Об уравнениях Абеля и интегралах Ришело Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.93, 531.011

Об уравнениях Абеля и интегралах Ришело

Ю. А. Григорьев, А. В. Цыганов

Санкт-Петербургский государственный университет Россия 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, улица Ульяновская д.1 yury.grigoryevQgmail.com, tsiganovQmph.phys.spbu.ru

Получено 19 октября 2009 г.

Рассматриваются суперинтегрируемые системы тина Ришело с N степенями свободы, для которых п < N уравнений движения являются уравнениями Абеля на гиперэллиптической кривой рода п — 1. Соответствующие дополнительные интегралы движения являются полиномами второго порядка по импульсам.

Ключевые слова: суперинтегрируемые системы, разделение переменных, уравнения Абеля

Yu. A. Grigor’ev, A. V. Tsiganov On the Abel equations and the Richelot integrals

The paper deals with superintegrable N-degree-of-freedom systems of Richelot type, for which n < N equations of motion are the Abel equations on a hyperelliptic curve of genus n — 1. The corresponding additional integrals of motion are second-order polynomials in momenta.

Keywords: superintegrable systems, separation of variables, Abel equations Mathematical Subject Classifications: 37K10, 70H06, 70H20

В старинных малочитаемых сборниках научных учреждений, а также в обширной научной переписке ученых прежних времен заключается громадное количество научного материала, из которого всякий, кто сумеет, может вычитать многое побуждающее к собственной работе, попутно может и научиться многому полезному.

К. Вейерштрасс, «Речь, произнесенная при вступлении в должность ректора Берлинского университета 15 октября 1873 года»

1. Введение

В классической механике суиеринтегрируемой системой с N степенями свободы называется система, обладающая более чем N функционально независимыми интегралами движения, определенными однозначно на всем 2^мерном фазовом пространстве. В частности, если число интегралов составляет 2N — 1, то система называется максимально су-перинтегрируемой. Динамика таких систем особенно интересна тем, что все траектории являются замкнутыми и периодическими [5, 22]. С математической точки зрения, в этом случае фазовое пространство имеет топологически структуру дуальной пары, состоящей из инвариантного слоения Лиувилля-Арнольда лагранжевыми торами и (коизотропного) полярного слоения [25].

В квантовой механике Зоммерфельд и Бор первыми обратили внимание на то, что системы, допускающие разделение переменных более чем в одной системе координат, могут иметь дополнительные интегралы движения. Суперинтегрируемым системам свойственно дополнительное вырождение уровней энергии, от которого можно избавиться, приняв во внимание квантовые числа, соответствующие дополнительным интегралам движения; некоторая часть спектра может быть вычислена алгебраически, а соответствующие волновые функции являются комбинациями классических ортогональных полиномов. Один из лучших примеров такого рода — гармонический осциллятор и задача Кеплера-Кулона. В последние годы было опубликовано большое число работ, посвященных суперинтегрируемости; большинство из них посвящено интегралам движения второго порядка (новые результаты и ссылки на дополнительную литературу могут быть найдены в работах [3, 6, 9, 11, 15, 18, 21, 28, 32, 33]).

Систематическое исследование суперинтегрируемых систем началось с найденного Эйлером в 1761 году алгебраического интеграла для дифференциального уравнения

где / — произвольный полином четвертой степени [12]. Классификация соответствующих двумерных суперинтегрируемых систем типа Штеккеля была построена в работе [18].

Теорему Абеля можно считать обобщением результатов Эйлера. Напомним, что уравнения Абеля

играют ключевую роль в классической механике и их применение для построения траекторий движения связывают с именами Якоби и Ришело (см. тринадцатую лекцию в книге

У7Ы л/7Щ ’

1x1 1х2

(1.1)

Якоби [13]). В современной математике первый подход, или отображение Абеля-Якоби, является одной из важнейших конструкций алгебраической геометрии, связывающей алгебраическую кривую с ее многообразием Якоби. Второй подход, связанный с работами Ришело, приводит к теории теорем сложения, теории модулей, криптографии и др.

Целью этой работы является обсуждение построения методом Ришело дополнительных интегралов движения для уравнений Абеля и построение соответствующих ^мерных су-перинтегрируемых систем классической механики. В данной работе рассматриваются только классические суперинтегрируемые системы, хотя соответствующие результаты можно легко обобщить и на квантовый случай.

Структура данной статьи такова: в разделе 2 приведен краткий обзор результатов Ришело, затем обсуждаются возможные применения этих результатов для классификации су-перинтегрируемых систем типа Штеккеля. В разделе 3 построена и исследована классификация суперинтегрируемых систем, допускающих разделение переменных в ортогональной системе координат. В заключении обсуждаются некоторые открытые задачи.

2. Суперинтегрируемые системы типа Ришело

В этом разделе мы используем обозначения Ришело [27].

Пусть у — алгебраическая функция от х, заданная уравнением вида

ф(х, у) =ут + /1 (х)ут-1 + ... + /т(х) = 0, (2.1)

где /1(х),... ,/т(х) — рациональные полиномы от х. Согласно теореме Абеля, система р дифференциальных уравнений

-— ах 1 + • • • + -—ахлг = 0, г = 1,..., р

ах1 ах^

имеет дополнительные алгебраические интегралы, если N > р и если щ,...,пр являются линейно независимыми абелевыми интегралами первого рода на алгебраической кривой (2.1). При доказательстве теоремы Абеля [2, 8, 16] используют неявные определения этих интегралов в виде различных детерминантов матриц ко-вычетов в точках ветвления.

