CC BY
21
Математика
УДК 517.9
ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ОДНОЙ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
О.А. Рузакова1
Получены необходимые условия е-управляемости дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным оператором при произодной, с относительно радиально ограниченным оператором в правой части. Показана эффективность полученных результатов на примерах исследования е-управляемости начально-краевых задач для неклассических уравнений математической физики.
Ключевые слова: Е-управляемостъ; полугруппа операторов; уравнения соболевского типа.
Введение
Пусть X^ - банаховы пространства, операторы L е Ь (X^) (т. е. линеен и непрерывен), Mе С1(X^) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен), функции управления ui (t): [0,ТR,
вектор-функции Ь^), с(}) е Ср+1([0,Т]; Y), 1 < i < m . Рассмотрим задачу Коши
x(0) = x0 е domM
для уравнения
т
LX(t) = Мл^) + (t)ui (t) + c(t), 0 < t < T. (1)
i=1
Нас будет интересовать вопрос управляемости [1] (точнее, е -управляемости [2]) уравнения соболевского типа [3] в случае, когда существует сильно-непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения (1) [4]. При изучении управляемости уравнения (1) будем использовать результаты, полученные в работе [5] для уравнения
л = Ал + Ь (t) и + с^)
с замкнутым линейным оператором А, непрерывными вектор-функциями Ь, с со значениями в банаховом пространстве, функцией управления и е ^((0,Т); R). Заметим, что вопросы управляемости являются предшествующими для теории оптимального управления, которая активно развивается в последнее время для уравнений соболевского типа и даже нашла свое применение в задачах оптимального измерения динамически искаженных сигналов [6], а также их численного решения [7]. Автором данной работы ранее исследовалась е -управляемость и управляемость уравнения соболевского типа [8-11]. Цель данной работы - обобщить эти результаты и результаты работы [5]. Полученные абстрактные результаты используются при исследовании е -управляемости начально-краевых задач для неклассических уравнений математической физики.
Сильно ^, р) -радиальный оператор
Приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты, доказательства которых можно найти в [3].
Пусть Х^ - банаховы пространства. Обозначим р1 (Ы) = {це С: (^ -Ы) 1 е Ь(У;X)},
(м). 4д,р) (Ы )=ГК,. (Ы) •
к=0 к=0
N0 = N и {0}, R+= {а е R: а > 0}, Я+= R+и {0}.
1 Рузакова Ольга Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического моделирования, ЮжноУральский государственный университет.
E-mail: oruzakova@gmail.com
Ri (M) = (i - M)- L, L^ (M) = L(ML - M)- , R(\p) (M) = ПІ
Определение 1. Оператор М называется сильно (Ь, р) -радиальным, р є , если
(i) За є К Уц> а цє рЬ (М);
(ii) ЗК > 0 Уцк > а к = 0, р, Уп є N,
тах
(К(Лр)(М))п цх), (ЬЛр)(М))
Ь(У)
К
(ііі) существует плотный в У линеал У такой, что
-1 тЬ
М(ЛЬ - М)- р)(М)у
const( у)
(Л - а)п кр=0(цк- а)
Пр=0(Цк - а)
У у є У,
{ х є Ь (X): і є R+}, К(Цр)(М )(ЛЬ - М )-1
К
Ь( X ;У)
(Л - а)Пр=0(цк - а)
при любых Л,ц0,ц,...,цр > а.
Теорема 1. Пусть оператор М сильно (Ь, р) -радиален. Тогда
(i) X = X0 © X1, У = У0 © У1;
(ii) Ьк = Цжк є Ь(Жк;Ук), Мк = Цс1отЩ є СІ(Жк;Ук), ёотМк = ёотМ пXk, к = 0,1;
(iii) существуют операторы М-1 є Ь(у0;X0) и І-1 є Ь(у 1;X1);
(іу) существует сильно непрерывная полугруппа, разрешающая уравнение Ьх (і) = Мх (і);
(у) инфинитезимальным генератором С0 -непрерывной полугруп-
пы [XI = Xі ^ є Ь (X1): і є К+} является оператор 5 = Ь-1М1 є СІ (X1);
(уі) оператор Н = М0-1Ь0 нильпотентен степени не больше р.
Через Р(О) обозначим проектор вдоль X0(У0) на X 1(У1).
