Об условиях изотопии координатной квазигруппы и сердцевины левой ткани Бола Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.7

ОБ УСЛОВИЯХ ИЗОТОПИИ КООРДИНАТНОЙ КВАЗИГРУППЫ И СЕРДЦЕВИНЫ ЛЕВОЙ ТКАНИ БОЛА

© Г. А. ТОЛСТИХИНА

Тверской государственный университет кафедра математики с методикой начального обучения e-mail: [email protected]

Толстихина Г. А. — Об условиях изотопии координатной квазигруппы и сердцевины левой ткани Бола // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 255—262. — Найдены необходимые и достаточные условия, при которых сердцевина левой ткани Бола Bi(r,r,r) изотопна локальной координатной квазигруппе этой ткани. Построена геометрическая конструкция, определяющая соответствующее изотопическое преобразование.

Ключевые слова: три-ткань Бола, квазигруппа Бола, лупа Бола, сердцевина ткани Бола, изотопическое преобразование

Tolstikhina G. A. — The conditions for the coordinate quasigroup and the core of a left Bol web to be isotopic to each other // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 255—262. — The necessary and sufficient conditions for the coordinate quasigroup and the core of a left Bol web to be isotopic to each other are found. A geometric construction defining the corresponding isotopic transformation is given.

Keywords: Bol three-web, Bol quasigroup, Bol loop, core of Bol 3-web, isotopy

Три-ткани Бола (левые Bi(r,r,r), правые Br(r, r, r) и средние Bm(r, r, r)) образуют особый класс тканей, связанных с различными структурами, в том числе, с локально симметрическими пространствами [5], [7], [11]. Согласно [9] ткань Bi = Bi(r,r,r) индуцирует на базе первого слоения локально симметрическую структуру, которая порождается сердцевиной этой ткани. Отметим, что понятие сердцевины впервые введено В.Д. Белоусовым в [2], см. также [3]. Известно (см., например, [8], [10]), что сердцевина три-ткани Bi не изотопна, вообще говоря, координатной квазигруппе ткани. Возникает вопрос: при каких условиях сердцевина ткани Bi изотопна ее координатной квазигруппе?

В настоящей работе построена геометрическая конструкция, определяющая изотопию сердцевины и локальной координатной квазигруппы три-ткани Bi. При этом существенно используется свойство идемпотентности сердцевины. Сначала показано (Предложение 1), что любая идемпотентная квазигруппа, изотопная координатной квазигруппе произвольной три-ткани W(r,r,r), получается с помощью некоторого гладкого r-мерного подмногообразия, находящегося в общем положении со слоями ткани. Указано изотопическое преобразование, которое переводит уравнение координатной квазигруппы ткани в уравнение идемпотентной квазигруппы. Далее найдены необходимые и достаточные условия, при которых

сердцевина левой ткани Бола изотопна ее координатной квазигруппе (Теорема 1). Также найдено условие, которое характеризует локальную координатную лупу ткани Bi, изотопную сердцевине этой ткани, (Теорема 2). Полученные условия проиллюстрированы на примерах.

1. Сердцевина левой три-ткани Бола

Определение 1. Три-тканью W(r, r, r) на гладком многообразии M размерности 2r называется совокупность трех гладких слоений Ai, A2, A3 коразмерности r, таких, что в каждой точке p многообразия M три проходящих через нее слоя находятся в общем положении.

Напомним [1], что с любой три-тканью W(r, r, r) связана гладкая локальная квазигруппа. Последняя определяется гладкой функцией

f : X х Y ^ Z, z = f(x,y) = x ■ y, (1.1)

df df

где x € X, y € Y, z € Z; dimX = dimY = dimZ = r; |—— | = 0, |—-1 = 0. При этом уравнение z = f(x,y)

dx dy

связывает параметры слоев ткани, проходящих через одну точку многообразия M = X х Y.

Определение 2. Квазигруппа (1.1) называется локальной координатной квазигруппой три-ткани W(r, r, r).

