Об управляемости линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ОТНОСИТЕЛЬНО СЕКТОРИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ

О.А. Рузакова, Е.А. Олейник

В работе исследуется вопрос е-управляемости линейных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной по времени L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 < t < T. Предполагается, что ker L = {0}, а оператор M

сильно (Х,р)-секториален. Данные условия гарантируют существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы однородного уравнения L x (t) = Mx(t). С помощью теории вырожденных полугрупп операторов с ядрами исходное уравнение редуцировано к системе двух уравнений: регулярного, т.е. разрешенного относительно производной (на образе разрешающей полугруппы однородного уравнения) и сингулярного (на ядре полугруппы) с нильпотентным оператором при производной. Используя результаты об е-управляемости регулярного и сингулярного уравнений, получен критерий е-управляемости исходного уравнения соболевского типа с относительно р-секториальным оператором в терминах операторов, входящих в уравнение. Абстрактные результаты использованы при исследовании е-управляемости конкретной начально-краевой задачи, которая является линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода.

Ключевые слова: относительно р-секториальные операторы, управляемость.

Введение

Пусть X, Y, U — банаховы пространства, операторы L £ L(X; Y) (т. е. линейный непрерывный), ker L = {0}, M £ Cl(X; Y) (т. е. линейный замкнутый, плотно определенный в X), B £ L(U; Y). Рассмотрим задачу Коши

x(0) = xo (1)

для уравнения

L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 <t<T. (2)

Основной целью данной работы является исследование е-управляемости уравнения (2) при условии, что оператор M сильно (L, р)-секториален [1]. Данные условия гарантируют существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы однородного уравнения L x (t) = Mx(t).

Уравнения вида (2), называемые уравнениями соболевского типа, все чаще привлекают внимание исследователей [2, 3]. При этом в приложениях часто вместо условия Коши (1) рассматривают обобщенное условие Шоуолтера-Сидорова

P (x(0) — x0) = 0, (3)

где P - проектор, являющийся единицей полугруппы операторов.

Если оператор L непрерывно обратим, то уравнение (2) сводится к уравнению

x (t) = Sx(t) + L-1Bu(t) (4)

на пространстве X. Обзор результатов об е-управляемости уравнения (4) см. [4].

Отметим, что управляемость уравнения (2) в случае, когда кегЬ = {0}, изучалась ранее В.Е. Федоровым и О.А. Рузаковой в предположении (Ь, ^-ограниченности оператора М и сильной (Ь,р)-радиальности оператора М в работах [5 - 7]. Используя данные результаты, мы формулируем критерий е-управляемости уравнения (2) для случая сильной (Ь, р)-секториальности оператора М, что позволяет исследовать вопрос об е-управляемости начально-краевой задачи для системы уравнений фазового поля.

1. Относительно р-секториальные операторы и сильные решения

Приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты, доказательства которых можно найти в [1, 2].

Пусть X, ф - банаховы пространства. Через С(Х; ф) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из X в Если ф = X, то обозначение сократится до С^). Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве X, действующих в ф, будем обозначать С¡(X; ф)• Множество операторов С¡(X; X) обозначим через С1^).

Всюду в дальнейшем предполагаем, что операторы Ь £ С(X; ф), М £ а^; ф). Обозначим рь(М) = {р £ С : (рЬ - М)-1 £ С(ф; X)}, Е^(М) = (рЬ - М)-1Ь, Ь^(М) =

ЦрЬ - М)-1, В1Л(М) = ГЕ=0 «к(М). Ь1,Р)(М) = Ш=0 (М). N0 = N и {°}, М+ =

{а £ М : а > 0}, М+ = М+ и {0}.

