CC BY
8Тогда \9п\ = $п+1 = поскольку 0 < в < 1. Отсюда, согласно теореме равносильности, получаем (№,дп) ^ (Ш,рп). Теорема доказана.
Переходя к доказательству теоремы 2, отметим, что ключевую роль в нем будет играть установленная выше лемма.
Доказательство теоремы 2. Нам необходимо показать, что если ап = 0(£га), где 1 < £ < и ряд ^ап суммируем методом (Ш,дп), то ряд ^ ап также будет суммируем методом (Ш,рп).
Без ограничения общности будем считать, что ряд ^ ап суммируется методом дп) к числу 0. Тогда из определения метода Вороного получаем
n
Qn-v av = o(Qn ).
v=0
Далее, из условий (ii)-(iv) вытекает, что D\Ua ^ Qn ^ (1 + 9)D2(n — 1)а. Тогда суммируемость ряда к нулю методом (W, qn) эквивалентна соотношению
n
Qn-v av = o(na).
v=0
Дальнейшее доказательство проведем с помощью леммы.
Положим в условиях леммы q = ш = a, q\ = £ + е, где е — некоторое фиксированное число, такое,
n n
что 0 < е < I — Тогда, обозначая Ап = ^ ^ Рп-и^и и ßn = ^ Qn_vav, получаем Вп = qAn_\ + Ап.
q v=0 v=0
Тем самым условия 1 и 2 леммы выполнены.
Условие 3 леммы выполнено в силу того, что Pn = O(na) и an = O(£n). Действительно, An = O(na+l^n), откуда очевидно следует, что An = о(+ e)n).
n
Таким образом все условия леммы выполнены, и, учитывая Pn = о(па), получаем ^ Pn-vav = о(па).
v=0
Последнее равенство означает, что ряд ^ an суммируем методом (W, pn) к нулю. Теорема доказана.
Работа первого автора поддержана грантом РФФИ № 12-01-00169.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951.
2. Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n //J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354-364.
3. Степанянц С.А. К вопросу включения методов дискретных средних Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 4. 12-17.
4. Хахинов И.В. Тауберовы условия взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 50-55.
Поступила в редакцию 22.02.2013
УДК 511
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ ОДНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
А. В. Ильинская1
В статье рассматривается задача об устойчивости относительного равновесия системы на орбите. Система состоит из двух твердых тел, соединенных тонким нерастяжимым упругим стержнем. Задача об устойчивости установившихся движений сводится к задаче
1 Ильинская Анастасия Владимировна — мл. науч. сотр. лаб. 302 НИИ механики МГУ, e-mail: stazy269@gmail.com.
минимума измененной потенциальной энергии системы, состоящей из потенциальной энергии упругих, гравитационных и центробежных сил.
Ключевые слова: устойчивость, положения равновесия, упругий стержень, функционал потенциальной энергии, механическая система, орбита.
The stability problem for the relative equilibrium of a system in an orbit is considered. The system consists of two rigid bodies connected by a thin inextensible elastic rod. The stability problem for the steady motions is reduced to the minimization problem for the system's potential energy consisting of the potential energy of elastic, gravitational, and centrifugal forces.
Key words: stability, equilibrium positions, elastic rod, potential energy functional, mechanical system, orbit.
Рассмотрим в центральном ньютоновском поле сил движение механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных массивным нерастяжимым упругим стержнем. Пренебрегая влиянием относительного движения системы на движение ее центра масс, будем считать, что последний движется по круговой кеплеровой орбите с угловой скоростью Q.
Пусть Cxyz — орбитальная система координат с началом в центре масс C системы, ось z которой направлена по радиусу-вектору орбиты, ось y перпендикулярна плоскости орбиты.
С одним из твердых тел свяжем подвижную систему координат ОХ1Х2Х3 с началом в центре масс O этого тела и осями, направленными по его главным центральным осям инерции. Со вторым телом свяжем систему координат ВУ1У2У3 с началом в точке крепления B стержня к этому телу и осями, направленными по главным осям инерции этого тела для точки B.
Предположим, что упругий стержень длины l защемлен в твердых телах в точках А и B ив неде-формированном состоянии расположен вдоль осей Х3, уз (в недеформированной системе оси yi, У2, уз соответственно параллельны осям xi, Х2, Х3), а точки A, B и центр масс Oi второго тела находятся на осях Х3, У3 и OA = a, OiB = b. При этом оси Axi и Ах2, параллельные осям Х1, Х2, являются главными центральными осями инерции поперечного сечения стержня.
