Об эллиптических уравнениях со спектральным параметром и разрывной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

Об эллиптических уравнениях со спектральным параметром и разрывной нелинейностью

Дмитрий К. Потапов*

Санкт-Петербургский государственный университет, факультет прикладной математики — процессов управления, Университетский пр., 35, Санкт-Петербург, 198504

Россия

Получена 25.08.2011, окончательный вариант 27.10.2011, принята к печати 10.04.2012 Рассматриваются основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа второго порядка со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной нелинейностью. Вариационным методом получена теорема о существовании правильных 'решений для исследуемых задач, конкретизированы оценки величины бифуркационного параметра и дифференциального оператора.

Ключевые слова: эллиптические краевые задачи, спектральный параметр, разрывная нелинейность, вариационный метод, правильные решения.

Уравнения эллиптического типа второго порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью рассматривались в работах [1—6]. В работах [1,2] получены теоремы о существовании луча положительных собственных значений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями. В работах [3, 4] изучался вопрос о близости решений аппроксимирующей задачи, получаемой возмущением спектрального параметра и аппроксимацией нелинейности каратеодориевыми функциями, и решений исходной задачи со спектральным параметром и разрывной нелинейностью. В работе [5] получены теоремы об оценке сверху величины бифуркационного параметра, а в работе [6] — теорема об оценках дифференциального оператора для исследуемых задач. Данная работа является продолжением этих исследований.

Рассматриваемый в работе класс нелинейных спектральных задач важен и для ряда прикладных задач, включает, например, известную модель М.А. Лаврентьева об отрывных течениях [7]. Отметим, что спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в ограниченных липшицевых областях рассматривались в работе [8] (см. также библиографию в работе [8] по спектральной теории).

В ограниченной области Q С Rn c границей Г класса С2,а (0 < а ^ 1) рассматривается краевая задача

n

Lu(x) = — ^^ (aij(x)ux.)x + c(x)u(x) = Ag(x,u(x)), x £ Q, (1)

i,j= 1

Bu|r =0. (2)

Здесь L — равномерно эллиптический формально самосопряженный дифференциальный оператор с коэффициентами aj £ Ci,a(Q), c £ C0,a(Q); A — положительный параметр, называемый спектральным; функция g : Q х R ^ R суперпозиционно измеримая, т. е. для любой измеримой по Лебегу функции u(x) на Q функция g(x,u(x)) измерима по Лебегу на Q и для почти всех x £ Q сечение g(x, •) имеет на R разрывы только первого рода, g(x, u) £ [g-(x, u), g+ (x, u)] V u £ R, g-(x, u) = lim g(x, n), g+ (x, u) = lim g(x, n); граничное

П—>u V >u

*[email protected], [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

ди

условие (2) имеет вид: либо условие Дирихле и(ж)|г = 0, либо условие Неймана —— (ж)|г = 0

дпг

ди

гЬ 1,3 = 1

с конормальной производной —— (ж) = ^ ац(ж)их еов(п, жц), п — внешняя нормаль к

дпг г

границе Г, еов(п, жц) — направляющие косинусы нормали п, либо третье краевое условие ди

——(ж) + а(ж)и(ж)|г = 0, функция а € С а(Г) неотрицательна и не равна тождественно д пь

нулю на Г.

Рассматриваются также приближенные краевые задачи

Ьи(ж) = Хкдк(ж,и(ж)), ж € П, (3)

Ви|г = 0, (4)

где числовая последовательность (Хк) сходится к Х, Хк > 0, функция дк удовлетворяет тем же условиям, что и функция д.

В дальнейшем потребуется следующее определение и обозначения.

Определение. Корректным решением задачи (1)-(2) называется функция и € W2(П), д > п, если для любого е > 0 найдутся 6 > 0 и Т > 0 такие, что для любой нелинейности дк , удовлетворяющей условию близости

1

J ¿ж J |Хк дк (ж, в) — Хд(ж, < 6,

в е-окрестности решения и(ж) в пространстве Сд(П) существует полуправильное решение задачи (3)-(4), т. е. такое сильное ее решение и, значение которого и(ж) для почти всех ж € П является точкой непрерывности функции дк (ж, •).

