Голоморфные вырожденные полугруппы операторов и эволюционные уравнения соболевского типа в квазисоболевых пространствах последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

DOI: 10.14529/mmph150404

ГОЛОМОРФНЫЕ ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА В КВАЗИСОБОЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А.А. Замышляева1, Дж. К. Аль-Исави2

Интерес к уравнениям соболевского типа за последнее время существенно вырос, более того, возникла необходимость их рассмотрения в квазибанаховых пространствах. Эта необходимость диктуется не столько желанием пополнить теорию, сколько стремлением осмыслить неклассические модели математической физики в квазибанаховых пространствах. Заметим еще, что уравнения соболевского типа называются эволюционными, если их решения существуют только на полуоси R+. Теория голоморфных вырожденных полугрупп операторов, построенная ранее в банаховых пространствах и пространствах Фреше, переносится в квазисоболевы пространства последовательностей.

Статья содержит четыре параграфа. В первом, имеющем вспомогательное значение, рассматриваются квазибанаховы пространства и определенные на них линейные ограниченные и замкнутые операторы. Также вводятся в рассмотрение квазисоболевы пространства, на которых строятся степени квазиоператора Лапласа. Во втором параграфе в качестве операторов L и M рассмотрены многочлены от квазиоператора Лапласа и получены условия, при которых возникают голоморфные вырожденные полугруппы операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей U и F. Другими словами, доказывается первая часть обобщения теоремы Соломяка - Иосиды на квазибанаховы пространства последовательностей. В третьем параграфе строится фазовое пространство однородного уравнения. В последнем параграфе содержится «квазибанахов» аналог однородной задачи Дирихле в ограниченной области с гладкой границей для линейного уравнения Дзекцера.

Ключевые слова: голоморфные вырожденные полугруппы, квазибанаховы пространства, уравнение Дзекцера, квазисоболевы пространства.

Введение

Пусть U - банахово пространство, L(U) - пространство линейных ограниченных операторов. Отображение U е C(U;L(U)) называется полугруппой операторов, если при всех

5, t е R+

UsUt=Us+t. (1)

Обычно полугруппа операторов отождествляется с ее графиком {Ut: t е R+} . Полугруппа {Ut: t е R+} называется голоморфной, если она аналитически продолжима с сохранением свойства (1) в некоторый сектор комплексной плоскости, содержащий полуось R+ . Голоморфная

полугруппа называется вырожденной, если ее единица P = s — lim Ut является проектором в U.

t®0+

Впервые голоморфные вырожденные полугруппы операторов появились в [1, 2] как разрешающие полугруппы линейных эволюционных уравнений соболевского типа

Lu = Mu, (2)

где оператор L е L(U;F) (т.е. линеен и ограничен), а оператор M е Cl(U;F) (т.е. линеен,

замкнут и плотно определен), F - еще одно банахово пространство. В [3], гл. 3, изложена полная теория таких полугрупп, в [4] эта теория распространена на пространства Фреше.

1 Замышляева Алена Александровна - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация.

E-mail: alzama@mail.ru

2 Аль-Исави Джавад К.Т. - аспирант кафедры уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация.

E-mail: jtahir71@gmail.ru

Уравнения вида (2) впервые появились в работах А. Пуанкаре в конце позапрошлого века, однако систематическое их изучение началось во второй половине прошлого века с работ С.Л. Соболева (см. в [5] прекрасный исторический обзор). Поскольку интерес к уравнениям соболевского типа за последнее время существенно вырос (см. например, монографии [6-9]), то возникла необходимость их рассмотрения в квазибанаховых пространствах. Причем необходимость диктуется не столько желанием пополнить теорию, сколько стремлением осмыслить неклассические модели математической физики [10] в квазибанаховых пространствах [11]. Заметим еще, что уравнения соболевского типа (2) называются динамическими, если их решения продолжимы на всю ось R, и эволюционными, если их решения существуют только на полуоси R+ [12].