Обозначим через u(s,t) = (ui,U2,u33) вектор упругих перемещений оси стержня, через p(s,t) угол поворота сечения стержня, 0 ^ s ^ l, t ^ to. Условие нерастяжимости стержня приводит к соотношению [1]
t 1 / /2 /2 \ t ди
% = ~2 К +М> и =~Q~s'
Далее для простоты вычислений будем полагать, что a = b = 0. Координаты центра масс C системы определяются формулами
l
Mxjc = pa j Ujds + M2Uji, Uji = Uj (l) (j = 1, 2); o
i
Мхъс = Mxlc - i J [per(7 - s) + M2] (uf + u'i) ds. o
Здесь Mx®c = M2I + ^ml; Mi, M2, m = pal, M = M\ + M2 + m — массы твердых тел, стержня и всей системы соответственно; p — плотность стержня; a — площадь поперечного сечения стержня. Компоненты тензора инерции Bc системы для ее центра масс можно представить в виде
l
e^ = Jn - M(x2c + x2c) + j(pau2 + phv2 + X2U2 + Xiu22 + р1шp'2) ds + M2u| + B - Bi)rf + (B3 - Bi)u%,
o
i
Щ2 = J22 - M(xfc + x2c) + J(pau\ + plip2 + X2U2 + xU + pip)ds + M2U2n + (Bi - B2M2 + (B3 - B^u^,,
0
1
eg = J33 -M(x2c + x2c) + J(pa(u\ + u2) + p(Ii + h)p2)ds + M2(u?i+u|)+u2iu2i + (Bi -B3)u'2i + (B2 -B3)u'|,
o
eg = МХ1СХ2С - J(p(TUiU2 + p(h - h)<p)ds - M2U11U21 + (-Bi - В2)щ - ^(Si + B2 - Вз)и'ии'21, 0 l
eg = Mxicxsc + J{-posu 1 + pli(pu'2)ds + (pl2 - M2L)uu + (S3 - Si)u'u -^(B1-B2 + B3)v^<pi, 0
l
eg = MX2CX3C - J(p(JSU2 + phWi)ds + (ph - M2L)U21 + (S3 - B2)u'2l + i (-Si + B2 + Вз)и'и<р1. 0
Здесь Jn = Ai + Ji + Bi + M2I2 (i = 1, 2); J33 = A3 + B3; Ai и Bi — главные моменты инерции первого и второго тела; Ji — момент инерции недеформированного стержня; Ij, , Ik моменты инерции поперечного сечения стержня; Xjis) = plj ~ — s2) — M2I (j = 1,2).
Рассматриваемая механическая система имеет обобщенный интеграл энергии T + W = const, где T — кинетическая энергия системы в ее движении относительно орбитальной системы координат; W — измененная потенциальная энергия системы, которая слагается из потенциальной энергии сил притяжения Пд, центробежных сил Пш и сил упругой деформации П [2, 3]:
п 9 = y (з7ес7), = /звс/з,
i
П^1
i J [Ehu'l2 + Ehu'? + Е1шф"2 + С1кф'2} ds.
0
Здесь 7 и в — орты осей г и у орбитальной системы координат, Е и О — модуль Юнга и модуль сдвига. Величины ^г, вг связаны соотношениями
3 3 3
6 = Е ^ - 1 = 0> 6 = Е Чгвг = 0, 6 = 5] в2 - 1 = 0, г=1 г=1 г=1
поэтому далее будем рассматривать функционал
о2 Л
г=1
где пг — неопределенные множители Лагранжа.
Уравнения для определения положений относительного равновесия и граничные условия получаются из равенства нулю первой вариации 5Ш* функционала Ш*: 5Ш* = 0. Эти уравнения представляют собой совокупность алгебраических уравнений относительно величин ^г и вг и дифференциальных уравнений 4-го порядка относительно компонент вектора упругих перемещений щ, щ, ф.
Уравнения равновесия допускают ряд частных решений, описывающих положения относительного равновесия механической системы, в которой оси системы ОХ1Х2Х3 параллельны осям орбитальной системы координат, а стержень находится в недеформированном состоянии. Одно из решений, описывающих положение относительного равновесия системы, при котором стержень расположен вдоль радиуса-вектора орбиты, было исследовано в [4]. Здесь рассмотрим следующее решение:
71 = 73 = в2 = в3 = 0, 72 = в1 = 0, щ = П2 = ф = 0, (1)
при этом п1 = 30°2, п2 =0, п3 = — 0О1.
