Об устойчивости непрерывных нечетких систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕШ Серия: Математика. Фишка. 2013. №26(169). Вып. 33 43 МБ С 34А99

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ

ул. Университетская площадь, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В статье рассматривается устойчивость одного дифференциального уравнения с логического типа. На основе нечеткой производной вводятся понятия а-устойчивости и асимптотической а-устойчивости.

Ключевые слова: характеристическая функция, нечеткая динамическая система, нечета

Введение. Классическая теория устойчивости рассматривает точки равновесия систем и их динамическое поведение в окрестности этих точек. В течение пятидесяти .нет после Ляпунова и Пуанкаре, в проводимых исследованиях наблюдалось заметное продвижение. Благодаря работам Дж. Биркхофа |5|, В.В. Немыцкого и В.В. Степанова |6| стало очевидным, что суть этой теории заключалась в самом понятии динамической системы. Под динамической системой мы будем понимать систему, описывающую математическую модель некоторого объекта, процесса или явления. Исследуя динамические системы, существующие в биологии, экономике и социологии, с использованием фундаментальных понятий из теории устойчивости Ляпунова или применяя топологические свойства, установленные Пуанкаре, достоверность полученных результатов теряется, так как основная проблема заключается в том, что подобные системы практически всегда находятся вне состояния равновесия и претерпевают множество изменений, ведущих к отклонению от точки равновесия, что не позволяет в полной мере использовать результаты классической теории. Теория нечетких множеств, появившаяся сравнительно недавно, представляет новый инструмент для моделирования поведения динамических систем, описывающих реальные процессы во времени. В настоящей работе исследуется устойчивость нечеткой динамической системы. В работе До Гласса |1| сформулирован подход к исследованию нечетких динамических систем с заранее известными решениями и их областью определения, использующий в качестве эталона четкую модель динамического уравнения с заранее определенной областью решений. В работе дается обобщение этого метода и нахождение условия устойчивости (неустойчивости) при заведомо неизвестных решениях нечеткой динамической системы.

1. Предварительные сведения о нечетких системах. Пусть X некоторое нечеткое множество, тогда его нечёткое подмножество A С X представляется функцией принадлежности /а ■ X ^ I = [0,1] С К. Семейство всех нечётких подмножеств на X обозначим как P(X),

Слабым а-срезом нечёткого подмножества A £ P(X) для а £ (0,1] называется обычное множество вида

И.И. Терновых Воронежский Государственный Университет,

На основе теоремы декомпозиции любое нечеткое подмножество А Е Р(X) может быть представлено совокупностью своих а-срезов по формуле А = {аАа}, Нечеткое

а

подмножество Я множества X2 с функцией принадлежности у) является нечетким отношением. Совокупность нечетких отношений на X будем обозначать Р(X2),

Для нечетких отношений можно также определить понятие а-среза вида Яа = {(х, у) Е X2 : ^д(х,у) > а}, при этом Яа является обычным бинарным отношением. Теорема декомпозиции так же имеет место, т.е. Я = \/ {аЯа}.

а

Динамическое поведение непрерывной нечёткой системы определяется дифференциальным уравнением вида |4|

Х(£) = х(£) о Я ,

где х(£) Е Р(X) — состояние системы в момент времени ¿, Я — нечеткое отношение на множестве с функцией принадлежности ^д(и,у), определяющее переход в следующее состояние.

В терминах функции принадлежности (1) можно переписать в следующем виде:

(у) = (и) Л У)] ' 1 Е ' (2)

и

Пусть а Е (0,1], Яа — а-срез отношения Я. Для каждого и Е X множество образов обозначим

Яа (и) = {ад Е X : (и, ад) Е Яа} . (3)

Тогда Яа является функцией на X.

Пусть й определяет метрику в X, тогда потребуем для всех а чтобы множество Яа удовлетворяло следующим условиям 111:

1) Яа(и) — компактное и непустое множество;

2) существует такое действительное к, что для всех (и1,и2), имеет место

Яа(и1),Яа(и2) <к ■ .

Нечеткая система (1) для каждого а Е (0; 1] имеет вид [1]:

ха(¿) = Яа(ха(*^ , (4)

хха(^) == У Яа(и) , (5)

и&а(г)

Пусть х0 — заданное начальное значение, тогда для всех а Е (0; 1] существует такое отображение /а : Р (X) ^ Р (X), что

/а^Н ха(*) , (6)

Обобщая для всех а, положив f (x0,t) = fa(xa,t) и x(t) = ^J xa(t), получим

a a

следующее уравнение:

f (x0,t) = x(t) , (7)

которое называется эволюционным уравнением нечёткой системы (1) и представляет собой множество всех решений системы (1).

2. Типы устойчивости нечетких систем. Пусть M — замкнутое подмножество в X, Введем некоторые определения, основываясь на [7-10].