Для некоторых алгебраических кривых (2.1), например гиперэллиптических кривых, существуют также явные формулы для интегралов, предложенные Эйлером [12], Лагранжей [241, Якоби [141, Ришело [271, Вейерштрассом [341 и другими [2, 8, 16, 231.

I. .1 ' I. .1 ' I. .1 ' -1-1 LJ ' ’-I V V > > > J

2.1. Интегралы Ришело

Следуя обозначениям Ришело [27], рассмотрим гиперэллиптическую кривую

у2 = / (х) = А2п х2п + А2п-1х2п 1 + ■ ■ ■ + А1х + А0 (2-2)

и систему п — 1 дифференциальных уравнений Абеля

ах1 ах2 ахп

У7Ы л/ТЫ) л/7Ы)

XI (1X1 х2(1х2 хп(1хп

хП 21х1 хП 21х2 хП 21хп

+ 2 = н-----------ь = о.

(2.3)

У7Ы л/ТЫ) л/Н^а)

0

Пусть ак — значения х в точках ветвления кривой (2.2) и Р(х) = (х — Х1)(х — Х2) ■ ■ ■ (х — хп), тогда в общем случае дополнительные интегралы уравнений Абеля (2.3) имеют вид

С к =

1

У/(х 1)________

Р'Ы ак-хг

1

У/(хп)____________

Р'(хп) ак-хп

V/(х1) + ...+ УТЮ

Р '(х1)

Р '(х„)

Р (ак).

(2.4)

-А

2п

Если А2п = 0, то дополнительные интегралы уравнений (2.3) равны

Ск =

У/Ы . 1

Р'(х1) ак-х 1

У/(хп) _ 1

Р'(хп) ак-хг,

\/р(ак).

(2.5)

Подчеркнем, что эти интегралы определены неявно (абстрактно), так как мы не можем построить явно корни ак полинома степени 2п при п > 1. Заметим, однако, что в множестве интегралов Ск всего п — 1 функционально независимых интегралов и, естественно, функции от этих интегралов также являются интегралами движения.

Ск

димости вычислять значения ак от ж в точках ветвления [14, 27, 34]. Например, Ришело в своей работе нашел два явных алгебраических интеграла

К1

У/Ы + ...+ УД^У

Р 'Ы

Р' (хп)

— А2п-1 (х1 + ' ' ' + хп) — А2п(х1 + ' ' ' + хп)2

(2.6)

И

К =

У7Ы +...+ У/(х™)

х2 Р 'Ы

' (хп)

22

х1х2

х1

х1

(2.7)

В общем случае производящая функция таких явных интегралов построена Вейерштрас-сом в работе [34], см. также детальное обсуждение этой проблемы в книге [2].

2.2. Построение суперинтегрируемых систем типа Ришело

Применим метод Ришело для классификации суперинтегрируемых систем классической механики.

Определение 1. Интегрируемая система с N степенями свободы является суперин-тегрируемой системой типа Ришело, если п — 1, 1 <п ^ N, уравнений движения являются уравнениями Абеля-Ришело (2.3).

Такие суперинтегрируемые системы типа Ришело достаточно просто построить в рамках метода разделения переменных Якоби, см. [18, 32, 33].

Рассмотрим сначала максимально суперинтегрируемые системы Ришело, для которых N = п, т. е. для которых число степеней свободы на единицу больше рода соответствующей гиперэллиптической кривой. В этом случае выбирается одна гиперэллиптическая кривая (2.2)

К2 = / (А),

где

/ (А) = А2пА п + А2п-1 А;

2п 1

+

+ А1А + Ао,

(2.8)

2

2

2

2

2

2

х

х

п

и вводится п произвольных подстановок

А- = V )> ^ (&• )Рл > ^ = 1,...,п, (2.9)

где — канонические переменные {р-, д*} = ¿¿¿.

пп

п

\2п- 1

+

+ Аі«і (д? ) + Ао, ^ = 1,

,п,

(2.10)

где 2п + 1 коэффициенТОВ А2п,...,Ао — линейные функцпи от п интегралов движения Н1,..., Яп и 2п + 1 произвольных параметров а0,..., а2га+1.

Разрешая эти разделенные уравнения относительно Я, мы получим функционально независимые интегралы движения типа Штеккеля

П

Н = ^(^-1)і^Р2 + Ц?(<&)), к = 1,... ,п = Ж,

і = 1

(2.11)

где и- (д-) — так называемые штеккелевские потенциалы и 5 — матрица Штеккеля [29].

Если Я — функция Гамильтона, то решения уравнений движения д- (4, 0:1,..., ) на-

ходятся из уравнений Якоби

5і? (д?

И

£

і = 1 '

л/Т!к=і (9і )гі9і

ак8кі{чі) Щіяї)

= в*

= А — І

(2.12)

(2.13)

где 4 — переменная времени, соответствующая функции Гамильтона Яь В дифференциальной форме эти уравнения, согласно Якоби [13], являются уравнениями Абеля (1.1) и нахождение решений уравнений движения сводится к обращению Якоби отображения Абеля.

