CC BY
7
Issues relating to technologies for recycling rubber waste are considered. Revealed the relationship between the physico-chemical structure of rubber and their mechanical and chemical properties, determining in the future various methods of their regeneration. The main branches of application in mechanical engineering are shown. The importance of recycling rubber materials in solving the environmental problem of waste disposal in the environment is shown.
Key words: recycling, rubber waste, elastomers, regenerate, recycling, resource
saving.
Ivlieva Margarita Sergeevna, bachelor, jody_ka@mail. ru, Russia, St. Petersburg, Russian Hydrometeorological University
УДК 539.3
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОРТОТРОПНОЙ
ПЛАСТИНЫ
Р.М. Бахшинян
Рассмотрена задача устойчивости ортотропной прямоугольной пластинки, подверженной сжимающей равномерно распределённой нагрузке, приложенной к её свободно опёртым краям. Принято, что касательные напряжения по толщине пластинки изменяются по закону квадратной параболы. Решение системы дифференциальных уравнений проведено с использованием тригонометрических рядов, для определения коэффициентов разложения которых получена бесконечная система однородных линейных уравнений. Рассмотрены числовые примеры и проведён анализ полученных результатов.
Ключевые слова: прямоугольная пластинка, касательные напряжения, собственные значения матрицы, критическая нагрузка.
Рассмотрим устойчивость прямоугольной пластины со сторонами a х 2Ь и толщины h, изготовленной из ортотропного материала, главные направления упругости которого совмещены с направлениями осей х, у и г. Пусть две стороны пластины длиной 2Ь свободно опёрты, одна часть сторон длиной а частично защемлена, а другая их часть - шарнирно опёрта. Примем, что к свободно опёртым краям пластины приложена сжимающая равномерно распределённая нагрузка интенсивности q (рис. 1).
Исходя из начального безмоментного напряжённого состояния, для внутренних тангенциальных усилий имеем
Т0 =- q, Ту° = Б0 = 0. (1)
Уравнения устойчивости в рассматриваемом случае ортотропной пластины запишутся в виде [1]
Эj + Эу _ 12q Э2w
эх эу Иъ эх2 '
Э3 Э3
Bii +(Bi2 + 2 b66
эх эхэу
w
¡1_ 10
a,
55
д. * + в Э2 Л
11 Л„2
Эх2
66 2
Эу2
э у
эхэу
+a44 ( Bi2 + B66 )
Э3
B22^TT + ( B12 + 2 B66 ) эу
+a55 (B12 + B66 )ЭЭ~л~ ЭхЭу
+ j_ 0
Э3 " эуэх2
+ у_ 0.
w
hL 10
a
44
Э2
Э
2
B2 эу 2 + B66 Эх
у +
(2)
Здесь в технических терминах Бг, Gj vj приняты обозначения: a44 _ 1/G23,
a55 _ 1/G13, B11 _ EJV, B22 _ E2/V, B12 _П12 EJV, V_ 1 П21П12' B66 _ G12;
^ = w(х, у) - нормальное перемещение соответствующей точки срединной плоскости; р(х, У) и у(х, у) - произвольные искомые функции координат х, у.
Рис. 1. Схема пластины со смешанными условиями закрепления и приложенной к ней сжимающей равномерно распределённой
нагрузкой
Систему уравнений (2) необходимо решить при смешанных граничных условиях, которые в данном случае запишутся в следующемвиде: при х = 0, х = а
w = 0, Мх = 0, у = 0; (3)
при у = 0, у = ±Ь
w _ 0, j_ 0, — _ 0, 0 £ х < с,
Эу
(4)
w = 0, р = 0, Му = 0, с < х £ а. Решение системы (2), удовлетворяющее условиям (3), ищется
в виде
w
= (у)эт(т,юс/а), р = XФт(у)cos(mpx/а),
т=1
¥
У = X ^ т (у) sin(mpx / а),
т=1
т =1
где т - число полуволн выпученной пластины вдоль оси х.
Подставив выражения этих функций в систему уравнений (2), после некоторых преобразований получим обыкновенное дифференциальное уравнение шестого порядка относительно искомой функции Жт (у):
й
1
йу у
к2
т
а
44
V а55
+ В
10 12дЛ2 ка.