Определение 1. Функция V : X — R является положительно определённой на множестве M в X тогда и только тогда, когда:

1) V (x) определена в окрестности множества N D M;

2) Vu £ M (V(u) = 0);

3J Ve > 035 = 5(e) (d(u, M) <5 — V(u) < e);

4) существует возрастающая и непрерывная функция £ : R+ — R такая, что для всех u £ N \ M выполняются условия: £(0) = 0 и £^d(u, M< V(u).

Заметим, что, так как M — замкнутое множество, то N \ M никогда не является пустым. Следовательно, существует такая константа п > 0, что имеет место следующая цепочка включений M С B[M, п] С N, где

B[M,n] = {x £ X : d(M, x) < п} . (8)

Пусть V — положительно определенная функция в M. Для любого y £ R+ определим множество

K(y) = {u £ N : V(u) < y} . (9)

Положим y = inf{V(u) : u £ S(M, п)}, где S(M, n) = {x £ X : d(x, M) = п}- Тогда K(y) С M

На основе классического определения устойчивости в смысле Ляпунова |7-8| и |11| полу чим следующие определения.

Определение 2. Подмножество M С X называется устойчивым для нечёткой си-f

Ve > 0 35 = 5(e) (u £ B(M, 5) — Vt £ R+ (f (u, t) С B(M, e))).

Определение 3. Подмножество M С X называется а-устойчивым для нечёткой f

Ve > 0 35 = 5(e) (u £ B(M, 5) — Vt £ R+ (fa(u, t) С B(M, e))).

В терминах функции принадлежности определение 3 примет следующий вид.

Определение 3'. Подмножество M С XH^HBaeTcn а-устойчпвым тогда и только тогда, когда для любого e > 0 существует такое 5 = 5(e), что u £ B(M, e) предполагает, что лf(u,t)(z) < а для всех z £ B(M, 5) при всех t £ R+.

Определение 4. Подмножество M С X называется а-притягивающим, если существует такая окрестность N D M, что для каждого любой возрастающей последовательности {tn} последовательность {zn G fa(u,tn)} сходится к z G M при n — ж.

Данные определения можно сформулировать в терминах функции принадлежности.

Определение 4'. Подмножество M С X называется а-притягивающим (аттрактором), если существует такая окрестность N D M, что для всех u G N, для любой последовательности {tn} такой, что tn — ж при n — ж и любой последовательности {zn} такой, что zn G if (u,tn)(zn) > а, имеет место zn — z G M при n — ж.

M С X а

аа а

тис нечёткой производной вещественной функции, как это сделано в работе |1|, Также будем опираться па труды классической теории дифференциальных уравнений |7|, Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть f — нечёткая система и M — подмножество X. Если существует полунепрерывная снизу функция V ■ M — К такая, что

1) V(•) определена в некоторой окрестности N D M; Ю V(•) — положительно определённая функция по отношению к M; 3) sup DaV(u) < 0 для всех u G N, где DaV - нечеткая производная от V на срезе а, то множество M является а-устойчпвым.

Теорема 2 [1]. Пусть f — нечёткая система и M С X. Если существует полунепрерывная снизу функция V ■ X — К такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) принимает вид:

3') sup DaV(u) < 0 для всех u G N \ M ,

то множество M является асимптотически а-устойчпвым.

Теоремы 1 и 2 предполагают наличие предварительных знаний об эволюционном а

а

более широкие знания об эволюционном уравнении не потребуются.

Воспользовавшись теоремой из |1|, фундаментальными понятиями об устойчивости из |10|, получим следующую теорему.

M С X

ствует дифференцируемая функция V ■ X — К такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') sup j(VV(•),z) ■ z G Ra(u) j < 0 (и соотв. < 0) для всех u G N \ M, где (•, •) -скалярное произведение, тогда множество M является а-устойчпвым (соответственно а

□ Доказательство можно найти в [1]. ■

а

взаимосвязи между VV и производной от V на всех а-кривых. Однако требуется непре-

V

практическом использовании этой теоремы и поэтому предполагает более обобщённый вариант этой теоремы.

M С X

существует полунепрерывная снизу функция V : X — К, такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') существует такая непрерывная функция W : X — R что для Vu £ N \ M выполняется

Г „ V(u + tZ) - V(u) „ . Л

sup < liminf —-j-— : z G Да(и) j < -W{u)

(соотв. < — W(u)J для bcex u £ N \ M, тогда множество M — а-устойчивое (и соотв. а

□ Для всex u £ N любая а-кривая qa, проходящая через u, является решением дифференциального уравнения

qa(u,t) = Ra(qa(u,t)), t £ R+ .

Пусть Фа — множество всюду дифференцируемых а-кривых, Тогда для всех qa £ Фа и для всех u £ N существует такая непрерывная функция h, что h £ Ra(u) и q'a = h(qa). Так, условие 3') предполагает, что

„V (u + Zt) — V (u) lim inf —---^ < - W(u),

t

Zh(u)

u £ N

Таким образом, получим

V(qa(u,i)) — V(u) < — [ w(qa(u,r^dr

t^ 0+ t - V У

Итак, для всех кривых qa £ Фа верно неравенство V'(qa(u)) < —W(u). Продолжая рассуждать, как в Теореме 3, можно показать что, для всех qa £ Фа выполняется V (qa(u)) < —W (^.Следовательно, sup DaV (u) < —W (u). Применение Теоремы 1 и Теоремы 2 завершает доказательство. ■

аа

а

M С X

а

а

M С X а

f

Ve > 0 35 = 5(e) (u G B(M, 5) — Vt G K+(fa(u, t) П B(M, e) = 0).