Для того чтобы использовать рассмотренные выше результаты Ришело для уравнений Абеля, нам придется наложить ограничения на элементы матрицы Штеккеля 5^- (д-), что приведет к условиям на коэффициенты А [18, 32].

В частности, если сравнить п — 1 уравнение (2.3) и уравнения (2.13) при А = х, окажется, что матрица Штеккеля в переменных А должна иметь одну из следующих форм, отличающихся друг от друга только первой строкой:

А

А

1

Ак Ак •• • АП

п—і \п—і А2 • • \п— і • Ап

п—2 л п—2 А2 • • \ п—2 • Ап

1 1 1

так что

^2 = f (А) = Ак Ні + А

П — і

к = п, п + 1,..., 2п,

2п

Нп—і • • • + Я„-іА + ^ А?.

?=0

(2.14)

(2.15)

к п 2п

систем Штеккеля, связанных с одной гиперэллиптической кривой (2.8) и различными блоками соответствующей матрицы Бриль-Нётер [30, 31].

Замечание 1. Для любых двух двойственных систем с функциями Гамильтона Н\ ш Н соответствующие матрицы Штеккеля 5и отличаются только первой строкой. Эти системы Штеккеля связаны каноническим преобразованием времени 4 ^

H = v(q) Hi, dt = v(q) dt,

РД0

v(q)

det

det 5«'

(2.16)

У таких дуальных систем общие траектории с разной параметризацией по времени [31, 21]. Существование таких систем связано с тем фактом, что отображение Абеля является сюръективным и, в общем случае, инъективным.

Замечание 2. Для дуальных систем соответствующие гиперэллиптические кривые (2.15) связаны перестановкой одного из параметров а и функции Гамильтона Hi, и, следовательно, такие преобразования называются «coupling constant metamorphoses» [7, 19, 31]. Такие преобразования также тесно связаны с взаимообратными, или реверсивными, преобразованиями [1].

Сейчас кратко рассмотрим построение суиеринтегрируемых систем типа Ришело, для которых только n — 1 уравнение движения из N являются уравнениями Абеля-Ришело. В этом случае к n уравнениям (2.10) необходимо добавить N—n произвольных разделенных уравнений

Фт(Рт ) = 0, n<m ^ N.

Решая этот полный набор разделенных уравнений относительно интегралов движения Н&, N

уравнения Абеля должны совпасть с уравнениями Ришело (2.3) и, следовательно, блок размера n х n матрицы Штеккеля размера N х N должен иметь вид (2.14). Приняв во внимание все эти условия, можно получить полную классификацию суиеринтегрируемых систем типа Ришело.

Основная проблема заключается в том, что нам в классической механике необходимо получить функцию Гамильтона Hj от физических переменных x натурального вида или какого-то другого специального вида вместо построенных нами функций Гамильтона (2.11), зависящих от абстрактных переменных разделения д. Согласно [18, 32, 33], условие натуральности функции Гамильтона в физических переменных накладывает дополнительные ограничения на коэффициенты Aj в (2.8) и подстановки (2.9).

Легко заметить, что интегралы движения Н (2.11) и дополнительные интегралы движения Ришело являются полиномами второй степени по импульсам

Ki

ит

[F'(Vl)

иnVn

F'{vn)

— A2n-1 (v1 + • • • + vn) — A2n(v1 + • • • + vn)2

(2.17)

И

K2 =

ЩР1 _vfF'(vi)

^nPn

viF'{vn)_

22

vlv2

1

vn~ A i I----h • • • H-— Aq I-------h • • • H-

Vi

1

1

Vi

(2.18)

Здесь функции и г^- зависят только от координат.

Таким образом, в случае Ришело все интегралы движения являются полиномами второй степени по импульсам, что позволяет найти суперинтегрируемые системы с гамильтонианом натурального вида на римановых многообразиях постоянной кривизны, используя хорошо изученную теорию ортогональных систем координат и соответствующих тензоров Киллинга [4, 10, 20, 26] на этих многообразиях.

2

2

2

3. Системы Ришело, интегрируемые в одной из ортогональных систем координат

Произвольную ортогональную систему координат можно представить в виде прямой суммы некоторых основных систем координат [4, 10, 20, 26]. Мы ограничимся рассмотрением некоторых из таких базисных систем координат в п-мерном евклидовом пространстве и сфере.

3.1. Базовые ортогональные системы координат

Определение 2. Эллиптическая система координат {д*} в Ж-мерном евклидовом пространстве Е^ с параметрами е1 < е2 < ■ ■ ■ < е^ определяется уравнением

Здесь уравнение (3.19) следует рассматривать как тождество по отношению к произвольному А.

Положив два или более параметров в* равными друг другу, мы получим вырожденную эллиптическую систему координат. При этом эллипсоид станет сфероидом или даже сферой, если все параметры будут равны. Таким образом, у системы появляется вращательная симметрия порядка т, если т + 1 параметр совпадает.