44
а55 В66
10
йу4
+
+-
1 к2
т
г а В Л
и44 я + П п0 ~Г
V а55
я
+
20
а55 В22
я
2 + В12
I2
а55 В22 В66 к
22
(10 + та44 В66 )
В,
12ЧМа44_ В +
к2
66 у
ВпЛ2
10к
12д
В
22
1 + а44 В22
, а55 В66 У
йу2
10к
(10 + та 55 Вп)
= 0.
(5)
где В0 = В11/В66 -В12(2 + В12/В66)/В22, т = 1к\ 1 = тр/а.
Полагая Жт (у) = еку , из (5) получим характеристическое уравне-
ние
где
3 2 2
+ а, + а2 + а3
т 1 т 2 т 3
0,
г..
а1 = -
10
а55 В66
^ + В - 12^а44Л -I- В0
V а55
10к
а
у
+т
Вц
а
44
V В22
В
а
55
12?
к
в0 + А
10 0 В
к2 к2, 20
(6)
а55 В22
В
2 + В12
В
+
66 у
22
1 + а44 В22 а55 В66 У
(7)
а^
т
В11 (10 + та 44 В66)
а55 В22 В66
12?
10кВ11
(10+та55 Вп )-т
Анализ уравнения (6), проведённый для реальных ортотропных пластин, показывает, что для комбинации корней этого уравнения возможны три случая: 1 случай - один из корней отрицательный, а два других положительные; 2 случай - все три корня положительные; 3 случай - действительный корень положительный, а два других комплексно-сопряжённые. Заметим, что третий случай не представляет практического интереса. Вследствие громоздкости получаемых решений в дальнейшем приводится решение, соответствующее только второму случаю.
Общее решение уравнения (5), соответствующее этому случаю, имеет вид
Wm (у) = СЫ^КУ + С2тСкКу + С3тк2У + С4тСкк2У + С5т*кк3У + С6тСкк3У , (8)
где
k
h
2
X (8 Р
— eos---
3 13 3
a
i/2
kn,
2
X
eos
8 p
—+ —
33
a
1/2
k3 =
h
2
X 8 a
— eos---1
3 3 3
l = 2
1/2
a
, X = a2 —eos8 =
(aiv
V 3y
tí^i 2
3
3
+ a
W-(X/3)3'
Имея значения Wm (y), с учётом (2) для Фm (y) и Ym (y) получим Fm (У) = CimAiShkiy + С^АСЩУ + фт(у), Ym (У) = CimBiOhkiy + CmBiShkiy + Ym (У) , где Фm (y) = C3mA2shk2у + C4m4chk2y + C5mA3Shk3у + C6mA3Chk3y, Ym (y) = C3mB2Chk2у + C4mB2shk2у + C5mB3Chk3у + C6mB3Shk3У,
a
go + g iki2 Go + Giki2
Bi =1
i k
A
i
i2q1
(i = i,2,3),
y
go
i2qa44 ' Bi2 + B66 ^ Bii"
ioh V B66 y B66 ]
Gi
a55h g = h2 „1/2 Bi2 + B66 oi M
G =-aJl_ i io
io
a55 B66
+m
B
ii
io
a44 Bi2 + B66
B
66
V B66
a
55
B
66
Удовлетворив граничным условиям (4), для определения коэффициентов С1т и С2т получим систему уравнений, которая после некоторых преобразований приводится к парным рядам - уравнениям вида
Z xm (i - Nm) sin ma = o (o <a<a),
(9)
m=i
ZmXm sinma = o (ac < a < p).
