Об устойчивости в целом нелинейных неавтономных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.376.54 Г. А. Леонов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ в целом НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

В 1998 году была предложена методика оценки нормы разности двух решений нелинейных дифференциальных уравнений, использующая теорему о конечных приращениях [1]. В настоящей заметке эта методика применяется к исследованию устойчивости в целом нелинейных неавтономных систем. Рассмотрим систему

^ = хеНп, ген1 (1)

и систему

х(г + 1) = Г(х(г),г), х е яп, г е2, (2)

где Г(х, г) — непрерывно дифференцируемая по х вектор-функция, Яп — п-мерное евклидово пространство, 2 — множество целых чисел. При рассмотрении системы (1) предполагается непрерывность вектор-функции Г(х,г) по г. Обозначим через

. дг (х,г)

матрицу Якоби вектор-функции Г(х,г) в точке х е Яп.

Рассмотрим решения систем (1) и (2) с начальными данными х(хо,Ьо,хо) = хо, предполагая, что они определены при всех г > го. В дальнейшем будем считать, что Ьо —некоторое фиксированное число.

Введем следующие линеаризации систем (1) и (2) вдоль решений х(г,го,хо):

¿ = л(х(г,го,хо),г)х, х е Еп, г е я1, г > го, (3)

х(г + 1) = л(х(г,го,хо),г)х(г), х е яп, г е2, г > го. (4)

Обозначим через Z(г,хо) фундаментальную матрицу системы (3), удовлетворяющую условию Z(го, хо) = I. Здесь I — единичная п х п-матрица. Фундаментальная матрица Z(г, хо) для системы (4) вводится следующим образом:

г-1

z(го,xо)= I, Z(г,xол(х(з,го,хо),з), г>го.

3 = Ъо

Лемма 1. Для решений х(г,го,хо) и х(г,го,уо) системы (1) (или системы (2)) справедлива оценка

\х(г,го,хо) - х(г,го,уо)|< вир ^(г,у)\ \хо - уо\, Уг > го, (5)

УЕВ

где В = {V \хо - «\< \хо - уо\}.

© Г. А. Леонов, 2005

Доказательство. Рассмотрим сначала систему (1). Из предположений на вектор-функцию Г(х,Ь) следует дифференцируемость решений х(Ь,Ьо,хо) по начальным данным хо [2]. Продифференцировав по хо левую и правую части уравнения

¿х(г,г0,х0)

-—- = Ь ¿о, хо), Ч,

получим соотношение

й дх(Ь, Ьо,хо).,, , дх(г,Ьо,хо)

А дх0 = Ж*(Мо,*о),*) •

Отсюда следует равенство

дх(г,г0,х0)

—--=г(г,х0). (6)

дхо

Используя теорему о конечных приращениях [3] при фиксированном Ь > ¿о, получим существование V = е В, для которого

\х(г,го,хо) - х(Ь,Ьо,уо)\ <

Из соотношений (6) и(7) следует оценка (5). Рассмотрим систему (2) и ее решение

дх(Ь, ¿о, V)

дv

\хо - Уо\. (7)

х(Ь,Ьо, хо) = Г (Г (... Г(хо, ¿о)...)- 1). Продифференцировав это соотношение по хо, получим равенство

дх(г,го,хо)

дхо

= Z(г,хо), ь > ¿о, г еЕ. (8)

Также как и в непрерывном случае для системы (1), получаем оценку (7) при г > ¿о, г е Е.

Из соотношений (8) и (7) следует оценка (5). □

Введем в рассмотрение открытое линейно связное множество П. При этом будем предполагать, что любые две точки П можно связать путем 7(в) С П класса С1.

Обозначим через 1(у,хо,уо) длину пути 7(в) С П, в е [0,1], связывающего точки хо и уо: 7(0) = хо, 7(1) = уо.

Лемма 2. Справедлива оценка

\х(Ь,Ьо,хо) - х(Ь,Ьо,уо)\ < вир \Z(¿^и^^^хо^уо). (9)

Доказательство. Для любой точки 7(в), в е [0,1], существует шар В(в) с центром 7 (в) такой, что В(в) С П.