Множества X, Y и Z являются локальными базами слоений Ai, Л2 и A3 соответственно, а слои ткани задаются уравнениями:

Ai : x = const, Л2 : y = const, A3 : z = f (x,y) = const.

Напомним [1], что параметры x, y и z допускают изотопические преобразования вида

x = a(x), y = e(y), 5 = y (z),

где а, в, Y — локальные диффеоморфизмы. При этом уравнение (1.1) преобразуется к виду

z = f(x, y) = y(f (a-i(x), в-i(y))).

Последнее определяет квазигруппу, изотопную квазигруппе (1.1). Три-ткани, определяемые функциями f и f (изотопными квазигруппами), являются эквивалентными [1].

Левая три-ткань Бола (ткань Bi = Bi(r,r,r)) характеризуется замыканием всех достаточно малых левых конфигураций Бола (конфигураций (Bi)) [1], см. рис. 1. Здесь и далее слои первого, второго и третьего слоений ткани изображаются, как обычно, вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями соответственно.

Напомним определение конфигурации (В;). Пусть а и Ь - два произвольных достаточно близких вертикальных слоя ткани В;, у - произвольный горизонтальный слой. Последний пересекает слой а в некоторой точке А. Через А проходит единственный наклонный слой, который пересекает слой Ь в некоторой точке В. Проходящий через В горизонтальный слой пересекает вертикальный слой а в точке С; через нее проходит единственный наклонный слой, который, в свою очередь, пересекает слой у в некоторой точке

в.

Если провести аналогичное построение, начав с другого горизонтального слоя у, то получатся новые точки А, В, С и В .В силу замыкания на ткани В; левых конфигураций Бола точки В и В лежат на одном и том же вертикальном слое, который обозначен с.

Определение 3. Операция

(*) : А1 х А1 —— А]_, с = а * Ь, (1.2)

где а, Ь и с - параметры слоев первого слоения, входящих в произвольную левую конфигурацию Бола на три-ткани В;, называется сердцевиной ткани В;.

Согласно [9] сердцевина (1.2) является квазигруппой и обладает свойствами идемпотентности (а*а = а), левой обратимости (а * (а * Ь) = Ь) и левой дистрибутивности (а * (Ь * с) = (а * Ь) * (а * с)). Поэтому она изотопна левой лупе Бола [7]. Напомним [3], что лупа (квазигруппа с единицей) с операцией (о) называется левой лупой Бола, если в ней выполняется левое тождество Бола: (и о (-у о и)) о т = и о (-у о (и о ад)).

2. Условия изотопии координатной квазигруппы и сердцевины левой ткани Бола

Как сказано выше, сердцевина (*) левой ткани Бола В; является идемпотентной квазигруппой. Покажем, что любая идемпотентная квазигруппа, изотопная координатной квазигруппе (1.1) ткани В;, получается с помощью гладкого г-мерного подмногообразия V, находящегося в общем положении со слоями три-ткани, (V С М, М = X х У). Отметим, что такой подход впервые был применен в работе [6], где построена идемпотентная квазигруппа, изотопная одной из координатных квазигрупп произвольной три-ткани Ш(г, г, г).

Итак, зададим на 2г-мерном многообразии М = X х У, несущем ткань Ш(г, г, г), г-мерное подмногообразие V уравнением

У = £(ж), (2.1)

где £ : X — У - локально биективное отображение. Пусть А(ж1,^(жх)) и В(ж2,у>(ж2)) - произвольные достаточно близкие точки на V, (А) и ^2(В) - соответственно вертикальный и горизонтальный слои

ткани, проходящие через эти точки, и пусть ^(А) П ^2(В) = М, при этом М = М(ж1, <£>(#2)), см. рис. 2. Наклонный слой ^"з(М), проходящий через точку М, пересекает подмногообразие V в некоторой точке С(жз, у>(жз)). Для параметра г слоя ^"з(М) имеем:

