Об устойчивости непрерывных нечетких систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕШ Серия: Математика. Фишка. 2013. №26(169). Вып. 33 43 МБ С 34А99

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ

ул. Университетская площадь, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: lriria.Terriovikh@gmail.com

Аннотация. В статье рассматривается устойчивость одного дифференциального уравнения с логического типа. На основе нечеткой производной вводятся понятия а-устойчивости и асимптотической а-устойчивости.

Ключевые слова: характеристическая функция, нечеткая динамическая система, нечета

Введение. Классическая теория устойчивости рассматривает точки равновесия систем и их динамическое поведение в окрестности этих точек. В течение пятидесяти .нет после Ляпунова и Пуанкаре, в проводимых исследованиях наблюдалось заметное продвижение. Благодаря работам Дж. Биркхофа |5|, В.В. Немыцкого и В.В. Степанова |6| стало очевидным, что суть этой теории заключалась в самом понятии динамической системы. Под динамической системой мы будем понимать систему, описывающую математическую модель некоторого объекта, процесса или явления. Исследуя динамические системы, существующие в биологии, экономике и социологии, с использованием фундаментальных понятий из теории устойчивости Ляпунова или применяя топологические свойства, установленные Пуанкаре, достоверность полученных результатов теряется, так как основная проблема заключается в том, что подобные системы практически всегда находятся вне состояния равновесия и претерпевают множество изменений, ведущих к отклонению от точки равновесия, что не позволяет в полной мере использовать результаты классической теории. Теория нечетких множеств, появившаяся сравнительно недавно, представляет новый инструмент для моделирования поведения динамических систем, описывающих реальные процессы во времени. В настоящей работе исследуется устойчивость нечеткой динамической системы. В работе До Гласса |1| сформулирован подход к исследованию нечетких динамических систем с заранее известными решениями и их областью определения, использующий в качестве эталона четкую модель динамического уравнения с заранее определенной областью решений. В работе дается обобщение этого метода и нахождение условия устойчивости (неустойчивости) при заведомо неизвестных решениях нечеткой динамической системы.

1. Предварительные сведения о нечетких системах. Пусть X некоторое нечеткое множество, тогда его нечёткое подмножество A С X представляется функцией принадлежности /а ■ X ^ I = [0,1] С К. Семейство всех нечётких подмножеств на X обозначим как P(X),

Слабым а-срезом нечёткого подмножества A £ P(X) для а £ (0,1] называется обычное множество вида

И.И. Терновых Воронежский Государственный Университет,

На основе теоремы декомпозиции любое нечеткое подмножество А Е Р(X) может быть представлено совокупностью своих а-срезов по формуле А = {аАа}, Нечеткое

а

подмножество Я множества X2 с функцией принадлежности у) является нечетким отношением. Совокупность нечетких отношений на X будем обозначать Р(X2),

Для нечетких отношений можно также определить понятие а-среза вида Яа = {(х, у) Е X2 : ^д(х,у) > а}, при этом Яа является обычным бинарным отношением. Теорема декомпозиции так же имеет место, т.е. Я = \/ {аЯа}.

а

Динамическое поведение непрерывной нечёткой системы определяется дифференциальным уравнением вида |4|

Х(£) = х(£) о Я ,

где х(£) Е Р(X) — состояние системы в момент времени ¿, Я — нечеткое отношение на множестве с функцией принадлежности ^д(и,у), определяющее переход в следующее состояние.

В терминах функции принадлежности (1) можно переписать в следующем виде:

(у) = (и) Л У)] ' 1 Е ' (2)

и

Пусть а Е (0,1], Яа — а-срез отношения Я. Для каждого и Е X множество образов обозначим

Яа (и) = {ад Е X : (и, ад) Е Яа} . (3)

Тогда Яа является функцией на X.

Пусть й определяет метрику в X, тогда потребуем для всех а чтобы множество Яа удовлетворяло следующим условиям 111:

1) Яа(и) — компактное и непустое множество;

2) существует такое действительное к, что для всех (и1,и2), имеет место

Яа(и1),Яа(и2) <к ■ .

Нечеткая система (1) для каждого а Е (0; 1] имеет вид [1]:

ха(¿) = Яа(ха(*^ , (4)

хха(^) == У Яа(и) , (5)

и&а(г)

Пусть х0 — заданное начальное значение, тогда для всех а Е (0; 1] существует такое отображение /а : Р (X) ^ Р (X), что

/а^Н ха(*) , (6)

Обобщая для всех а, положив f (x0,t) = fa(xa,t) и x(t) = ^J xa(t), получим

a a

следующее уравнение:

f (x0,t) = x(t) , (7)

которое называется эволюционным уравнением нечёткой системы (1) и представляет собой множество всех решений системы (1).

2. Типы устойчивости нечетких систем. Пусть M — замкнутое подмножество в X, Введем некоторые определения, основываясь на [7-10].