Отметим, что в данном определении требуется близость нелинейностей исходной и приближенной задач лишь на множестве П х (—Т, Т).

Пусть X = Нд(П), если (2) — граничное условие Дирихле, и X = Нд(П), если (2) — граничное условие Неймана или третье краевое условие. Краевой задаче (1)-(2) поставим в соответствие функционал JЛ, определенный на пространстве X следующим образом: JЛ(и) = Л (и) — Х72(и), где

1 А Г _ , 1

^1(и) = ^ / ац(ж)их.их.¿ж + 1 [^^^¿ж

п

в случае граничного условия Дирихле или Неймана;

^(и) = 1 £ J ац (ж)их их. ¿ж +1 Jc(ж)u2(ж)¿ж Jа(s)u2(s)¿s гц=1п п г

в случае третьего краевого условия;

и(х)

Ми)=! ¿ж/д(ж^ п0

Положим и = |ио € X : ^(ио) > 0}.

В коэрцитивном случае ^(и) ^ а||и||2 Уи € X, где а — положительная константа, не зависящая от и, имеет место следующая теорема.

п

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1) существует константа а > 0, для которой Ji(u) ^ a||u||2 Vu £ X;

2) для почти всех x £ Q верно неравенство g(x, u—) < g(x,u+) Vu £ R, где g(x,u±) = lim g(x, s), выполнены соотношения g(x, 0) = 0 и |g(x, w)| ^ a(x) Vu £ R, где а £ Lq(Q),

s—>u±0

q > n, фиксирована;

3) найдется w0 £ X, для которого J2(u0) > 0. Тогда

1) существует 0 < Л0 ^ C • inf ||w0|| такое, что для любого Л > Л0 inf JA(v) < 0, и

u0eU veX

найдется и\ £ X, для которого

JA(uA) = inf JA(v), (5)

veX

и любое u\, удовлетворяющее (5), является ненулевым полуправильным 'решением задачи (1)-(2) (C — положительная постоянная);

2) для почти всех x £ Q имеют место следующие оценки дифференциального оператора L:

0 < C • ||u0|| • |g(x,u(x))| < |Lu(x)| < b(x),

где b(x) — некоторая функция из Lq(Q), q > n.

Доказательство. В работе [1] доказано, что при выполнении условий 1)-3) теоремы существует Л0 > 0 такое, что inf JA(v) < 0 для любого Л > Л0, и найдется u\ £ X такое, что

veX

выполняется (5), и любое u>, удовлетворяющее (5), является ненулевым полуправильным решением задачи (1)-(2). Для любого u £ X в силу условия 2) теоремы имеем

| J2(u)| ^ j a(x)|u(x)|dx ^ e||u||, n

где постоянная в равна произведению ||a||Lq(n) на норму оператора вложения X в Lp(Q), p-1 + q-1 = 1. Отсюда имеем J2(u0) ^ в||u0||, а в силу условия коэрцитивности Ji(u0) ^

а|КН2. В работе [5] установлено неравенство Л > j2(uo). Поэтому Л > ^Hf = C||u01|, где C — положительная постоянная. Таким образом, для величины бифуркационного параметра Л0, начиная с которой задача (1)-(2) разрешима, справедлива следующая оценка сверху:

Л0 < C • inf ||u0||.

uo еи

В работе [6] доказано, что при выполнении условий 1)-3) теоремы для почти всех x £ Q имеют место следующие оценки дифференциального оператора L:

0 < |g(x,u(x))| < |Lu(x)| < b(x),

J2(u0)

где b(x) — некоторая функция из Lq(Q), q > n, а учитывая полученное выше неравенство

JiKK^n и

——Т > C | |u011, имеем: J2(u0)

0 < C • ||u0|| • |g(x,u(x))| < |Lu(x)| < b(x).