Определение 1. Оператор М называется сильно (Ь,р)-секториальным, р £ N0, если (1) существуют константы а £ М и 0 £ (2 ,п) такие, что сектор

бЬ,&(м) = {Ц Є С : I а^(ц - а)\ < ®,Ц = а} С рЬ(М);

(іі) существует константа К Є К+ такая, что

шах{,р)(М11Чм,Р)(М^ДШ)} ^ -Т~К

ь

Х^р)

П \Цк — а\

К

Р

\\ — а\ П \Цк — а\

к=0

о

(Гу) существует плотный в ф линеал ф такой, что

\Х — а\ П \Цк — а\

к=0

при любых X, ц0, Ці,..., ЦР Є Бь&(М).

Теорема 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Тогда

(і) х = х0 ® Xі, % = %0 ® %1;

Є С(Хк; %к), Мк = М

хк

Є С 1(Хк; %к), ёстМк = ёстМ П Хк

ёотМк

(ii) Ьк = Ь к = 0,1;

(iii) существуют операторы М—1 Є £(%0; X0) и Ь-1 Є С 1(%1; Xі);

(іу) существует аналитическая в секторе полугруппа {X* Є С(Х) : Ь Є К+}, разрешающая уравнение Ь х (Ь) = Мх(Ь);

(у) инфинитезимальным генератором аналитической полугруппы {X* = X* ЄС(Х1):

_ Xі

Ь ЄК+} является оператор Бі = Ь-іМі єС 1(Х1);

(уі) оператор Н = М—іЬо Є С(Х°) нильпотентен степени не больше р.

Через Р (ф) обозначим проектор вдоль Х0 (%0) на Х1 (%1).

При заданной функции / : (0, Т) ^ % рассмотрим задачу Коши

х(0) = х0 (5)

и задачу Шоуолтера-Сидорова

Р (х(0) — х0) = 0 (6)

для уравнения

Ьх (Ь) = Мх(Ь) + /(Ь), 0 <Ь<Т. (7)

Определение 2. Сильным решением задачи (5), (7), ((6), (7)) назовем вектор-функцию

х Є ШІ(Х), если она удовлетворяет условию (5), ((6)) и почти всюду на интервале (0,Т) удовлетворяет уравнению (7).

Существование и единственность сильного решения задач доказаны в [8],[9].

Теорема 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, / Є W(p+l(Y)

Р

хо єРх = \ х Є (їстМ : (I — Р)х = — ^ НкМ—1(1 — ф)/(к)(0) ¡> .

к=0

Тогда существует единственное сильное решение задачи (5), (7), имеющее вид

} р

х(Ь)= Х*Х0 + Х*-*Ь-1ф/(8^8 — £ Нкм—1((1 — Я)/)(к\і). (8)

0 к=0

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, у Є Wp+l(%), Х0 Є іт(цЬі — Мі)-іЬі. Тогда существует единственное сильное решение задачи (6), (7), имеющее вид

(8).

2. ^-управляемость

Будем следовать результатам, изложенным в [6]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, р £ N0, а функции управления п(1) принадлежат V(Т) = Ш%+1(ф). Кроме того, необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие Х0 £ Рх теоремы 2 о разрешимости задачи Коши (в случае задачи Шоуолтера-Сидорова Х0 £ \т(рЬ1 — М^-1 Ь\). Мно-

жество функций управления из V(Т), удовлетворяющих этому условию, обозначим Vx0 (Т)• Рассмотрим сначала задачу Коши (1), (2).

В силу теоремы 1 задача (1), (2) редуцируется к системе двух задач:

Х1 (I) = Б1х1(1) + Ь-lQBu(t), х1(0) = Рх0 = х0 (9)

на пространстве Х1,

НхР(Ь) = х°(Ь) + М—1(1 — ф)Ви(Ь), х°(0) = (1 — Р )х0 = х°° (10)

на пространстве Х0. При этом первые два слагаемых в формуле (8) дают решение задачи

(9), а выражение

Р

— ^ НкМ—і(I — ф)Ви(к)(Ь) к=0

задает решение задачи (10) при выполнении условия согласования.

Говоря об управляемости системы, описываемой некоторым уравнением, будем через х(Т; Х0; и(Ь)) обозначать значение в момент времени Т решения задачи (1), (2) с начальным значением Х0 и функцией управления и(Ь).