Определение 1. Функция V : X — R является положительно определённой на множестве M в X тогда и только тогда, когда:

1) V (x) определена в окрестности множества N D M;

2) Vu £ M (V(u) = 0);

3J Ve > 035 = 5(e) (d(u, M) <5 — V(u) < e);

4) существует возрастающая и непрерывная функция £ : R+ — R такая, что для всех u £ N \ M выполняются условия: £(0) = 0 и £^d(u, M< V(u).

Заметим, что, так как M — замкнутое множество, то N \ M никогда не является пустым. Следовательно, существует такая константа п > 0, что имеет место следующая цепочка включений M С B[M, п] С N, где

B[M,n] = {x £ X : d(M, x) < п} . (8)

Пусть V — положительно определенная функция в M. Для любого y £ R+ определим множество

K(y) = {u £ N : V(u) < y} . (9)

Положим y = inf{V(u) : u £ S(M, п)}, где S(M, n) = {x £ X : d(x, M) = п}- Тогда K(y) С M

На основе классического определения устойчивости в смысле Ляпунова |7-8| и |11| полу чим следующие определения.

Определение 2. Подмножество M С X называется устойчивым для нечёткой си-f

Ve > 0 35 = 5(e) (u £ B(M, 5) — Vt £ R+ (f (u, t) С B(M, e))).

Определение 3. Подмножество M С X называется а-устойчивым для нечёткой f

Ve > 0 35 = 5(e) (u £ B(M, 5) — Vt £ R+ (fa(u, t) С B(M, e))).

В терминах функции принадлежности определение 3 примет следующий вид.

Определение 3'. Подмножество M С XH^HBaeTcn а-устойчпвым тогда и только тогда, когда для любого e > 0 существует такое 5 = 5(e), что u £ B(M, e) предполагает, что лf(u,t)(z) < а для всех z £ B(M, 5) при всех t £ R+.

Определение 4. Подмножество M С X называется а-притягивающим, если существует такая окрестность N D M, что для каждого любой возрастающей последовательности {tn} последовательность {zn G fa(u,tn)} сходится к z G M при n — ж.

Данные определения можно сформулировать в терминах функции принадлежности.

Определение 4'. Подмножество M С X называется а-притягивающим (аттрактором), если существует такая окрестность N D M, что для всех u G N, для любой последовательности {tn} такой, что tn — ж при n — ж и любой последовательности {zn} такой, что zn G if (u,tn)(zn) > а, имеет место zn — z G M при n — ж.

M С X а

аа а

тис нечёткой производной вещественной функции, как это сделано в работе |1|, Также будем опираться па труды классической теории дифференциальных уравнений |7|, Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть f — нечёткая система и M — подмножество X. Если существует полунепрерывная снизу функция V ■ M — К такая, что

1) V(•) определена в некоторой окрестности N D M; Ю V(•) — положительно определённая функция по отношению к M; 3) sup DaV(u) < 0 для всех u G N, где DaV - нечеткая производная от V на срезе а, то множество M является а-устойчпвым.

Теорема 2 [1]. Пусть f — нечёткая система и M С X. Если существует полунепрерывная снизу функция V ■ X — К такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) принимает вид:

3') sup DaV(u) < 0 для всех u G N \ M ,

то множество M является асимптотически а-устойчпвым.

Теоремы 1 и 2 предполагают наличие предварительных знаний об эволюционном а

а

более широкие знания об эволюционном уравнении не потребуются.

Воспользовавшись теоремой из |1|, фундаментальными понятиями об устойчивости из |10|, получим следующую теорему.

M С X

ствует дифференцируемая функция V ■ X — К такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') sup j(VV(•),z) ■ z G Ra(u) j < 0 (и соотв. < 0) для всех u G N \ M, где (•, •) -скалярное произведение, тогда множество M является а-устойчпвым (соответственно а

□ Доказательство можно найти в [1]. ■

а

взаимосвязи между VV и производной от V на всех а-кривых. Однако требуется непре-

V

практическом использовании этой теоремы и поэтому предполагает более обобщённый вариант этой теоремы.

M С X

существует полунепрерывная снизу функция V : X — К, такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') существует такая непрерывная функция W : X — R что для Vu £ N \ M выполняется

Г „ V(u + tZ) - V(u) „ . Л

sup < liminf —-j-— : z G Да(и) j < -W{u)

(соотв. < — W(u)J для bcex u £ N \ M, тогда множество M — а-устойчивое (и соотв. а

□ Для всex u £ N любая а-кривая qa, проходящая через u, является решением дифференциального уравнения

qa(u,t) = Ra(qa(u,t)), t £ R+ .

Пусть Фа — множество всюду дифференцируемых а-кривых, Тогда для всех qa £ Фа и для всех u £ N существует такая непрерывная функция h, что h £ Ra(u) и q'a = h(qa). Так, условие 3') предполагает, что

„V (u + Zt) — V (u) lim inf —---^ < - W(u),

t

Zh(u)

u £ N

Таким образом, получим

V(qa(u,i)) — V(u) < — [ w(qa(u,r^dr

t^ 0+ t - V У

Итак, для всех кривых qa £ Фа верно неравенство V'(qa(u)) < —W(u). Продолжая рассуждать, как в Теореме 3, можно показать что, для всех qa £ Фа выполняется V (qa(u)) < —W (^.Следовательно, sup DaV (u) < —W (u). Применение Теоремы 1 и Теоремы 2 завершает доказательство. ■

аа

а

M С X

а

а

M С X а

f

Ve > 0 35 = 5(e) (u G B(M, 5) — Vt G K+(fa(u, t) П B(M, e) = 0).