Основной результат
Предположим, что оператор М сильно (Ь, р) -радиален, р є N0, тогда согласно теореме 1 уравнение (1) редуцируется к системе двух уравнений
х = Vх1 (1) + к1 (1) Щ ({) + Vе1 (1),
(2)
І=1
Нх0 = х0 (і) + М-^Ь0 (і)щ (і) + М0-1с0 (і). І=1
і ґ гі-Б і
х (і ) = Xі ^ (і)+ jX^-sk~1 £ь? (Б) щ (Б) + с1 (Б ) ёБ - %НкМ- £ь° (і) и (і) + М0-1С0 (і)
(3)
Здесь Ц(t) = дц(t), с1 (t) = ), Ь° ^) =(/ - д)ь (t), с0 ^) =(/ - ), 1 <i < т.
Решение задачи Коши для уравнения (1) имеет вид
р
) и (Б) + с (Б) аз - ^нм 0- (t) и,
0 V ^=1 / к=0 V ^=1
При этом первые два слагаемых дают решение уравнения (2), а последняя сумма - решение (3).
Будем использовать вектор-функции управления и1 ^)е V(Т) = Ср+1 ([0,Т];R т ) , а через ^(Г) обозначим множество вектор-функций, удовлетворяющих условию
(I - Р) х0 =- ЕНкМ0-1
к=0
к
£Ь° (і) щ (і) + М0-1с0 (і) V і=1
у і=0
т р р
С1кНкМ-1ь0к-1) (0)щ1 (0)- ^НкМ-1с0(к} (0),
І=11=0 к=к
к=0
п
п
т
т
которое необходимо для разрешимости задачи Коши.
Определение 1. Система (1) называется £ -управляемой из любой точки в любую за время Т, если для любых точек л0 е аотЫ, л1 е X и для любого £> 0 существуют управления
и ^)е ^ (Т) что 11 л(Т; л0, и ^)) - лА<£ .
Лемма 1. Пусть оператор Ы сильно (Ц, р)-радиален, вектор-функции Ь1^), c1(t) е С([0,Т];Y1), 1 < i < т. Система (2) £ -управляема в том и только в том случае, когда для любых точек л0 е аотЫ, л1 е X
Т
XTx0 (t)+ jXT-БЦ-1c1 (б) аБ - л1 е Брап{XТ^Ц-Ь1 (б): б е [0,Т], i = 1, т}.
0
Доказательство. При т = 1 утверждение доказано в работе [5] на классе функций управления Ц ((0,Т)^). Сначала докажем необходимость. Обозначим
г = xTx0 (t)+ jxT-бц-У (б) аз -0
По условию существует и(^ , такое, что
Т т
•+ jXт-БL-1 (Б) щ (Б)а
i=1
<£
2'
Каждому разбиению 0 = б0 < б1 <... < БN = Т отрезка [0,Т], сопоставим такой набор чисел
N -1
{вр}5, Бр <вр < Бр+1, чтобы суммы £ | щ (вр) | Азр являлись нижними суммами Дарбу инте-
7=1
Т
гралов 11 щ (б) | аБ для всех I = 1,...,т . В силу непрерывности подынтегральной функции можно
0
Т т
понимать интеграл jXт БЦ11 ХЬ (Б) и (Б)аБ в смысле Римана и подобрать такие точки разбие-
ния {бр }^==01 отрезка [0,Т], чтобы было
}р=0
N -1
XXT- (вр. )Щ (вр. ) Азр- - jXT-БЦ-1Ьг1 (Б)щ (Б)аБ
Р=0 0
для всех i = 1,...,т . Тогда
<
2т
+
т N -1
г + £2^ (вр ) Щ (в„ )АБр
i=1 Р=0
( N-1
т
•+ jXт-БЦ1 £Ь? (Б)щ (Б)аБ
І=1
+
£ £Xт-вjiц-1bг1 (вр.)щ (вр.)Абр, - ^Т-Бц-1Ьг1 (Б)щ (Б)аБ
i=1 Vр=0
„ £ £т
< - +----------= £.
2 2т
Получили
т N-1
- XX хТ "'ЧЧ (в) [-щ КК ]
<£,
i=1 Р=0
поэтому ге Брап{XT-БЦlЬ' (б): б е [0,Т],1 < i < т} .
Докажем в обратную сторону. Пусть ге зрап{XТ-БЦ 1ь‘ (Б):зе [0,Т]Л < i < т}, тогда существуют Ni ,цп1, tni, 0 < t1 < t2 <... < tn < Т такие, что
0
0
£
0
0
N
ЪЪпх ^Ц'ь] (п)
i=\ п=1
<£
2'
(4)
Не умаляя общности, будем считать далее Ni > 2, п ^ 0. Введем функцию р(",а,в), б > 0 .
0 <а< в,
1
р(Б,а,в) =
-, б е [а; в],
в-а
0, б г [а; в].