Определение 3. Система (2) называется є-управляемой за время Т, если для любых точек Х0 Є ёстМ, X Є Х и для любого є > 0 существует управление и(Ь) Є УХ0 (Т) = 0 такое, что \\х(Т; Х0; и(Ь)) — х\\ < є.

Аналогично результатам [6] справедлива

Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Система (2) є-управляема за время Т (за свободное время) в том и только в том случае, когда

8рап{ітХ8Ь-^В, 0 < 8 < Т} = Х1 (8рап{ітХтЬ-^В, Т > 0} = Х1),

8рап{ітНкМ-і(І — Q)B, к = 0, р} = ёстМ0.

3. Начально-краевая задача для системы уравнений фазового поля

Рассмотрим начально-краевую задачу

в(х, 0) + р і (х, 0) = у0(х), х Є 9, (11)

дв

— (х,Ь) + Хв(х,Ь) = 0, (х,Ь) є д9 х (0,Т), (12)

(х,Ь) + Х^і(х,Ь)=0, (х,Ь) є д9 х (0,Т), і = 1,т, (13)

дп

для системы уравнений

дв дш

— (х,Ь) + д-(х,Ь) = Ав(х,Ь) + щ(х,Ь), (х,Ь) є 9 х (0,Т), (14)

т

Ау і (х,Ь) + ^ а у Шз (х,Ь) + в(х,Ь) + и і (х,Ь) = 0, (х,Ь) Є 9 х (0,Т), (15)

з=і

т

Аш1(х,Ь) + ^2 ауШз(х,Ь) + щ(х,Ь)=0, (х,Ь) Є 9 х (0,Т), і = 2,т, (16)

з=і

которая является линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода [10, 11]. Здесь 9 С К5 -ограниченная область с границей д9 класса С, Х,ау Є К, і,] = 1,т. Искомыми функциями являются в(х,Ь), Ші(х,Ь), і = 1,т.

Редуцируем задачу (11) - (16) к задаче (1), (2). Сначала сделаем замены в(х,і) +

уі(х,і) = у(х,І), Фі(х,Ї) = ті(х,і), і = 1,т. Тогда задача примет вид

у(х, 0) = у0(х), х Є 9,

ду

— (х, і) + Ху(х, і) = 0, (х, і) є д9 х (0, Т),

дт' _____

дп(х,і) + Хті(х,і)=0, (х,і) Є д9 х (0,Т), і = 1,т,

(17)

(18)

(19)

Уі(х,і) = Ау(х,і) — Аті(х,і) + и0(х,і), (х,і) є 9 х (0,Т), (20)

т

Аті(х, і) + (аіі — 1)ті(х, і) + ^ ауту(х, і) + у(х, і) + иі(х, і) = 0, (х, і) є 9 х (0, Т), (21)

з=2

Аті(х,і) + ^ауту(х,і) + щ(х,і)=0, (х,і) Є 9 х (0,Т), і = 2,

т.

(22)

з=і

Возьмем Х = % = и = (Ь2(9))т+і,

1 0 ... 0 \

0 0 ... 0

Ь= ,

0 0 ... 0 1

/ А А 0 0 \

1 аіі - 1 + А аі2 аіт

0 а2і а22 + А а2т

V 0 аті ат2 атт + А

М=

(їотМ = {(у, ті,.. .,тт) Є (Н2(9))т+і : {^ц + Х)у(х) = (дп + Х)ті(х) =0, х Є д9,і = 1, т}. Тем самым определены операторы Ь Є С(Х), М Є СІ(Х), причем кег Ь = {0} х (Ь2(9))т. Обозначим

0

Лк = 1 0 аіі — 1 + Хк а2і аі2 . . . а22 + Хк . . . аіт а2т

0 аті ат2 . . . атт + Хк

Аг = Аг, ёотА = Н2д ,.(9) дп +А = {г Є Н2(9) ш (х) + Хг(х) = 0, X Є д9}

0

\

обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения (-, ■) в Ь2(9) собственные функции оператора А, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Хк : к Є М} с учетом их кратности. Кроме того, введем в рассмотрение оператор ^ : К емый матрицей

