Об устойчивости трехслойных неоднородных прямоугольных пластинок в анизотропно сопротивляемой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

-□ □-

В статтi дослиджуеться задача про стштсть тришарових неодноридних прямокутних пластинок в атзотропно отрному середовищi, шари яких виго-товлен з рiзних неперервно неодноридних матерiалiв. Використовуючи гтотези Шрхгофа-Лява для вЫег товщини елемента, отриман системи рiвнянь стш-костi пластинки. Уразi шарнрного закртлення крагв пластинки побудовано розв'язок задачi i знайдена формула для визначення критичного навантаження пластинки

Ключовi слова: тришаровi пластинки, неоднорид-ний матерiал, пружн характеристики, стштсть,

критичне навантаження

□-□

В статье исследуется задача об устойчивости трехслойных неоднородных прямоугольных пластинок в анизотропно сопротивляемой среде, слои которые изготовлены из различных непрерывно неоднородных материалов. Используя гипотезы Кирхгофа-Лява для всей толщины элемента, получены системы уравнений устойчивости пластинки. В случае шарнирного закрепления краев пластинки построено решение задачи и найдена формула для определения критической нагрузки пластинки

Ключевые слова: трехслойные пластинки, неоднородный материал, упругие характеристики, устойчивость, критическая нагрузка ---□ □-

УДК 539.3

|5о1: 10.15587/1729-4061.2015.36245|

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХСЛОЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК В АНИЗОТРОПНО СОПРОТИВЛЯЕМОЙ

СРЕДЕ

Б. Э. И с а л ы

Докторант

Кафедра "Инженерная механика" Кавказский университет ул. Гасан Алиева, 120, г. Хырдалан, Баку, Абшерон, Азейбарджан Е-таН: fisayev@qu.edu.az

1. Введение

В последние годы в различных отраслях техники: машиностроении, судостроении, строительстве сооружений различного назначения, широко используются элементы конструкции типа тонкостенных пластин и оболочек различного оертания.

Как известно, в последние годы большое применение получили многослойные конструкции. Это, в первую очередь, связано с интенсивным использованием в промышленности новых композитных - искусственных материалов. Применение в строительстве и других областях техники подобных конструкций ставит перед конструктором-исследователем повышенные требования к оценке прочности, устойчивости и амплитудно-частотных характеристик, так как при различных условиях работы и режимах нагружения возникает ряд вопросов, которые требуют решения новых задач напряженно-деформированного состояния и определения критических параметров [1].

Поэтому возникает необходимость учета влияния реальных физико-механических свойств материала слоев конструкции, режима и условия их работы и построения новых эффективных методик расчета, в которых учитываются вышеуказанные специфические особенности [2].

Многие вопросы прочности и устойчивости многослойных элементов конструкций, работающих в пределах упругости, в литературе исследованы достаточно.

В этих работах в основном рассмотрены элементы конструкций с изотропными однородными слоями [3].

Во многих случаях слоистые конструкции изготавливаются из неоднородно-упругих и неупругих материалов. Причиной проявления неоднородности являются технология изготовления конструкций, влияние нейтронного облучения и элементарных частиц, термическая обработка, неоднородность составов и т. д.

В зависимости от процесса изготовления и геометрии конструкции, упругие характеристики могут зависеть от одной или нескольких координат точек тела.

Вопросы устойчивости и колебании слоистых конструкций с учетом неоднородности в литературе изучены недостаточно. Поэтому в данной статье приводится постановка и решение задачи об устойчивости трехслойных неоднородных прямоугольных пластинок, которые находятся в анизотропно сопротивляемой среде.

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

В статье [4] рассматривается модифицированный вариант теории Кирхгофа, для исследования методом граничных элементов пластин, которые находятся на двухпараметрическом основании.

В [5] рассматривается задача о прочности упругих стержней на двухпараметрическом упругом основании методом конечных элементов.

3. Цель и задачи исследования

В статье [6] исследуется устойчивость и закритиче-ское поведение слоистых композитных прямоугольных пластинок, подвергнутых неоднородным по ширине в плане нагрузкам.

В [7] исследуется задача о закритическом поведении пластины переменной толщины из композитных материалов на основе метода конечных элементов с использованием метода возмущений.