По лемме Гейне—Бореля можно выбрать конечное подпокрытие В(ви) (к = 1,... ,М) компакта {7(в), в е [0,1]}. Не умаляя общности, можно взять в1 = 0, вN = 1. Выбирем на пути 7 точки так, чтобы е В(вь) ПВ(вк+1) (к = 1,... ,М- 1). Используя лемму 1, получим оценку

\х(Ь,Ьо, хо) - х(Ь,Ьо,уо)\ < \х(Ь,Ьо,7(в1)) - х^^о^о^^ + \х(Ь, ¿о, VI) - х(Ь,Ьо,7(в2))\ + \х(Ь, ¿о, 7(в 2)) - х(1,Ьо,02)\ + ...+

□

+ \x(t,to,VN-i) - x(t,to,Y(sN))\< sup \Z(t,v)\\j(si) - vi\ +

vE-B(si)

+ sup \Z(t,v)\\1(s2) - vi\ + sup \Z(t,v)\\1(s2) - V2\ + ...,+

veß(s2) veß(s2)

+ sup \Z(t,v)\\vN-i - Y(sN)\<sup \Z(t,v)\l(Y,xo,yo).

veB(sN) ven

Из оценки (9) сразу вытекает следующий результат. Теорема 1. Если выполнено соотношение

lim sup \Z(t, v) \ = 0, (10)

i—+ veRn

то система (1) (или система (2)) устойчива в целом.

Напомним, что система устойчива в целом, если для устойчивого по Ляпунову решения x(t,to,xo) выполнено также соотношение

lim \x(t,to,xo) - x(t, to, yo)\ =0 i—

для всех yo G Rn.

Использование теоремы 1, неравенства Важевского [4] и других оценок решений линейных систем [5] позволяет получить различные обобщения широко известных условий устойчивости в целом неавтономных систем [4, 6-9].

Покажем здесь как, например, из леммы 1 и неравенства Важевского можно получить обобщение известного результата Б. П. Демидовича [4, 7, 9].

Теорема 2. Пусть для некоторой симметричной положительно определенной постоянной матрицы H = H* > 0 и непрерывной функции A(t) выполнены соотношения

v* [HA(x, t) + A(x, t)H]v < A(t)v*Hv, (11)

Vv g Rn, Vx g Rn, vt > to, i

lim I Л(т) dr = -ж. (12)

i—/

to

Тогда система (1) устойчива в целом.

Для доказательства теоремы 2 достаточно заметить, что из неравенства Важевского и из соотношений (11), (12) следует равенство (10). Отсюда по теореме 1 имеем устойчивость в целом системы (1). □

При H = I, Л(t) = -а < 0 получим широко известную теорему Демидовича [4, 7, 9].

Summary

G. A. Leonov. Global stability of nonlinear nonautonomous systems.

The estimates for the norm of the difference of solutions of nonlinear nonautonomous systems are obtained. On their basis the stabilitity criterion in total generalizing the theorem of Demidovich, is formulated.

Литература

1. Леонов Г. А. Об устойчивости по первому приближению // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 69, вып. 4. С. 548-555.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970. 720 с.

3. Зорич В. А. Математический анализ. М., т. 1, 1981. 543 с.; т. 2, 1984. 640 с.

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967. 472 с.

5. Adrianova L. Ya. Introduction to Linear Systems of Differential Equations // Translations of Mathematical Monografs. Vol. 146. American Mathematical Society. Providence, Rhode Island, 1995.

6. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М., 1964. 366 с.

7. Демидович Б. П. О диссипативности некоторой нелинейной системы дифференциальных уравнений // Вестник МГУ. 1961, №6. C. 19-27; 1962, №1. C. 3-8.

8. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных управляемых систем. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний // Автоматика и телемеханика. 1964, №7. C. 905-917.

9. Pavlov A., Pogromsky A., van de Wouw N., Nijmeijer H. Convergent Dynamics, a Tribute to B. P. Demidovich // Systems and Control Letters. 2004. Vol.52. P. 257-261.

Статья поступила в редакцию 18 мая 2004 г.