M С X а

тогда и только тогда, когда для всех e > 0 существует такое 5 = 5(e), что если u G B(M, 5), то существует z G B(M,e), такое что /f((u,t)(z) > а для всех t G К+.

а

M

Теорема 5. Пусть f — нечёткая система, и пусть M С X. Если существует полунепрерывная снизу функция V ■ X — К, такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') Vu G N inf DaV(u) < 0,

а

□ Так как для всех u G NDaV(u) < 0, то продолжая рассуждать, как при доказательстве Теоремы 1, можно показать, что существует такая а-кривая qa G ФОх^ чт0 V(qa(u,t)) < V(u) для всex t G К+, Положительная определённость V предполагает, что для любого e > 0 существует 5 > 0, для которой V(u) < e везде, где d(u, M) < 5. Таким образом, для любого e > 0 существует такое 5 > 0 что го неравенства d(u, M) < 5 следует V(qa(u,t)) < e для всех t G К+, Более того, для всех А существует такое e > 0, что (см. Определение 1) неравенство d(u,M) < А влечет V (u) > e = £ (А), т.е. такое,

d(u, M) < А V(u) < e e > 0

5 > 0, что d(u, M) < 5, что предполагает, что d(qa(u, t), M) < e для всех t G К+. Отсюда следует, что u G B(M, 5) предполагает, что qa(u,t) G B(M,e), т.е, fa(u,t) ПB(M,e) = 0, для всех t G К+, ■

а

.июдиоппых уравнениях нечёткой системы. Мы можем установить подобный результат а

R

M С X V ■ X — К

ется условия 1)- 2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') Vu G N inf{(VV, z) ■ z G Ra(u)} < 0 .

Тогда является частично -устойчивым.

M С X

ствует такая полунепрерывная снизу функция V ■ X — К, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид:

3') существует такая непрерывна,я функция WW : X —у R+, что uN

■ Av ■ tV(u + tZ) — V(u) . Л .

mf < limmf —-—-— : л G Ra{u) > < -W(u).

{, Z toz J

Тогда множество M является частично а-устойчивым.

3. Иллюстративный пример. Рассмотрим нечеткую систему вида (1), определенную нечетким отношением

Ra = {(u, v) £ X2 : (2 + а) ■ u < v < (5 — 2а) ■ u} .

Эволюционное уравнение имеет вид:

fa(u0, t) = [u0 exp(5 + 2а)t,u0 exp(—2 — а)^ .

Функции qa(u0,t) = u0exp(аt) являются устойчивыми непрерывно-дифференцируемыми а-траекториями при всех а £ [2 + а, 5 — 2а]. Но также верно, что любые функции вида:

q (u t) i u0 exp(—ait) , t < T; qa(u0,t) = j u0 exp(—aiT — a2(t — T)), t > T

для любых a1; a2 £ [2 + а, 5 — 2а] также являются устойчивыми непрерывно-дифференцируемыми траекториями.

а

а

Пусть V(u) = d(u, M), тогда производная имеет вид:

DaV{u) = Иш^0+^(у(ие(-5+2а)4,ие(-2-а)4) - V{uj) .

Путем вычислений нетрудно показать, что sup DaV(u) < 0. Все условия теорем соблюдены, что и требовалось доказать.

а

аа приведенного примера доказана справедливость Теоремы 1 и Теоремы 2. В дальнейшем будут предложены процедуры проверки устойчивости нечетких динамических систем.

Литература

1. Zadeh A. Lotfi outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision process /7 IEEE Transactions on systems, MAN, and Cybernetics. 1973. 3; №1.

2. Ивохин E.B., Волчков С.О. Исследование динамики нечетких дискретных систем /7 System research & Information Technologies. 2005. 4. P.94 105.

3. Леденева T.M. Обработка нечеткой информации / Воронеж: ВГУ, 2006. 233 с.

4. Glas М. Theory of fuzzy systems /7 Fuzzy sets and systems. 1983. 10. P.65-77.

ABOUT STABILITY OF CONTINUOUS FUZZY SYSTEMS

I.I. Ternovikh

Voronezh State University, University Sq., 1, Voronezh 394006, Russia, e-mail: lrina.Ternovikh@gmail.com

Abstract. Stability of differential equation with fuzzy logic is under consideration. The fuzzy derivative is derived and it is applied to the solving of fuzzy equation system. The concepts of the a-stabilitv and the asymptotic a-stabilitv is introduced.

Key words: characteristic function, fuzzy dynamical system, fuzzy derivative, a-stabilitv, asymptotic a-stabilitv.