Положим аы = при п = 1,2,...,Ni -1 и вы, = N. Можно подобрать в^, п = 1,2,...,Ni -1 и
аN,i, чтобы выполнялись неравенства
! в
—— } ХТ-%-'ь1 ( б ) ds - ХТ-^Ь—Ь (п)
-п аni а •
,я‘т
и —;вni]с [0,Т] для всех /' = 1,...,т . Эти неравенства можно переписать в виде ]ХТ-"Ь—Ь ( б )р("— ,впг )ds - ХТ-^Ь—Ь (п)
<
2 I Пт I Nim
2 1 Пт 1 ^т
Пусть ^(б) = -ЪпniP(s,ani,впг) для всех i = 1,...,т . Тогда
п=1
т N1 Т т
ТЪ>пХТ -^Ь“1Ь1 (п) + Хт-бА_1 Ъь1 ( б )( б ) ds
i=1 п=1 0 i=1
N (
i=1 п=1
N
ЪЪПп, ХТ - п,Ц'Ь (п)- ( б )р("— ,вп
ЪЪ1 п
;'=1 п=1
21 Пы 1 Nim
< е,
Вместе с (4) получаем
Т т
-б
<£,
0 !'=1
то есть || х(Т;х0,щ,(?)) -Х1 ||<е .
Построенное при доказательстве достаточности управление разрывно. Учитывая, однако, что Ср^[0,Т ] = Ь1[0,Т ], можно установить существование вектор-функций управления
V (1 )еГх0 (Т) таких, что ||х(Т; xo, V (0)- Х^е.
Следствие 1. Пусть оператор М сильно (Ь, р) -радиален, вектор-функции Ь1 (t), с1(?)е С([0,Т];У1), 1 < i < т. Система (2) е -управляема за время Т в том и только в том случае, когда эрап{ХТ-"Ь—Ь1 (б): бе [0,Т],I = 1,т} = X1.
Доказательство. Пусть система (2) е -управляема из нуля. Для любого Х1 е X возьмем
Х2 = Х1 - |ХТ *Ц С (") ds.
Тогда \х(Т;0,щ, ^))- Х1
t ( т
t—б
Л
. )щ ( " ) + с ( "
V i=l )
ds - Х1
t ( т
t-"
\
. )щ ( "
V i=l )
ds - Х2
<е.
Откуда получаем требуемое в силу произвольности Х1, а значит, и Х2 е X . Обратное утверждение сразу следует из леммы 1.
т
т
е
0
г
0
0
0
Теорема 2. Пусть оператор М сильно (X, р)-радиален, вектор-функции
Ь0 (ґ), с0(ґ)є СР+1([0,Г];У0), 1 < і < т. Система (3) £ -управляема за время Т в том и только в том случае, когда пространство X0 не более чем (р +1) -мерно, а система векторов
ХСНМ 1Ь0(к !) (Т) ,0 < ! < р,1 < і < ті является в нем базисом
I к=!
Доказательство. Решение уравнения (3) имеет вид
х (ґ) = - кМ°-1 ^Ь° (ґ) »і (ґ) + М°-1с° (ґ)
к=0 \і=1 у
т р р р
=-Х X»! (') Хс'ЯкМ0-1Ь,0(к-'> (ґ)- '£ИкМ^'с«к) (ґ).
к=0
1
)
Обозначим соответствующие еп = — функции управления через ип ^), значения
п
(Т) = а\п, 0 < I < р, 1 < i < т, п е N.
Из е -управляемости системы следует, что при всех Х1 е X0 и любых п е N
ХХа Тс^М-'ь^-!) (Т) - кМ0-1с0(к) (Т) - х
і=11=0 к=!
к=0
1
<—. и
Возьмем х1 = ХН М0 с ( ) (ґ) -х2 при некотором х2 є X и получим
к=0
Поэтому
т р р
X Х^ ХскнкМ0-1Ьг0(к-!) (Т) - X і=1!=0 к=!
1
<—. и
трр
Ит ХХХаІіпСІкНкМ 0
и——^
'рісінкМ0'ь0к-!} (Т ) = Х2
і=1!=0к=!
0
и в силу произвольности х2 є X имеем
X0 = зраи | ХскнкМ0'1Ьг0(к-!} (Т) ,0 <! < р,1 < і <
т > =
[к=!
р
= зраи <ТCIkHkM-1Ь°(k-!) (Т) ,0 <! < р,1 < і < т [,
[к=!
поскольку система векторов конечна.
Пусть для любого х е domM0 существуют с• е ^,0 < I < р,1 < /' < т, что
т р р
X Хс! ХскнкМД»-!) (Т).
