CC BY
1Тогда уравнения движения допускают частный интеграл
Л = /К- ± = (22)
2. Пусть поверхность тела осесимметрична, ось симметрии определяется вектором а = (а\, а.2, аз) и содержит неподвижную точку. Тогда если моменты инерции и компоненты вектора а удовлетворяют условиям
а1<А2<л3> = «2 = 0,
то уравнения движения допускают частный интеграл (22).
Таким образом, в рассматриваемой механической системе удается обнаружить достаточно интересные динамические свойства.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 20-01-00637).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.
2. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.
3. Баранцев Р.Г., Цзжень-юй У. Силы и моменты, действующие на тела вращения в свободномолекулярном потоке // Вести. Ленингр. ун-та. 1961. 13. 79-92.
4. Карымов A.A. Определение сил и моментов сил светового давления, действующих на тело при движении в космическом пространстве // Прикл. матем. и механ. 1962. 26. 867-876.
Поступила в редакцию 13.12.2021
УДК 531.36
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОСОБЫХ РЕЖИМОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ОПЕРЕННОГО ТЕЛА
Ю.М. Окунев1, О. Г. Привалова2, В. А. Самсонов3
Рассматривается один из вариантов спуска тяжелого оперенного тела в сопротивляющейся среде. Показывается, что возможны такие режимы планирования тела, при которых лопасти располагаются в горизонтальной плоскости. Установлено, что некоторые из таких режимов асимптотически устойчивы. Строятся траектории планирования с различными начальными условиями по скоростям.
Ключевые слова: форма лопасти, режим планирования, устойчивость, траектория.
One kind of a descent of a heavy finned body in resisting medium is considered. It is shown that the gliding mode is possible for which blades are located in a horizontal plane. The
1 Окунев Юрий Михайлович — канд. физ.-мат. наук, зав. лаб. НИИ механики МГУ, e-mail: okunevQimec.msu.su.
2 Привалова Ольга Георгиевна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: privalovaQimec.msu.ru.
3 Самсонов Виталий Александрович — доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. НИИ механики МГУ; проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: samsonQimec.msu.ru.
Okunev Yury Mikhailovich Candidate of Physical and Mathematical Scienses, Head of Laboratory of the Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Privalova Olga Georyievna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Samsonov Vitaly Alexandrovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Principal Researcher, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University; Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
stability of such modos of gliding is studied. Trajectories of gliding are constructed for varions initial speeds.
Key words: shape of a blade, mode of gliding, stability, trajectory.
Введение. Исследуем плоекопараллельное движение тяжелого твердого тела специальной формы в неподвижной среде с квадратичным сопротивлением. Тело состоит из n > 2 одинаковых лопа-
Oz
r
собой тонкими стержнями державками. Чтобы не усложнять модель учетом влияния так называемых углов скольжения, удлиненные лопасти расположим ортогонально плоскости движения тела. Количество лопастей и их размеры выберем такими, чтобы каждая лопасть не влияла на характер
ai
лопастей.
В зависимости от углов установки оперения на теле меняются его режимы спуска. Также на характер движения тела влияет форма лопасти.
Ранее проводилось исследование спуска тела описанной конструкции, когда углы установки лопастей одинаковые [1, 2|, в этом случае возникает режим авторотации. Когда величины углов установки лопастей одинаковы, но поочередно меняется их знак [3] это режим поступательного вертикального спуска с постоянной скоростью. Когда половина соседних лопастей устанавливается на одинаковые углы, а другая половина на углы противоположного знака [4|, мы имеем изолированные режимы планирования.
В том случае, когда плоскости лопастей лежат в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела и со-
L=G
мейство неизолированных режимов планирования [5]. Эта плоскость может быть наклонена под
L=G
большинство из указанных режимов разрушается. Представляет интерес выявление тех режимов планирования, которые "выжили" и устойчивы.
Постановка задачи. В настоящей работе исследуем движение тела на спуске, когда плоскости лопастей лежат в горизонтальной плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела, а его центр L=G
которых тело движется поступательно с постоянной скоростью, углы атаки на лопастях одинаковы и равны углу планирования y — углу между вектором скорости центра масс и осью Ox, которая направлена горизонтально.
Oxz
щнх на тело, и расположение лопастей.
Предполагается, что аэродинамическое воздействие сосредоточено на лопастях, а распределенная система аэродинамических сил, действующих на лопасть, эквивалентна равнодействующей, при-
Oi
ло [6].
Система уравнений, описывающая движение тела, имеет вид
mVx = Rx - Wy Vz, mVz = Rz + Wy Vx + mg, AW y = My,
PP = Wy .