Статья кроме введения и списка литературы содержит четыре параграфа. В первом, имеющем вспомогательное значение, рассматриваются квазибанаховы пространства и определенные на них линейные ограниченные и замкнутые операторы. Также вводятся в рассмотрение квазисоболевы пространства, на которых строятся степени квазиоператора Лапласа. Во втором параграфе показано, при каких условиях на операторы L и M возникают голоморфные вырожденные полугруппы операторов в квазибанаховых пространствах U и F. Другими словами, доказывается первая часть обобщения теоремы Соломяка-Иосиды на квазибанаховы пространства. В последнем параграфе содержится «квазибанахов» аналог однородной задачи Дирихле в ограниченной области с гладкой границей для линейного уравнения Дзекцера (см., например, [1, 9, 13])

(Л - А)щ = /ЗАы - аА2и + f с начальным условием Шоуолтера-Сидорова [14]. Список литературы не претендует на полноту, а отражает лишь вкусы и пристрастия авторов.

1. Линейные замкнутые операторы в квазибанаховых пространствах

Пусть U - линеал над полем R . Упорядоченная пара (U,и 11.||) называется квазинормирован-

ным пространством, если функция U||.||:U ® R удовлетворяет следующим условиям:

(i) u||m|| — 0 при всех и е U, причем и||и||=0 точно тогда, когда и = O , где O - нуль линеала

U;

(ii) U|\au\\ = КИ при всех u eU, ае R ;

(iii) U||u + v|| = C(U|U|| +U ||v||) при всех u,ve U , где константа C — 1.

Функция ullUI со свойствами (i)-(iii) называется квазинормой. Очевидно, что в случае C = 1

эта функция будет нормой.

Квазибанаховым пространством называется метризуемое полное квазинормированное пространство. Хорошо известным примером квазибанаховых пространств служат пространства последовательностей I , q е (0,1) (при q е [1, +¥) пространства I - банаховы). Пусть здесь и

далее [Лк} с R+ - монотонная последовательность, такая, что lim Лк = + ¥ . Квазисоболевым

k

называется квазибанахово пространство

1 q

u={uk }•• z

k=1

q

< + ¥

с квазинормои

u =

k=1

\q

\i/q

1 I uk I

m e R. Очевидно, что при q e [1, +¥) пространства

- банаховы; lq=lq, а также имеют место плотные и непрерывные вложения ln в при n > m и q е R+ .

m

u

k

m

m

q

Замышляева А.А., Голоморфные вырожденные полугруппы операторов

Аль-Исави Дж. К. и эволюционные уравнения соболевского типа ...

Пусть U и F - квазибанаховы пространства, линейный оператор L:U ® F называется непрерывным, если lim Luk=L( lim uk ) для любой последовательности {uk} с U, сходящейся в

k \k

U. Нетрудно показать, что линейный оператор L:U ® F непрерывен точно тогда, когда он ограничен (т.е. отображает ограниченные множества в ограниченные). Линеал L(U;F) линейных ограниченных операторов - квазибанахово пространство c квазинормой

L(U.FJL\\=sup и ||_if||Lw||, где U|l-ll (F|l-ll) - квазинорма в U (F). Последовательность

' u ||u ||—1

{Lk } с L(U; F) называется сильно сходящейся к оператору L е L(U; F), если для любого u е U выполнено F\Lku — Lu|| ® 0, k ® ¥ ; и равномерно сходящейся, если L(U-Щ ® 0, k ® ¥ .

Теорема 1.1 (аналог теоремы Банаха-Штейнгауза). Последовательность {Lk} с L(U; F) равномерно сходится к оператору L е L(U;F) на некотором линеале U0 плотном в U точно тогда, когда

(i) последовательность {Lk} ограничена;

(ii) последовательность {Lk} сильно сходится к L на U0.

Линейный оператор L:U ® F называется замкнутым, если его график graphL = {(u, f) е U XF: f = Lu} замкнут по квазинорме graphL||u||~u ||u|| +f ||Lu||. Теорема 1.2. Если оператор L е L(U; F), то L - замкнутый оператор. Теорема 1.3. Пусть линейный оператор L: U ® F замкнут и область определения domL = U . Тогда L е L(U;F).

Теорема 1.4. Пусть оператор L : U ® F замкнут и существует оператор L_1 : F ® U. Тогда L"1 - замкнутый оператор.

Линейный оператор L : U ® F называется плотно определенным, если замыкание линеала

domL=U . Линеал замкнутых плотно определенных операторов обозначим символом Cl(U; F).