Пример 1. Положив для примера в1 = в2; получим

Это уравнение определяет эллиптическую систему координат в Е^-1 = {г, ж3, ••• , ж^ }• Для построения ортогональной системы координат {ді, ■ ■ ■ , д^} в Е^ можно дополнить радиус г некоторой угловой координатой д^ в плоскости {ж1 ,ж2} например, таким, образом:

При N = 3 эти уравнения задают вытянутую сфероидальную систему координат.

При в1 = в2 = ■ ■ ■ = в„ остается одна координата г = у^х2 и N — 1 угловых ортогональных координат вводятся на единичной сфере -1 произвольным образом — это могут быть углы Эйлера или какие-либо другие координаты, отличающиеся от них, например отражением осей или поворотом.

Таким образом, при вырождении часть координат определены явно, а часть координат (угловые координаты) определяются достаточно произвольным образом — в книге [20] такие угловые координаты называются скрытыми координатами.

Определение 3. Параболическая система координат {д*} в Е^ с параметр ами в1 < в2 < ■ ■ ■ < в^-1 определяется уравнением

(3.19)

ж1 = г 008 д^, ж2 = г 8Іп д^, где

(3.21)

(3.22)

Эти ортогональные системы координат можно также вывести из эллиптической системы координат. Действительно, подставляя

X • 1 ат л -

Хі = —г = 1,..., N — 1, жлг =

УёлГ

в уравнение (3.19) и устремляя ем к бесконечности, мы, после сокращения подобных членов, получим параболическую систему координат.

В параболической системе координат вырождения рассматриваются аналогично вырождениям в эллиптической системе координат.

Пример 2. При е1 = е2 получаем

2 М—1 2 ТГ^-1/\ \

е(А) = А - 2хм ~ у ----У2 — = —Ж-2----г'2 = х\ + х\. (3.23)

А“е1 Ьх~ек II; А «.•: 12 ' ;

Как и ранее, для построения ортогональной системы координат {д^ ■ ■ ■ , дп} в Ем необходимо к радиусу г добавить скрытую переменную, например угловую координату дм в плоскости {х1}х2}, заданную уравнением (3.21). При N = 3 мы таким, образом получим так называемые параболоидалъные координаты.

Определение 4. Эллиптическая система координат {д*} на сфере с параметрами

е1 < е2 < ■ ■ ■ < ем+1 определяется уравнением

,т V 4 пи*-ъ)

е(Л) = ^^=ПЙ‘(А-Ц)' (3'24)

Заметим, что уравнение (3.24) предполагает выполнение условия ^М=+1 х2 = 1- Подобным образом можно определить эллиптическую систему координат {д*} и на гиперболоиде Нм, заданном уравнением х0 — ^]= х2 = 1 [20]. Как и в предыдущих примерах, эти координаты можно сделать вырожденными, положив некоторые из параметров е* равными ДРУГ другу.

Замечание 3. Существуют алгоритмы [4, 26] и программное обеспечение [17], определяющие для данной функции Гамильтона натурального вида Н = Т + V на римановом многообразии постоянной кривизны, существуют ли для соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби переменные разделения, совпадающие с одной из ортогональных систем координат, и если это так, предъявляющие способ их построения, то есть получения производящей функции б(А).

3.2. Максимально суперинтегрируемые системы типа Ришело

Базисные ортогональные системы координат определяются функцией

П^1(А - д^~) = Ф(У)

П-^А-в,) “«(А)’

являющейся отношением полиномов

N М

ф(А) = П(А — &) и и(А) = П(А — е' )• (3-26)

*=1 '=1

Максимально суперинтегрируемые системы типа Ришело, допускающие разделение переменных в таких системах координат, можно описать, воспользовавшись следующим утверждением:

е(А) = ^м" =гтт(, М = ЛГ, N±1, (3.25)

Утверждение 1. Если п = N разделенных уравнений имеют вид

2М

N

ік

(А) ■ Н Ак + £ Н% Ап-% - а(А)

%=2

, а(А) = £ а, А3, (3.27)

Л=5і 3=0

где а(А) — произвольный полином, то уравнения движения (2.13) являются уравнениями Абеля-Ришело (2.3).

Если к = п то соответствующий максимально суперинтегрируемый гамильтониан

N і N

іїі = Т + V = > гее —Т— • р2 — > гее ¿г лч,е(Л) ¿1

а(А)

л и2(А)е(А)

Л=?і

имеет натуральный вид в физических декартовых координатах на пространстве Е,

N М

2

#1 = Т + У = 1^2'Р2Х{ +

%=1 %=0

(3.28)

. и2(А)е(А)'

Л=Єі

В последнем выражении мы для краткости ввели дополнительный параметр е0 = то. Если к > п, то Н(к>”') = у(ж) Ні, где функция у(ж) дается уравнением (2.16).

Легко показать, что эти максимально суперинтегрируемые системы типа Ришело совпадают с полученными другими методами суперинтегрируемыми системами [3, 6, 9, 11, 15, 21, 28]. Так, для эллиптической системы координат в EN уравнение (3.28) приводит к потенциалу

У = а2М(х\ + ---ж2) + ^]^, 7г -п_ / _е \2'

%— 1 % А X 3 =— % > % 3'

Для параболической системы координат в EN получается

N-1

V = а2м{х\ Н-----4ж^) + 7лгждг+ ^ 7дг = 4а2Лг ^е* + 2а2Лг_і.

