CC BY
18
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 124
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-637-642 УДК 517
ОБ УРАВНЕНИЯХ, ПОРОЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫМИ НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
^ 3. Т. Ж^уковская, С. Е. Ж^уковский
Российский университет дружбы народов 117198. Российская Федерация, г. Москва, ул. М.-Маклая, 6 E-mail: zyxra2@yandex.ru, s-e-zhuk@yandex.ru
Аннотация. Предложено обобщение понятия нильпотентности для нелинейных отображений, действующих из М2 в М2. Исследованы свойства нелинейных нильпотентых отображений. Получены критерии нильпотентности для дифференцируемых и однородных полиномиальных отображений.
Ключевые слова: нелинейное нильпотентное отображение; полиномиальное однородное отображение
Введение
В этой работе исследуются отображения вещественных конечномерных пространств, обладающие свойством, сходным со свойством нильпотентности для линейных операторов. Напомним, что линейный оператор А : М™ € К" называется нильпотент-ным, если существует /с / N такой, что Ак = 0. Нильпотситный линейный оператор А обладает следующими свойствами: Ап = 0 (здесь п - размерность пространства, в котором действует линейный оператор); линейный оператор I А обратим и (I А) 1 = I + А + А2 + ... + Ап 1 (здесь I : М" е М™ - тождественное отображение); спектральный радиус с(А) линейного оператора А равен нулю; все элементы главной диагонали жордановой формы матрицы линейного оператора А являются нулями. Подробнее свойства нильпотентных линейных операторов приведены, например, в [1, гл. 3].
Цель настоящей работы - изучить нелинейные отображения, обладающие свойством, сходным со свойство нильпотентности линейных операторов. При этом мы ограничимся рассмотрением отображений, действующих из К2 в М2.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект № МК-2085.2017.1) и гранта РФФИ (проект № 16-01-00677). Результаты §2 получены вторым автором при поддержке Российского научного фонда (проект № 17-11-01168).
1. Нильпотентные отображения
Пусть задано отображение / : К2 е М2 такое, что /(0) = 0. Будем называть отображение / нильпотентным, если
кт+у)=т *,» /ж2- (1)
Отметим, что линейное отображение А : М2 € К2 нильпотентно в смысле этого определения тогда и только тогда, когда А2 = 0. Примером нелинейного нильпотент-ного отображения является отображение
= ^ , х = (хих2) / и2,
где 7 - произвольная функция. Ниже мы покажем, что любое гладкое пильпотентное отображение представимо в таком виде.
Понятие нильпотентности играет важную роль при исследовании вопроса разрешимости линейных уравнений. Покажем, что введенное обобщение понятия нильпотентности применимо к нелинейным уравнениям.
Предложение 1. Пусть отображение / : К2 е К2 нильпотентно. Тогда при любом у / М2 уравнение
х ¡(х) = у
с неизвестным х имеет единственное решение. В частности, нуль является единственной неподвижной точкой отображения /.
Доказательство. Зафиксируем у / Ш2. Положим Р{х) := у + /(ж). В силу (1) имеем
Ра(х)=у + Пу + Пх))=у ж/м2.
Значит, является сжимающим отображением. Следовательно (см. [2, гл. I, §1.6]), //Т имеет единственную неподвижную точку р. Таким образом, х = р - единственное решение уравнения х /(х) = у. При у = 0 это решение является неподвижной точкой отображения /. □
Как отмечалось выше, если / : К2 € М2 - линейный нильпотентный ненулевой оператор, то оператор I / обратим, и имеет место равенство
(I /) 1 = / + /■ (2)
Покажем, что этим свойством обладают и нелинейные нильпотентные отображения.
Предложение 2. Пусть отображение / : К2 е К2 нильпотентно. Тогда отображение I / обратимо и имеет место равенство (2).
Доказательство. В силу предложения 1 отображение I / взаимнооднозначно. Кроме того, (I /)(у + /{у)) > у + /(у) /(у + /{у)) > у + /{у) ¡(у) > у. Значит, имеет место равенство (2). □
нелинейные нилы10тентные операторы
639
2. Нильпотентные дифференцируемые отображения
Приведем критерий нильпотентности для дифференцируемых отображений.