Пример 1.1. Пусть U=lmq +2, F=imq ; Qn (l) - многочлен степени n. Рассмотрим оператор Qn (L)u ={Qn (1k)uk}, n е N, где {uk} с U, а монотонная последовательность {1k} с R+ такова,

что lim 1k = + ¥ . Как нетрудно видеть, оператор Qn (Л) е Cl(U; F), domQn (Л) = lm+2n, причем

k ®¥ q

Qn (Л): lmq +2n ® lmq - топлинейный изоморфизм.

2. Голоморфные вырожденные полугруппы операторов

Пусть U и F - квазибанаховы пространства, операторы L е L(U;F) и M е Cl(U;F), следуя [1, 2], введем в рассмотрение L-резольвентное множество

pL (M) = {^е C :(mL — M)—1 е L(F;U)} и L-спектр sL (M) = C \ pL (M) оператора M . Как нетрудно видеть, множество pL (M) всегда открыто, поэтому L -спектр оператора M всегда замкнут.

Определение 2.1. Оператор M называется (L, p) -секториальным, p е {0} u N, если

(i) существуют константы a е R и ве (p/2;p) такие, что сектор

SLq(M) = {те C : | arg(m — a) |< в, m > a} с pL(M);

(ii) существует константа K е R+ такая, что

W_K_

max L(U)

Rm, p) (M) ,L(F) L(m, p)

(M)

(m, p)v

L(F)

L

(m,p)

<

p

П1 mk— a|

k=0

при любых /,/,...,/е з^в

(М). Здесь Я/, Р)(М) = Д р^/ (м) - правая и £/Р)(М) = Пр=0£// (М) - левая (£, р)-резольвенты оператора М, а в свою очередь,

Rß (M) = (ßL -M) 1L и Lßß (M) = L(ßL -M) 1 - правая и левая L -резольвенты оператора M .

Пусть и=1т+2п, F=Гq , те R , qе R+, (Л) = £п=0сгЛг ы Rs (Л) = £ ^/Л - многочлены

с действительными коэффициентами, степени п и 5, соответственно, (п < 5), не имеющие общих корней. Построим операторы L = Qn (Л), M=Rs (Л) как в примере 1.1. Нетрудно показать, что Ь -

спектр аь(М) оператора М состоит из точек //к = Rs (Л )(бп (Лк ))-1, к е N: Лк - не корень

многочлена Qn (Л), с учетом их кратности. Покажем, что оператор М (р)-секториален.

Действительно, при всех к е N, Лк , не являющихся корнями многочлена Qn (Л), точки а1 (М)

^n '

= - ¥

лежат во множестве R, причем lim ßk = — ¥ при отрицательном отношении старших

к ®¥

коэффициентов многочленов Qn (Л), Rs (Л), что гарантирует выполнение условия (i) из определения 2.1. Далее

Rß (M) =

Z(ß - ßk) 1 < ., ек > ек, если Лк не корень Qn (Л) при всех к е N;

к=1

Z (ß-ßk )1 <., ек > ек, если существуют I е N :Ле - корень Qn (Л).

1ке№к

Здесь ек = (0,...,0,1,0,...), где единица стоит на к -том месте. Если взять а>тах{/к}, то

выполнение (И) определения 2.1 очевидно. Для левой £ -резольвенты I/ (М) оператора М это

условие проверяется аналогично.

Пусть V - квазибанахово пространство, - пространство линейных ограниченных

операторов. Отображение V е С¥ (R+;£(¥)) называется полугруппой операторов, если

VsVt=Vs+t при всех 5, t е R+. (3)

Как и выше, отождествим полугруппу с ее графиком ^^ е R+} и назовем голоморфной, если она аналитически продолжима с сохранением свойства (3) в некоторый сектор, содержащий

R+.

Теорема 2.1. Пусть операторы М ы £ определены, как выше. Тогда операторы £ ы М

Я+} ы ^ : t е R+}

порождают на пространствах U и F голоморфные полугруппы [U : t е R+ } и {Ft: t е R+}

соответственно, которые к тому же имеют вид

U = 2- JR (M) етйте L (U) и Ft = — ¡Lß (M)eßtdße L(F) (4)

„L ,

пры t е R+, где контур Г с р (М) таков, что | а^/\®в пры , /е Г.