Здесь m, A — масса и экваториальный момент инерции тела; Rx, Rz — проекции аэродинамических R Vx Vz Wy W
Oy Oxyz My Oy
P
Oz
0.5p scjV2
Рис. 1. Распределение сил и расположение лопастей
Для обеспечения режима планирования проекции аэродинамических сил на оси системы Oxz таковы:
Rx = 0.5nps [cl(а) sin(a) — cd(a) cos(a)] V2 = 0, (2)
Rz = 0.5nps [cl(a) cos(a) + cd(a) sin(a)] V2 = mg, (3)
где n — число лопастей на теле; р — плотность среды; s — площадь лопасти; ci (а) с^(а) — аэродинамические функции подъемной силы и силы сопротивления соответственно.
Из уравнения (2) следует, что угол атаки и угол планирования связаны следующим соотношением: к (а) = ctg а, где к(а) = ci (a)/cd (а) — функция аэродинамического качества лопасти.
Рассмотрим тело с лопастями в виде тонких пластин в форме круга или прямоугольника удлинения 8, аэродинамические характеристики которых известны [7, 8]. Функция аэродинамичеекого качества пластины в форме прямоугольника изображена на рис. 2, а, а для пластины в форме круга на рис. 2, б.
Рис. 2. Функция аэродинамического качества пластины в форме: а прямоугольника: б круга
Для лопастей в форме круга и прямоугольника характерно, что при нескольких значениях угла атаки значение аэродинамического качества совпадает со значением функции ctg а (см. рис. 2). Это говорит о том, что результирующая сила направлена по нормали к лопасти. Следовательно, существует семейство режимов планирования, на которых лопасти располагаются горизонтально. Отметим, что для тел, оперение которых состоит из лопастей с низким аэродинамическим качеством
ctg а
Функция к (а) для лопасти в форме прямоугольника имеет четыре точки пересечения с функцией ctg а (точка P соответствует углу ар = 0.154 рад, точка U — углу ац = 0.344 рад, точка M — углу ам = 0.538 рад и точ ка G отвечает ас = п/2, рис. 2, а). При углах планирования, соответствующих данным точкам, лопасти располагаются горизонтально. Функция аэродинами чеекого
ctg а
Точкам пересечения F, И, Q, J I, ^соответствуют углы атаки ар = 0.3467 рад, ан = 0.348 рад, ад = 0.514 рад, а.] = 0.54 рад, аi = 0.586 рад, ащ = п/2.
Устойчивость режима планирования. Исследуем устойчивость режима планирования тела, лопасти которого расположены в горизонтальной плоскости. В этом режиме к(а) = ctg а, Vx = V cos а, Vz = — V sin а, где скорость центра масс тела определяется из уравнения (3) по формуле
V = \Jm,g/0.bnps [ci(a) cos(a) 4- Cd(a) sin(a:)] .
Vx =
const Vz = const Шу = 0 при учете смещения L центра масс: Аф — Ашу = 0,
Д Vx + 2qmuAVx + 2qmukAVz + (2qmuR + Vzo)Awy — дАф = 0, (4)
AVz — 2qmwAVx + 2qmwwAVz + (—2qmwR — Vx0)Awy = 0, Аш y + 2qAuRAVx + 2qAuRAVz + (2qA uR2 + qAr2ww)Awy = 0,
где qm = 2cdpsV/m, qa = 2cdpsV/A, u = 1 + k'sin2a, w = 2k — k' cos a sin a — c!d/cd, ww =
3 + k' + kc'd/cd — Щ k', c'd — производные по углу атаки функции аэродинамического качества и коэффициента лобового сопротивления; AVX, AVz — приращение проекций скорости центра масс тела; Awy — приращение проекции угловой скорости тела; A^> — приращение угла Крылова, характеризующего положение оси Oz.
Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости рассматриваемого установившегося режима определим как условия отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения системы (4).
Численно найдем значения корней характеристического уравнения для значений угла атаки, отвечающих точкам пересечения функции k(a) с функцией ctg а. Для тела с лопастями в форме прямоугольника в случае, когда смещение центра масс вдоль оси симметрии по направлению спуска L = 0, режим планирования устойчив с углами атаки ар = 0.154 рад и ам = 0.538 рад и неустойчив при аи = 0.344 рад и угле ас = п/2. Для тела с лопастями в форме круга устойчивыми оказались режимы планирования с углами атаки aF = 0.3467 рад, aQ = 0.514 рад, ai = 0.586 рад. При этих значениях углов атаки корни характеристического уравнения системы (4) имеют отрицательные действительные части.
