CC BY
6УДК 531.3
Разделение переменных на негиперэллиптической
о ф
кривой*
В. Г. Марихин
ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН 119334, Россия, Москва, ул. Косыгина, 2 E-mail: mvg@itp.ac.ru
В.В. Соколов
ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН 119334, Россия, Москва, ул. Косыгина, 2 E-mail: vsokolov@landau.ac.ru
Получено 24 июля 2005 г.
Построена 8-параметрическая пара коммутирующих гамильтонианов с двумя степенями свободы, квадратичных по моментам, коэффициенты которых — некоторые функции координат. Волчки Шоттки—Манакова и Клебша являются частными случаями этой модели. Найдена функция действия как интеграл на негиперэллиптической кривой рода 4.
Ключевые слова: функция действия, разделение переменных, накрытие эллиптической кривой.
V. G. Marikhin, V. V. Sokolov Separation of variables on non-hiperelliptic curve
A 8-parametric pair of commuting Hamiltonians of two degrees of freedom, quadratic in moments and coefficients depending only on coordinates is constructed. The Schottky-Manakov and the Clebsch spinning tops are particular cases of this model. The action function as an integral on a non-hyperelliptic curve of genus 4 is found.
Keywords: Action function, separation of variables, covering of an elliptic curve.
Mathematical Subject Classifications: 37N15, 37K20, 14K20.
* Работа частично поддержана грантами РФФИ 05-01-00189 и NSh 1716.2003.1. ________________________НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА, 2005, Т. 1, №1, с. 53-67
1. Введение
В статье рассматриваются несколько моделей, допускающих разделение переменных на следующей алгебраической кривой рода 4:
Ф(£, у) = *6у6 + №У4 + аду2 - ад = 0, (1.1)
где
*6 = §ЯУ1(0, НО = |^"(а+4«2 + е2£ + е1), *(£) = ^/у(£) - §£"(£). (1.2)
Здесь а, 5, е1, е2 — параметры, Б — произвольный многочлен шестой степени. Если 5 = 0, то кривая является гиперэллиптической рода 3.
Класс кривых (1.1) с 5 = 0 может быть описан следующим образом. Пусть Р(п,£) =0 — произвольная кубика. В общем случае, как известно, эта кривая имеет род 1, т.е. является эллиптической. Тогда кривая (1.1) является накрытием над кубикой, заданным формулой п = £ 2 —
— §2У2. При этом, корни Б задают точки ветвления этого накрытия.
В разделах 2,3 мы рассматриваем гамильтониан
Н = ар1 + ср2 + йр1 + ер 2 + I, (1.3)
где
4^2 5 (51) 4^15 (52) J J
& —-----------, С — ------------, (1 — —51------, 6 — —6‘2“
51 — 52 *1 — в2 *1 — *2 *1 — *2
§2 52Б"(51) — 51Б''(52 ) §2 *2Б' (*1)+ *1 Б' (*2 ) 3§2 *2Б(*1) — *1Б (*2 )
/ = 77Т---------------------------А--------------о------1----А---------------О-----ь 05152, (1.4)
40 51 — 52 4 (51 _ з2)2 4 _ з2)3
И
«1 - «2 '
Легко проверить, что Н коммутирует с функцией
К = + Ср2 + ^Р1 + Ер2 + (1.5)
где
4Б (*1) 4Б(52) / /
А = ——, С =-------—, В = —^—, Е = —-—,
51 — 52 51 — 52 51 — 52 51 — 52
„ ^+ «'Ы , , ,,С1
Г=40 +7 (81_82)2 +~ („_„)» I1-6»
относительно стандартной скобки Пуассона {ра,5^} = §ав. Если 5 = 0, то линейные по моментам члены в гамильтонианах Н и К пропадают и они принадлежат классу Штеккелевых гамильтонианов. В этом случае 51,52 — переменные разделения. Соответствующее преобразование Абеля на гиперэллиптической кривой 3 имеет вид
^51 ^52 ,, 51^51 52^52 „
Н--- = т, — Н------------------ = 0.
уДЩ л/тЩ л/тЫ
Здесь
T(s) = 16S(s) (as2 + e2s + el),
а постоянные е1 и е2 — значения интегралов Н и К, соответственно.
Основным результатом статьи является явная формула для действия в случае 5 = 0, зависящая от двух параметров. Мы находим ее напрямую из уравнения Гамильтона-Якоби. Дифференцируя функцию действия по параметрам, мы находим соответствующие абелевы дифференциа-
лы ш*. В результате, мы получаем стандартные формулы Абеля ^ ^(Ck) = б^ dt, 1 = 1,2,3.