Приведем набросок доказательства. Прежде всего заметим, что оператор М (0) -

секторыален и интегралы и1 и ^ равномерно сходятся на любом компакте, содержащемся в

р

секторе {те С :|аг§ /\<в- —} = Зв . Свойство (3) проверяется аналогично «банахову» случаю (см. напр., [1-3, гл. 3]) при всех 5,t е 8в . Более того, полугруппа и{ представима в виде

Ut =

Zeßlct < .,ек > ек, если Лк не корень Qn (Л) при всех к е N;

к=1

^ етк <.,ек > ек, если существует I е N :Л1 - корень Qn (Л).

еN:k

Голоморфная полугруппа ^^е R+ } строится аналогично. Теорема доказана.

Замышляева А.А., Голоморфные вырожденные полугруппы операторов

Аль-Исави Дж. К. и эволюционные уравнения соболевского типа ...

Далее, голоморфную полугруппу {V':t е R+} назовем вырожденной, если ее единица

V0 = s — lim V1 является проектором в пространстве V . Кроме того, заметим, что в определении

t®0+

2.1 можно положить a = 0 ввиду замены u(t) = eatv(t) в (2) и переобозначения M: = M — aL . Считая, что замена и переобозначение проведены, положим SLq(M) = Sq (M).

Определение 2.2. Оператор М называется сильно (L,p) -секториальнъм справа (слева), p е {0} и N, если он (L, p) -секториален и

R

т p) (M )(lL — M)—1 Mu

const

<-при всех u е U,

p

\An\mk\

k=0

где const = const(M) (существует линеал F0 плотный в F и такой, что

const

M(lL—M)-1 Щт,p)(M)f <--- привсех f е Fu,

11| ПI mk I k=0

где const = const(f)); при любых 1,mk е Sq(M), k = 0,...,p .

Теорема 2.2. Пусть операторы M и L определены, как выше. Тогда голоморфная

полугруппа {Ut : t е R+ } ({Ft: t е R+}) вырождена.

Доказательство аналогично банахову случаю и очень трудоемко (см. напр., [3, гл. 3]). Поэтому приведем только его схему. Сначала, основываясь на (L, p) -секториальности оператора

M , показывается, что ядро kerRj?mp)(M) = U0 и замыкание образа imR^m p)(M) = U1 не зависят

от m = (m0,m1,.,mp), mk е sq(M). Затем доказывается, что U0 = kerUt при всех tе R+ и

u = lim Utu при всех u еи1. Таким образом, учитывая сильную (L, p) -секториальность

t ®0+

оператора M справа, получим существование проектора

I, если 1k не корень Qn (l) при всех k е N;

I — ^ <., ek > ek, если существует I е N :Ле — корень Qn (l).

P = s — lim Ut =

t®0+

Проектор Q = s — lim Ft получается аналогично. Отметим еще, что здесь и на предыдущем этапе

kеN:k=1

Ft

t®0+

главную роль играет теорема 1.1. (Существование проектора Q = s — lim F доказывается

t®0+

аналогично). Теорема доказана.

Главным следствием сильной (L, p) -секториальности оператора М справа (слева) является расщепление пространства

U = U0 © U1 (F=F0 © F1), (5)

где U 0(F 0) - ядро проектора P = s — lim Ut (Q = s — lim Fl), а U 1(F1) - его образ. Обозначим

t®0+ t®0+

через Lk (Mk) сужение оператора L (M) на Uk (domM n Uk), k = 0,1.

Следствие 2.1. Пусть операторы M и L определены, как выше. Тогда операторы Lk е L(Uk;Fk), Mk е Cl(Uk;Fk), k = 0,1, причем существует оператор M— е L(F0;U0). Доказательство аналогично банахову случаю (см. напр., [3, гл. 3]), при этом

O, если 1k не корень Qn (l) при всех k е N;

X (Rs (lk))—1 <., ek > ek.

M0—1 =

__sy

kеN

—корень Qn(Л)

Следствие доказано.

Положим H = M—1L0 (G = LqM—1 ), очевидно, H е L(U0) (Gе L(F0)).