L=0
Л [Л + qAr2ww] А2 + 2qmu (з + к' + k^j А + 8q2mii (к2 + l)
0. (5)
Отметим, что при тех же значениях углов атаки, при которых режимы планирования устойчивы для L = 0, в случае L = 0 один действительный корень этого уравнения Л = -qAr2ww отрицательный, так как выполняется неравенство ww > 0. Действительные части двух других корней уравнения Л2 + 2qmu (3 + k' + kc'd/cd ) Л + 8q^u (k2 + l) = 0 тоже отрицательные, так как выполняются неравенства u > 0 (3 + к! + kc'd/cd ) > 0 , но при этом один корень уравнения (5) нулевой, что обусловлено существованием множества неизолированных режимов планирования.
Траектории планирования. Проведем численное исследование нелинейной системы (1). Построим фазовый портрет системы для тела с лопастями в форме прямоугольника. Функция качества имеет 4 точки пересечения с функцией ctg а (рис. 2, а). На фазовой плоскости линейных скоростей им соответствуют точки P, U, M, G. Как видно го рис. 3, а, точки P и M отвечают устойчивым решениям типа притягивающего узла, а точки U и G — неустойчивым решениям.
Таким образом, точкам Р и М соответствуют траектории спуска в виде прямых р и т с углами планирования 7р = ар = 0.154 рад и 7м = ам = 0.538 рад (рис. 3, б).
Областью притяжения решения, отвечающего планированию с углом атаки ар = 0.154 рад, являются решения с начальными условиями по скоростям, соответствующими значениям угла атаки
из полуинтервала (0.001 рад, 0.34 рад]. На рие. 3, б представлены кривые a,b, c с начальными условиями из указанного интервала значений угла атаки. Для решения, соответствующего углу атаки ам = 0.538
щим углу атаки из интервалов (0 < а ^ 0.001 рад) и (0.34 рад < а < п/2). На рис. 3, б траектории d, e, f отвечают начальным условиям го области притяжения угла атаки ам = 0.538 рад.
Для тела с лопастями в форме круга устойчивыми являются решения, отвечающие углам планирования yf, yQi Ii- Им соответствуют прямолинейные траектории. Эти режимы планирования являются притягивающими. Отсюда следует, что траектории спуска тела с лопастями в форме круга, расположенными в горизонтальной плоскости, в зависимости от начальных условий по скоростям выходят на траектории планирования с углами yf-, Yq или Yi-
Заключение. Установлено, что у оперенного тела, плоскости лопастей которого лежат в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела, при смещении центра масс из этой плоскости возникают притягивающие изолированные режимы планирования. Отметим, что такие режимы планирования возможны только для лопастей, функции аэродинамического качества которых имеют
ctg а
Работа выполнена при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета "Математические методы анализа сложных систем".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Локшин Б.Я., Привалова О.Г., Самсонов В.А. К динамике ротошюта. М.: МГУ, 2018.
2. Привалова О.Г., Окунев Ю.М., Самсонов В.А. Устойчивость движения оперенного тела, авторотирующего в среде // Тр. Моск. физ.-техн. ин-та. 2017. 9, № 3 (35). 51-56.
3. Okunev Yu., Privalova О., Samsonov V. Influence of shape of blades upon descent of a finned body in media // Proc. 15th Int. Conf. on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conf.), STAB 2020, Institute of Electrical and Electronics Engineers. Piscataway, NJ, US, 2020. 1-2 (DOI 10.1109/STAB49150. 2020.9140653).
4. Привалова О.Г., Окунев Ю.М., Самсонов В.А. Режимы спуска оперенного тела с различными установочными углами лопастей // Проблемы механики и управления: Мат-лы Между нар. конф. М.: МГУ, 2018. 302-305.
5. Локшин Б.Я., Окунев Ю.М., Привалова О.Г., Самсонов В.А. Общие свойства и тенденции движения оперенного тела в сопротивляющейся среде // Инж. журн.: наука и инновации. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018. № 9. 1-15 (DOI 10.18698/2308-6033-2018-9-1799).
6. Зенкин А.П., Привалов В.А., Самсонов В.А. О квазистатической модели воздействия среды на автороти-рующее тело // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1993. № 4. 73-78.
7. Flachsbart О. Messungen an ebenen und gowolbten Platten // Ergeb. Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen / Hrsg. von. L. Prandtl und A. Betz. Bd. 4. München; Berlin: 1932, 96-100.
8. Табачников В.Г. Стандартные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Тр. ЦАГИ. 1974. Вып. 1621. 79-93.
Поступила в редакцию 17.11.2021