Поскольку наша модель двумерна, имеется одна связь между нашими переменными разделения А именно, оказывается, что проекции переменных на эллиптическую базу накрытия лежат на одной прямой.
Хотя функция действия не является полностью разделенной и в ней присутствует дополнительный член, отражающий наличие связи, на уровне абелевых дифференциалов мы имеем полное разделение переменных. По нашему мнению, именно это является правильным обобщением стандартного разделения переменных на случай негиперэллиптических кривых.
Наш подход никак не использует схему построения разделения переменных, связанную с существованием представления Лакса [22, 20, 24]. Более того, для общей модели (1.3) представление Лакса неизвестно.
В разделах 4-5 мы находим функцию действия для волчка Клебша и so(4)-волчка Шоттки— Манакова (см. [23, 10, 19, 4, 25, 3, 12, 8, 7, 5, 17, 6] и ссылки в этих работах) Для этих моделей мы указываем переменные s1,s2, в которых волчки и их интегралы движения становятся частным случаем пары (1.3), (1.5). Многочлен S в этих случаях имеет степень 3 и 4, а соответствующая алгебраическая кривая — род 3.
Для волчков Клебша и Шоттки—Манакова представление Лакса хорошо известно. В частности, для волчка Клебша характеристическая кривая для 3 х 3-оператора Лакса, найденного А. Переломовым [6], совпадает с нашей. Однако, насколько нам известно, до нашей работы разделение переменных и функция действия, связанные с этой кривой, не были известны. Тоже относится и к оператору Манакова [4] и его характеристической кривой.
Переход от Si, s2 к исходным физическим переменным волчков нетривиален. В частности, имеются проблемы, связанные с тем, что формулы перехода являются комплексными. Эти вопросы должны быть отдельно изучены для каждой из моделей.
Частный случай S = const также представляет интерес. Соответствующая неоднородная система гидродинамического типа (2.7) совпадает с уравнением Гиббонса—Царева [15]. Наши общие формулы приводят к семейству эллиптических решений для этого уравнения (см. раздел 7).
2. Уравнения движения
Уравнения Гамильтона, соответствующие (1.3) и (1.5), имеют вид
2
k=l
dsl о I A ds2 г)
— = 2ар\ +d, — = 2 ср2 + е.
dt dt
(2.1)
и
dsi „ . _ ds2 „ ^
—1 = 2APl +D, —- = 2 Cp2 + E.
dr dr
(2.2)
Находя моменты рь_р2 из (2.1) и подставляя их в соотношения Н = е1 и К = е2, получаем («1 - «2)[51—-Ц- - 82 2 .] + 16(в1 - /)в152 + - — г^(«2 - 5^ Б^г)) = 0 (2.3)
Б(51) Б(52) (51 - 52Г
<“1_82)“1*2(‘|^“ яЬ) -«'/«ЫА'Ы + <2А>
165152((б1 —/)(^1+52) + (е2—-Р)515г) —----—-----т (в| 6<(51)(51 — 25г) — 5^ З(,32)(<$2 — 251)) = О,
(51 - 52)3
где / и ¥ определены формулами (1.4), (1.6).
Одной из основных технических задач является переписывание этой системы в компактной форме. Непосредственно исключение, скажем, 52 приводит к малоприятному уравнению четвертой степени относительно 5'1.
Предложение 1. Пусть (и, V) — произвольное решение системы:
Ь(52)и2 — 2Ь(51)« — М(52,51) = 0, ь(51)^2 — 2Ь(52)и — М(51, 52) = 0, (2.5)
где
М (ж, у) = 3£(у) + £'(у)(ж — у) + к(у)(ж — у)2, £(ж) = (ж).
Тогда производные
т52 и + 51 т51 V + 52 /О С\
51 = — О--------, 52 = —Л--------- (2.0)
51 — 52 51 — 52
удовлетворяют системе (2.3), (2.4).
Исключение переменных р1, р2 из (2.1), (2.2) приводит к неоднородной системе гидродинамического типа
(51^ + 52 (51 )т = — ^ (52 )г + 51 (52)т = ^ (2.7)
Из этой формулы и из (2.6) следует
(51)г = /^±^, («2)г = ^^±^. (2.8)
51 — 52 51 — 52
Кроме того, мы находим из (2.1), (2.6), что
1V /о п\
_ 85(51)’ _ _85(52)' ^ ^
Следующая параметризация решений системы (2.5) является первым шагом к разделению переменных.