%=і х%

Для эллиптической системы КООрдИнат на сфере или на гиперболоиде HN получаем

N+1 ( \

^ = Е ?• к = ’

=1

Пз=%(е% - ез)2'

Для того чтобы сравнить трудоемкость вычислений в различных методах, мы приведем несколько примеров.

Пример 3. Рассмотрим, параболические координаты (д1, д2, д3); заданные уравнением

„/п Л о.. Ж1 ж2 (А-91)(А-д2)(А-д3)

е(л) — Л — 2Жз — - - — — —гг г ,

А — е1 А — е2 (А — е1 )(А — е2)

соответствующие импульсы равны

_ Х1рХ1 х2рХ2 рХз А — 1 9

* 2(дг - а) 2(дг - е2) 2 ’ >•••>•

и

В этом, случае разделенные уравнения (3.27)-(3.33) имеют вид

рЇІЯі — ei)2(g* — е2)2 = — (ЯіА2+Я2А+Яз)(А — еі)(А — е2) — а(А) , і = 1,...,3. (3.29)

2

Решая эти уравнения относительно Я&; получим интегралы движения и функцию Гамильтона

ТТ + px2 + ржэ / 2 2 А 2n Ті Т2 , /о пл\

Яі =-------------h ав{х1 + ж2 + 4ж3) + 7зЖз + + const. (3.30)

22

^ x і Х2

Это максимально суперинтегрируемый гамильтониан со штеккелевскими интегралами движения Я2, Я3 и двумя дополнительными интегралами движения Ришело K1>2 (2.17)-

(2.18);

2

+ ^^^ I +

к = ( (gl - gl)(gl - g2)Pl + (g2 -ei)(g2 -e2)j>2 + (g3 -ei)(g3 -e2)j>3 \ '

1 V (gi - g2)(gi - gs) (g2 - gi)(g2 - ga) (g3 — gi)(g3 -g2) /

(3.31)

+ y(gi+g2 + g3) + y(gi+g2 + ga)2,

^ = ^1 ~Єі)^1 ~Є2)рі (g2 6і)^2 62)Р2 ^3 -Єі)(д3 -Є2)рзУ 2 2 2,

2 V (gl — g2)(gl — gз)gl (g2 -gl)(g2 -gз)g2 (gЗ - gl)(gЗ - g2)gзУ 123

+ Я3еі + (Яз - Я2еі)е2 /+ + ^_\ _ Єїе2Я3 /+ 2. + 2

2 g2 gз/ 2 <?2 <?з;

В физических переменных (ж,рх) эти интегралы имеют достаточно сложный вид и их построение в других методах занимает достаточно много времени.

Несложно показать, что интегралы Яі,Я2,Я3 и К, К2 функционально независимы. Конечно, все эти интегралы движения могут быть также получены и в рамках теории Вейерштрасса [34].

Пример 4. Рассмотрим двойственную систему Штеккеля и положим к = п + 1 в матрице Штеккеля (2.14) из предыдущего примера. Это будет означать перестановку одного из коэффициентов и гамильтониана в разделенных уравнениях (3.29)

РіІЯі ~ ei)2(gi - е2)2 = {Н\\6 + Я2А + Я3)(А — ei)(A — е2) - а{\)

, i = 1,..., 3.

A=qi

2

Решая эти уравнения, мы получим суперинтегрируемую систему с гамильтонианом

Нг = у(д) ^ = 1 ЯЬ

2жз + е1 + е2

где Я1 задан формулой (3.30). Заметим, что такое каноническое преобразование времени существенно меняет вид дополнительных интегралов движения К1>2 (3.30).

3.3. Суперинтегрируемые системы типа Ришело

Теперь рассмотрим вырожденные системы координат, для которых два или более параметров е^ совпадают друг с другом.

В терминах переменных разделения производящая функция е(А) остается мероморф-ной функцией с п простыми корнями и т = п, п ± 1 простыми полюсами. Так как для

построения систем Ришело мы используем систему уравнений Абеля-Ришело, то это приводит к ограничению на число корней 1 < п < N функции в(А).

В этом случае для построения суперинтегрируемых систем Ришело сп — 1 дополни-

п

РЇ иШ2 = \

(3.32)

А=?і

и N — п разделенных уравнений для скрытых или угловых координат

= 2( Щ (д,) — Я, ), з = п + 1,... (3.33)

Здесь полиномы (А) зависят от степени вырождения и определения скрытых координат, см. [4, 20], тогда как Щ (д,) — произвольные функции этих скрытых (угловых) координат д,-.

Решая эти уравнения относительно интегралов движения Я,, мы получим функцию Гамильтона в том же виде (3.28); все изменение будет в том, что, грубо говоря, коэффициенты полинома а (А) будут зависеть от скрытых координат.

Утверждение 2. В вырожденных эллиптических и параболических координатах су-перинтегрируемые потенциалы типа Ришело имеют вид (3.28)

V = У^геэ

і=0

а(А) - /о

ео = оо, (3.34)

х и2(А) в(А)

А=во

где Щ = 0 для простых корней е* исходной функции (А — е^ ■ ■ ■ (А — ем) (3.26) после вырождения е& = е,. Для вырожденных корней е& = е, потенциал Щ является произвольной функцией от соответствующих скрытых координат.

