CC BY
16
УДК 532.529.5+536.2
ОБ УПРУГОСТИ СРЕД С ПОРАМИ И ЖЕСТКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Валерий Григорьевич Эдвабник
АО «Научно-исследовательский институт электронных приборов», 630005, Россия, г. Новосибирск, ул. Писарева, 53, заместитель генерального директора по развитию, чл.-корр. РАРАН, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, тел. (383)216-05-63, e-mail: [email protected]; Новосибирский государственный технический университет, 630073, Россия, г Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, профессор кафедры АИУС, тел. (383)346-26-23
Сергей Геннадиевич Механошин
АО «Научно-исследовательский институт электронных приборов», 630005, Россия, г. Новосибирск, ул. Писарева, 53, заместитель генерального директора по производству, тел. (383)216-05-52, e-mail: [email protected]
Максим Михайлович Кузнецов
АО «Научно-исследовательский институт электронных приборов», 630005, Россия, г. Ново си-бирск, ул. Писарева, 53, кандидат технических наук, начальник лаборатории стандартизации, тел. (913)921-44-39, e-mail: [email protected]
В работе продемонстрирован подход к изучению неоднородных материалов на основе, так называемой, теории обобщенной проводимости (ТОП). Под термином «ТОП» понимают одну из структурно-чувствительных характеристик сложных систем. Под сложными системами в данном случае понимаются смеси двух и более компонентов.
Ключевые слова: теория обобщенной проводимости, сложная система, упругость среды.
ABOUT ELASTIC MEDIA WITH PORES AND RIGID INCLUSIONS
Valery G. Edvabnik
Joint-Stock Company «Scientific Research Institute on Electronic Devices», 630005, Russia, Novosibirsk, 53 Pisareva St., Deputy General Director for development, Corresponding member of Russian Academy of Missile and Ammunition Sciences, Ph. D., Senior Researcher, tel. (383)216-05-63, e-mail: [email protected]; Novosibirsk State Technical University, 630073, Russia, Novosibirsk, 20 K. Marksa Prospekt, Professor at the Department of AICS, tel. (383)346-26-23
Sergey G. Mekhanoshin
Scientific research Institute of electronic devices, 630005, Russia, Novosibirsk, 53 Pisarev St., Deputy General Director for production, tel. (383)216-05-52, e-mail: [email protected]
Maxim M. Kuznetsov
Scientific research Institute of electronic devices, 630005, Russia, Novosibirsk, 53 Pisarev St., Ph. D., head of laboratory standardization, tel. (913)921-44-39, e-mail: [email protected]
The work demonstrates an approach to the study of inhomogeneous materials on the basis of the so-called theory of generalized conductivity (TOP). The term «TOP», you see one of the structure-sensitive characteristics of complex systems. For complex systems in this case refer to a mixture of two or more components.
Key words: theory of generalized conductivity, complex system, resilience of the environment.
Структурная чувствительность свойства сложной смеси означает, что изменение ориентации смеси в силовом поле (или, иначе говоря, положения границы раздела компонентов) - даже без изменения относительной концентрации компонентов - ведет к изменению количественной характеристики системы.
Основные постулаты ТОП имеют вид [2]
п
Лп = I 01Л1 (1)
1=1 п
(Лп)-1 = I 01(ЛО-1 (2)
где
1=1
Л1 - ОП 1 - го компонента;
01 - относительная объемная концентрация 1 - го компонента;
п - число компонентов в смеси
Формулы (1) и (2) иначе называются аксиомами параллельного и последовательного включений соответственно.
С помощью ТОП могут быть рассчитаны такие свойства, как модуль упругости, коэффициент теплопроводимости, магнитная проницаемость и прочие характеристики для сколь угодно сложных пространственных структур разнородных материалов.
Однако отдельный интерес представляют задачи расчета модулей упругости материалов, содержащих включения с бесконечной проводимостью (поры, пустоты) и нулевой (абсолютно жесткое тело) проводимостью.
Из (1) и (2) видно, что даже при ничтожно малой доле в смеси сверхпроводника (свойство с бесконечной проводимостью) или свойства с нулевой проводимостью (бесконечное сопротивление) ОП смеси также равна да или 0. Для смесей с чисто раздельным (чисто последовательным или чисто параллельным) включением никакого парадокса нет, т.к. при составлении реологических схем замещения раздельного включения компонентов в смеси мы придем к тем же выводам.
Исходный материал представлен как матрица, имеющая ОП (например, модуль упругости), равную Хм с включением X =Хв.
В одном случае эти включения имеют бесконечную проводимость, т. е. Хв^да, в другом Хв^О.
Модель структуры показана на рис. 1; решение осуществляется с помощью метода электрических аналогий [1].
