CC BY
92
ОБ УРОВНЯХ СЛОЖНОСТИ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ПРАКТИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
М.В. Егупова
Аннотация. Статья посвящена проблеме выделения уровней сложности задач, связанных с практическими приложениями школьной математики. Автором предложено выделение четырех уровней сложности таких задач.
Ключевые слова: задача на приложения школьной математики, уровни сложности задач, метод математического моделирования, математическая модель, математизация.
Summary. The article is devoted to the problem of allocation of levels of complexity of the tasks, connected with practical applications of the school mathematics. The author proposed to distinguish four levels of complexity of these tasks
Keywords: tasks on application of the school of mathematics, the levels of complexity of the tasks, the method of mathematical modeling, mathematical model, mathematization.
96
В настоящее время в связи с идущей модернизацией школьного математического образования особенно актуальным является вопрос обучения школьников практическим приложениям математики. Так, в примерной программе по математике для основной ступени общего образования в разделе «Требования к результатам обучения и освоению содержания курса» прямо указывается на необходимость дать учащимся «первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов», сформировать у них «умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни» [1]. Достичь заданных
результатов невозможно без использования в обучении математике задач, в содержании которых отражены ее практические приложения.
В методической литературе подобные задачи представлены как прикладные, практические, контекстные, сюжетные и т.п. Вопрос об обучении школьников решению задач этого типа не впервые ставится в теории и методике обучения математике и школьной практике. Однако в предыдущие периоды по различным причинам достичь особых успехов в этом вопросе не удалось.
Анализируя современные нормативные документы, можно заметить, что сегодня цели школьного математического образования тесно связаны с ее прикладной составляющей. Так, в фундаментальном ядре содержания общего
образования прямо указывается на то, что без знания математики невозможно выработать адекватное представление о реальном мире. Задачи на применение математики в ситуациях, близких к реальным, включены не только в ряд школьных учебников и учебных пособий, но и в материалы государственной итоговой аттестации. Эти факты позволяют надеяться на то, что обучение школьников практическому применению полученных математических знаний будет результативным и позволит достичь заданных требований.
Однако увеличение числа задач и примеров, связанных с приложениями математики, в содержании обучения не гарантирует приобретения школьниками прикладных умений. Для достижения обучающего эффекта необходимо разрешить ряд методических проблем, среди которых отметим следующую: отсутствие концептуальной и методической ясности в вопросе о том, в какой форме и объеме приложения математики целесообразно включить в обязательную программу школьного курса. К этой проблеме примыкает вопрос об определении уровней сложности задач на приложения математики. Решение этого вопроса позволит, в частности, уточнить систему оценивания таких задач в контрольно-измерительных материалах.
В настоящей работе под задачей,, связанной с практическими приложениями математики (задачей на приложения1), понимаем задачу, представляющую собой содержательную модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьной математики.
Решение этого типа задач связано с применением метода математического моделирования, его этапов: математизации (анализ условия), формализации (построение математической модели условия), внутримодельного решения, интерпретации результата.
Чаще выделяют только три этапа: построение математической модели; внутримодельное решение; интерпретация результата. Но есть задачи, при решении которых довольно трудно сразу предъявить математическую модель условия. Например, в фабуле задачи присутствует непонятная или неизвестная учащимся нематематическая терминология. Поэтому считаем целесообразным выделять этап математизации, на котором будет проделана подготовительная работа к составлению математической модели: проведен предварительный анализ условия задачи с целью установления возможности применения математики для ее решения, определены все нематематические термины, дана им математическая интерпретация, выявлены отношения между объектами условия задачи и уяснен смысл задачи в целом.
На основе проведенного нами анализа содержания задач на приложения школьной математики, следует заключить, что сложность поиска их решения, прежде всего, связана с осуществлением этапа математизации метода математического моделирования. В связи с этим предлагаем выделить уровни сложности выполнения этапа математизации при решении задачи на приложения, которые и будем считать уровнями сложности таких задач. Их, по нашему мнению, четыре:
97
1 Для краткости, будем в тексте называть задачи связанные с приложениями математики задачами на приложения.
98
I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель.
II. Объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями.
III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий.
IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их математические эквиваленты неизвестны школь никам.
Рассмотрим их подробнее.
I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель
На первом уровне рассматриваются такие содержательные модели реальности, объекты и отношения которых практически не требуют математизации. Математическая модель представлена в явном виде. Например, такова следующая задача:
• Для определения того, что керамическая плитка имеет квадратную форму, измеряют и сравнивают ее диагонали. Достаточна ли такая проверка?