Это позволяет нам классифицировать все суперинтегрируемые системы Ришело, используя известную классификацию ортогональных систем координат [3, 9, 11, 15, 18, 21, 28]. Иными словами, мы можем взять любую из ортогональных систем координат на римано-вом многообразии постоянной кривизны (например, из книги Калнинса [20]) и построить соответствующий суперинтегрируемый потенциал Ришело по формуле (3.34).

Пример 5. Рассмотрим вытянутую сфероидальную систему координат (дъд2,дз), заданную уравнением

т 1 , ®2 + ж2 ж3 (А — д1)(А — д2) (Ж1 \

е А =1 + 7------- + т = тт-----------гтт-----Г, д3 = аг^ап .

А — е1 А — ез (А — е1)(А — ез) \Ж2У

Соответствующие импульсы имеют вид

Ж1рХ! + ж2 рх2 Ж3ржз Ж1рХ! + Ж2рЖ2 Ж3ржз

VI = ~ТГ(-------ч--Ь —;---------------------------------------------------------г, Р2 = ^Г,-^ + 7Т7-V Рз = Х2рХ1 ~ ХЛрХ2 .

2(д1 — е1) 2(д1 — ез) 2(д2 — е1) 2(д2 — ез)

В этом случае g(А) = (ез — е1)-1(А — е1) и разделенные уравнения (3.32)-(3.33) принимают форму

(А — ез)(ез — е^Яз'

рКяі -еі)2(д* -е3)2 = ^

(Ні А + Я2)(А — еі)(А — Є2) — а(А) +

2

А=?і

Р3 = 2 ( и (дз) — Нз ),

где а(А) = а4А4 + а3А3 + а2А2 + а1А + а0 — произвольный полином четвертого порядка.

Решая эти уравнения относительно Я&; получим интегралы движения и функцию Гамильтона

Ж1

71 — и —

РП + + + (х2 + +а.2) + ------- V|iZ + ъ

V 2 гр2

^ л- Х2 Х3

Я1 = ^ ю + а4(ж2 + ж2 + ^ + ^ | + J1 _ 2а4(ез + ei) - а3,

где

71,3

а(е1,з)

(е1 — ез)2'

Я2, Яз

полнительным интегралом движения Ришело К1 (2.17), имеющим вид

к _ ((gl - gi)(gi - ез)^1 , (g2 ~ ei)(g2 ~ e3)j>2\ _ (#1 - аз)(gl + q2) 0:4(gi + g2)2

1 V gl - g2 g2 - gi у 2 2 '

В физических переменных (x,px) этот интеграл движения равен

_ (xiPxi + Х2РХ2 + ХзРхз)2 ei + ез - Ж? - ж2 - ж3 ( , 2 2 2ч, цЛ

Kl =----------±----------------------1--------------^------------- \OLi{e\ + е3 — х{ — х2 — Ж3) + а3 — H\j.

Второй интеграл Ришело К2 (2.18) имеет вид

^ Agl -ei)(gl -e3)pi , (g2 -ei)(g2 -e3)i?2^ „2 „2 л f1 , - \ Л I - , -

= V (<,.-*« + te-«.)«! J M2-^l(4- + rl-A1|- + -

где

Ai = \ (егезНг - (ei + е3)Я2 + (ei - е3)Я3 - ai), A0 = ^ (eiе3Я2 - e3(ei - е3)Я3 - а0).

Легко проверить, что при подстановке Я1,...,Я3 в К2 м,ы получим К = К2; поскольку в этом случае есть только одно уравнение Абеля-Ришело, так как n — 1 = 1 и один функционально независимый дополнительный интеграл движения. Это означает, что гамильтониан Я? в Е3 не будет максимально суперинтегрируемым и траектории движения будут просто ограниченными, а не замкнутыми [22].

Пример 6. Рассмотрим параболоидальные координаты (gbg2,g3), заданные уравнением

л о х2 + Ж2 (А — g1)(A — q2) , ( ж? \

е(Л) = А - 2ж3 - -------=-----------------, q3 = arctan ,

А — е? А — е? Vх2/

при этом соответствующие импульсы имеют вид

Ж1рХ1 + Ж2 px2 ржз Ж1 pxi + Ж2рЖ2 ржз

VI = ~ТГ(-------N---Ь—, Р2 = ^77-------ч---Ь—, Рз =х2рХ1 -xipX2.

2(g1 - e1) 2 2(g2 - e1) 2 1 2

В этом случае g(A) = (А - е1) и разделенные уравнения (3.32)-(3.33) равны

Pl,2(gl,2-ei)2 = -

Я3

(Н1Х + Н2)(Х-е1)-а(Х) + ^

A=qi,2

p3 = 2(U(g3) - Я3),

где а(А) = а4А4 + азАз + а2А2 + а1А + ао- Решая эти уравнения относительно Я&; мы получим интегралы движения и функцию Гамильтона

а(е\) — 17 (—

Рхі +Рхз +а4(ж2+ж2+4ж3)+2(2«4еі+о;3)ж3Н------------%-----^-2/ 2

2 Жі | Ж2

Это суперинтегрируемый гамильтониан со штеккелевскими интегралами движения Н2, Н3 и дополнительным интегралом движения Ришело К1 (2.17), имеющим вид

ді — д2 д2 — ді 2 2

= + 2«4ж3 + (2а4еі + а3)ж3 + 61 + ^ . (3.35)

Как и в предыдущем примере, здесь К1 = К2 (2.17)-(2.18).