В статье [8] рассматривается задача об устойчивости трехслойных неоднородных ортотропных пластинок, которые находятся на неоднородно упругом основании.

В [9] исследуется задача о нелинейной устойчивости и закритическом поведении круговых цилиндрических оболочек из функционально-градиентного материала под действием эксцентрических нагрузок.

В статье [10] исследуется закритическое поведение слоистых пластинок из функционально градиентного материала с учетом деформации поперечных сдвигов и нелинейных кинематических соотношений Кармана.

Рассмотрим трехслойную прямоугольную пластинку, изготовленную из неоднородного упругого материала, которая находится в анизотропно сопротивляемой среде. Координатная система выбрана следующим образом: оси ОХ и ОY расположены в срединной плоскости, среднего слоя пластинки, ось OZ - направлена перпендикулярно им.

Связь между компонентами напряжений и деформаций на основе обобщенного закона Гука имеет вид:

0112=^'33Ё12 (1=1, 2, 3).

(1)

Здесь предполагается, что упругие характеристики материала слоев являются непрерывными функциями координаты толщины т. е.:

Целью исследования является постановка задачи устойчивости трехслойных неоднородных прямоугольных пластинок в анизотропно сопротивляемой среде в общем виде и построение решения задачи устойчивости шарнирно закрепленной по всем краям прямоугольных пластинок при двухстороннем сжатии.

Здесь также будуть исследованы влияние параметров неоднородности материала слоев пластинки и параметров анизотропии упругого основания на значение критических нагрузок рассматриваемой пластинки.

Для достижения этой цели решались следующие задачи:

1. В общем случае получение выражений для усилий и моментов и составление системы уравнений устойчивости рассматриваемой трехслойной пластинки. При этом для упругого основания принималась трехпараметрическая модель анизотропного сопротивления.

2. Построение решения задачи устойчивости рассматриваемой трехслойной пластинки при шарнирном закреплении всех краев и при двухстороннем сжатии.

3. Для случая, когда упругие характеристики материала слоев пластинки линейным образом зависят от координат толщины, выполнение численных расчетов и определение области устойчивости пластинки.

4. Получение уравнений устойчивости пластинки

Как известно [2], уравнения устойчивости прямоугольных пластинок состоит из следующих :

дТ11 + дТ12 = 0, ^12. + дТ22 = о, Эх Эу Эх Эу

(7)

=^к'а*ф. (2)

Используем гипотезу Кирхгофа-Лява для всей толщины елемента пластинки:

Ёц=ец-гхц, Ё22=е22-гх22, Ё^ец^хц,

(3)

где е11, е22, е12 и х11, х22, х12 - бесконечно малые изменения деформации и кривизны срединной плоскости.

Как известно, компоненты усилий и моментов вычисляются по следующим формулам :

-Ь/2 Ь/2 Ь/2+Ь2

V 1 +1 + 1

-Ь,-Ь/2

- Ь/2

Ь/2

Э2Мц + 2+ Т д—+ Эх2 ЭхЭу Эу2 Эх2 Э2Ш Э2Ш

+2Т12 — + Т22 —— + K(w) = 0, ЭхЭу Эу

Э2е Э2е Э2е

11 1 22 _ 2 12 = о

Эу Эх ЭхЭу

(8) (9)

здесь для основания принимается модель анизотропного сопротивления следующего вида:

Э2Ш Э2Ш K(w) = К— - К^^ч--к,

Эх2

Эу2

(10)

-Ь/2 Ь/2 Ь/2+Ь2

М^ = 1 o1jzdz + 1 o2zdz + 1 o3zdz, (4)

-Ь1 -Ь/2 -Ь/2 Ь/2

где Ь1, Ь и Ь2 - толщины соответствующих слоев. С учетом (1), (3) из (4) получим:

Т -Рд0е +Т2д0е Т2 А1 х -рд1х (5)

11 12 11 11 12 12 22 11 11 11 12 11 22

здесь К0, К1, К2 - коэффициенты анизотропии упругого основания.

Из системы (7) видно, что эти уравнения будут удовлетворены тождественно, если ввести функцию напряжений F следующими соотношениями:

Т =д!£ Т Т

11 Эу2' 22 Эх2' 12 ЭхЭу

(11)

М11 = ^11^1^11 + ^12^1^22 - ^21А21х11 - ^122А12х22. (6)

В этих формулах Л| - обобщенные жесткостные характеристики рассматриваемой пластинки.