Это решение соответствует такому положению относительного равновесия системы, когда ось Х3, вдоль которой расположен недеформированный стержень, направлена по касательной к орбите. Аналогичное положение равновесия было рассмотрено в [5] для случая более простой механической системы.
Достаточные условия устойчивости решения (1) получим из теоремы [6] как условие положительной определенности второй вариации 52 Ш* функционала Ш* для решения (1). Выражение 52Ш* можно представить в виде
52Ш* = ^о (т,и2,ф) + Е1(п1,п2,ф,7,в) + Е2(^,в),
где ^о (и) — квадратичный функционал от функций и1, и2, ф; ^(и ,и,2, ф, 7, в) — функционал, билинейный относительно функций и1, и2, ф и переменных 7, в; ^2(7, в) — квадратичная форма переменных ^г, вг-
Чтобы получить явные выражения для условий устойчивости, далее рассмотрим случай невесомого стержня. Тогда выражение для 52Ш* удобно записать в виде
где
Г01 + Г11 —
1 Е12
2 I
52 Ш* — + Гц + Гц),
г=1
п'12 йв + Л2и?(1) + Л2^1И/12(1) + 2Л?^зи1 (1) + 2X2^1^3^1(1)
1 Е11
-Г02 + -Г 12 — ^ _~
! и'22 йв - л2и2(1) - л2§2 и22(1) - 2Л2 ъи>2 (1) - 2x2^273^2(1)
(2)
Г03 + Г13 —
1 ЕТи.
2 I3
I (р"2 + V 2р'2)йв + 03Р2 (1) + 2^371^(1)
О2
""О 0 2
^21 = (0 и - 6*3з)/5з 5 ^22 =
33
- ^Ъ2, Г23 —
2О2
11
- ^02)712.
Здесь выполнен переход к безразмерным переменным в — в/1 и и — и/ и сохранены прежние обозначения
2 к1 О
. 2 3к1 О 2 =
91 —
Б^ — В3
к12
92 —
В2 - В3
к12
2 I
V = -
Е1„
93 —
4О213(В1 - В2)
Е1„
Используя предложенный в [7, 8] способ разбиения выражения 52Ш* на два независимых слагаемых, представим 52 Ш* в виде
52Ш* — Го(и - и0) + и(7, в),
где 17 = (7) 0) + ^ 7) 0) — квадратичная форма переменных так как функции и0 (в) =
(и5(в),и°°(в),р0(в)), являющиеся решениями краевых задач, получающихся из условий минимума по и1, и2, р функционала Г0 + при фиксированных в3, 71, 73, представляют собой линейные функции переменных в3, 73, 71, а Г(и°,и^,р0,в3,73,71) — квадратичную форму этих переменных.
Таким образом, условия положительной определенности 52Ш* состоят из двух групп, первая из которых обеспечивает положительную определенность функционала Г0, а вторая представляет условия положительной определенности квадратичной формы и.
С учетом выражений (2) указанные краевые задачи легко решаются и дают следующие условия положительной определенности квадратичной формы и:
воп-во33-к12,^-(А + Мд1))>0,
Л1
Л|
Л2
0%-во22-к12^(4 + Мд2))>0,
(3)
00 У11 - в22 -
А
Дз
1
> 0.
Здесь ¡1(91) — 91(1 + 91)(12 + Л2), /2(92) — 92(1 + 92)(12 - Л2), Л1 — 12 + 4Л2 + 91Л2(12 + Л2), Л2 — 12 _ 4Л2 - №Л2(12 + Л2), А3 = г/2 + д3( 1 -
Условия положительной определенности функционала Г0 имеют вид
Л1 > 0, Л2 > 0, Л3 > 0.
(4)
Неравенства (3) и (4) являются необходимыми и достаточными условиями положительной определенности 52Ш* и, следовательно, достаточными условиями устойчивости рассматриваемого положения относительного равновесия (1) системы.
Неравенства (4) представляют собой условия устойчивости прямолинейной формы стержня. Неравенства (3) и (4) показывают, что деформируемость стержня, соединяющего два твердых тела, приводит к
1
1
1
2
2
V
сужению условий устойчивости положения относительного равновесия системы по сравнению с системой той же конфигурации, состоящей из недеформируемых элементов. При Е — ж, О — ж неравенства (3) переходят в известные условия устойчивости положения относительного равновесия твердого тела [2]:
в0? > в03 > в0
в33
22 •
Для интерпретации результатов будем считать, что второе тело представляет собой математическую точку, а стержень имеет круговое поперечное сечение (/1 — /2). Тогда неравенства (3), (4) примут вид
6 > 1 + ^ е < 1 — ^
А?