M С X а

тогда и только тогда, когда для всех e > 0 существует такое 5 = 5(e), что если u G B(M, 5), то существует z G B(M,e), такое что /f((u,t)(z) > а для всех t G К+.

а

M

Теорема 5. Пусть f — нечёткая система, и пусть M С X. Если существует полунепрерывная снизу функция V ■ X — К, такая, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') Vu G N inf DaV(u) < 0,

а

□ Так как для всех u G NDaV(u) < 0, то продолжая рассуждать, как при доказательстве Теоремы 1, можно показать, что существует такая а-кривая qa G ФОх^ чт0 V(qa(u,t)) < V(u) для всex t G К+, Положительная определённость V предполагает, что для любого e > 0 существует 5 > 0, для которой V(u) < e везде, где d(u, M) < 5. Таким образом, для любого e > 0 существует такое 5 > 0 что го неравенства d(u, M) < 5 следует V(qa(u,t)) < e для всех t G К+, Более того, для всех А существует такое e > 0, что (см. Определение 1) неравенство d(u,M) < А влечет V (u) > e = £ (А), т.е. такое,

d(u, M) < А V(u) < e e > 0

5 > 0, что d(u, M) < 5, что предполагает, что d(qa(u, t), M) < e для всех t G К+. Отсюда следует, что u G B(M, 5) предполагает, что qa(u,t) G B(M,e), т.е, fa(u,t) ПB(M,e) = 0, для всех t G К+, ■

а

.июдиоппых уравнениях нечёткой системы. Мы можем установить подобный результат а

R

M С X V ■ X — К

ется условия 1)- 2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид

3') Vu G N inf{(VV, z) ■ z G Ra(u)} < 0 .

Тогда является частично -устойчивым.

M С X

ствует такая полунепрерывная снизу функция V ■ X — К, что выполняются условия 1)-2) из Теоремы 1, а условие 3) имеет вид:

3') существует такая непрерывна,я функция WW : X —у R+, что uN

■ Av ■ tV(u + tZ) — V(u) . Л .

mf < limmf —-—-— : л G Ra{u) > < -W(u).

{, Z toz J

Тогда множество M является частично а-устойчивым.

3. Иллюстративный пример. Рассмотрим нечеткую систему вида (1), определенную нечетким отношением

Ra = {(u, v) £ X2 : (2 + а) ■ u < v < (5 — 2а) ■ u} .

Эволюционное уравнение имеет вид:

fa(u0, t) = [u0 exp(5 + 2а)t,u0 exp(—2 — а)^ .

Функции qa(u0,t) = u0exp(аt) являются устойчивыми непрерывно-дифференцируемыми а-траекториями при всех а £ [2 + а, 5 — 2а]. Но также верно, что любые функции вида:

q (u t) i u0 exp(—ait) , t < T; qa(u0,t) = j u0 exp(—aiT — a2(t — T)), t > T

для любых a1; a2 £ [2 + а, 5 — 2а] также являются устойчивыми непрерывно-дифференцируемыми траекториями.

а

а

Пусть V(u) = d(u, M), тогда производная имеет вид:

DaV{u) = Иш^0+^(у(ие(-5+2а)4,ие(-2-а)4) - V{uj) .

Путем вычислений нетрудно показать, что sup DaV(u) < 0. Все условия теорем соблюдены, что и требовалось доказать.

а

аа приведенного примера доказана справедливость Теоремы 1 и Теоремы 2. В дальнейшем будут предложены процедуры проверки устойчивости нечетких динамических систем.

Литература

1. Zadeh A. Lotfi outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision process /7 IEEE Transactions on systems, MAN, and Cybernetics. 1973. 3; №1.

2. Ивохин E.B., Волчков С.О. Исследование динамики нечетких дискретных систем /7 System research & Information Technologies. 2005. 4. P.94 105.

3. Леденева T.M. Обработка нечеткой информации / Воронеж: ВГУ, 2006. 233 с.

4. Glas М. Theory of fuzzy systems /7 Fuzzy sets and systems. 1983. 10. P.65-77.

ABOUT STABILITY OF CONTINUOUS FUZZY SYSTEMS

I.I. Ternovikh

Voronezh State University, University Sq., 1, Voronezh 394006, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Stability of differential equation with fuzzy logic is under consideration. The fuzzy derivative is derived and it is applied to the solving of fuzzy equation system. The concepts of the a-stabilitv and the asymptotic a-stabilitv is introduced.

Key words: characteristic function, fuzzy dynamical system, fuzzy derivative, a-stabilitv, asymptotic a-stabilitv.