Предложение 3. Пусть f : К2 е М2 - дифференцируемое отображение такое, что /(0) = 0. Оно нилъпотентно тогда и только тогда, когда
/'(«)/'(«) = о / м2. (3)
Доказательство. Пусть выполнено (3). Зафиксируем у / К2. Положим F(x) := f{f(x) + у). Имеем F^(ж) = /'(/{х) + y)f\x) = 0 для любого х / М2 в силу (3). Следовательно, F(x) = const. Значит, f(f(x) + у) зависит от у и не зависит от х. Поэтому /{/(ж) + у) = /(/(0) + у) = f(y) для любого X / М2.
Пусть выполнено предположение (1). Возьмем произвольные /М2. Положим
F(x) := f(u f(v) + f{x)). В силу (1) имеем F'(u) = 0. Отсюда, поскольку F'(ж) = /'(и f(v) + f(x))fI(ж), при х = v получаем /'(и)/'(и) = 0. □
Как отмечалось выше, линейный нильпотентпый ненулевой оператор f : Ш2 Е М2 в некотором базисе принимает вид л
f(x) = ) 0 , х = (хих2) /М2,
Покажем, что аналогичное свойство имеет место и для нелинейных нильпотентпых отображений.
Теорема 1. Если отображение f : К2 е Ж2 дифференцируемо и нилъпотентно, то существует дифференцируелюя функция 7 : К Е М и базис в R2, в котором f принимает вид —
т =) 7(°Ti) X = (xbx2)/R2. (4)
Доказательство. Если f(x) > 0, то утверждение теоремы очевидно. Поэтому далее будем предполагать, что f(x) ^ 0.
Возьмем произвольную точку f. / R2 такую, что / (/) 0 (такая точка существует, поскольку f(x) | 0 и /(0) = 0). В силу (4) имеем / (jp)/Qp) = 0. Следовательно, существует базис, в котором матрица линейного оператора /'(^с) принимает вид
'«=): I-
Пусть в этом базисе / имеет вид л
/w = )aw i/r2
Здесь fi, /2 : М2 е К- некоторые дифференцируемые функции. Тогда в силу (4) имеем
О = /!(?)/!(*) = ) пв(х} х / М2.
Здесь 9 = (0.0), a f[(x) - градиент функции f[. Отсюда, поскольку /(0) = 0, то fi(x)>0. Обозначим g(x) := /?(х). Имеем
f(x) = ) . х / R2.
Отсюда и из тождества f\x)f\x) > 0 следует, что
\ о о \ о о _ \ о о
~) зШ ) ¡кШЛ?)
для каждого х / М2. Здесь (</].(х), д[.2(х)) = Значит, д\,,2(ж) = 0 для каждого
х / Ж2. Следовательно, существует дифференцируемая функция 7 :1 е М такая, что д(х) > 7(х1). Таким образом, имеет место представление (4). □
2. Нильпотентные полиномиальные отображения
Исследуем теперь свойства иильпотентпых полиномиальных отображений. Напомним, что отображение / : М2 е R2 называется однородным полиномиальным отображением степени к / N, если существует ненулевое отображение
р : Ж2 О ОЖ2 е М2,
к ШТ.
которое линейно по каждому аргументу, и f(x) > р[х,..., ж].
Теорема 2. Пусть f : R2 € М2 - однородное полиномиальное отображение степени к / N. Предположим, что
р(х)р(х)>0. (5)
Тогда существует число 0 и базис в К2, в котором
№ = ) Л х = (хг,х2) /М2. (G)
Доказательство. Если k = 1, то отображение / линейно. В этом случае из (5) следует, что существует базис, в котором матрица линейного оператора /'(ж) принимает вид —
/'(*) = ) Ц
и, значит, / имеет вид (6). Поэтому всюду далее будем полагать, что к —>2.
Зафиксируем произвольный базис в R2. Пусть в некотором базисе отображение / имеет вид л
Здесь /1, /2 : R2 € К - некоторые однородные многочлены, причем либо оба многочлена имеют степень к, либо один из них имеет степень /с, а второй тождественно равен нулю. Для определенности далее будем полагать, что 0.
