Об устойчивости траектории сбалансированного роста в модели Леонтьева – Моришимы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 2. С. 14-16.

УДК 517.9:115

А.М. Романовская

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТРАЕКТОРИИ СБАЛАНСИРОВАННОГО РОСТА В МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА - МОРИШИМЫ

Для подкласса линейных моделей экономической динамики доказано необходимое и достаточное условие устойчивости траектории сбалансированного роста в терминах спектра матрицы с положительными элементами, задающей модель.

Ключевые слова: сбалансированный рост, устойчивость, продуктивность, неразложимость, спектральные подпространства.

1. Одна из задач, возникающих при анализе различных классов моделей экономической динамики, - поиск условий на параметры модели, обеспечивающих существование и устойчивость траектории сбалансированного роста в фазовом пространстве системы уравнений, описывающей динамику вектора выпусков в рамках модели. Сбалансированный рост означает увеличение со временем объёмов выпуска с одним и тем же для всех продуктов темпом роста р > 1. Устойчивость означает, что в любой траектории в пространстве выпусков темп роста каждого продукта асимптотически приближается со временем к темпу сбалансированного роста р . Начиная с середины прошлого века и по настоящее время эту

задачу решали в большом количестве исследований ([1-10], см. также ссылки в книгах [2; 3] и статье [10]). Данная работа примыкает к этой проблематике.

Рассматривается предложенная М. Моришимой в [2, гл. 4] динамическая система «затраты - выпуск» леонтьевского типа

xn = (A + DLT)xn + (B + DLT)(xn+i —xn), n = 0,1,... (1)

Здесь xn 6 RN - вектор выпуска в период n, A - матрица технологических коэффициентов текущих затрат, B - матрица капитальных коэффициентов, D - вектор коэффициентов спроса, L - вектор коэффициентов трудовых затрат, DL - матрица «питающих труд» затрат; Т - знак транспонирования. Предполагаются выполненными следующие условия:

1. Матрица B„ = B + DL обратима.

2. Матрица A = A + DL продуктивна и неразложима. Продуктивность означает существование матрицы (I — A) * 1 (здесь I - единичная матрица) и равенство

(I — A)—1 = X (A )k

k=0

[1, с. 370]. Неразложимость означает, что оператор умножения на матрицу A не имеет отличных от RN инвариантных координатных подпространств [11, с. 333]. Из свойств неразложимых неотрицательных матриц [11, с. 333] следует: сумма ряда в правой части - положительная матрица, тем самым при условии 2 верно неравенство

(I — A)—1 > 0. (2)

© А.М. Романовская, 2015

Об устойчивости траектории сбалансированного роста в модели Леонтьева - Моришимы

15

Из (2) с учётом det В, Ф 0 и В, > 0 следует: матрица

Г = (I - A,)-1 В, > 0 . (3)

Нетрудно убедиться, что система (1) может быть записана в виде:

xn+i = (I+ Г-1) xn, n > 0. (4)

2. Из неравенства (3) в силу теоремы Перрона [11, с. 334] следует: существуют число r и вектор / со свойствами

Г/ = rf , r > 0 , f = (f1,..., fN )T > 0,

I fk = 1, (5)

при этом r - простое собственное число матрицы Г, и собственные числа Лк Ф r лежат в круге

К = {Ле C,| Л\< r}. (6)

3. Будем называть луч

X = {x = ah,a> 0, h е RN, h > 0} траекторией сбалансированного роста для системы (1) с темпом роста р> 1, если

решение xn системы, начинающееся на луче X : Х0 е X , остаётся на нём, при этом векторы выпуска в данный и следующий периоды связаны соотношением Хп+1 = РХп , n > 0 .

Лемма. При условиях 1 и 2 луч

X, = {х = а/, а > 0}, (7)

где / - вектор (5), - это траектория сбалансированного роста для системы (1) с темпом роста

Р,= 1 + r-1,

где r - собственное число (5) вектора /.

Доказательство. Пусть в (4) Х0 е X, . Тогда очевидно что, Х0 - собственный вектор матрицы Г с собственным числом r : ГХ0 = гх0 , тем самым Г Х = r Х, и из

(4) получаем:

Хп = (I + Г-1) ПХ0 = (1 + r ^) ПХ0.

Лемма доказана.

4. Будем, следуя [2], говорить, что траектория сбалансированного роста X с темпом роста р устойчива, если для любого

решения Хп > 0 системы (1) существует вектор Хе X такой, что Х

—П ^ Х (п ^го) .