Предложение 2. Пусть г1; г2, — решения уравнения
Z6 ^(52)2 — ^(52)М (52,51 )^4 + М (51,52 )^(51^2 — ¥(51) 2 = 0, (2.10)
такие, что
Ь{ж) М(у, ж) 2 2 2 М(х,у) 1 1 1
—— — — г1 + , — — + — + —.
Ь(у) Ь(у) Дж) z2 z2 z3;
и
Тогда
(пі,г»і) — (гі + 22 + 23, ^ (пг,г>г) — (21 — 22 — 23,
(из, Уз) = (22 — 21 — 2з, — ^-), («4, г>4) = (23 — 21 — 22,
решения системы (2.5).
1 1 1
21 22 23
1 1 1
23 21 22
(2.11)
3. Разделение переменных
Для того, чтобы разделить переменные в случае 5 = 0, мы находим функцию действия £(5і , «г) в явном виде.
Рассмотрим систему уравнений
Ф(£,Г)=0, Г2 = ^(£-5і)(£-52),
где многочлен Ф(£, У) задан формулой (1.1). Легко проверить, что если мы подставим в первое из уравнений выражение для У2 из второго уравнения, тогда старшие степени £ сократятся и уравнение для £ окажется кубическим. Обозначим через £і(«і ,«2), і = 1,2,3 корни этого уравнения.
Теорема. Функция (ср. с [22])
Б(«1,«2,Єі,Є2) = -7 ^2
3
П=1
^п~ 1(81+82) ^ ^
о агсіапп
5У(£п) і У(£)
(3.1)
удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
П дБ дБ ч \ р к дБ дБ ч \ р
Н о—> о—> 81,82 = в1, Л -—, -—, 51, 52 = е2,
\д51 д52 ) \д51 д52 )
где функции Н(р1 ,р2,51, 52) и К(р1,р2,51,52) определены формулами (1.3)—(1.5).
Доказательство.
Из (2.9) следует, что частные производные действия Б имеют вид:
дБ 1 и дБ 1V
д51 8Б(51 ^ д52 8Б(52)"
Согласно Лемме Якоби, эта пара уравнений совместна. Условие совместности
Б(52)^-(/п) + Б(51)^-(^)=0
следует из тождеств
(£'(у) + Мх(ж, у)) (ж — у) + 6£(у) — 2М(ж, у) = 0,
(ж — у) (Му(ж, у) + Мх(у,ж)) +4(М(ж, у) — М(у,ж)) = 0, которые легко проверить непосредственно.
(3.2)
(3.3)
Рассмотрим дополнительный гамильтониан вида (ср. с формулой (2.10))
Н = Р?Ь(51) + р^М (52,51) + Р1 р2М (51,52) + ^2^(52 ). (3.4)
Нетрудно проверить, что {Н, К} = 0, где
К = —(51 — 52 )2Р1 Р2.
Легко видеть, что если {р*, 5j } = , то скобки Пуассона между функциями
ао = Р1 + Р2, Й1 = 51Р1 + 52Р2, Й2 = 52 Р1 + 5^2 (3.5)
задаются формулами
{а0, а1} = ао, {а0 ,а2} = 2а1, {а1 ,а2} = а2. (3.6)
Выражение Q = а2 — а0а2 является функцией Казимира для линейных 51 (2)-скобок (3.6). Оказывается, что функция К, переписанная в переменных (3.5), совпадает с Q. Гамильтониан Н также может быть выражен только через переменные (3.5):
2
(а \ 54
Н = а^Ь — 62(аа,2 + е2аі + е\ао) +
Из этой формулы видно, что переменная
С _ 01 _ Р181 + р252
^ ~ а0 ~ Р1+Р2
должна играть ключевую роль в описании свойств многочленов (2.10), (3.4), поскольку именно она является аргументом многочлена £. Предположим, что Н/(р1 ,р2) = 0; тогда решение z уравнения (2.10) может быть выражено через £ формулой
Ч^ш №7)
Уравнение (2.10) кубично по £. Оно может быть переписано в виде (1.1), где
у2 = ^-8іЖ-82). (3.8)
Наша задача состоит в том, чтобы найти решение системы (3.2) явно. Согласно формулам (2.11), для этого достаточно решить систему уравнений
да _ J _ 5 і 2 ^
дві 85(51) 4(ві -з2) V «і -Г
У (3.9)
да J 1 5 / «1 — £
д52 8Б(52) 2: 4(51 — 52)\ 52 — £
Здесь z(s1, 52) — произвольный корень уравнения (2.10) и £ — соответствующее (см. (3.7)) значение £(51,52). Искомая функция действия Б получается, как сумма трех решений (3.9), соответствующих трем ветвям функции £(51,52).
