CC BY
38
ного развития ШАЛ сверхвысоких энергий. Суточный ход сигналов, полученных с антенн с разными диаграммами направленности, коррелирует друг с другом.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки контракт № 16.518.11.7075 и РФФИ грант № 11-02-12193 офи-м-2011
Л и т е р а т у р а
1. Филоненко А. Д. Детектирование космических лучей по электромагнитной радиоэмиссии ливня и возможности этого метода в диапазоне сверхвысоких энергий // Успехи физических наук.- 2002. - Т. 172, № 4. - С. 439-471.
2. Царев В. А. Регистрация космических лучей ультравысоких энергий радиометодом // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2004. Т. 35, № 1. - С. 1-49.
3. Linsley J. // Phys. Rev. Lett. - 1963. - V. 10. - P. 146-148.
4. Jelley J.V., Fruin J.H., Porter N.A. et al. //Nature. 1965. V. 205. - P. 327.
5. Аскарьян Г. А. Избыточный отрицательный заряд электрон-фотонного ливня и когерентное излучение от него //
Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1961.
- 41. № 2(8) .- С. 616-618.
6. Chairman W. N. Atmospheric Electric Field as a Possible Cause of Radio Pulse from EAS // Nature vol. 215 - p. 497-498 (1967).
7. Chairman W. N. and Jelley J. V. The atmospheric electric field as a source of RF emission from EAS, and some notes on breamsstrahlung // Phys. 46 216 (1968).
8. Sivaprasad K., in 15th Cosmic Ray Conf., Plovdiv, Bulgaria, 1977: Conf. Papers (Eds C Ya Christov et al.) Vol. 8 (Sofia: Institute for Nucl. Res. And Nucl. Energy, Bulgarian Acad. Of Sci., 1978).
- P. 484.
9. Каримов Р. Р., Кнуренко С. П., Козлов В. И. и др. // Материалы XVI международного симпозиума (12-15 октября 2009 г.). Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН,
2009. - С. 602-604.
10. Jasik H. // Antenna Engineering Handlebook. Mcgraw-Hill. 1961.
11. Knurenko S.P. et al. // Proc. 22nd ECRS. Turku. Finland.
2010. - P. 262.
12. Ellingson S. W. et al. Design and Evaluation of an Active Antenna for a 29-47 MHz Radio Telescope Array // IEEE Transaction on antenna and propagation vol. 55, No.3, 2007 -p. 826-831.
УДК 517.95
Д. К. Потапов
ОБ УРАВНЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ И РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Рассмотрена задача Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной нелинейностью. Вариационным методом получены теоремы о существовании правильных решений для исследуемой задачи. Приведено необходимое и достаточное условие существования нетривиального решения рассматриваемой спектральной задачи.
Ключевые слова: эллиптические краевые задачи, уравнения высокого порядка, спектральный параметр, разрывная нелинейность, вариационный метод, правильные решения.
D. K. Potapov
Elliptical equation of high order with a spectral parameter and discontinuous nonlinearity
It is considered the Dirichlet problem for elliptical equation with a spectral parameter and discontinuous nonlinearity to the phase variable. Theorems of proper solution existence for the given problem are received by the variational method. There is brought necessary and sufficient condition for existence of a nontrivial solution of this spectral problem.
Key words: elliptic boundary condition, higher-order equations, spectral parameter, discontinuous nonlinearity, variational method, proper solutions.
ПОТАПОВ Дмитрий Константинович - к. ф.-м. н., доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет».
E-mail: potapov@apmath.spbu.ru
Уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью рассматривались в ряде наших работ [1, 2, 3, 4]. Нами изучены вопросы решений аппроксимирующей задачи, получаемой возмущением спектрального параметра и аппроксимацией нелинейности каратеодориевыми функциями, а также решений исходной задачи со спектральным параметром и разрывной нелинейностью [1, 4]. В результате этих исследований получены теоремы о существовании луча положительных собственных значений и оценке сверху величины бифуркационного параметра [2], и теорема о существовании решений и свойствах “разделяющего” множества для исследуемых задач [3]. Данная работа является продолжением этих исследований.
В ограниченной области О ^ Яп с достаточно гладкой границей Г рассматривается краевая задача Дирихле
ти( х) = Аg (х, и( х)), х еО, (1)
дV (Г)и(х) = 0, х е Г, 0 < г < р— 1. (2)
т = У (-1/ £ в аав ( х) Ва Здесь ,<|1лв|< ав
1<|а|=|в|< р
равномерно эллиптический формально самосопряженный дифференциальный оператор порядка 2 р с достаточно гладкими коэффициентами; А -положительный параметр, называемый спектральным; функция g : Ох Я ^ Я суперпозиционно измеримая и для почти всех х е О сечение g(х,) имеет на Я разрывы только первого рода,
g(х, и) е[g- (х, и), g+ (х, и)] Уи е Я,
go (x, u) = lim g (x, n),
g+(x, u) =lim g(x, n)
где числовая последовательность (Ак ) сходится к А, Ак > 0, функция gk удовлетворяет тем же условиям, что и функция g■
В дальнейшем потребуются следующие определения и обозначения.
Определение 1. Сильным решением задачи (1) и (2) называется функция и е Жд р (О), удовлетворяющая для почти всех х е О уравнению (1) и граничным условиям (2).
Определение 2. Полуправильным решением задачи (1) и (2) называется такое сильное ее решение и-, значение которого и(х) для почти всех х еО является точкой непрерывности функции g (х, •).