Построим на Л-плоскости область Л = K \ К0, где K - круг (6), Ко - замкну-

r

тый круг с центром Л0 =-------— радиуса

2 + r

r-Л0 (рис.).

Теорема. Для того чтобы траектория сбалансированного роста (7) системы (1) была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы собственные числа Л^ Ф r матрицы

(3) лежали в области Л .

Доказательство. Имеет место прямое разложение

Rn = E0 ф E1 ф E2, (8)

где Ek - спектральные подпространства,

соответствующие разложению спектра Г на компоненты

г(Г) = {r} и {Лк еЛ} и {Лк е К \ Л}. (9)

Так как Л = r - простое собственное число матрицы Г , то пространство E0 одномер-

но:

Е0 = {а/, ае R, / - вектор (5)}. Замена

Г,=

I+ Г-1

р, ,

Уп

Х

п

(Р, )п

приводит систему (4) к виду:

Уп+1 =Г, Уп , п > 0 . (10)

При этом разложение (9) переходит, как нетрудно убедиться, в разложение

Г(Г, ) = {1} U01 U (Г2 ,

Г = {\Лк |< 1,1 Лк -Лэ* |> О , (11)

Г2 ={| Лк \>1,1 Лк -Л0 \> r0,},

где

Л = r -41 + r -1)-1, r0,= 1 -Л,,

при этом спектральные подпространства (8) сохраняются, разложению (8) отвечает разложение матрицы Г, в прямую сумму:

Г, Г0 +Г1 +Г 2 ,

ГкЕк с Ек , ГкЕ, = {0} (i Ф к). (12)

Пусть уп - любое неотрицательное решение системы (10). В соответствии с (8),

(12) имеет место равенство

у0 = /0 + /1 + /2 , fk е Ек ,

и (с учётом Ц/о = /о ) формула

Уп

/о + ГП/1 + ГП/2 , п > о.

Спектр Г матрицы Г1 содержит числа

Лк с модулем < 1. Так как степень G£

16

А.М. Романовская

жордановой клетки Gk с собственным числом с модулем | Ak |< 1 сходится к нулю при п — ж , то

limr;f1 = 0.

П—ж

Спектр <г2 матрицы Г2 содержит числа Ak с модулем > 1, при этом, как нетрудно усмотреть из (11), среди них нет числа А = 1: Ы <Г2 .

С учётом этого lim ДП либо не существу-

П——ж

ет, если | Ak | = 1, либо равен ж , если | A | > 1 • Тем самым равенство вида

lim Уп = fo

для каждого решения Уп > 0 системы (10) имеет место тогда и только тогда, когда множество (Т2 пусто. Из проведённых рассуждений нетрудно усмотреть:

f е X,.

В переводе «на язык» системы (4) это означает: равенство вида x

lim-

Р )п

■ — х е X,

для каждого решения хп > 0 системы (4)

имеет место тогда и только тогда, когда последнее слагаемое в правой части (9) - пустое множество, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Замечание. В книге М. Моришимы [2] при тех же условиях 1 и 2 доказан (§ 5 главы 4 и приложение) критерий устойчивости траектории сбалансированного роста в мо-

дели (1) в других терминах: устойчивость

имеет место тогда и только тогда, когда при

некотором целом h > 0 матрица (I -Г1)*

положительна.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гейл Дж. Теория линейных экономических моделей. М. : Иностранная литература, 1963. 418 с.

[2] Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост.

М. : Наука, 1972. 280 с.

[3] Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М. : Мир, 1972. 520 с.

[4] Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М. : Наука, 1973. 336 с.

[5] Разумихин Б. С. Задача о выходе экономики на магистраль сбалансированного роста // Автоматика и телемеханика. 1974. № 9. С. 119-123.

[6] Рубинов А. М. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономикоматематическим задачам. Л. : Наука, 1980. 230 с.

[7] Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М. : Наука, 1984. 294 с.

[8] Беленький В. З., Сластников А. Д. Равновесная динамика замкнутого рынка монопродуктовых производств // Экономика и математические методы. 1991. Т. 30. № 4. С. 112-128.

[9] Беленький В. З. Экономическая динамика: анализ инвестиционных проектов в рамках линейной модели Неймана - Гейла. Препринт #WP/2002/137. М. : ЦЭМИ РАН, 2007. 78 с.

[10] Абрамов А. П. Сбалансированный рост в моделях децентрализованной экономики. М. : Ли-броком, 2011. 128 с.

[11] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1988. 576 с.