3 + А?'
А? 1-Af
(5)
ГГТР А - А-1+К.12 _ _
1Де о — , ь — , ц — Аз.
При Е — ж, О — ж неравенства (5) переходят в известные условия устойчивости относительного положения равновесия твердого тела: 5 > 1 > е.
Область достаточных условий устойчивости системы при различных значениях параметра Л1
Следуя [2], изобразим область достаточных условий устойчивости положений относительного равновесия, выражаемого неравенствами (5), на плоскости параметров (5, е), полагая для определенности ¡1 = На рисунке область, ограниченная сплошной линией, соответствует Л2 = а область, ограниченная пунктирной линией, — значению Л^ =
Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 12-01-00371.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.
2. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.
3. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.
4. Морозов В.М., Ильинская А.В. Об устойчивости относительного равновесия на круговой орбите двух твердых тел, соединенных массивным упругим стержнем // Тр. X Междунар. Четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление", посвященной 110-летию Н.Г. Четаева. Т. 2. Казань, 2012. 383-392.
5. Sanyal A.K., Shen J., McClamroch N.H. Dynamics and Control of an Elastic Dumbbell Spacecraft in a Central Gravitational Field // Proc. 47th IEEE Conference on Decision and Control. Department of Aerospace Engineering, University of Michigan. Ann Arbor, 2003. 2798-2803.
6. Румянцев В.В. О движении и устойчивости упругого тела с полостью, содержащей жидкость // Прикл. матем. и механ. 1969. 33, вып. 6. 946-957.
7. Морозов В.М., Рубановский В.Н., Румянцев В.В., Самсонов В.А. О бифуркации и устойчивости установившихся движений сложных механических систем // Прикл. матем. и механ. 1973. 37, вып. 3. 387-399.
8. Самсонов В.А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движения тела с жидким наполнением // Прикл. матем. и механ. 1967. 31, вып. 3. 523-526.
Поступила в редакцию 10.10.2012
УДК 511
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ КАЛИБРОВКИ БЕСКАРДАННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В ПОЛЕТЕ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЭВОЛЮЦИЙ САМОЛЕТА
И. А. Васинёва1, А. О. Кальченко2
В связи с тем что параметры инструментальных погрешностей бескарданной инер-циальной навигационной системы меняются в процессе эксплуатации, возникает задача их оценки в полете с использованием информации от спутниковой навигационной системы. Для повышения обусловленности задачи оценки предлагаются специальные движения двух типов — эволюции, практически не нарушающие крейсерского режима самолета, и координированная "змейка". Приводятся результаты ковариационного анализа точности калибровки.
Ключевые слова: бескарданная инерциальная навигационная система, калибровка, инструментальные погрешности БИНС.
The problem of the on-line estimation of the parameters of the instrument errors of a strapdown inertial navigation system using the information obtained from a satellite navigation system arises because of the fact that they change in the process of operation. Two types of special maneuvers are proposed in order to make the estimation problem well-conditioned: fluctuations in roll and pitch and a coordinated "snake". The results of covariance analysis of calibration accuracy are presented.
Key words: strapdown inertial navigation system, calibration, SINS instrument errors.
Калибровка бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) на стендах является необходимым этапом ее подготовки к эксплуатации [1, 2]. Однако с течением времени параметры инструментальных погрешностей БИНС изменяются, вследствие чего повышаются ошибки автономной навигации. Наличие во время полета внешней по отношению к инерциальной информации (данные спутниковой навигационной системы (СНС)) позволяет проводить оценку инструментальных погрешностей по полетным данным.
Задача калибровки в полете ставится как задача оценки вектора состояния ошибок БИНС, включающего параметры инструментальных погрешностей, при помощи внешней информации. В качестве такой информации привлекаются данные от СНС о координатах и скорости объекта.
Обусловленность задачи калибровки зависит от траектории движения самолета. Выбор приемлемой траектории трудно формализовать при помощи какого-либо критерия оптимизации. Для калибровки БИНС в полете в настоящей работе предлагается использовать специальные движения двух типов — эволюции, практически не нарушающие крейсерского режима самолета, и координированную "змейку". Такие эволюции объекта легкореализуемы.
Изложение основано на представлениях и соотношениях инерциальной навигации, описанных в [3]. Широко известные факты соответствующей теории приводятся без пояснений.
1 Васинёва Ирина Алексеевна — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vasineva.irina@gmail.com.
Кальченко Артем Олегович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artem.kalchenko@gmail.com.