(2.2)

Рис. 2

Обозначим

Y(x) = / (x,P(x)). (2.3)

Так как V находится в общем положении со слоями три-ткани W(r, r, r), то отображение y : X ^ Z локально биективно, поэтому из (2.2) находим:

хз = Y-1(/(xi, ^(x2))) = p(xb Ж2). (2.4)

Нетрудно видеть (см. рис. 2), что уравнение (2.4) задает на подмногообразии V и, соответственно, на базе X первого слоения ткани W(r, r, r) идемпотентную квазигруппу. При этом изотопическое преобразование

x = xi, y = y>(x2), z = 7(хз) (2.5)

переводит эту квазигруппу в координатную квазигруппу (1.1) три-ткани W(r, r, r).

Обратно, пусть p : X х X ^ X — идемпотентная квазигруппа, изотопная координатной квазигруппе (1.1) три-ткани W(r, r, r). Нетрудно показать (см. рассуждения в [6]), что уравнение квазигруппы p получается из уравнения квазигруппы (2.4) изотопическим преобразованием вида (¿d, p-1,Y-1), которое определяется подмногообразием V. Здесь, как и выше,

Р : X ^ Y, y = p(x), y : X ^ Z, z = y(x) = /(x, p(x)).

Таким образом, верно Предложение 1. Любая идемпотентная квазигруппа

p : X х X ^ X, x3 = p(x1, x2),

изотопная координатной квазигруппе (1.1) три-ткани W(r, r, r), получается с помощью подходящего гладкого r-мерного подмногообразия V, находящегося, в общем положении со слоями ткани. Подмногообразие V определяет изотопическое преобразование (¿d, p-1,Y-1), которое переводит уравнение (1.1) координатной квазигруппы ткани в уравнение (2.4) идемпотентной квазигруппы.

Пусть W(r, r, r) - левая три-ткань Бола (ткань B¡ = B¡(r, r, r)) с координатной квазигруппой (1.1) и с сердцевиной (1.2). Напомним [10], что уравнение (1.2) получается из равенств

/ (a,y) = / (b,y) / (c,y) = / «, b,c e X, y,y e Y, (2.6)

соответствующих замыканию на ткани конфигураций (B¡), см. рис. 1. Здесь y - параметр горизонтального слоя, проходящего через точки B и C. Исключая из (2.6) параметр y, получаем равенство

/ (a,/-1(b, / (a, y))) = / (c, y), которое должно выполняться для любого параметра y. Отсюда находим уравнение сердцевины c = a * b, которая, как уже было сказано, не изотопна, вообще говоря, координатной квазигруппе (1.1) ткани Bl.

Согласно Предложению 1, уравнение сердцевины, изотопной координатной квазигруппе ткани B¡, как и любой идемпотентной квазигруппы, получается из уравнения (1.1) изотопическим преобразованием вида (2.5):

x = a y = P(b) z = Y(c) = /(С P(c)). (2.7)

Отсюда получаем равенство y(c) = z = /(x, y) = /(a, p(b)), из которого находим уравнение сердцевины в явном виде:

С = Y-1(z) = Y-1(/(a, p(b))) = a * b. (2.8)

С другой стороны, в силу замыкания на ткани конфигураций (B¿), имеем: /(a, p(c)) = Y(b). Отсюда находим:

С = Р-1(/-1(a,Y(b))). (2.9)

Из (2.9) и (2.10) следует равенство

7-1(/(а,£(Ь))) = £-1 (/-1(а,7(Ь))), (2.10)

которое должно выполняться для любых параметров а € X и Ь € X.

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Сердцевина с = а * Ь левой ткани Бола В; изотопна ее координатной квазигруппе г = ж • у = /(ж, у) в том и только в том случае, если существует гладкая функция £ : X — У, удовлетворяющая равенству (2.10), где функция 7 : X — Z имеет вид (2.3). Сердцевина ткани В; задается уравнением (2.8), которое получается из уравнения координатной квазигруппы (1.1) ткани В; изотопическим преобразованием (¿¿, у>-1,7-1).