( 1 — аіі —аі2 ... — аіт \

— а2і —а22 . . . —а2т

т -— Кт, задава-

\ — аті —ат2

ат

/

Согласно результатам [12] справедлива Теорема 5. Пусть а(А) П а(Е) = 0. Тогда оператор М сильно (Ь, 0)-секториален. Теорема 6. Если а (А) П а(Е) = 0, то задача (17)-(22) є-управляема.

Доказательство. Действительно,

( g \Л12\(;ук)ук к=1

M—1 =

-\лк\

Е

к=1

\Лк\

g \Лк,т + 1К-»^к )Ык

\ к=1

(—1)т\Лк\

g

Е

\Лк.2 \{'’!£к )фк

к 1 \лк\

к=1

g \лк,з\<-,^кы

Е

к=1

\лк\

Е

к=1

\Лк.т + 1\{',^к )(Рк

(—1)m+1 \Лк \

g \Лт+1,2\(-’^к)Ук \

к=1 (—1)т\Лк \

g \лт+1,3

g \Л3+1,з\<;Ук)Ук (—1)т+1\лк\

к=1

Е

к=1

\Л3з + 1,т + 1\(-,(Рк )Ык

—\лк \

/

где Лк - матрица Лк с вычеркнутыми первой строкой и первым столбцом, Лк ^ - матрица Лк

с вычеркнутыми первой и г-й строками и первым и ]-м столбцом, г,] = 2,т + 1. Условие из теоремы 4

8рап{1шИкМд *(1 — Q)B, к = 0, р} = ёошМ0

имеет вид

span < im

g \Л(к,2 \<*Ык)Ык к=1

g \лк<ыы

— \Лк \

Е

к=1

g \лк,2\<*Ык)Ык к=1

g \Л§з<ЫкЫ

\лк\

\лк\

Е

к=1

\лк\

g \лк,т+1\<-,Ык)Ык V к=1 (—1)т\лк\

Е

(— 1)т + 1\Лк \

ЕЧ— к=1

Е

к=1

g ^ *т+1,3

(—1)т\Лк \

g \Л3+1,з\<~. Ык)Ык (—1)т+1\лк\

к=1

g \Л3+1,з+1\<• ЫкЫ

Е

к=1

— \Лк \

= (Н2(П)У

Оператор L—1 = I : L2(Q) ^ L2(Q), тогда условие

span{imXsL— 1QB, 0 < s < T} = X1

при в = 0 принимает вид ^В = Ь2(0,), следовательно, так же выполняется.

По теореме 4 получаем требуемое.

□

Авторы выражают искреннюю благодарность и признательность Георгию Анатольевичу Свиридюку за проявленный интерес к работе.

Литература

1. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47 - 74.

2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.

3. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

4. Шолохович, Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем / Ф.А. Шолохович // Изв. УрГУ. - 1998. - № 10, вып. 1. - С. 103 - 126.

5. Федоров, В.Е. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 8. - C. 1137 - 1139.

6. Федоров, В.Е. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Мат. заметки. - 2003. -T. 74, № 4. - С. 618 - 628.

7. Федоров, В.Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Изв. вузов. Математика.

- 2002. - № 7. - C. 54 - 57.

8. Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Диффе-ренц. уравнения. - 1995. - Т. 31, № 11. - С. 1912 - 1919.

9. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб. - 2004. - Т. 195, № 8. -С. 131 - 160.

10. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. -С. 651 - 669.

11. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения. - 1993. -Т. 29, № 3. - С. 461 - 471.

12. Федоров, В.Е. Ограниченные решения линеаризованной системы уравнений фазового поля / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Неклассические уравнения математической физики: тр. семинара, посвящ. 60-летию проф. В.Н.Врагова / отв. ред. А.И. Кожанов; Рос. Акад. наук, Сиб. отд-ние, ин-т математики им. С.Л. Соболева. - Новосибирск, 2005.

