Задачи управления системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром, внешним возмущением и разрывной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ,

ВНЕШНИМ ВОЗМУЩЕНИЕМ И РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Д.К. Потапов

Рассматриваются задачи управления распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром, внешним возмущением и разрывной нелинейностью. Вариационным методом получены теоремы о разрешимости для исследуемых задач

Ключевые слова: задачи управления, спектральный параметр, разрывная нелинейность, внешнее возмущение, вариационный метод

Уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью рассматривались в работах [1]—[4]. В работе [5] получены общие результаты об управляемых системах со спектральным параметром и разрывным оператором в банаховых пространствах. Вариационным методом установлены предложения о непустоте и слабой замкнутости множества допустимых пар «управление - состояние», приведены достаточные условия существования оптимальной пары «управление - состояние» для изучаемого класса задач управления. Полученные общие результаты применены к задачам управления распределенными системами эллиптического типа второго порядка с разрывными по фазовой переменной нелинейностями. Данная работа является продолжением этих исследований и посвящена разрешимости управляемых распределенных систем эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром, внешним возмущением и разрывной нелинейностью.

В ограниченной области О с Я" с достаточно гладкой границей Г рассматривается управляемая распределенная система с внешним возмущением вида

та(х) = ^(х, и(х)) + Бу(х) + Вм(х), х е О, (1) Э; (Г)и(х) = 0, х е Г, 0 < г < р -1. (2)

Здесь т= ^(-1)|Ь|Вьаар(х)В“ - равномер-

1<|а|=|Р|< р

но эллиптический формально самосопряженный дифференциальный оператор порядка 2 р в дивергентной форме, функции аар вещественно-

значны и имеют непрерывные в О частные производные до порядка | Ь | включительно; 1 -положительный параметр; функция

Потапов Дмитрий Константинович - СПбГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected]

g: Q X R —— R суперпозиционно измерима и для почти всех x е Q сечение g(x,) имеет на R разрывы только первого рода,

g(x, u) е [g_ (x, u), g+ (x, u)] Vu е R,

g _ (x u) = lim g(x hX g + (x, u) = lim g (x, h),

h—u h—u

| g(x, u) |< a(x) Vu е R, a е Lq (Q),

> f 2n n \

q > max^---------, — k

[ n + 2 p 2 p J

оператор B : U — Lq (Q) линейный и ограниченный, U - банахово пространство управлений, функция v( x) в уравнении (1) играет роль

управления, управление v е Uad с U, Uad -множество всех допустимых управлений для системы (1)-(2); оператор D : W — Lq (Q) линейный и ограниченный, W - банахово пространство возмущений, функция w(x) в уравнении (1) играет роль возмущения, возмущение wе W; Э;(Г) - производные в направлении внутренней нормали V к границе Г порядка r.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(2) при фиксированных управлении v и возмущении w называется функция

u е Hp (Q) П Wqp (Q), удовлетворяющая для

почти всех x е Q включению

tu (x) _ Bv( x) _ Dw( x) е 1[g _(x, u( x)), g +(x, u (x))l Определение 2. Сильным решением задачи

(1)-(2) при фиксированных управлении v и возмущении w называется функция u е Wq2 p (Q), удовлетворяющая для почти всех

x е Q уравнению (1) и граничным условиям (2).

Определение 3. Полуправильным решением задачи (1)-(2) при фиксированных управлении

v и возмущении w называется такое сильное ее решение u, значение которого u (x) для почти всех x е Q является точкой непрерывности функции g (x,).

Определение 4. Прыгающим разрывом функции f : R — R называется такое u е R,

что f (u-) < f (u+), где f (u±) = lim f (s).

s——u ±

Допускается, что для некоторых v е Uad,

w е W задача (1)-(2) либо не имеет решений, либо имеет более одного решения, т. е. возможен сингулярный случай [6].

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) для любого u е Hp (Q) справедливо неравенство

^ |aaß (x)D “u(x)Dbu(x)dx > 0;

1<|a|=|ß|<p q

2) для почти всех x е Q функция g(x,) имеет только прыгающие разрывы, g(x,0) = 0 и | g(x, u) |< a(x) Vu е R, где a е Lq (Q),

q > max^

2n

n

n + 2 p 2 p

3) найдется и0 е Нр (О), для которого

и0( х )

имеет место неравенство | йх | g(х, s)ds > 0;

О 0

4) если пространство N(т) решений зада-[хи = 0,

ненулевое (резонансный слу-

чи

э; (г)и( х) = о

чай), то дополнительно предполагается, что

U (х)

lim Г dx Г g(х, s)ds = -¥•

ueN(x),||u||®+¥ J J

W 0

5) оператор B : U ® Lq (W) линейный и

ограниченный, пространство управлений U банахово, множество допустимых управлений Uad с U непусто;

6) оператор D : W ® Lq (W) линейный и

ограниченный, пространство возмущений W банахово.