Для преобразования уравнений (8), (9) необходимому виду, что нужно выразить е^ через Т и хщ из соотношений (5). Тогда после некоторых преобразований из (5) находим:

еи=аиТи+а12Т22+Ьихи+Ь12Х22, e22 = a2lTii+a22T22+b2lXii+b22X22, е12=аззТ12+ЬззХ12.

(12)

Подставляя (12) в выражениях (6) для моментов, получим:

Mii=riiTii+ri2T22+RllXii+Ri2X22, M22=r21T11+r22T22+R21x11+R22x22, Mi2=r33Ti2+R33xi2.

(13)

В формулах (12) и (13) коэффициенты а^, Ь^^, Я выражаются через обобщенные жесткостные характеристики пластинки.

Подставляя выражения (12), (13) в уравнения (8) и (9), после некоторых преобразований получим следующую систему уравнений устойчивости рассматриваемой пластинки:

d„ d^w+D

Э x4

+D,

Э 4F

'Эx2Эy2

э 4w эx2эy2+

э 4f

тл Э 4w ~

D* 0 ~ т" + D,

-D,

!Э y

4 + T11

Э y4 d2W Эх2 "

2T

Э 4F Э^+ d2W ! 9x9y

„ a2w ^ ^ э2w a2w

+K°w - эХ^ - K2 ЭУ^=

э 4f

э 4f

d 11 Л 4 +d 13 4 2 ^ 2 дХ4 дХ2дy

д4 w

+d21 Эx4 + d23 Эx2Эy2

э 4f

2 3-T+ d У

Я d 4w n

-d„-т = °.

22 эy4

. mn^ nny

w = wmnsln-,

a b

. mn^ nny

Ф = с1

a b

Здесь а и Ь - длина и ширина, т, п - число полуволн по сторонам пластинки.

Подставляя (18) в уравнение (17), получим:

Wmn =-D°9mn,

D =

mn

a

, i mnl2 (nnJ2 , (nn

"d23 l"TJ ( 17 + d22 l 17

, i mn J , | mn \2 (nnJ2 , (nn

d1i| — I + d13 I — I I + 2

a

a

Подставляя (18) в уравнение (17) после некоторых преобразований получается следующее характеристическое уравнение для определения комбинации критических нагрузок:

Тц(1 + n2a) = [manJ2 х

X {Dii - DmnD2i + n2 (Di3 - Dmn + D23)+n4(Di2 - Dmn ■ D22} +

+K° í—J + Ki + К2П2. (19)

Здесь введены следующие обозначения:

na mb

T

T

11

Здесь dl и Dl выражаются через обобщенные жесткостные характеристики пластинки.

Если рассматриваемая пластинка является квадратной, тогда из (19) получается (т=п=1, а=Ь):

6. Решение задачи устойчивости пластинки при двухстороннем сжатии

Рассмотрим задачу устойчивости рассматриваемой пластинки при двухстороннем сжатии (Т12=0). В этом случае система устойчивости (14) и (15) получится в виде:

D

Э4 w

Э x

4 + Di3 Эx2Эy2 + Di2 Эy

Э 4w

D

Э4 w

d d^f d э4f d a^f

+d21 эx4 + d23 эx2эy2 + d22 эy4 +

„ a2w „ a2w ^ ^ 92w a2w

22"э^ °w 'Э? "Эр" (16)

a^F э4f э4f

d11 4 +d13 ^ 2^ 2 +d 12 ^ 4 +

дx4 д x2дy дy4 1 д 4w , д 4w , д 4w_ дx4 дx2дy дy4

(17)

При шарнирном закреплении краев пластинки для прогиба и функции напряжения можно принять следующие выражение:

Тц(1 + a) = |- x

x{DnDn + D13 + D12 - D° (D21 + D23 + D22)} +

+K° |nj+ Ki + K2, (20)

Здесь D° = d2i + d23 + d22 .

dii + d13 + d12

При конкретных видах функций неоднородности материала слоев, критическая нагрузка рассматриваемой пластинки определяется на основе (20).

7. Численные расчеты и анализ комбинации критических нагрузок

Для проведения численных расчетов, функции неоднородности материала слоев принимались в следующем виде:

а1^) = 1+ all(z) = 1 + a2l(z) = 1 + ^2"^. (21)

п1 п п2

Результаты численных расчетов представлена на рис. 1.