Следствие 2.2. В условиях следствия 2.1 оператор H (G) нильпотентен степени 0. Определение 2.3. Оператор M называется сильно (L,p) -секториальным, p е {0} u N, если он сильно (L, p) -секториален слева и

const

L(F U )

(lL-M)-1 L^,p)(M) <

\MU\mk\ к=0

при любых 1,тк е (M), к = 0,...,p и некоторой constе R+ .

Заметим, что сильно (L, p) -секториальный оператор M, очевидно, сильно (L, p) -секториален справа.

Теорема 2.3. Пусть операторы M и L определены, как выше. Тогда существует оператор L-1 е L(Fl;Uх).

Доказательство аналогично «банахову» случаю (см. напр., [3, гл. 3]), при этом

L-1 =

^(Л-Лк) 1 < .,ek > ek, если 1k не корень Qn (Л) привсех kе N;

k=1

^ (Л-Л )-1 < ., ek > ek, если существует l е N :Л1 - корень Qn (Л).

IkeN :k

Конец доказательства.

Построим операторы S = L-iM1 : domM n U1 ® U1 и T = M1L-1 : M[domM] n F1 ® F1. Нетрудно показать, что S e Cl (U1) , а T e Cl(Fx).

Следствие 2.3. В условиях теоремы 2.3 операторы S и T - секториальны.

Замечание 2.1. Подчеркнем, что из сильной (L, p) -секториальности оператора M следует

- существование голоморфных вырожденных полугрупп {Ul:tе R+ } и [F*:tе R+ } из (4);

- существование их единиц - проекторов P е L(U) и Q е L(F), благодаря которым квазибанаховы пространства U и F расщепляются в прямые суммы (5);

- расщепление действий операторов Lk е L(Uk; Fk), Mk е Cl(Uk; Fk), k = 0,1 и существование операторов M-1 е L(F0;U0), L-1 е L(F 1;U1);

- нильпотентность операторов H , G и секториальность операторов S, T .

Именно эти утверждения мы называем обобщением прямой теоремы Соломяка-Иосиды на квазибанаховы пространства.

3. Эволюционные уравнения соболевского типа

Пусть U и F - квазибанаховы пространства; [U*:t е R+} и [F*:tе R+} - голоморфные вырожденные полугруппы операторов, определенные на пространствах U и F соответственно.

Тогда существуют проекторы P = s - lim U* и Q = s - lim F*, которые расщепляют

t®0+ t®0+

пространства U и F в прямые суммы U = U0 © U1, и (F = F0 © F1), где U0 = kerP, U1 = imP , F0 = ker Q , F1 = imQ .

Пусть U и F - квазибанаховы пространства последовательностей, операторы L е L(U; F) и M е Cl(U;F) построены в п. 2. Рассмотрим линейное эволюционное уравнение соболевского типа

Lu = Mu. (6)

Вектор-функцию uе Cx(R+ ;U), удовлетворяющую (6) поточечно, назовем (классическим) решением этого уравнения. Решение u = u(t) уравнения (6) назовем решением ослабленной задачи Коши (по С.Г. Крейну), если вдобавок для некоторого u0 eU выполнено

lim u(t) = u0. (7)

t®0+

Замышляева А.А., Голоморфные вырожденные полугруппы операторов

Аль-Исави Дж. К. и эволюционные уравнения соболевского типа ...

Определение 3.1. Множество P с U называется фазовым пространством уравнения (6),

если

(i) любое решение u = u(t) уравнения (6) лежит в P поточечно, т.е. u(t) е P при любом

t е R+;

(ii) при любом u0 е P существует единственное решение задачи (6), (7).

Теорема 3.2. Пусть операторы M и L определены, как в п.2. Тогда фазовым

пространством уравнения (6) служит подпространство U1.

Доказательство. Во-первых, уравнение (6), ввиду замечания 2.1, редуцируется к эквивалентной системе

0 = u0, u1 = Su1, u1 = Pu, u0 = u — u1. (8)

Во-вторых, для второго уравнения (8) при любом u0 е U1 существует единственное решение

u1 (t) = etSu\ задачи lim u1 (t) = u0, где

t®0+

etS =Л Ш — S)—1 emtdß, t е R+, 2p Jr

а контур G такой же, как в теореме 2.1.

Таким образом, при любых m е R и q е R+ фазовым пространством уравнения (6) будет подпространство

^ Ш, если 1k не корень Qn (Л) при всех k е N; I {u еU: uk = 0, если 1k — корень Qn (Л)}.