Определение 3. Корректным решением задачи
(1) и (2) называется функция и е р (О), если
Уе > 0 35 > 0 ЗТ > 0 такие, что для любой
нелинейности gk, удовлетворяющей условию близости
Т
/ ах л А^к (х -Аg(x, 5) ^
в е — окрестности решения и (х) в пространстве С (О) существует полуправильное решение задачи (3) и (4). Определение 4. Правильным решением задачи (1) и
(2) называется полуправильное и корректное решение этой задачи.
Определение 5. Прыгающим разрывом функции / : Я ^ Я называется такое и е Я, что / (и-) < / (и+), где /(и ±)=^ 1 (8)-
Краевой задаче (1) и (2) поставим в соответствие функционал JА, определенный на Н ор (О)
следующим образом: JА (и) = J1 (и) — А J2 (и ),
где
J1(u ) = — ^ f aae (x)Dau (x) De u (x)dx,
и | g(x, u) |< a(x) Vu e R, где a g Lq (Q),
f 2n n ] фиксирована;
q > max\-------— — \,
[ n + 2 p 2 p J
дг (Г) - производные в направлении внутренней нормали v к границе Г порядка г. Рассматриваются также приближенные краевые задачи
ти(x) = \gk (x, u(x)), x eQ, (3)
' 1<|«|=|e|<p е
(4)
J2(u) = | йх І g(X, 5)^.
□ 0
Положим и = {и0 є Нр (□) : J2 (и0) > 0}
В коэрцитивном случае
(^) > а\и\\2 ^ но (п),
а — положительная константа, не зависящая от и), согласно результатам работы [2], имеет место нижеследующая теорема 1.
ll
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) существует а > 0, для которого ^(и) > а|М12 Уи Е Нр (П);2) для почти всех x еО функция g(х, •) имеет только прыгающие разрывы, g(х, 0) = 0 и | g(х, и)|< а(х) Уи Е Я, где
a I
q > max <
2n
n
n + 2 p 2 p
фиксирована;
3) найдется u0 g H0(Q), для которого J2(u0) > 0.
0 < Л < inf J (uo)
Тогда существует 0 ^ 'v — llf,
Uo€Uj2 (uo )
такое, что
для любого Л > Л0 уЁН^П)J (р) < 0, и
ux € Hp (П), для которого
найдется
х и = 4 (5)
(5)
и любое и л , удовлетворяющее (5), является ненулевым полуправильным решением задачи (1) и (2).
В данной работе устанавливается справедливость следующих теорем.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно и л (х) — точка строгого локального минимума вариационного функционала JЛ (и) в пространстве Н р (О), сопоставляемого краевой задаче (1)-(2). Тогда ил является правильным решением задачи (1)-(2).
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно вариационный функционал JЛ (и), сопоставляемый краевой задаче (1)-(2), имеет не более счетного числа точек глобального минимума. Тогда существует правильное решение задачи (1)-(2).
Теорема 4. Условие 3 теоремы 1 выполняется тогда и только тогда, когда
Доказательство теоремы 2. Из теоремы 1 следует, что и л — полуправильное решение задачи (1) и (2) из пространства р (О). Корректность иЛ доказывается
аналогично тому, как это сделано в работе [5] для уравнений эллиптического типа второго порядка с разрывной по фазовой переменной нелинейностью.
Поэтому и — полуправильное и корректное решение задачи (1) и (2), т. е. правильное решение этой задачи.
Доказательство теоремы 3. Функционал JЛ для любого Л > 0 слабо полунепрерывен снизу на Нр (О) и Пт JЛ (и) =УЛ > 0 [6].
множество точек глобального минимума функционала JЛ (и) непусто. Как и в работе [5] устанавливается, что в данном множестве есть изолированная точка. А так как существует изолированная точка глобального минимума функционала JЛ (и) на Нр (О), то теорема 3 следует из теоремы 2.
Доказательство теоремы 4. Данный результат для уравнений эллиптического типа второго порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью установлен М. Г. Легинским [7]. Доказательство для уравнений эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью проводится аналогично.
Замечание 1. В данной работе изучается вопрос существования правильных решений задачи (1)-(2) (теоремы 2, 3 данной работы), впервые введенных для уравнений с разрывными нелинейностями М. А. Красносельским и А. В. Покровским [8], в связи с изучением проблемы существования корректных по отношению к различного рода возмущениям решений.
Замечание 2. Условие 3 теоремы 1 является важным условием, обеспечивающим существование нетривиального решения задачи (1)-(2). В некоторых ситуациях [9, 10] легко установить существование подобной функции и0(х). Однако может оказаться, что это условие не выполняется. Поэтому в данной работе приводится необходимое и достаточное условие существования такой функции и0 (х), что верно
и0( х)
неравенство J2(и0) = || g(x,> 0 (теорема 4 данной работы). О 0
Л и т е р а т у р а
1. Потапов Д. К. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43. - № 7. - С. 1002-1003.
2. Потапов Д. К. О структуре множества собственных
значений для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 1. - С. 150-152.
3. Потапов Д. К. О “разделяющем” множестве для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. -№ 3. - С. 451-453.
4. Потапов Д. К. Аппроксимация однопараметрического семейства задач Дирихле для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями в резонансном случае // Математические заметки. - 2011. - Т. 90.
- Вып. 3. - С. 467-469.
5. Лепчинский М. Г., Павленко В. Н. Правильные решения
эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями // Алгебра и анализ. - 2005. - Т. 17. - № 3. - С. 124-138.
6. Павленко В. Н., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сибирский математический журнал - 2001. - Т. 42. - № 4. - С. 911-919.
7. Лепчинский М. Г. Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Челябинск, 2006. - 124 с.
8. Красносельский М. А., Покровский А. В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. - 1976. - Т. 226. - № 3. - С. 506-509.