(ct,/E„)-101

4.

\ s \ \ \ \ \

ч N N s \ N \

О 0,2 0.4 0,6 0.8 1 (а/£1я).10-

Рис. 1. График области устойчивости пластинки построенной на основе формулы (20). Здесь для параметров анизотропии основания и параметров неоднородности материала слоев приняты следующие значения: К0=6.48-10Е4^/т3, К,=К2=2250.0 М/т; -----М1=М=М2=0;-М1=М2=1, М=0.5

Здесь пунктирной линией отмечено решение аналогичной задачи для однородной пластинки.

8. Выводы

В статье дана постановка задачи и получена система уравнений устойчивости трехслойных неоднородных прямоугольных пластинок в анизотропно сопротив-ляемой среде. Получено решение задачи устойчивости трехслойных пластинок при двухстороннем сжатии и найдена формула для определения комбинации критических нагрузок. Данная формула описывает области устойчивости рассматриваемой трехслойной квадратной пластинки при двухстороннем сжатии.

Анализ проведенных численных расчетов показывает, что неоднородность материала слоев пластинки можеть существенно влиять на критические параметры пластинки. В частности для принятых значений параметров критическая нагрузка увеличивается на 6-10 % от однородного случая.

Литература

1. Ломакин, В. А. Теория упругости неоднородных тел [Текст] / В. А. Ломакин. - М. изд.-во МГУ, 1978. - 432 с.

2. Вольмир, А. С. Устойчивости деформируемных систем [Текст] / А. С. Вольмир. - М. Наука, 1967. - 984 с.

3. Алфутов, Н. А. Расчеты многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов [Текст] / Н. А. Алфутов, П. А. Зиновьев, Б. Г. Попов. - М., Машиностроение, 1984. - 264 с.

4. EI-Zafrany, A. A modified Kirchhoff theory for boundaryelement analysis of thin plates resting on two-parameter foundation [Техт] / А. El-Zafrany, S. Fadhil // Engineering Structures. - 1996. - Vol. 18, Issue 2. - P. 102-114. doi: 10.1016/0141-0296(95)00097-6.

5. Gttlkan, P. An exact finite element for a beam on a twoparameterelastic foundation [Техт] / P. Gulkan, B. N. Alemdar // Structural Engineering and Mechanics. - 1999. - Vol. 7, Issue 3. - P. 259-276. doi: 10.12989/sem.1999.7.3.259.

6. Panda, S. K. Buckling and postbuckling Behavior Cross-Ply Composite Plate Subjected to Nonuniform in-Plane loads [Техт] / S. K. Panda, S. Ramachandral // Journal of Engineering Mechamics. - 2011. - Vol. 137, Issue 589. - P. 1061-1070. doi: 10.1061/ (asce)em.1943-7889.0000258.

7. Rahman, T. Postbucklink analysis of variable stinffnesscomposite plates using a finite element-based perturb bationmethod [Техт] / T. Rahman, S. T. Ijsselmuinden, M. M. Abdalla, E. L. Jansen // International Journal of Structural Stability and Dynamics. - 2011. -Vol. 11, Issue 04. - P. 735-753. doi: 10.1142/s0219455411004324.

8. Isayev, F. Q. The stability of the three-layered non-homogeneous orthotropic elastic plates resting on the variable elastic foundation [Техт] / F. Q. Isayev, S. N. Qaraisayev, B. E. Karimova // Proceedings of the International Symposium on Advanced in Applied Mechanics and Modern Information Technology. Baku, 2011. - P. 192-197.

9. Dung, D. V. Nonlinear buckling and post-buckling analysis of eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical shells under external pressure [Техт] / V. D. Dao, L. K. Hoa // Thin-Walled Structures. - 2013. - Vol. 63. - P. 117-124. doi: 10.1016/j.tws.2012.09.010.

10. Upadhyay, A. K. Post-buckling analysis of skew plates sujected to combined in-plane loading [Техт] / A. K. Upadhyay, K. K. Shulka // Acta Mechanica. - 2014. - Vol. 225, Issue 10. - P. 2959-2968. doi: 10.1007/s00707-014-1205-2.