4. Модель Дзекцера в квазисоболевых пространствах

Пусть U и F - квазибанаховы пространства последовательностей, операторы L е L(U;F) и

M е Cl(U;F) таковы, как в п. 2. Тогда оператор M сильно (L,0)-секториален. Рассмотрим ослабленную (в смысле С.Г. Крейна) задачу Шоуолтера-Сидорова

lim P(u(t) — u0) = 0 (9)

t ®0+

для линейного неоднородного эволюционного уравнения соболевского типа

Lu = Mu + f, (10)

где вектор-функция f :[0,т] ® U, f = f0 + f1, f1 = Qf , f0 = f — f1 будет определена ниже, те R+.

Теорема 4.1. Для любой вектор-функции f = f (t), такой, что f0 е Сх((0,т);F0) и f1 е С ((0,т); F1), и любого вектора u0 еU существует единственное решение u е Cx((0,t);U) задачи (9) для уравнения (10), которое к тому же имеет вид

u(t) = —M—lf(t) + U\ + {V-%lf 1(s) ds. (11)

Доказательство. Действительно, факт, что u = u(t) удовлетворяет уравнению (10) и условию (9), устанавливается непосредственной проверкой. Единственность вытекает из теоремы 3.2. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим уравнение Дзекцера

(Л —L)ut = (о-Л2 +^A)u + f, Л,ре R, ае R+ (12)

в квазисоболевых пространствах U = lm+2 и F = lm , m е R , q е R+ . Зададим область

определения dom(aA2 + рЛ) = lm+4. В силу теоремы 4.1 имеет место

'q

Следствие 4.1. При любых Я, т, Я+, и0 еи, /0 е С1((0,т); ^0) и

/1 е С((0,т);существует едиственное решение и е С1((0,т);и) задачи (9), (12), которое к тому же имеет вид

Здесь

u(t) = -M-1/0 (t) + + jV-sL-lf (s) ds.

0 ({0}, если Лк ФЛ при всех к е Ы; Е = [{/е ^:/ = 0, ке N\{1 Л =Л}}; х [^, если Лк Ф Л при всех к е N; Р = [{/е ^: /к = 0,Лк = Л};

О, если Лк Ф Л при всех к е Ы;

M о-1 =

X (all +ß1k

^.

ksN:Äk =Я

Ut =

XfMkt <., ek > ek, если 1k фЯ при всех k e N;

k=1

X emk < ., ek > ek, существует l e N :Я1 =Я.

lkeN:k Ф1

где mk = (all +ß1k )(Я - Як )-1.

L1-1 =

Х(Я - 1k) 1 <., ek > ek, если 1k фЯ при всех k e N;

k=1

X (Я - 1k) 1 <.,ek > ek, существует l e N :Я1 = Я.

lkeN:k Ф1

Литература

1. Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.

2. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ. - 1994. -Т. 6, № 5. - С. 252-272.

3. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003. - 216 p.

4. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб. - 2004. - Т. 195, № 8. - С. 131-160. DOI: 10.4213/sm841.

5. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. - Новосибирск: Научная книга, 1998. - 438 с.

6. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 736 с.

7. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева. - Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.

8. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова. - Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2012. - 88 с.

9. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2012. - 139 с.

10. Свиридюк, Г.А. Неклассические модели математической физики / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - Вып. 14. - № 40(299). - С. 7-18.

11. Аль-Делфи, Дж.К. Квазисоболевы пространства lmp / Дж.К. Аль-Делфи // Вестник

ЮУрГУ. Серия «Математика, механика, физика». - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 107-109.

12. Свиридюк, Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г.А. Свиридюк // Доклады Академии наук. - 1989. - Т. 304, № 2. - С. 301-304.

Замышляева А.А., Голоморфные вырожденные полугруппы операторов

Аль-Исави Дж. К. и эволюционные уравнения соболевского типа ...

13. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи Коши для линейных сингулярных уравнений эволюционного типа / Г.А. Свиридюк, М.В. Суханова // Дифференциальные уравнения. - 1992. -Т. 28, № 3. - С. 323-330.

14. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.