При переводе на математический язык, получаем такую задачу:
• Верно ли, что если диагонали прямоугольника равны то этот прямоугольник - квадрат?
Также примером задач этого уровня служат задачи на использование различных инструментов для проведения измерений. В содержательной модели таких задач имеется прямое указание на математическую модель. Для их решения необходимо только найти подходящий математический аппарат, то есть выполнить внутримо-дельное решение. Этап интерпретации здесь отсутствует.
• Можно ли пользоваться чертежным угольником как центроискателем? Каким образом?
• Если под рукой не оказалось чертежного угольника, то прямой угол можно получить двукратным перегибанием листа бумаги любой формы. Объясните, почему в данном случае получаются прямые углы?
II. Объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями
На втором уровне объекты и отношения задачи хорошо знакомы учащимся из жизненного опыта или в результате изучения других школьных дисциплин. Поэтому школьники могут легко соотнести их с соответствующими математическими объектами и отношениями. Это наиболее многочисленная группа задач. Большинство таких задач используются в обучении для формирования математических понятий.
Приведем пример содержательной модели задачи, которая может стать основой для серии задач, направленных на формирование понятия прямоугольного треугольника и усвоение связанных с этим понятием теорем:
• Лестница прислонена к стене дома.
Составим следующую серию задач:
• На какую высоту можно подняться по лестнице длиной Ь, отстоящей от стены на расстояние Ь.
• Какой длины должна быть лестница, чтобы по ней можно было взбираться на высоту к? Ее нижний конец при этом отстоит от стены на расстояние Ь.
• Фонарь висит на стене дома на высоте к. Можно ли в нем заменить лампочку, воспользовавшись лестницей длины Ь. Лестница не съезжает со стены, если прислонена к ней под углом?
У этих задач одна математическая модель - прямоугольный треугольник, но для их внутримодельного решения используется разный математический аппарат: для первых двух задач - теорема Пифагора, для последней - определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике.
В условии следующей задачи уже сделаны необходимые упрощения. Все объекты задачи имеют математические эквиваленты, поэтому составление математической модели такой задачи, как правило, не вызывает затруднений у школьников. Она направлена на формирования понятия дуги окружности.
Человек среднего роста на совершенно ровном месте видит вокруг себя не далее 4,5 км. Как велика в градусной мере, та дуга земной поверхности, которую он видит? Радиус Земли принять равным 6400 км.
III/ Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий
На третьем уровне объекты и отношения содержательной модели неоднозначно соотносимы с их математическими эквивалентами. Соответствующая математическая модель выбирается в зависимости от реальных условий, описанных в задаче.
Например, на карте Московской области Москва и другие города занимают определенную площадь, а значит, их математической моделью может служить некоторая геометрическая фигура. Но на политической карте Европы столицы государств, в том числе и Москва, отмечены небольшими кружочками. В этом случае математическая модель города - точка, которая, как известно, не имеет размеров.
В следующих примерах построение математической модели усложнено тем, что в условии задачи есть объекты, математические интерпретации которых также неоднозначны.
• Найдите расстояние между двумя соседними меридианами на экваторе.
Если принять, что Земля имеет форму геоида, то такая модель Земли не позволит решить задачу средствами школьной геометрии. Если моделью формы Земли будет сфера, тогда для решения задачи будет использована известная школьникам формула длины дуги окружности.
• На какой широте Земли длина параллели в два раза меньше, чем длина экватора?
На первый взгляд, понятия широта, параллель, экватор хорошо знакомы учащимся. Эти понятия изучаются в курсе географии 6 класса [2].Однако понятие широты может быть определено по-разному. Часто встречается такое определение:
Географической широтой заданной точки называется величина в градусах дуги меридиана от экватора до параллели, проходящей через эту точку.
Приведенное определение является, по сути, наглядной иллюстрацией широты на глобусе, который, как известно, имеет форму шара. Если принять, что Земля - геоид, то строгое определение широты таково:
Географическая широта точки М это величина угла фм между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0 до 90° в обе стороны от экватора, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу - отрицательной, -900<ф < 900.
м
Таким образом, при поиске математического эквивалента понятия ши-
99
100
роты учащиеся могут встретить два приведенных выше определения. Школьникам необходимо выбрать, каким из них целесообразно воспользоваться при решении данной задачи.
Приведем пример задачи, в которой выбор подходящего математического аппарата для внутримодельного решения зависит от конкретных условий, имеющих место в реальности.
• На плоскости обозначены три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную ВС.