Пример 7. Рассмотрим вырожденную эллиптическую систему координат на сфере §3 в Е4; так что координаты (д1 ,д2,д3) заданы уравнением

С2 I Гр2 Гр2 Гр2

\\'ь2 х3 х4

А — е1 А — е3 А — е4 (А — е1)(А — е3)(А — е4):

/,ч ж2 + ж2 ж2 ж4 (А — д1)(А — д2) /жі \

еА=т-------------- + + »Г -----V’ д3 = аггіап (¿) .

А — еі А — е3 А — е4 (А — еі )(А — е3)(А — е4) \Ж2/

Это означает, что радиус сферы равен К = ^4=1 Ж2 = 1.

В этом случае g(А) = (ез — е1)-1(е1 — е4)-1(А — е1) и пара разделенных уравнений равна

р!(Яг ~ е1)2((?* — ез)2(9* — е4)2 = — (Н\Х + Н2){\ — в1)(А — е3)(А — е4) — а(А)

+ (ез — е1 )(е1 — е4)(А — ез)(А — е4)Яз ) (3.36)

-1 А=51,2

а(А)

разделенное уравнение для скрытой переменной имеет вид

й = 2(Щ (дз) — Яз).

Решая разделенные уравнения относительно Я&; .мм получим интегралы движения и функцию Гамильтона

ТТ 1 2 2 (^ 73 74 «4 «(е*)

^1 = О / Ж1 ' / Рг - / И-----9-----------3^--9---7* = ?=?-----------7-------

2 \Ы Ы \Ы ) ) Ж1+Ж2 Ж1 Ж2 К П^(е,-е,)2

Эта суперинтегрируемая функция Гамильтона, и дополнительный интеграл Ришело имеет вид

к = ((<?1 ~е1)(91 -ез)(91 ~в4)р1 + (д2 ~ в!)(д2 ~ е3)(92 - еА)р2\ 2 +

1 V 91-92 92-91 У

|

(еі + е3 + е4)Ні + од — Н2 / \ а — Ні

(91+92) + ^-^—-(91 + 92)- (3-37)

2

При этом п = 2 следовательно, К1 = К2 (2.17)-(2.18).

В этом случае преобразование времени (2.16) при к = п +1 приводит к следующему преобразованию пары разделенных уравнений (3.32)-(3.36);

В правой части уравнений получается полином, степени 2п + 1 по А и, следовательно, соответствующие два уравнения Абеля больше не являются уравнениями Ришело (2.3). Тем самым, это пример случая, когда преобразование времени сохраняет интегрируемость, но приводит к потере свойства суперинтегрируемости.

4. Заключение

Согласно [18, 32, 33], существует два класса суперинтегрируемых систем, в которых переменные типа угол либо логарифмические, либо эллиптические функции. В обоих случаях использование теорем сложения, являющихся частными случаями теоремы Абеля, позволяет получить дополнительные интегралы движения, являющиеся однозначными функциями на всем фазовом пространстве.

Основная цель этой работы — обсуждение метода Ришело, одного из старейших, но практически не освещенного в современной литературе, подхода к построению и исследованию суперинтегрируемых систем, допускающего разделение переменных в одной из ортого-

п

быть получены и другими известными методами (см. работы [3, 9, 11, 15, 21, 28] и ссылки в них). Тем не менее, мы считаем, что новое определение (3.28), (3.34)

суперинтегрируемых потенцилов через производящую функцию e(A) системы координат и произвольный полином а(А) может быть полезным в различных приложениях.

Представляет интерес построение квантовых аналогов интегралов движения Ришело и исследование алгебры интегралов движения в терминах алгебраической геометрии. Другим направлением продолжения исследований является классификация суперинтегрируемых систем Ришело на пространствах Дарбу.

Список литературы

[1] Abenda S. Reciprocal transformations and local Hamiltonian structures of hydrodynamic type systems // J. Phys. A, 2009, vol. 42, 095208, 20 p.

[2] Baker H.F. Abel’s theorem and the allied theory including the theory of the theta functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1897.

[3] Ballesteros A., Herranz F. J. Universal integrals for superintegrable systems on N-dimensional spaces of constant curvature // J. Phys. A, 2007, vol. 40, pp.F51-F59.

[4] Benenti S. Orthogonal separable dynamical systems // Differential geometry and its applications: Proc. of the 5th Intern. Conf. on Differential Geometry and Its Applications (Silesian Univ., Opava, August 24-28, 1992) / O. Kowalski, D.Krupka. Opava, 1993. Vol. 1, pp. 163-184.

Benenti S. Separability on Riemannian manifolds (2004). http://www2.dm.unito.it/~benenti/.

A=qi

M

[5] Bertrand J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe // C. R. Acad. Sei. Paris, 1873, vol. 77, pp. 849-853.