Если дополнительно u\ — точка строгого локального минимума вариационного функционала Jx в пространстве X, сопоставляемого краевой задаче (1)-(2), то, согласно результатам работы [9], u\ — корректное решение задачи (1)-(2). Поэтому u\ — полуправильное и корректное решение задачи (1)-(2), т. е. правильное решение этой задачи. Теорема доказана полностью. □

Замечание 1. Пусть выполнены условия теоремы и дополнительно вариационный функционал JA(u), сопоставляемый краевой задаче (1)—(2), имеет не более счетного числа точек глобального минимума. Тогда существует правильное решение задачи (1)—(2). Действительно, функционал J Л для любого Л > 0 слабо полунепрерывен снизу на X и lim JЛ(м) = УЛ > 0 [1]. Поэтому множество точек глобального минимума функ-

| |и|

ционала Jx(м) непусто. Как и в работе [9] устанавливается, что в данном множестве есть изолированная точка. А так как существует изолированная точка глобального минимума функционала Jx(u) на X, то сформулированное утверждение следует из доказанной теоремы.

Замечание 2. В данной работе изучается вопрос существования правильных решений задачи (1)—(2), впервые введенных для уравнений с разрывными нелинейностями М.А. Красносельским и А.В. Покровским в работе [10], в связи с изучением проблемы существования корректных по отношению к различного рода возмущениям решений. Установлено, что при Л, превышающих некоторое значение, задача (1)—(2) имеет по крайней мере одно нетривиальное полуправильное решение, которое при дополнительном предположении является правильным решением задачи (1)—(2). В работе [11], если следовать используемой в данной работе терминологии, установлено существование по крайней мере одного полуправильного решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с разрывными нелинейностями.

Замечание 3. В данной работе, включая проблему Лаврентьева

—Дм = wsignu, u|r = ^(x), ш > 0,

установлено существование правильного решения — решения с определенными свойствами. Отметим, что ранее [7,11] правильные решения для задачи Лаврентьева не рассматривались.

Список литературы

[1] В.Н.Павленко, Д.К.Потапов, О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами, Сиб. машем, журн., 42(2001), № 4, 911-919.

[2] Д.К.Потапов, О существовании луча собственных значений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями в критическом случае, Весшн. С,-Пешерб. ун-та, Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, (2004), вып. 4, 125-132.

[3] В.Н.Павленко, Д.К.Потапов, Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью, Известия вузов. Математика, (2005), № 4, 49-55.

[4] Д.К.Потапов, Устойчивость основных краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью в коэрцитивном случае, Известия РАЕН. Сер. МММИУ, 9(2005), № 1-2, 159-165.

[5] Д.К.Потапов, Об одной оценке сверху величины бифуркационного параметра в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелиней-ностями, Дифференц. уравнения, 44(2008), № 5, 715-716.

[6] Д.К.Потапов, Оценки дифференциального оператора в задачах со спектральным параметром для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та,Сер. Физ.-мат. науки, (2010), № 5(21), 268-271.

[7] М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, Проблемы гидродинамики и их математические модели, М., Наука, 1973.

[8] М.С.Агранович, Спектральные задачи в липшицевых областях, Соврем, мат. Фундам. направл., 39(2011), 11-35.

[9] М.Г.Лепчинский, В.Н.Павленко, Правильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями, Алгебра и анализ, 17(2005), № 3, 124-138.

[10] М.А.Красносельский, А.В.Покровский, Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями, Докл. АН СССР, 226(1976), № 3, 506-509.

[11] М.А.Красносельский, А.В.Покровский, Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями, Докл. РАН, 342(1995), № 6, 731-734.

On Elliptic Equations with Spectral Parameter and Discontinuous Nonlinearity

Dmitry K. Potapov

The main boundary problems for elliptic equations of the second order with a spectral parameter and nonlinearity discontinuous with respect to a phase variable are considered. By variational method the theorem on existence the correct solutions for these problems is proved, and the estimates for both a value of the bifurcational parameter and the differential operator are obtained.

Keywords: elliptic boundary problems, spectral parameter, discontinuous nonlinearity, variational method, correct solutions.