Эта задача имеет несколько решений. Выбор подходящего математического аппарата для внутримодельного решения зависит от условий, которые могут появиться в реальной ситуации прокладывания этой параллельной прямой. Например, если необходимо построить забор, параллельно имеющемуся, то можно предположить, что для построений на местности мы будем ограничены шириной улицы. Также ограничения могут возникнуть со стороны возможности использования геодезических инструментов. А если построения проводятся не на местности, а, например, в плотницком деле для разметки деревянных деталей, то и математическая модель будет соответствовать этим реальным условиям.
IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их математические эквиваленты неизвестны школьникам
На четвертом уровне объекты и отношения, подлежащие математизации, в содержательной модели не выделены. Например, такова следующая задача:
• Определите, на какой табурет (рис. 1а, б) можно сесть без риска оказаться на полу?
Рис. 1а, б. Табуреты
В тексте задачи речь идет о табурете, а объектами, которые следует математизировать, являются его ножки и сидение. Математическими эквивалентами этих объектов в данной задаче являются отрезки, которые на рис. 1б образовывают треугольник. Так как эта фигура является жесткой, то именно на такой табурет можно садиться.
В следующей задаче требуется выделить нужные характеристики объекта и учесть их при ее решении.
• В магазине имеются чайники четырех моделей. Выберите тот чайник, в котором вода будет остывать дольше всего.
При такой формулировке задачи учащиеся исследуют вопросы об объеме чайников и материале, из которого они изготовлены. Если эти параметры совпадают, то решение задачи сводится к сравнению площадей их поверхностей.
К этому уровню также относим задачи, в содержании которых встречается непонятная или неизвестная школьникам терминология. Например, для решения следующей задачи учащимся необходимо восстановить в памяти или изучить заново понятия «курс корабля» и «ортодромия», «географические координаты точки».
• Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в В, если известны географические координаты этих точек фА, ХА и фВ, ХВ.
Задачи третьего и четвертого уровня сложности в большинстве составля-
ют задачи, направленные на развитие умения применять метод математического моделирования для решения широкого круга задач, связанных с практическими приложениями геометрии, в том числе требующих всестороннего анализа данных и допускающих неоднозначное построение математической модели. К ним могут быть отнесены задачи с недостающими, лишними, противоречивыми и скрытыми данными.
Задачи первых двух уровней, как правило, не вызывают у школьников затруднений при построении математической модели и готовят к решению задач третьего уровня. Одной из особенностей задач третьего уровня состоит не только в нетривиальности построения математической модели, но и в неопределенности выбора математического аппарата для их решения. Это сближает такие задачи с прикладными задачами, поставленными в реальной ситуации.
Задачи первых двух уровней предназначены для использования на уроках математики и для организации контроля, текущего и итогового. Задачи третьего уровня требуют большего учебного времени для решения, поэтому их целесообразнее использовать во внеклассном обучении математике.
Определение уровня сложности задачи на приложения в практической работе учителя предлагаем проводить по двум критериям:
• новизна для школьников объектов и отношений содержательной модели задачи;
• сложность подбора математических эквивалентов к этим объектам и отношениям.
Очевидно, эти критерии зависят от имеющихся знаний и жизненного опыта учащихся определенного школьного возраста. Так, поиск решения за-
дачи о табуретах у учащихся старшего школьного возраста не вызовет затруднений. Ими уже накоплены для этого необходимые предметные знания.
Как видно из примеров, внутримо-дельное решение задачи четвертого уровня сложности может быть и довольно простым (задача о табуретах), и требовать достаточно глубоких математических знаний (задача о курсе корабля). Поэтому задачи внутри каждого уровня целесообразно ранжиро-
сложности
выполнения
остальных этапов метода математического моделирования.
Уровень сложности задачи на приложения - характеристика непостоянная. Так, одной и той же задаче, решенной, например, в 7 классе на уроке и в 9 классе на итоговой аттестации, может быть присвоен разный уровень сложности. Это может быть связано, например, с изменением оценивания первого критерия (степени новизны для школьников объектов и отношений содержательной модели) за время обучения. Определение уровней сложности задач на приложения позволит выделить базовые задачи, решение которых является обязательным для всех учащихся заданной возрастной группы.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федеральный государственный образовательный стандарт. - URL: http://www.standart. edu.ru (дата обращения: 20.06.2012).
2. Физическая география: учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений / В.П. Сухов. - М.: Просвещение, 2004. -192 с.
3. Калягин Ю.М. Задачи в обучении математике. - М.: Просвещение, 1977. - Ч. 2. -143 с.
4. Михайлов А.А. Что такое долгота и широта? // Квант. - 1975. - N 8. - С. 11-18. ■
101
ВЕК
вать
по