Положим gi(t) := /i(i, 1), с/2) := /2 (А 1), t / М. В силу однородности многочленов /1 и /2 имеют место равенства
/i{x) = xk2gl{x1/x2), f2{x) = x%g2(xг/х2) x = (xltx2) / R2 : x2 V= 0.
нелинейные нильпотентные операторы
641
I/ \ х2 1g[(xi/x'*) кх2 1gi(x1/x2) Х1Х2 2g[(xi¡x2)
Следовательно,
) x\ [á(xi/Xa) 192(xi/x2) xixk 2g[{x1/x2)
и, значит,
det(/'(ar)) = fccíj* 2 sUW^ftifci/^) Jit^i/^JffU^i/^a) ^ (7)
tr(/'(x)) = ж2 1g[(x1/x2) + kx% 1g2{xl/x2)
afli(xi/i2) (8)
для ж = (3:1,3:2) / ®2 таких, что хг 0. Здесь det(/'(x)) - определитель матрицы /1(х), a tr(/l(x)) - ее след.
В силу предположения (5) имеем det(/'(x)) > 0. Поэтому из соотношения (7) следует, что
9[(t)g2(t) д1(Ы(г)=0 t/R.
Отсюда, поскольку /1 ¥= 0, получаем, что существует с / М такое, что g2(t) > сд1 (í). В силу предположения (5) имеем tr(/'(jc)) > 0. Поэтому из соотношений (8) и g2(t) > cgi(t) следует, что
g[(t) + kc9l(t) ctg[(t) = 0 t/R.
Значит, существует а / R, а 0, такое, что g\{t) > «(1 ct)k. Отсюда и из соотношения g2(t) > cgi(t) следует, что
Возьмем базис = (0,1), е2 = (1, с). Очевидно, что в этом базисе отображение / принимает вид (6). □
Из доказанного следует, для полиномиальных однородных отображений свойства (1), (3) и (5) эквивалентны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.
2. Granas A., Dugundji J. Fixed Point Theory. N. Y.: Springer-Ver lag, 2003. 690 p.
Поступила в редакцию 19 апреля 2018 г. Прошла рецензирование 22 мая 2018 г. Принята в печать 26 июня 2018 г. Конфликт интересов отсутствует.
Жуковская Зухра Тагировна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: zyxra2@yandex.ru
Жуковский Сергей Евгеньевич. Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: s-e-zhuk@yandex.ru
Для цитирования: Жуковская З.Т., Жуковский С.Е. Об уравнениях, порожденных нелинейными нильпотент-ными отображениями // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 637-642. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-637-642
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-637-642
ON EQUATIONS GENERATED BY NONLINEAR NILPOTENT MAPPINGS
Z. T. Zhukovskaya, S. E. Zhukovskiy
RUDN University 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow 117198, Russian Federation E-mail: zyxra2@yandex.ru, s-e-zhuk@yandex.ru
Abstract. A generalization of a nilpotent linear operator concept is proposed for nonlinear mapping acting from R2 to R2. The properties of nonlinear nilpotent mappings are investigated. Criterions of nilpotence for differentiable and polynomial mappings are obtained.
Keywords: nonlinear nilpotent mapping; polynomial homogeneous mapping
REFERENCES
1. Horn R., Johnson C. Matrix Analysis. Cambridge, Cambridge University Press, 2013, 643 p.
2. Granas A., Dugundji J. Fixed Point Theory. New York, Springer-Verlag, 2003, 690 p.
Received 19 April 2018 Reviewed 22 May 2018 Accepted for press 26 June 2018 There is no conflict of interests.
Zhukovskaya Zukhra Tagirovna, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Assistant of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: zyxra2@yandex.ru
Zhukovskiy Sergey Evgenyevich, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: s-e-zhuk@yandex.ru
For citation: Zhukovskaya Z.T., Zhukovskiy S.E. Ob uravneniyah, porozhdennih nelineynimi nilpotentnimi operatorami [On Equations Generated by Nonlinear Nilpotent Mappings]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekh-nicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 637—642. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-637-642 (In Russian, Abstr. in Engl.).
The work was supported by the grant of the President of Russian Federation (Project No. MK-2085.2017.1). The results of Section 1 are due to the first author who was supported by the Russian Science Foundation (Project No. 17-11-01168).