- С. 275 - 284.

Ольга Александровна Рузакова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики>, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), oruzakova@gmail.com.

Екатерина Андреевна Олейник, кафедра «Уравнения математической физики>, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), oleynik.katerina@mail.ru.

On the Controllability of Linear Sobolev Type Equations with Relatively Sectorial Operator

O.A. Ruzakova, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation),

E.A. Oleynik, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation)

e-controllability of linear first order differential equations not resolved with respect to the time derivative L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 < t < T are studied. It is assumed that

ker L = {0} and the operator M is strongly (L,p)-sectorial. These conditions guarantee the existence of an analytic semigroup in the sector of the resolution of the homogeneous equation L x (t) = Mx(t). Using the theory of degenerate semigroups of operators with kernels the original equation is reduced to a system of two equations: regular, i.e. solved for the derivative (on the image of the semigroup of the homogeneous equation) and the singular (on the kernel of the semigroup) with a nilpotent operator at the derivative. Using the results of e-controllability of the regular and singular equations, necessary and sufficient conditions of e-controllability of the original equation of Sobolev type with respect to p-sectorial operator in terms of the operators are obtained. Abstract results are applied to the study of e-controllability of a particular boundary-value problem, which is the linearization at zero phase-field equations describing the theory in the framework of mesoscopic phase transition.

Keywords: relatively p-sectorial operators, controllability.

References

1. Sviridyuk, G.A. On the General Theory of Operator Semigroups. Russian Mathematical Surveys, 1994, vol. 49, no. 4, pp. 45 - 74.

2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo, VSP, 2003.

3. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative. N. Y.; Basel; Hong Kong, Marcel Dekker, Inc., 2003.

4. Sholohovich F.A. On the Controllability of Linear Dynamical Systems [Ob upravlyaemosti lineynykh dinamicheskikh sistem]. Izvestie UrGU, 1998, no. 10, issue 1, pp. 103 - 126.

5. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. One-dimensional Controllability of Sobolev Linear Equations in Hilbert Spaces. Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 8, pp. 1216 - 1218.

6. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. Controllability in Dimensions of One and Two of Sobolev-type Equations in Banach Spaces. Mathematical Notes, 2003, vol. 74, no. 4, pp. 583 - 592.

7. Fedorov V.E., Ruzakova O.A. Controllability of Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-radial Operators. Russian Mathematics, 2002, no. 7, pp. 52 - 55.

8. Sviridyuk G.A., Efremov A.A. Optimal Control of Sobolev Type Linear Equations with Relativity p-sectorial Operators. Differential Equations, 1995, vol. 31, no. 11, pp. 1882 - 1890.

9. Fedorov V.E. Holomorphic Solution Semigroups for Sobolev Type Equations in Locally Convex Spaces. Sbornik: Mathematics, 2004, vol. 195, no. 8, pp. 1205 - 1234.

10. Plotnikov P.I., Klepacheva A.V. Phase-field Equations and Gradient Flows of Marginal Functions. Siberian Mathematical Journal, 2001, vol. 42, no. 3, pp. 551 - 567.

11. Plotnikov P.I., Starovoytov V.N. Stefan Problem with Surface Tension as the Limit of the Phase-field Model. Differential Equations, 1993, vol. 29, no. 3, pp. 395 - 404.

12. Fedorov V.E., Sagadeeva M.A. Bounded Solutions of the Linearized System of Phase Field [Ogranichennye resheniya linearizovannoy sistemy uravneniy fazovogo polya]. Neklassicheskie uravneniya matematicheskoy fiziki: tr. seminara, posvyashch. 60-letiyu prof. V.N. Vragova, Ros. Akad. nauk, Sib. otd-nie, in-t matematiki im. S.L. Soboleva. Novosibirsk, 2005, pp. 275 - 284.

Поступила в редакцию 15 ноября 2011 г.