Тогда для любых v e Uad, w e W существует полуправильное решение задачи (1)-(2).

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1), 3)-6) теоремы 1 и дополнительно условия

1) для почти всех х e W функция g(х,-) невозрастающая на R и для некоторой

а е Ьп (О), а = шах<! —2"—, 1, справедли-

[ п + 2 р 2 р \

во неравенство | g(х, и) |< а(х) Vи е Я;

2) для почти всех х е О точки разрыва функции g(х,-) лежат на плоскостях и = и1,

I е I (I - не более чем счетно), и если g(х, и1 -) > g(х, и1 +), то

g(х, и1 -)g(х, и1 +) > 0 для любого I е I.

Тогда справедливо утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Полученные в данной работе теоремы доказываются вариационным методом. Их доказательство сводится к проверке выполнения условий общей теоремы для задач оптимального управления нелинейными системами со спектральным параметром и разрывным оператором в банаховых пространствах (теоремы 1 из работы [5]), обобщающей соответствующие теоремы из работ [7], [8].

Доказательство теорем 1, 2. Факт выполнения условий 1), 2) теоремы 1 из работы [5] для соответствующих эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями устанавливается аналогично тому, как это сделано в работах [9]-

[11] для распределенных систем эллиптического типа второго порядка со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной нелинейностью. Условие 3) теоремы 1 из работы [5] относительно оператора Б идентично условию

5) теоремы 1 данной работы. Условие 6) теоремы 1 данной работы относительно оператора В идентично условию 5) теоремы 1 данной работы относительно оператора Б. Тем самым условия теоремы 1 из работы [5] выполнены, поэтому справедливо утверждение теоремы 1 из работы [5] относительно разрешимости, т. е. в условиях теорем 1, 2 данной работы для любых V е иай , Н’ е Ж существует обобщенное решение задачи (1)-(2). Согласно результатам работы [2], если в теореме 1 данной работы дополнительно для почти всех х е О функция g(х, ) имеет только прыгающие разрывы (условие 2) теоремы 1), то для любых управления V е иай и

возмущения Н е Ж существует полуправильное решение задачи (1)-(2). В силу [2] при выполнении условий теоремы 2 данной работы для любых V е иай, Н е Ж также существует полуправильное решение задачи (1)-(2). Теоремы 1, 2 доказаны.

Замечание 2. В работах [7], [8], [12] рассматривались только обобщенные решения.

Литература

1. Потапов Д.К. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 7. С. 1002-1003.

2. Потапов Д.К. О структуре множества собственных значений для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями // Диффе-ренц. уравнения. 2010. Т. 46. № 1. С. 150-152.

3. Потапов Д.К. О «разделяющем» множестве для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 3. С. 451-453.

4. Потапов Д.К. Аппроксимация однопараметрического семейства задач Дирихле для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями в резонансном случае // Матем. заметки. 2011. Т. 90. Вып. 3. С. 467-469.

5. Потапов Д.К. Управление спектральными задачами для уравнений с разрывными операторами // Труды ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 190-200.

6. Лионс Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 368 с.

7. Павленко В.Н. Метод монотонных операторов в

в задачах управления распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Известия вузов. Математика. 1993. № 8. С. 49-54.

8. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1999. № 2(5). С. 56-67.

9. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 911919.

10. Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями в критическом случае // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2004. Вып. 4. С. 125132.

11. Потапов Д.К. Задачи со спектральным параметром и разрывной нелинейностью. СПб.: Изд-во ИБП, 2008. 99 с.

12. Павленко В.Н. Управление распределенными

системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 9.

С. 1586-1587.

Санкт-Петербургский государственный университет

CONTROL PROBLEMS FOR HIGHER-ORDER SYSTEMS OF ELLIPTIC TYPE WITH A SPECTRAL PARAMETER, AN EXTERNAL PERTURBATION,

AND A DISCONTINUOUS NONLINEARITY

D.K. Potapov

We consider control problems for distributed higher-order systems of elliptic type with a spectral parameter, an external perturbation, and a discontinuous nonlinearity. Using the variational method, theorems on resolvability for investigated problems are proved

Key words: control problems, spectral parameter, discontinuous nonlinearity, external perturbation, variational

method