формирование образовательных результатов в системе «лицей-вуз» как непрерывный и целостный педагогический процесс [Текст] / И. Г. Одоевцева // Человек и его ценности в современном мире: VI Международная научно-практическая конференция: сб. ст. / под ред. К. Г. Эрдыне-евой. - 2015. - С. 116-122.
3. Сманцер, А. П. Теория и практика реализации преемственности в обучении школьников и студентов [Электронный ресурс] / А. П. Сманцер. - Минск: БГУ, 2011. - Режим доступа: http://elib.bsu.by/bitstream/1234567 89/27750/1/Smantser.pdf (дата обращения: 20.07.2016).
4. Брянцева, Т. Н. Ряд Тейлора. Метод наглядности и межпредметные связи [Текст] / Т. Н. Брянцева, В. А. Делянов // Наука и школа. - 2016. - № 2. - С. 121-126.
5. Сабадаш, Т. Л. Геометрический смысл производной: визуализация в Maple [Электронный ресурс] / Т. Л. Сабадаш, Н. В. Эйрих // Постулат. - 2015. - № 1. - Режим доступа: http://e-postulat.ru/index.php/Postulat/article/ view/15/17 (дата обращения: 20.07.2016).
6. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст] / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2005.
7. Маркова, Н. В. Применение интерактивных методов обучения в курсе теории вероятностей [Электронный ресурс] / Н. В. Маркова, Н. В. Эйрих // Электронное научное издание «Ученые заметки ТОГУ». - 2014. - Т. 5, № 4. - С. 725-730. - Режим доступа: http://pnu.edu. ru/media/ejournal/artides-2014/TGU_5_268.pdf (дата обращения: 20.07.2016).
REFERENCES
1. Lomakina G. R. Preemstvennost standartov srednego obshchego i vysshego professional-nogo obrazovaniya. Vestn. Novosibirskogo gos. un-ta. 2013. Vol. 14, No. 2, pp. 76-83.
2. Odoevtseva I. G. Formirovanie obrazovatelnyh rezultatov v sisteme "litsey-vuz" kak nepre-ryvnyy i tselostnyy pedagogicheskiy protsess. In: Chelovek i ego tsennosti v sovremennom mire. VI mezhdunarodnaya nauchno-prak-ticheskaya konferentsiya: collection of articles. 2015, pp.116-122.
3. Smantser A. P. Teoriya ipraktika realizatsiipre-emstvennosti v obuchenii Shkolnikov i studen-tov. Minsk: BGU, 2011. Available at: http:// elib.bsu.by/bitstream/123456789/27750/1/ Smantser.pdf (accessed: 20.07.2016).
4. Bryantseva T. N., Delyanov V. A. Ryad Teylora. Metod naglyadnosti i mezhpredmetnye svyazi. Nauka i shkola. 2016, No. 2, pp. 121-126.
5. Sabadash T. L., Eyrikh N. V. Geometricheskiy
smysl proizvodnoy: vizualizaciya v Maple. Postulat. 2015, No. 1. Available at: http://e-post ulat.ru/index.php/Postulat/article/view/15/17 (accessed: 20.07.2016).
6. Sarantsev G. I. Uprazhneniya v obuchenii mate-matike. Moscow: Prosveshchenie, 2005.
7. Markova N. V., Eyrikh N. V. Primenenie inter-aktivnyh metodov obucheniya v kurse teorii veroyatnostey. Elektronnoe nauchnoe izdanie "Uchenye zametki TOGU". 2014, Vol. 5, No. 4, pp. 725-730. Available at: http://pnu.edu.ru/ media/ejournal/articles-2014/TGU_5_268.pdf (accessed: 20.07.2016).
Одоевцева Ирина Геннадьевна, старший преподаватель кафедры информационных систем, математики и методик обучения, преподаватель лицея Приамурского государственного университета имени Шолом-Алейхема
e-mail: dichenko-irina@list.ru
Odoevceva Irina G., Senior lecturer, Information Systems, Mathematics and teaching methods Department, lyceum teacher, Amur State University named for Sholom-Aleichem e-mail: dichenko-irina@list.ru
Маркова Наталья Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Тихоокеанского государственного университета e-mail: nata_mark@mail.ru
Markova Natalya V., PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, High Mathematics Department, Pacific
National University
e-mail: nata_mark@mail.ru
Эйрих Надежда Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, информационных технологий и техники Приамурского государственного университета имени Шо-лом-Алейхема
e-mail: nadya_eyrikh@mail.ru
Eyrikh Nadezda V., PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Dean, Faculty of mathematics, information technology and engineering, Amur State University named for Sholom-Aleichem e-mail: nadya_eyrikh@mail.ru