Сначала мы находим функцию а0 такую, что (3.9) выполняется при условии, что £ — параметр, не зависящий от «1, 52. Нетрудно видеть, что
. £ — |(«і + «г)
сто(£, «і,«г) = агсіапЬ
4 \/(ї-ЗіЖ~32)
Теперь, принимая во внимание формулу
д 1 1 :<?0
и заменяя — «1)(£ — 52) на У5, мы получаем выражение (3.1) для функции действия. Дифференцируя действие по параметрам е* и принимая во внимание, что
дБ _ , , . дБ _ р
т;— — I + С1, —— — С2,
де1 де2
мы окончательно получаем
3 3
^ = ^ Ш1 (£п), 0 = ^ ^2(£„). (3.10)
П=1 П=1
Здесь ш1, ш2 - элементы базиса
^ ^ ^ У <% ,011Ч
ш1{0 = -г?’ шг(£) = -д-, ^з(£) =--------------, ш4(£) = —(3.11)
голоморфных дифференциалов на кривой Ф(£, У) = 0. В формуле (3.11) мы используем обозна-
гу М дФ
чение Z =
дУ
Дифференциал ш4 играет особую роль. В переменных (£, п), где
П = £2 — £2 У2, (3.12)
кривая (1.1) превращается в следующую кубику:
ЗД3+«5??2£+|«4??(??+4£2) + |5з£(г?+2£2) + |52(г?+4£2)+51£+5о+^(г?-£2)(о;г?+е2£+е1) = 0.
(3.13)
Голоморфный дифференциал на эллиптической кривой (3.13) переходит в ш4 при преобразовании (3.12).
Из (3.8) следует, что функции У(£*) связаны между собой соотношением
.1 =_____________________________________+________ПМ________. (3.14)
52 (£1 — £г)(£1 — £з) (£2 - £з)(£г - £1) (£з - £0(£з - £2)
Условие (3.14) переписывается в переменных (£, п) как
П1(£2 — £з) + П2(£з — £1) + пз(£1 — £2) = 0.
Эта формула означает, что точки (£*, п*) принадлежат пересечению эллиптической кривой (3.13) и прямой п = £(«1 + в2) — «1«2-
Таким образом, мы имеем три условия (3.10), (3.14) для определения трех функций £*(£). Наличие связи (3.14) позволяет определить из формулы (3.8) две функции в:1 (^), «2(^), удовлетворяющие уравнениям движения (2.3),(2.4), исходя из трех функций £ 1 (£), £2 (£), £3(£). Отметим, что как эти функции, так и сами уравнения движения определяются исключительно в терминах кривой (1.1).
Одним из результатов этой статьи является следующее
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Существует следующее обобщение интегрируемой пары (1.3), (1.5):
н _ Нз2щ - К3^)и2\ + Ь(.31)а(.32) - Ь{з2)а{з 1)
Ь(з2)к{з1) - Ь{з1)к{з2) ’
(3.15)
[fc(s2)Ц. - &(в1 )и2] + ) - fc(s2)а(в1)
1\ = ---------------------------------------------- ,
Н(32)к(з1) - Л(в1^(в2)
где
ТТ ( \ — си \ 2 , ху/3М3Ы $2 , , 62 5'(81) 3^2 5(81)
(71 = и{р1,р2,31,з2) = Ь{з1)р1 +д— ------------ —р2 - -т^Ь (в!) +
(si - s2) 40 4 (Sl - s2) 4 (Sl - S2)2’
и U2 = u(p2,pi, s2, s1). Здесь S(x) - произвольный многочлен степени 6, S - параметр,
h(x) = h2x2 + hi® + ho, k(x) = &2 x2 + kix + ko, a(x) = a2x2 + aix + ao
произвольные квадратичные многочлены такие, что h(x) = const k(x). Нетрудно проверить, что функции
(3.15) коммутируют относительно стандартных скобок Пуассона. Пара (1.3),(1.5) получается из (3.15) при h(x) = 1, k(x) = x. Было бы интересно обобщить конструкцию из разделов 2,3 на общий случай.
4. Волчок Шоттки-Манакова
Хорошо известно (см., например, [3]), что гамильтониан
H = (Si,ASi) + 2(Si, BS2) + (S2, AS2),
где A = diag(a1, a2, a3), B = diag(b1, 62,63), коммутирует с некоторым квадратичным многочленом K того же вида относительно спиновых скобок Пуассона
{Sf,Sf } = ке^т SY ^ (4.1)
тогда и только тогда, когда
62(й2 — йз) + б2(аз — ai) + 62 (ai — a2 ) + (ai — й2 )(®2 — ®з )(®з — ai) = 0. (4.2)
Здесь eaeY — полностью кососимметрический тензор, к = 0 - параметр.
