CC BY
35
УДК 372.851
Kovaleva G.I., Doctor of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Volgograd State Socio-Pedagogical University (Volgograd,
Russia), E-mail: kovaleva-gi@mail.ru
Milovanov N.Yu., teacher, Secondary School № 92 of Krasnooktyabrsky District of Volgograd (Volgograd, Russia),
E-mail: milovanoff89@yandex.ru
WAYS OF ENSURING CONTINUITY OF STUDY OF CONCEPTS OF MATHEMATICAL ANALYSIS BETWEEN SCHOOL AND UNIVERSITY. This article considers a problem of formation of concepts of mathematical analysis. The methods of ensuring continuity of study of these concepts are not completely understood in science and require further consideration. The study presents a comparison analysis of the processes of studying mathematical analysis in a school mathematics course and in a one in a university. The authors give a classification of the main ways of ensuring continuity of teaching mathematical analysis between school and university: person-oriented approach, using the contents of the material through the use of mathematical symbols, using the systems design task. The authors conduct an analysis of approaches and works on teaching methods of mathematics and psychology and believe that the system of task and graphical representation of concepts are the main method of continuity.
Key words: concept, continuity teaching, mathematical analysis, system task, graphical representation, visualization.
Г.И. Ковалева, д-р пед. наук, доц. Волгоградского государственного социально-педагогического университета,
г. Волгоград, Е-mail: kovaleva-gi@mail.ru
Н.Ю. Милованов, учитель муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя школа № 92
Краснооктябрьского района Волгограда», г. Волгоград, Е-mail: milovanoff89@yandex.ru
СПОСОБЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МЕЖДУ ШКОЛОЙ И ВУЗОМ
В данной статье рассматривается проблема формирования понятий математического анализа. Рассмотрены способы обеспечения преемственности изучения данных понятий, так как данная проблема мало изучена и требует решения. Дается сравнение процессов изучения математического анализа в школьном курсе математики и вузе. Авторы представляют классификацию основных способов обеспечения преемственности обучения математическому анализу между школой и вузом: через личностно-ориентированный подход, через содержание материала, через использование математической символики, через конструирование систем задач. На основании анализа подходов и литературы по методике математике и психологии, устанавливается, что системы задач и графические представления понятий являются главным способ обеспечения преемственности.
Ключевые слова: понятие, преемственность обучения, математический анализ, система задач, графические представления, наглядность.
Вопросы математического анализа сегодня являются традиционными в содержании школьного курса математики, куда они были включены в период колмогоровской реформы математического анализа (в 70-е годы ХХ века). Методика обучения математике в общеобразовательной школе прореагировала на нововведение многочисленными исследованиями, связанными с выделением элементов теории пределов, дифференциального и интегрального исчислений, которые доступны пониманию старшеклассников [1].
Вопросами формирования понятий математического анализа в школьном курсе математики занимались А.Г. Мордкович [2], Г.И. Саранцев, П.М. Эрдниев, Л.И. Токарева и др. При этом, методика обучения математике в вузе осталась в стороне от поисков преемственных связей понятий, которые были сформированы при изучении школьного курса математики. Помимо этого, вузовские учебники математического анализа, по которым ведется преподавание, мало отличаются от тех, которые были созданы в 50-60-е годы ХХ века. Изложение материала в них до сих пор осуществляется без учета имеющихся предварительных знаний.
По стандарту среднего (полного) общего образования по математике у обучающихся должны быть сформированы понятия: предел последовательности, непрерывность функции, производная функции, определенный интеграл.
Обучающиеся должны знать: физический и геометрический смыслы производной; производные элементарных функций; формулу Ньютона-Лейбница.
Обучающиеся должны уметь: вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии; писать уравнение касательной к графику функции; находить производные суммы, разности, произведения, частного, сложной функции; применять производную к исследованию функции и построению графиков; находить первообразную функции. Должен быть ознакомлен с примерами использования производной и интеграла для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.
Однако после изучения начал математического анализа в школе, обучающиеся, будучи уже студентами, сталкиваются с проблемами изучения понятий данного раздела математики в вузе.
В первую очередь это связано с изменением методик в обучении, во вторых проблема трактовок основных понятий анализа в школе и дальнейшее появление строгих определений в вузе. Изучение системного курса анализа должно основывается на факты, которые обучающиеся приобрели в школе, так как необходимо помнить, что школьный курс математического анализа изучается на пропедевтическом уровне.
Рассматривая процесс усвоения знаний, К.Д. Ушинский [3] считал, что усвоение должно проходить на основе постепенности, последовательности и преемственности. Процесс усвоения знаний он представлял как процесс установления связи между вновь приобретенными и старыми знаниями, между которыми имеются внутренние связи, совершенно независимо от того, на каком предмете и когда они были приобретены.
В дидактике всегда придавалось большое значение опоре нового материала на старые знания, на систему сложившихся связей, но в недостаточной степени учитывалось развитие старых знаний под влиянием новых. Когда при прохождении нового материала привлекаются старые знания, то они оживляются, становятся более мобильными и более совершенными, а новый материал, включаясь в уже сформировавшуюся систему знаний, лучше усваивается.