і=1!=0 к=!
Взяв функции управления
р -(і-Т)!
і (ґ) = Хс! —!Г_, 1 <і < т ’ !=0 к •
получаем требуемое.
Теорема 3. Пусть оператор М сильно (X, р)-радиален, вектор-функции
Ь!1(ґ), с1(ґ) є С ([0,Т];71), Ьг°(ґ), с0(ґ) є Ср+1([0,Т];70), 1 < і < т. Если система (1) £ -управляема
за время
Т, тогда эраи{XTsX11Ьг1 (з): з є [0,Т],і = 1, т} = X1, пространство X
не более чем
к
т
»
0
(р +1) -мерно, а система векторов <’^С1кИк М01Ь0(к 1) (Т), 0 < I < р, 1 < і < т\ является в нем
\к=1
базисом.
Замечание 1. Обратное утверждение к теореме 2 не имеет места, поскольку в данной постановке задачи одни и те же функции одновременно управляют решениями систем (2) и (3).
Пример 1. Рассмотрим алгебро-дифференциальную систему уравнений с частными производными
т’
Чг = VI + ХЬ(х*)иі(*) + с(хЪ (х *)є О х Я+,
і =1
т
V2^ = V2 + ХЬ2 *)иі(*) + с(^ *), ( х * ) Є О Х Я+, (5)
і =1
m,
% = ^+Хь3 (x, *)иі(*)+с(x, ъ (х *)є Ох Я+,
і =1
Ь- (х, * )є Ь2 (О), і = 1,2,3 и начально-краевую задачу для них
/цу{ +—vi = 0, (х, * )єдО х Я+, і = 1,2,3, (6)
дп
V (х,0) = ^о (х), хє ° і = 1,2,3 (7)
Пространство X0 ={0}хЬ2 (О)хЬ2 (О) бесконечномерно. Поэтому необходимое условие теоремы 3 не выполняется, значит, система (5)-(7) не управляема.
Пример 2.
п т
Пусть Р(Я) = ХсіЯі, в(Я) = , п < т, сі, dj є Я , сп Ф 0, dm Ф 0, Яп - ограниченная
і=0 і=0
область с границей ЭО класса С ~ , набор операторов А, В1,..., Вг - регулярно эллиптический, где
(^)(х)= Х аа(х)°аЧхХ аає С~(О),
|а|<2г
>1^‘" ' = ^ ;
( В^ )( х )= Х Ь1а (х) Оа\>(х\ Ьає С ~(Э°), I =1 г.
|а<1
г2г
Определим замкнутый оператор А1 : ^{^ }(О )^ Ь2 (О), Ар = Av, V є domA1 и потребуем его
самосопряженности и ограниченности справа спектра <г(А1). Через {^>к : к є Ы] обозначим орто-нормированные в смысле скалярного произведения в Ь2 (О) собственные функции оператора А1, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Як : к є N} с учетом их кратности. ПоложимX = {Vє ^22гп (О): BlAkv(х) = 0, к = 0,п -1,1 = 1Г, хєдО], У = Ь2 (О), Ь = Р(А),
М = в(А), domM = {Vє ^22™ (О): BlAkv(х) = 0,к = 0,т -1,I = 1г,хє ЭО].
Рассмотрим начально-краевую задачу
т’
Р(А)V* (х,*) = в(А)V(х,*) + ХЬ (х,*)и (*) + с(х,*), (х,*)є Ох[0,Т], (8)
і=1
BlAkv(х, *) = 0, к = 0, п -1, I = 1, г, х є ЭО х[0, Т], (9)
V(х,0) = ^ (х), хє О. (10)
В работе [12] показано, что если числа Як не являются одновременно корнями многочленов Р(Я) и в(Я), то оператор М сильно (Ь, 0) -радиален. При этом система (8) имеет вид
m ’
о = Q(\)vk (t) + Jblk (t)щ (t) + ck (t), P(Як ) = 0, (11)
i=1
где нижний индекс к означает коэффициент Фурье соответствующей функции при разложении по базису {^к : к е N}.
Теорема 4. Пусть числа Лк не являются одновременно корнями многочленов Р(Л) и Q(A). Тогда система (11) £ -управляема за время T в том и только в том случае, когда сумма кратностей собственных значений оператора A1, являющихся корнями многочлена Р(Л), не превосходит числа m ’ и при этом нет собственных функций, соответствующих этим собственным значениям, ортогональных сразу всем функциям bl ,1 < i < m ’ в смысле L2 (Q).
Доказательство. Учитывая сильную (L,0)-радиальность оператора M достаточно сослаться на теорему 2.