Поскольку H и K могут быть заменены произвольными линейными комбинациями H, K и функций Казимира
Ji = (Si ,Si), J2 = (S2,S2 ) скобок (4.1), интеграл K может быть приведен к виду [17]
K = 2(Si,C S2), C = diag(ai, a2, a3).
Без ограничения общности матрицы А и В, определяющие гамильтониан Н, могут быть выбраны следующим образом:
А = diag(—а2, —а2, —а2), В = diag(а2аз + Лаі, азаі + Ла2, аі+ Лаз).
Произвольный параметр Л соответствует сдвигу Н на Л К.
Редукция к стандартным скобкам. Фиксируем значения функций Казимира: (йк, йк) = = • Тогда формулы
Я =РкК(дк) + ^К'(дк), где К(д) = ((д2 - 1), і{д2 + 1), 2д), (4.3)
задают преобразование, связывающее симплектический лист пуассонова многообразия с координатами йі, Б2 и скобками (4.1), где к = —2І, и многообразие с координатами р1 ,р2,^1 , д2 и каноническими скобками Пуассона {ра, д@} = £а(д• В результате многочлены Н и К переходят в
Н = р\г(ді) + |-рі г'(ді) + ^г"(9і) +р2г(д2) + ^р2г'(д2) + ^|г"(<?2)+ 2(^1 + ^) (№ + 1^) ^>92),
где
г(ж) deef (К(ж), АК(ж)) = —аі(ж2 — 1)2 + а2(ж2 + 1)2 — 4а3ж2,
Я (ж, у) = (К (ж), Ві?(у)) =
= (а2 аз + Лаі )(ж2 — 1)(у2 — 1) — (аз аі + Ла2 )(ж2 + 1)(у2 + 1) + 4(аі а2 + Лаз )жу,
def /ії/_Л /.2 і',/ 2 ^ / 2 , -і\/ 2
діз = £ К»(Xі)К»(хр)е%,
(X
„ік
ддік ^ ддіі
дхк 2“^ дхг ’
_ і • • д д і V'' -
кк
4 дхі дхк 6 дхкдхк
і к к
(4.4)
к=2(^+Ш{р2+ШЩдъд2)’ (4-5)
(4.6)
W(ж,у) = (К(ж), СК(у)) = аі(ж2 — 1)(у2 — 1) — а2(ж2 + 1)(у2 + 1) + 4азжу. (4.7)
Нетрудно проверить, что
Я2 (ж, у) — г(ж)г(у) = W (ж, у)І^(ж, у), (4.8)
где V — некоторый многочлен, квадратичный по каждой из переменных.
Замечание 2. Отметим, что более общий гамильтониан
Н =^2 р = х>У>г>
описывающий взаимодействие N спинов, может быть сведен к
Н = ^ др РіРр + ^ аі Рі + V,
р і
где
дір
и
аналогичным преобразованием
В терминах координат и скоростей лагранжиан и энергия такой модели имеют вид
Ь = дц(хг — аг)(хі — а— V, Е = ^ ^2д^(хгх3 — а1 а?) + V,
гдеЕ дцд3к = 5і.
3
Дополнительный интеграл вида
К = ]Т Сі3 рі рз + ^ Лірі + V
із і
существует если и только если
Диагонализация квадратичной части гамильтониана. После преобразования (4.3) функции Н и К приняли вид
где коэффициенты — некоторые (в нашем случае рациональные) функции переменных д1, д2.
Общие формулы, связанные с парой коммутирующих гамильтонианов, квадратичных по моментам, и некоторые примеры могут быть найдены в [11, 14, 13,21].
Класс гамильтонианов (4.9) инвариантен относительно канонических преобразований вида
Р1 = &1Р1 + &2Р2 + кз, Р2 = к1Р1 + к2Р2 + к3, д1 = ф, д2 = ф,
где кг, к, ф, ф — некоторые функции от д1, д2. Легко видеть, что функции к1, к2, А:1, А:2 единственным образом определяются через ф, ф из условий {ра, дв} = ёав:
С помощью канонических преобразований можно диагонализовать квадратичные части Н и К. Тот факт, что коэффициент при of Р1Р2 в преобразованном гамильтониане (4.9) равен нулю, означает, что
Н = ар>2 + 26рі р2 + ср2 + фі + ер2 + /, К = Ар2 + 2Врі р2 + Ср2 + ^рі + Ер2 +
(4.9)
(4.10)
где
дф
дф
дф дф
<9<?2 5^1 <9<?1 <9<?2 ’
(4.11)
Аналогично, условие
к дф дф , дф дф , (дф дф дф дф Л
+ (Д а| + «]£ ) (4л2)
гарантирует равенство нулю коэффициента при р)1р)2 в преобразованном интеграле (4.10). Существование решения ф, ф системы (4.11), (4.12) очевидно. Укажем явный вид функций ф, ф для пары (4.4), (4.5).