Пример 1. Рассмотрим четырехмерную среднюю три-ткань Бола (ткань Вт), определяемую уравнениями [4]:

г1 = ж1у1,

ж2 + у2 (2.11)

' (ж1)2 + (у1)2’

где (ж1 )2 + (у1)2 = 0. Согласно [1], левая обратная квазигруппа -1/ координатной квазигруппы / ткани Вт определяет левую ткань Бола (ткань В;). Для координатной квазигруппы (2.11) найдем уравнения квазигруппы -1/, в которых переобозначим переменные: ж® ^ г®. Затем полученные уравнения с помощью изотопического преобразования

ж1 — в®1 , ж2 — ж2в-х1 , -1 — ву1 , 21 — в^1

у1

приведем к виду

{г1 = ж1 + у1,

г2 = ж2(ех1+2У1 + е-*1-2^) - у2. (212)

Согласно сказанному выше уравнения (2.12) задают некоторую четырехмерную ткань В;. Найдем ее сердцевину. Запишем уравнения (2.6) с учетом (2.12), получим:

а1 + у1 = Ь1 + у1, а2(е“1+2У1 + е-“1 -2^) - у2 = Ь2(еь1+2^ + е-&1-2у1) - у2,

с1 + у1 = а1 + у1, с2(ес1+2У1 + е-1-2'1) - у2 = а2(е“1+2®1 + е-“1-2'1) - у2.

Отсюда находим уравнения сердцевины в виде:

с1 = 2а1 - Ь1 ,

\ с2 = а2(е“1-ь1 + еь1 -“) - Ь2 (213)

и получаем равенства: у1 +— с1 = у1 +— Ь1, у2 - с2 = у2 - Ь2. Полагая в последних у = у>(с), у = у>(Ь),

22

получим уравнения, из которых найдем функцию у>:

У1 = Р1(ж) = -1 ж1, у2 = р2(ж) = ж2. (2.14)

Далее, по формуле (2.3) с учетом (2.12) и (2.14) находим функцию 7:

1___1/ \ _ 1 1 2________2/\____2

= 71(ж) = - ж1, г2 = 7 2(ж) = ж2. (2.15)

Непосредственной проверкой убеждаемся, что равенство (2.10) удовлетворяется тождественно в силу (2.12), (2.14) и (2.15).

Таким образом, по Теореме 1 сердцевина (2.13) рассматриваемой ткани В; изотопна координатной квазигруппе (2.12) этой ткани, причем уравнения (2.12) приводятся к виду (2.13) изотопическим преобразованием (¿¿, у>-1, 7-1):

1 12 2 1 1 7.1 2 7.2 1 1 12 2

ж1 = а1, ж2 = а2; у1 =---Ь1, у2 = Ь2; г1 = — с1, г2 = с2.

’ ’ у 2 2

3. Условия изотопии координатной лупы и сердцевины левой ткани Бола

Пусть / - локальная кординатная лупа три-ткани В;. Напомним, что лупа это квазигруппа с единицей. Найдем условие, которое характеризует лупу /, изотопную сердцевине три-ткани В;.

Согласно [1] координатная лупа / произвольной три-ткани определяется на базе Z ее третьего слоения (/ : Z х Z — Z) и изотопна любой координатной квазигруппе ткани. Единичный элемент

координатной лупы обозначим е, так что /(е, г) = /(г, е) = г для любого г € Z.

"Спроектируем" сердцевину (2.9) также на базу Z. С помощью изоморфизма

а = 7(а), Ь = 7 (Ь), с = 7 (с) (3.1)

преобразуем уравнение (2.9) в уравнение с = /(7-1(а), £>(7-1(Ь))) = а*Ь, где а, Ь, с € Z. При этом равенство

(2.10) примет вид:

7-1(/Р(7-1(Ь)))) = £-1(/^Т-1^ Ь)). (3.2)

Пусть в некоторых локальных координатах на многообразии М у>(е) = е, тогда 7(е) = /(е, у>(е)) = ¥>(е) = е. Из (3.2) при а = е получим:

Ф(Ь) = Ф-1(Ь),

где Ф = £ о 7-1. Отсюда следует, что Ф = ¿¿, или Ф = -¿¿.