[6] Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S., Multiparticle Systems. The Algebra of Integrals and Integrable Cases // Regular and Chaotic Dynamics, 2009, vol. 14, pp. 18-41.

[7] Boyer C. P., Kalnins E. G., Miller W. Jr. Stäckel-equivalent integrable Hamiltonian systems // SIAM J. Math. Anal., 1986, vol. 17, pp. 778-797.

[8] Caley A. An elementary treatise on elliptic functions. London: Constable & Co., 1876.

[9] Daskaloyannis C., Ypsilantis K. Unified treatment and classification of superintegrable systems with integrals quadratic in momenta on a two-dimensional manifold // J. Math. Phys., 2006, vol. 47, 042904.

[10] Eisenhart L.P. Separable systems of Stäckel // Ann. Math., 1934, vol. 35, pp. 284-305.

[11] Evans N. W. Superintegrability in classical mechanics // Phys. Rev. A, 1990, vol. 41, pp. 5666-5676.

[12] Euler L. Institutiones Calculi integralis. Petropoli, 1768. [Эйлер JI. Интегральное исчисление. М., 1956.]

[13] Jacobi C.G. J. Vorlesungen über Dynamik. Königsberg, 1866.

[14] Jacobi C. G. J. Uber eine neue Methode zur Integration der hyperelliptischen Differentialgleichungen und über die rationale Form ihrer vollständigen algebraischen Integralgleichungen // J. Reine Angew. Math., 1846, vol. 32, pp. 220-227.

[15] Fris J., Mandrosov V., Smorodinsky Ya. A., Uhlir M., Winternitz P. On higher symmetries in

quantum mechanics // Phys. Lett., 1965, vol. 16, pp. 354-356.

[16] Greenhill A. G. The applications of elliptic functions. London: Macmillan, 1892.

[17] Grigoryev Yu. A., Tsiganov A.V. Symbolic software for separation of variables in the Hamilton-

Jacobi equation for the L-systems // Regul. Chaotic Dyn., 2005, vol. 10, no. 4, pp. 413-422.

[181 Grigoryev Yu.A., Khudobakhshov V.A., Tsiganov A.V. On the Euler superintegrable systems // J. Phys. A, 2009, vol. 42, 075202, 11 p.

[19] Hietarinta J., Grammaticos B., Dorizzi B., Ramani A. Coupling-constant metamorphosis and duality between integrable Hamiltonian systems // Phys. Rev. Lett., 1984, vol. 53, pp. 1707-1710.

[20] Kalnins E. G. Separation of variables for Riemannian spaces of constant curvature. Harlow: Longman; New York: Wiley, 1986. (Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Vol. 28.)

Kalnins E. G., Miller W. Jr. Separation of variables on n-dimensional Riemannian manifolds: I. The n-sphere Sn and Euclidean n-space Rn // J. Math. Phys., 1986, vol. 27, pp. 1721-1736.

[21] Kalnins E.G., Kress J.M., Miller W. Jr. Second-order superintegrable systems in conformally flat spaces: I, II, III // J. Math. Phys., 2005, vol. 46, 053509, 28 p.; 053510, 15 p.; 103507, 28 p.

[22] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1995. 432 с.

[23] Krazer A. Lehrbuch der Thetafunctionen. Leipzig, 1903; Chelsea Reprint, New York, 1970.

[24] Lagrange J. L. Théorie des fonctions analytiques. Paris, 1797.

[25] Nekhoroshev N.N. Action-angle variables and their generalization // Trans. Moscow Math. Soc., 1972, vol. 26, pp. 180-198.

[26] Rauch-Wojciechowski S., Waksjö С. How to find separation coordinates for the Hamilton-Jacobi equation: A criterion of separability for natural Hamiltonian systems // Math. Phys. Anal. Geom., 2003, vol. 6, pp. 301-348.

[27] Richelot F. Über die Integration eines merkwürdigen Systems von Differentialgleichungen // J. Reine Angew. Math., 1842, vol. 23, pp. 354-369.

[28] Rodriguez M. A., Tempesta P., Winternitz P. Reduction of superintegrable systems: The anisotropic harmonic oscillator // Phys. Rev. E, 2008, vol. 78, 046608, 6 p.

[29] Stäckel P. Über die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung mittelst Separation der Variabel: Habilitationsschrift. Halle, 1891.

[30] Tsiganov A.V. The Stäckel systems and algebraic curves // J. Math. Phys., 1999, vol. 40, pp. 279298.

[31] Tsiganov A.V. Duality between integrable Stäckel systems // J. Phys. A, 1999, vol. 32, no. 45, pp.7965-7982.

[32] Tsiganov A. V. Addition theorem and the Drach superintegrable systems // J. Phys. A, 2008, vol. 41, no. 33, 335204, 16 p.

[33] Tsiganov A.V. Leonard Euler: Addition theorems and superintegrable systems // Regul. Chaotic Dyn., 2009, vol. 14, no. 3, pp. 389-406.

[34] Weierstrass K., Uber die geodätischen linien auf dem dreiaxigen ellipsoid, Math. Werke, vol. I, p. 257, Berlin, Mayer and Müller, 1895.