Определим «переменные Ковалевской» «1(д1,д2) и 52(д1 ,д2) как корни квадратного уравнения
Ж(д1, д2) 52 + 2И(д1, д2) 5 + ^^1^2) = 0,
где Ж и И заданы формулами (4.7), (4.6), а многочлен Ж находится из (4.8).
Предложение 3. В переменных 51; 52 функции (4.4), (4.5) имеют вид (1.3)-(1.5), где многочлены Б и К определены формулами
Б (ж) = — (ж + Л — а — а2 — аз )(ж + Л + а1 + а2 — аз )(ж + Л + а1 — а2 + аз )(ж + Л — а1 + а2 + аз) и
1 (52 2А г • • • , •
«: = 4 {-5— ^ Ь 8 = 31-32, ^ = 31+3 2-
Значения Н и к интегралов Н и К (4.4), (4.5) связаны с постоянными е 1 ,е2 из формулы (1.2) посредством соотношений
Н = е1 + -^аБ"(0), к = е2 + -^аБ"'(0).
Таким образом, общая схема из раздела 3 применима к волчку Шоттки—Манакова. Из-за комплексности преобразования (4.3), вещественные значения исходных переменных Б1;Б2 не соответствуют вещественным 51,52. Проблема восстановления вещественных Б1, ^2 будет рассмотрена отдельно.
5. Волчок Клебша
Волчок Клебша задается гамильтонианом
Н = ^(</1 + /| + /|) + ^(А1Ж2 + А2Жз + А3Ж2), который коммутирует относительно е(3)-скобок Пуассона
{Ji, Jj } — Ъ Jk, {жг, жj } — ° {'Тг>, жj } — Ъ &г^к жк
с интегралом движения
ж2 ж2 ж2
К = ( А1/12 + А2/22 + Аз/з2)-А1А2Аз {^ + у2+ у) ■
Зафиксируем значения функций Казимира для е(3)-скобок:
ж2 + ж2 + ж^ = а2, /1 ж1 + /2 ж2 + /зжз = I.
Используя преобразование 'Ь = \'Р1{^-Ч21) + \'Р2{1-Ч1) + ^Ч1, Ь = |р1(1 + д1) + |р2(1 + 92)-*|9ь ^ = РШ+Р2<?2-^,
1 — д1 д2 . 1 + д1д2 д1 + д2
хл = а-------, Хо = га------------, жз = а------------,
д1 — д2 д1 — д2 д1 — д2
выразим Н и К через канонически сопряженные переменные р1, д1, р2, д2:
Н = ~\^Х ~ У^Р1Р2 + 11Р2(Х ~У) + \^~^2 + |(Аа2 + ^
К = 1(К(х)р1+К(у)р1+2р1р2Ш(х,У))-^р1К\х)-^р2Шх(х,У)-а2^^+1^^+^, где
К(ж) = (Л1 — Л2 )(ж2 — 1)2 + 4(Лз — Л2 )ж2,
Ж (ж, у) = Л1 (ж2 — 1)(у2 — 1) — Л2 (ж2 + 1)(у2 + 1) + 4Лз жу,
Тк(ж,у) = Л2 Лз (ж2 — 1)(у2 — 1) — Лз Л1 (ж2 + 1)(у2 + 1) + 4Л1 Л2жу + к(ж — у)2,
Л = Л1 + Л2 + Лз, к = Л1Л2 + Л2 Лз + Лз Л1.
Определим «переменные Ковалевской» в1(д1, д2) и 52(д1, д2) как корни уравнения
(д1 — д2)2 в2 + ж(д1,д2) 5 + Т^(д1,д2) =0.
Задавая ^-динамику с помощью К, получаем уравнения движения (2.3), (2.4) для в 1,52, где
Б(0=4(£ — Л1 )(£ — Л2 )(£ — Лз).
Наша общая процедура разделения переменных из раздела 3 приводит к кривой (1.1), где
2
«6 = 0, 1(£) = 4к(0 =а2£2 + (2в! -а2А)£-е2.
Отметим, что в случае волчка Клебша § = После замены агс^апЬ на агс^ап в формуле (3.1)
действие становится вещественным. Восстановление вещественных исходных переменных Jг, жг будет рассмотрено отдельно.