Пусть Ф = ¿¿, то есть £ о 7-1 = ¿¿, тогда у>(ж) = 7(ж) = /(ж, у>(ж)), поэтому ж = е, что неверно, так как ж — произвольный параметр. Поэтому Ф = ¿¿, значит, Ф = -¿¿, следовательно,

7(ж) = -£(ж). (3.3)

Учитывая (3.3), (3.1) и (2.7), запишем равенство (3.2) в виде

/(ж, -/(ж,у)) = -у. (3.4)

Последнее характеризует координатную лупу три-ткани В;, изотопную сердцевине этой ткани.

Теперь найдем вид функции £, определяющей изотопическое преобразование (2.7). Для этого запишем преобразование (3.1) с учетом (2.7) и (3.3). Опустив волну, получим:

а = -у>(ж), Ь = -у, с = г. (3.5)

Из (2.3) в силу (3.3) получаем: /(ж, у>(ж)) = -у>(ж). Значит, для любого ж € X должно выполняться равенство: -1/(-у>(ж),у>(ж)) = ж, которое в силу (2.1) равносильно следующему:

-1/(-у, у) = £-1(у) = ж. (3.6)

Таким образом, в некоторых локальных координатах на многообразии М функция £, задающая изотопию (3.5) локальной кординатной лупы / и сердцевины (*) три-ткани В;, определяется из равенства (3.6). Из (3.5) с учетом (3.6) получим изотопическое преобразование:

ж =-1 /(а, -а), у = -Ь, г = с, (3.7)

которое преобразует уравнение г = /(ж, у) координатной лупы три-ткани В; в уравнение ее сердцевины:

с = г = /(ж, у) = /(-1/(а, -а), -Ь) = а * Ь. (3.8)

Доказана

Теорема 2. Сердцевина с = а * Ь левой ткани Бола В; изотопна ее координатной лупе г = /(ж, у) в том и только в том случае, если в некоторых локальных координатах функция / удовлетворяет условию (3.4). Сердцевина ткани В; задается уравнением (3.8), которое получается из уравнения координатной лупы ткани изотопическим преобразованием (3.7).

Проиллюстрируем Теорему 2 на примере три-ткани В;, заданной уравнениями (2.12):

I г1 = ж1 + у1,

г2 = ж2(ех +2у + е х 2у ) — у2.

ж2

Изотопическим преобразованием ж2 ^ :-—¡-, у2 ^ —у2 приведем уравнения (2.12) к виду

ех + е х

г1 = ж1 + у1,

ех 1 +2у 1 + е - х 1 - 2у 1 2 (3.9)

е® + е

Последние определяют координатную лупу три-ткани с единицей е(0,0).

Непосредственной проверкой убеждаемся, что условие (3.4) в силу (3.9) удовлетворяется тождественно. Следовательно, по Теореме 2 сердцевина (2.13) рассматриваемой ткани изотопна ее координатной лупе. Изотопическое преобразование вида (3.7):

ж1 = 2а1, ж2 = а2(е2“ + е-2“ ), у® = -Ь®, г® = с®, (г = 1, 2),

преобразует уравнения (3.9) в уравнения:

с1 = 2а1 - Ь1 ,

| с2 = а2(е2(“1-ь1) + е-2(“1-ь1)) - Ь2.

Последние определяют сердцевину ткани В; и приводятся к виду (2.13) изотопическим преобразованием 2а1 — а1, 2Ь1 — Ь1, 2с1 — с1.