" Левая" ветвь
" Правая" ветвь
^ " Верхняя " ветвь (расчет Л„ )
1
" Нижняя" ветвь (расчет Лд )
Рис. 1. Структура единичной ячейки типа «куб в кубе»
Составим общие схемы включения проводимостей для расчета Л (рис. 2, а) и при подсчете Л п (рис. 2, б).
Схема «правой» ветви:
Л.
©^ =1-©
2А
Схема «верхней» ветви:
Л„
© = 0*
АЖ« в
Схема «левой» ветви:
Схема «нижней» ветви:
Аи; © = 1-©^ Л.; 0 = 0^
Л,
© = ©
X
а) б)
Рис. 2. Общие схемы включения проводимостей
Как видно из рис. 2, ОП смеси структуры «куб в кубе» с длиной стороны большого куба, равной 1, подсчитывается следующим образом:
Лпп =Л_ •©В3 +Лрв(1 -0
(л?) -1 = £-®£> + 0 -
Л -ер* Л ,
(3) (4)
В формулах (3), (4) согласно рис. 1,
Л прав Л М '
Л _ = Л ,,
ОП «левой» ветви (рис. 2, а) подсчитывается по аксиоме последовательного соединения (2):
(Л _)=
1 (1 -0-О , 0-
л,
Л„
(5)
ОП «нижней» ветви (рис. 2, б) подсчитывается по аксиоме параллельного соединения (1):
л „ =л --0 % +л М (1 -0 *)
(6)
Рассмотрим случай, когда структура содержит включение с бесконечной проводимостью, т.е. Л- ^ .
Реологические схемы рис. 2 для этого случая примут следующий вид (рис. 3).
Лм; В: I (-)>
Л„ со
а) б)
Рис. 3. Реологические схемы структуры «куб в кубе» при Л- ^ :
а) для подсчета Л п ; б) для подсчета Л
В результате, в схеме расчета Л п проводимость
Л ^ да
шунтирует элемент
проводимости в «левой» ветви (см. рис. 2, а), а в схеме расчета Л и проводимость Л« шунтирует всю «нижнюю» ветвь. Поэтому для структуры, содержащей включения с бесконечной проводимостью и относительной объемной концентрацией 0 «, согласно рис. 3, а и формулам (3) и (5), получаем:
Л н _ Л м Пда _
(1 -© 13)
0 + л М (1 -0 в3)
откуда после элементарных преобразований следует:
Л1^ _ 1 -0*(1 -0*)
Лл
1 -0'
(7)
Непосредственно из рис. 3,б, следует, что для структуры, содержащей включения с бесконечной проводимостью:
Л
Ида
Л
м
1 -0
13
(8)
Подстрочный индекс «да» при Л п и Л и в формулах (7) и (8) указывает на то, что определяется ОП структуры с включениями, имеющими бесконечную проводимость.
Теперь рассмотрим случай, когда включение имеет нулевую проводимость,
т.е.
л. _ о
В этом случае реологические схемы рис. 2 примут следующий вид (рис. 4).
Рис. 4. Реологические схемы структуры «куб в кубе» при Лв _ 0 : а) для подсчета Л п ; б) для подсчета Л
п
II
1
в
Из схемы, показанной на рис. 4,а, видно, что «левая» ветвь схемы при Л« = 0 вырождается, и непосредственно следует, что
Лп
^п 0
Л М
= (1 -0 ?) (9)
Из схемы, показанной на рис. 4,б, видно, что при Л« = 0 «нижняя» ветвь
2/
представляет собой - см. также формулу (6) - материал с ОП, равной Л м (1 - 0 в3), и формула (3) принимает следующий вид
(Лп) - = +_0?_
(Л")0 Лм +Л м (1 -0 ?Г откуда после элементарных преобразований получается:
лп 1 -0*
л М 1 -0 -0?)
(10)
В формулах (9) и (10) подстрочный индекс «0» при Л п и Л п указывает на то, что определяется ОП структуры с включениями, имеющими нулевую проводимость.
Итак, окончательные формулы для ОП гетерогенных смесей, содержащих включения с бесконечной и нулевой проводимостью имеют вид:
1-0*0-0*)
1-0? "Лм " 1-®*' (11)
1 -0* < 1 -0« „ (12)
13
Лм 1 -0д3 (1 -0
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводимость смесей и композиционных материалов: Справочная книга. - Л.: Энергия, Ленингр. отделение, 1974. - 264 с.
2. Эдвабник В.Г. Некоторые фундаментальные задачи теории обобщенной проводимости. - Сибирский научный вестник, 1999, вып. 3, с. 276-291.
©В. Г. Эдвабник, С. Г. Механошин, М. М. Кузнецов, 2017
в