6. Гиростат Ковалевской
В этом разделе мы используем формулы из работы [18], которые описывают динамику гиростата Ковалевской в переменных Ковалевской.
Гамильтонова структура для гиростата описывается е(3)-скобками Пуассона
{Иг ,М/} = е^кМк , {Иг ,7,-} = е/к7к , {тг Л/} = 0,
где е^/к — полностью кососимметрический тензор. Эти скобки обладают функциями Казимира
з з
А = £ 7|, В = £ 7кМк. (6.1)
к=1 к=1
Гамильтониан гиростата имеет вид:
Я = | (М\ + М| + 2М| - 2АМ3) + С71 , (6.2)
где с и А — постоянные. Дополнительный интеграл движения, в отличие от волчков Шоттки-Манакова и Клебша имеет имеет четвертую степень и задается формулой
К = £^2 +4А((Мз - А)^122 - (21 + 22)с7э), (6.3)
где
£1 = 22 - 2с(71 + *72), £2 = 22 - 2с(71 - *72)
и
21 = М1 + *М2, 22 = М1 - *М2.
Положим
й(21, 22) = 2222 - 2Л(22 + 22) - 4с6(21 + 22) - 4с2 а + к.
Здесь а, 6, Н и к — значения интегралов (6.1), (6.2) и (6.3). Переменные Ковалевской определя-
ются как
Д(21, 22) ± ^/Л(2Ь21)Л(22,22)
51,2 “ 2(21 - 22)2 '
Отметим, что для гиростата вещественные значения «физических» переменных соответствуют вещественным 51, 52.
Оказывается [18], что уравнения движения имеют вид
,51 - 52 | 51 52 I 51 + 52 /ал \
к = ^~ [щ-щ)-—2— ■ (6-4)
| = (2Л + «! + «2)Л2 - Л\/—¥>1¥>2 + ц) + («1 - »2) ^ 1 - «1*2 + Л2 - (6.5)
Здесь ф* = 5 (5*),
5(5) = 453 - 8Н 52 + 4Н2 5 - к 5 + 4с2а 5 + 4с2 6.
Совпадение этих формул с (2.3),(2.4) объясняется, по-видимому, существованием связи между гиростатом Ковалевской и волчком Клебша [18].
Подставляя выражения для скоростей (2.8)
51 = -\—— (п+1), «2 = -т—— (г> + 1)
1 4 51 - 52 2 4 51 - 52
в (6.4), (6.5), мы получаем в точности (2.5), где
к (ж) = 4(ж + Н)2 + 4£2 (ж - 2Н) - к, А = г£.
Соответствующая кривая Ф(У, £) = 0 имеет род 3. Дифференциалы ш1 ,ш2, образуют базис в
пространстве голоморфных дифференциалов.
Поскольку, в отличие от случаев Шоттки-Манакова и Клебша, коэффициенты многочлена Б зависят от значений Н и К, формула (3.1) не задает функции действия для гиростата Ковалевской. Однако, формулы (3.10), (3.14) дают решение уравнении движения (6.4), (6.5). Отметим, что явные ^-функциональные формулы для решения гиростата были получены в [9]. Было бы интересно сравнить эти формулы с нашими.
7. Случай S = —1
Решения совместной системы (1.3), (1.5) удовлетворяют уравнению (2.7), которое в случае
5(£) = —1 совпадает с уравнением Гиббонса-Царева [15]. В этом случае кривая (1.1) имеет вид
—4а£2 У4 + (4в1 + 4£в2 + 4£2 а) У2 + 1 = 0.
Она имеет род 1 и может быть параметризована с помощью функции Вейерштрасса следующим образом:
у =_____1_____У— £= 62 У 5 ( 1 1 1
ч /•> 2 ™ а > > о^,, 1й 2 _ а
16а2 x - вз ’ 2а 16 а2 V x - в1 x - в2 x - вз / ’
где x = p(z,g2,g3), У = p'(z,g2,g3),
у2 = 4(ж — /?i)(ж — /?г)(ж — /?з)? Рз = ^^■(4aei — е|), А,2 = — ir/Зз ± л/—<х
3о2 2 о
Мероморфные интегралы в формулах
зз dt = ^wi(£„), dr = ^^2(£п)
n=1 n=1
могут быть найдены явно. Результат задается формулами
*1+32+23 = COIlSt, ’ Т = -§^-2аЕ ^
-а VA -ЖгУ ’ ’ а ^ (ж* -А)(Жг -/32):
где Xi = p(Zi,g2,g3), Уі = p'(Z,g2,g3)■
Благодарности
Авторы благодарны А. В. Борисову, Б. А. Дубровину, Е Magri и Е. В. Ферапонтову за полезные обсуждения. Второй автор (В.С.) благодарен институту Макса Планка (Бонн) за гостеприимство и финансовую поддержку.