m=i
Здесь введены обозначения:
a = px / a, ac =pc / a,
Nm = i - m [(A2 - Ai)(k3thk3b - k2thk2b) + (A3 - A2)(klthkib - k2thk2b)]/t, Xm = C2mtch(kib)/m(A3 - A2), Mi = D22ki + h2(a44D22Biki - 1a55Di2Ai)/io,
t = (A - Ai) (M3 -M2) + (A3 - A?) (Mi -M2), Xm = C2mch(kxb)t/ m(A3 -Mt =- D22 k2 + h2 (aAAD22 Blkl la 55 Di2 4)/io (i = i,2,3), Dlk = h3 Blk/i2. Для определения коэффициентов C 3 m, C 4 m, C 5 m, C 6 m имеем соотношения
i
3
3
3
i
l
С(2Ж)т = (КЬ)/сИ(к2Ь), С(2г+2)т = С2т71ск(к1Ь)/сИ(кгЬ) (/ = 1,2),
У\ =( А1 - А ) / (А3 - А2 ) , Г2 =( А - А1 ) / ( А3 - А ) . Воспользовавшись результатами исследований, приведённых в [2], парные ряды - уравнения (9) - сводятся к бесконечной системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Хт:
У anmNmXm - Xn = 0, n = 1,2,3,....., (10)
^^ nm mm n ? •>•>•>•> \/
m=1
где для коэффициентов aпт имеем формулы [2]
ac ac
m г п г
anm = m J Jm (cosJ)y (cosJ)tg(J/2)dJ, ann = - J y](cosJ)tg (J/2)dJ. (11)
0 0 В формулах (11) через ym (cos J) обозначена следующая комбинация полиномов Лежандра [3]:
л/81cos(ma)cos(a/2)da _
Jm (COS J) = Pm-1(COS J) + Pm (COS J) =
p 0 (cosa- cos J)
1/2
2V2 P • sin(ma)cos(a/2) da
1/2
p 0 (cosJ-cosa) Для получения нетривиального решения (Xm Ф 0) системы (10), необходимо приравнять нулю определитель, составленный из коэффициентов системы (10):
a11N1 -1 alxNx
an N2 a22 N2 -1
a1nNn
a2nNn
= 0.
(12)
а„Ж ......... атЫ -1
п1 1 п2 2 пп п
Показано, что функция Ыт имеет экспоненциальный порядок убывания, а именно Ит » в~тЬ ,Ь = 2рЬ/а. С учётом этого показано, что определитель системы нормальный [4], а следовательно, при нахождении собственных значений бесконечной матрицы можно использовать метод редукции.
Корни трансцендентных уравнений, получаемых после развёртывания усечённых определителей, и являются собственными значениями рассматриваемой задачи [5]. Как показано в [6], наименьшее собственное значение представляет собой значение критической нагрузки в задаче устойчивости пластины.
Для исследования влияния длины защемлённой части пластины и учёта поперечных сдвигов на значение критической нагрузки рассмотрены числовые примеры для ортотропных пластин, изготовленных из композитных материалов, при следующих её обезразмеренных параметрах:
И / Ь = 0,2; а / Ь = 0,7;1,3;2,5; Е1/Е2 = п12/п21 = Е1/012 = 5; п12 = 0,3.
Параметр ас = пс / а, характеризующий длину защемлённых участков, принимает значения: ас = 0;р/4;р/2;Зр/4;р. Введём параметр d, характеризующий податливость на поперечный сдвиг: d = Е1 / 013 = Е2 / 023.
Выводы. Анализ полученных результатов показывает, что с увеличением длины участков защемления значение критической нагрузки увеличивается, при этом это увеличение существенным образом зависит от отношения а / Ь.
На рис. 2 приведены графики зависимости критической нагрузки от степени поперечной сдвиговой податливости d пластины. Заметим, что случай d = 0 соответствует результатам расчёта по классической теории.
Из графиков видно, что с увеличением d увеличивается расхождение между значениями критических сил, найденными по уточнённой и классической теориям. При этом с увеличением длины защемлённых зон краёв пластины, то есть с увеличением параметра ас, это расхождение уменьшается вследствие уменьшения поперечных сдвиговых явлений в пластине.
1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1987. 360 с.
2. Баблоян А. А. Решение некоторых парных интегральных уравнений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 64 - 69.
3. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965.
424 с.
4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М. - Л.: Физматгиз, 1972. 635 с.
5. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.
4.0
0 яг/4 я/2 Зя7 4 я ас
Рис. 2. Графики изменения критической нагрузки
Список литературы
495 с.
6. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 879 с.
Бахшинян Рубен Мушегович, канд. физ.-мат. наук, доцент, hrm()l() a mail.ru, Россия, Тольятти, Поволжский государственный университет сервиса
ABOUT ONE PROBLEM OF STABILITY OF ORTHOTROPIC PLATES
R.M. Bakhshinyan
The problem of the stability of an orthotropic rectangular plate subjected to a compressive uniformly distributed load applied to its freely supported edges is considered. It is assumed that the tangential stresses along the thickness of the plate vary according to the law of a square parabola. The system of differential equations is solved using trigonometric series, to determine the expansion coefficients of which an infinite system of homogeneous linear equations is obtained. Considered numerical examples and an analysis of the results.
Key words: rectangular plate, shear stresses, eigenvalues of the matrix, critical
load.
Bakhshinyan Ruben Mushegovich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, h^rm((l(( a mail.rн, Russia, Togliatti, Volga Region State University of Service