Пример 2. Рассмотрим четырехмерную ткань Вт, определяемую уравнениями [4]:

г1 = ж1 + у1,

г2 = ж2 + у2 (3.10)

ж1 — у1

где ж1 — у1 = 0. Как и выше (см. Пример 1 в п. 2) найдем квазигруппу -1/ для координатной квазигруппы

(3.10), затем переобозначим переменные ж® ^ г®, в результате получим уравнения четырехмерной ткани

В:

{г1 = ж1 — у1, ,

2 2, 1о 1, 2 (311)

г2 = ж2(ж1 — 2у1) — у2.

Найдем уравнения координатной лупы этой ткани и проверим условие (3.4). Изотопическим преобразованием

2

112 ж 112211,122 ж ^ ж , ж ^ 1 ^, —у ^ у , —у ^ у, г ^ г +1, г ^ г

приведем уравнения (3.11) к виду:

г1 = ж1 + у1 - 1,

2 2 ж1 +2у1 ; 2 (3*1‘2)

г =ж -^ту +у •

Последние определяют координатную лупу рассматриваемой ткани В; с единицей е(1, 0). Непосредственной проверкой убеждаемся, что равенство (3.4), записанное с учетом (3.12), не удовлетворяется тождественно. Следовательно, сердцевина ткани (3.11) не изотопна ее координатной лупе.

Этот факт можно установить также с помощью уравнений сердцевины рассматриваемой ткани В;, которые получаются из системы (2.6), записанной с учетом (3.11), и имеют вид:

1 =2а1 — 61, 22

с

^ с2 = 2а2 — 62.

Очевидно, что эта сердцевина изотопна абелевой группе, а значит, не изотопна лупе (3.12), поскольку последняя не изотопна группе.

В заключение отметим, что с любой левой тканью Бола В; связаны (с точностью до изотопии) две лупы Бола: локальная координатная лупа ткани и лупа, изотопная сердцевине этой ткани. Эти лупы, вообще говоря, не изотопны. Причем лупы, изотопные сердцевинам соответствующих тканей, образуют некоторый класс левых луп Бола, определяемых условием (3.4): /(ж, —/(ж, у)) = —у. Отсюда могут быть найдены тензорные условия, характеризующие этот класс левых луп Бола и определяемых ими тканей

В;.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акивис М.А., Шелехов А.М. Многомерные три-ткани и их приложения//монография/ Тверь: ТвГУ.

2010. 308 с.

2. Белоусов В.Д. Сердцевина лупы Бола// Исследования по общей алгебре. Кишинев: Штиинца. 1965. С. 53-65.

3. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп// М.: Наука, 1967, 223 с.

4. Иванов А.Д. О четырехмерных тканях Боля параболического типа// Изв. Вузов. Мат. 1976. № 1. С. 42-47.

5. Лоос О. Симметрические пространства// М.: Наука, 1985.

6. Помаскина Л.А. Идемпотентные квазигруппы, определяемые на многомерной три-ткани// Ткани и квазигруппы. Калинин: КГУ. 1982. С. 55-63.

7. Сабинин Л.В., Михеев П.О. Теория гладких луп Бола// Москва: Ун-т дружбы народов, 1985. 80 с.

8. Толстихина Г.А. О сердцевине координатной квазигруппы некоторой шестимерной три-ткани Боля// Ткани и квазигруппы. Калинин: КГУ, 1990. С. 18-22.

9. Толстихина Г.А. О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола В; (р, ?,?)// Геометрія, топологія та іх застосування/ Зб. праць Ін-ту математики НАН Украіни, 2009. Т. 6. № 2. с. 247-255.

10. Толстихина Г.А. Обобщенная левая три-ткань Бола В;(р, г, г) как фактор-ткань левой ткани Бола В; (г, г, г)// Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в Одессе - 2010"/ Одесса: Фонд "Наука". 2010. С. 60.

11. Федорова В.И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля// Сиб. мат. ж. 1987. Т. 19. № 4. С. 922-926.