Следствие 2. Пусть числа Лк не являются одновременно корнями многочленов Р(Л) и Q(X). Если система (8)—(10) £ -управляема за время T, то сумма кратностей собственных значений оператора A1, являющихся корнями многочлена Р(Л), не превосходит числа m ’ и при этом нет собственных функций, соответствующих этим собственным значениям, ортогональных сразу всем функциям b ,1 < i < m ’ в смысле L2 (Q).
Литература
1. Шолохович, Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем / Ф.А. Шолохович // Изв. УрГУ. - 1998. - № 10. - Вып. 1. - С. 103-126.
2. Куржанский, А.Б. К управляемости в банаховых пространствах / А.Б. Куржанский // Диф-ференц. уравн. - 1969. - Т. 5, № 9. - C. 1715-1718.
3. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Tokyo; Keln: VSP. - 2003. - 216 p.
4. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк // ДАН. - 1994. - Т. 337, № 5. - С. 581-584.
5. Нефедов, С.А. Критерий s-управляемости линейной системы / С.А. Нефедов, Ф.А. Шолохович // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т. 12, № 4. - С. 653-657.
6. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2010. - № 16 (192). - С. 116-120.
7. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 107-115.
8. Федоров, В.Е. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 8. - C. 1137-1139.
9. Федоров, В.Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Изв. вузов. Математика. - 2002. -№ 7. - C. 54-57.
10. Федоров, В.Е. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Мат. заметки. - 2003. - T. 74, № 4. -С. 618-628.
11. Рузакова, О.А. Об управляемости линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальным оператором / О.А. Рузакова, Е.А. Олейник // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - Вып. 11. - № 5 (264). - С. 54-61.
12. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. - 2000. - С. 32-40.
Поступила в редакцию 12 июля 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics” __________________2014, vol. 6, no. 4, pp. 5-12
CONTROLLABILITY OF A NON-CLASSICAL MODEL OF MATHEMATICAL PHYSICS
O.A. Ruzakova1
Necessary conditions of e-controllability for the class of degenerate linear differential equations in Banach space with respect to the time derivative and with the radially bounded operator on the right side are obtained. The results are effectively applied to the research of e-controllability of initial boundary-value problems for the non-classical equations of mathematical physics.
Keywords: controllability; semigroup of operators; equations of Sobolev type.
References
1. Sholokhovich F.A. Izvestiya Ural'skogo Gosudarstvennogo Universiteta. 1998. no. 10. Issue 1. pp. 103-126. (in Russ.).
2. Kurzhanskiy A.B. Differentsial'nye uravneniya. 1969. Vol. 5, no. 9. pp. 1715-1718. (in Russ.).
3. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston; Tokyo; Keln: VSP. 2003. 216 p.
4. Sviridyuk G.A. DAN. 1994. Vol. 337, no. 5. pp. 581-584. (in Russ.).
5. Nefedov S.A., Sholokhovich F.A. Differentsial'nye uravneniya. 1976. Vol. 12, no. 4. pp. 653657. (in Russ.).
6. Shestakov A.L., Sviridyuk G.A. Novyy podkhod k izmereniyu dinamicheski iskazhennykh sig-nalov (A new approach to measurement of dynamically perturbed signals). Bulletin of South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software”. 2010. no. 16 (192). C. 116-120. (in Russ.).
7. Shestakov A.L., Keller A.V., Nazarova E.I. Numerical solution of the optimal measurement problem. Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73. no. 1. pp. 97-104.
8. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. Differentsial'nye uravneniya. 2002. Vol. 38, no. 8. pp. 1137-1139. (in Russ.).
9. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. Izvestiya vuzov. Matematika. 2002. no. 7. pp. 54-57. (in Russ.).
10. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. Matematicheskie zametki. 2003. Vol. 74, no. 4. pp. 618-628. (in Russ.).
11. Ruzakova O.A., Oleynik E.A. Ob upravlyaemosti lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa s ot-nositel'no sektorial'nym operatorom (On the controllability of linear sobolev type equations with relatively sectorial operator). Bulletin of South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software". 2012. Issue 11. no. 5 (264). pp. 54-61. (in Russ.).
12. Fedorov V.E. Neklassicheskie uravneniya matematicheskoy fiziki (Non-classic equations of mathematical physics). Novosibirsk, IM SO RAN Publ. 2000. pp. 32-40. (in Russ.).
Received 12 July 2014
1 Ruzakova Olga Aleksandrovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Mechanics and Mathematical Department, South Ural State University.
E-mail: oruzakova@gmail.com