Список литературы
[1] Бобенко А.И. Уравнения Эйлера на во(4) и е(3). Изоморфизм интегрируемых случаев // Функц. анализ и его прил., 1986, т. 20, №1, с. 64—66.
[2] Борисов A. В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем // Москва-Ижевск: РХД, 2003, 296 с.
[3] Веселов А. П. Обуслових интегрируемости уравнения Эйлера на so(4) // ДАН СССР, 1983, т. 270, №6, с. 1298-1300.
[4] Манаков С. В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п-мерного твердого тела // Функц. анализ и его приложения, 1976, т. 10, №4, с. 93-94.
[5] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР, Cер. мат., 1978, т. 42, №2, с. 396-415.
[6] Переломов А. И. Несколько замечаний об интегрировании уравнений движения твердого тела в идеальной жидкости // Функц. анализ и его приложения, 1981, т. 15, №2, с. 83—85.
[7] Рейман А. Г, Семенов-тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы // Москва-Ижевск: РХД, 2003, 352 с.
[8] Adler M., van Moerbeke P. The Kowalewski and Henon-Heiles motions as Manakov geodesic flows onso(4) - a two dimensional family of Lax pairs // Comm. in Math. Phys., 1988, V 113, p. 659—700.
[9] Bobenko A. I., Reyman А. G., Semenov-tian-Shansky M.A. The Kowalewski Top 99 Year Later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions // Commun. Math. Phys., 1989, V. 122, p. 321—354.
[10] Clebsch A. Оber die Bewegung eines Korpers in einer Fliissigkeit // Math. Annalen, 1870, V. 3, p. 238-262.
[11] Dorizzi B., Grammaticos B., Ramani A., Winternitz P. Integrable Hamiltonian systems with velocity dependent potentials // J. Math. Phys., 1985, V 26, p. 3070—3079.
[12] Fedorov Yu. N. Integrable systems, Lax representations, and confocal quadrics // Amer. Math. Soc. Transl., 1995, V168, №2, p. 173-199.
[13] Ferapontov E. V., Fordy A. P. Commuting quadratic Hamiltonians with velocity-dependent potentials //Rep. Math. Phys., 1999, V 44, №1/2, p. 71-80.
[14] FerapontovE. V, Fordy A. P. Nonhomogeneous systems of hydrodynamic type related to quadratic Hamiltonians with electromagnetic term // Physica D, 1997, V. 108, p. 350-364.
[15] Gibbons J., Tsarev S. P. Reductions of the Benney equations //Phys. Lett. A, 1996, V. 211, p. 19—24.
[16] Haine L., Horozov E. A Lax pair for the Kowalewski top // Physica D, 1987, V. 29, p. 173-180.
[17] Kalnins E. G., Miller W, Winternitz P. The group O(4), separation of variables and the hydrogen atom // SIAM J. Appl. Math., 1976, V 30, №4, p. 630-664.
[18] Komarov I. V, Tsiganov A. V On integration of the Kowalewski gyrostat problem // Reg. and Chaot. Dyn., 2004, V. 9, №2, p. 169-187.
[19] Ko tter F. О ber die Bewegung eines festen Ko rpers in einer Flussigkeit. I.II // J. Reine und Angew. Math., 1892, Bd. 109, p. 51-81, p. 89-111.
[20] Krichever I.M., Phong D.H. Symplectic forms in the theory of solitons. In: Surveys in differential geometry IV: integrable systems // Int. press, Boston, 1998, p. 239-313.
[21] McSween E., Winternitz P. Integrable and superintegrable Hamiltonian systems in magnetic fields // J. Math. Phys, 2000, V. 41, p. 2957-2967.
[22] Novikov S. P., Veselov A. P. OnPoisson brackets compatible with algebraic geometry and Korteweg-de Vries dynamics on the space of finite-zone potentials // Soviet Math. Doklady, 1982, V. 26, p. 357-362.
[23] Schottky F. О ber das analytische Problem der Rotation eines starren Ko rpers in Raume von vier Dimensionen // Sitzungsberichte der Konigligh preussischen Academie der Wissenschaften zu Berlin, 1891, Bd. XIII, p. 227-232.
[24] SklyaninE.K. Separation of variables—new trends //Progr. Theor. Phys. Suppl., 1995, V. 118, p. 35— 61.
[25] Sklyanin E.K., TakebeT. Separation of variables in the elliptic Gaudin model // Comm. Math. Phys., 1999, V. 204, №2, p. 17-38.