На основе анализа методической литературы были выделены основные способы обеспечения преемственности обучения математическому анализу между школой и вузом:
- через личностно-ориентированный подход. Данный подход требует развертывания содержания обучения с опорой на субъектный опыт обучающихся, под которым понимается опыт жизнедеятельности отдельной личности, приобретаемый и реализуемый в ходе познания окружающего мира, общения и осуществления различных видов деятельности. По мнению И.С. Якиманской [1], процесс обучения следует рассматривать как интеграцию субъектного опыта с общественным, который проходит три основных стадии: раскрытие содержания; согласование содержания с социокультурным образцом; создание условий для активного использования усвоенных знаний. В дополнение к этим стадиям должны быть созданы и определенные условия, среди которых наиболее значимыми выступают: постановка установочных домашних заданий; постановка на лекции
рефлексивных заданий; предварение изучения нового материала на лекции провоцирующими математическими задачами;
- через содержание материала. В учебниках алгебры и начал анализа встречаются различные трактовки фактов математического анализа, что влияет на систематическое изучение курса. Примером может служить определение предела функции в точке. В одних учебниках дается строгое определение по Коши, в других предел функции определяется как значение функции в заданной точке, либо вообще не вводится данное понятие. Поэтому при изучении математического анализа в вузе у студентов может возникнуть множество вопросов, так как в школе произошла подмена понятия;
- через использование математической символики. В данном способе теоремы и определения математического анализа формулируются через окрестности точки и в математической записи используюткванторы,каки в высшейматематике. Очевидно, что школьнику в силу его возрастных особенностей и не-доитаыочноймаенматичесвой крльырынныо силам такыеспра-деления понятий математического анализа в школьном курсе математики. То есть от формального определения понятий в шконе слеруетытказаеьсы;
- через конструирование систем задач. Система задач - со-воыупноеуьзннаы. упо рядеиеннынаподобранных в соответствии с поставленной целью, действующих как одно целое, взаимосвязь и взаимоастснвиакотнрыхкринодит к тврааее намеаннна-му результату [4].
Рассмотрим пример системы задач по интегральному исчислению, коыорэтынжвт бытьнепоснзннанакек у-италяьн школ, так и преподавателями вуза. Задание: Составьте возможную форыулапснщедсыаштыиховинно й фигуны:
В.В. Давыдов [5] приходит к выводу, что принцип наглядности оправдывает себя там, где содержанием обучения выступают внешние свойства вещей.
Таким образом, основным способом обеспечения преемственности при изучении математического анализа должен являться последний способ и акцент при конструировании задач должен отводиться на графические представления понятий математического анализа.
Формирование понятий и изучение утверждений в школе и вузе должно проходить одинаковые этапы:
1) Актуализация знаний, умений и навыков. На данном этапе необходимо как в школе, так и в вузе, понять, какими знаниями обладает обучающийся, чтобы на основе этой базы построить изучение нового материала.
2) Графическая интерпретация понятия или утверждения маре мавичаекога ааауизу. Обясатсльеимнтып.кнто^и^боль-шей степени используется в школе, чем в вузе.
3- Стрыгаа фсьмулнровка пеьяния илуетвсщждения мачема-тического анализа. На данном этапе строгая формулировка да-етвяасуве. В шкыле нeтбчoдиркдaтюунтаи тик о понктннееп ре-деление изучаемому понятию, основываясь на его графическое представление. Строгое же определение следует давать в вузе, так как обучающиеся уже знакомы с аппаратом математического анализа и возрастные особенности позволяют переходить от на-грыдндгнапределення г^ои^идтУ^отм^к^нво^^1^мвеыьныыупред-ставлению.
4)Ферогоеыатрмаунчеакоедокаватсльенро .Расамавривае-мый этап следует использовать в вузе, так как школьный курс нкceчысeбннюнвкoмвтeыкный характер.
С точки зрения психологии одним из основных принципов обучения счмтaатcуеpинакпыыaглядрocди,ы соотвевствуи с которым обучение строится на конкретных образах, непосредственно воспринимаемых обучающимися. А.Н. Леонтьев [5] в исследова-ниркронлевы нагняднпстнытбавении дтыaeалеlкoд,лтддecтo е роль наглядного материала в процессе обучения определяются отыошенаам нaгыядрымыдтнpне-
лом к той деятельности, которая составляет суть процесса обучения.
5) Осмысление и применение изученного. Данный этап должен включать в себя конструирование систем задач, как учителями ныл, ты и врзиу.
Рассмотрим реализацию способа обеспечения преемствен-ноктипри изичуеии мaтсмaтычeакol"o нналезы непе^л^е^^ теоремы: Если в некотором (конечном или бесконечном, замкнутом иии ия А (( есеьпеаноосраздая для
функции/(х), то и функция Г (х) + С, где С - любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, каждая функция, первооб-