Поступила в редакцию 12 сентября 2015 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 4, pp. 27-36

DOI: 10.14529/mmph150404

HOLOMORPHIC DEGENERATE OPERATOR SEMIGROUPS

AND EVOLUTIONARY SOBOLEV TYPE EQUATIONS IN QUASI-SOBOLEV

SPACES OF SEQUENCES

1 2 A.A. Zamyshlyaeva , J.K.T. Al-Isawi

The interest to Sobolev type equations has significantly increased recently, moreover, the need oc-cured to consider them in quasi-Banach spaces. This need is explained not by the desire to enrich the theory but rather by the aspiration to comprehend non-classical models of mathematical physics in qua-si-Banach spaces.

It should be noted that Sobolev type equations are called evolutionary, provided their solutions exist only on R+. The theory of holomorphic degenerate semigroups of operators constructed earlier in Ba-nach and Frechet spaces is transferred to quasi-Sobolev spaces of sequences.

Besides the introduction and references the paper contains four paragraphs. In the first, quasi-Banach spaces and linear bounded and closed operators defined on them are considered. Quasi-Sobolev spaces and powers of the Laplace quasi-operator are also taken into consideration. In the second paragraph polynomials of the Laplace quasi-operator are considered for operators L and M and conditions for the existence of degenerate holomorphic operator semigroups in quasi-Banach spaces of sequences are obtained. In other words, the first part of the generalization of the Solomyak-Iosida theorem to qua-si-Banach spaces of sequences is stated. In the third paragraph the phase space of the homogeneous equation is constructed. The last paragraph investigates the "quasi-Banach" analogue of the homogeneous Dirichlet problem in a bounded domain with a smooth boundary for the linear Dzektser equation.

Keywords: holomorphic degenerate semigroups; quasi-Banach spaces; Dzektser equation; quasi-Sobolev spaces.

References

1. Sviridyuk G.A. On the general theory of operator semigroups. Russian Mathematical Surveys, 1994, Vol. 49, no. 4, pp. 45-74. DOI: 10.1070/RM1994v049n04ABEH002390

2. Sviridyuk G.A. St. Petersburg Mathematical Journal, 1995, Vol. 6, no. 5, pp. 1109-1126.

3. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo, VSP, 2003. 216 p. DOI: 10.1515/9783110915501

4. Fedorov V.E. Holomorphic Solution Semigroups for Sobolev-type Equations in Locally Convex Spaces. Sbornik: Mathematics, 2004, Vol. 195, no. 8, pp. 1205-1234. DOI: 10.1070/SM2004v 195n08ABEH000841

1 Zamyshlyaeva Alyona Aleksandrovna is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Equations of Mathematical Physics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russia.

E-mail: alzama@mail.ru

2 Jawad K.T. Al-Isawi is Post-graduate student, Equations of Mathematical Physics Department, South Ural State University, South Ural State University, Chelyabinsk, Russia.

E-mail: jtahir71@gmail.ru

5. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest-order Derivative. New York-Basel-Hong Kong, Marcel Dekker Inc., 2003. 239 p. DOI: 10.1201/9780203911433

6. Sveshnikov A.G., Al'shin A.B., Korpusov M.O., Pletner Yu.D. Linear and Nonlinear Sobolev Type Equations. Moscow, FizMatLit Publ., 2007. 736 p. (in Russ.).

7. Zamyshlyaeva A.A. Linear Sobolev Type Equations of the High Order. Chelyabinsk, Publishing center of SUSU, 2012. 107 p. (in Russ.).

8. Manakova N.A. Problems of Optimal Control For the Semi-linear Sobolev Type Equations. Chelyabinsk, Publishing center of SUSU, 2012. 88 p. (in Russ.).

9. Sagadeeva M.A. Dihotomies of Solutions of Linear Sobolev Type Equations. Chelyabinsk, Publishing center of SUSU, 2012. 139 p. (in Russ.).

10. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software", 2012, Issue 14, no. 40(299), pp. 7-18. (in Russ.).

11. Al-Delfi J.K. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematics. Mechanics. Physics", 2013, Vol. 5, no. 1, pp. 107-109. (in Russ.).

12. Sviridyuk G.A.Doklady Academii Nauk, 1989, Vol. 304, no. 2, pp. 301-304. (in Russ.).

13. Sviridyuk G.A., Sukhanova M.V. Differenial Equations, 1992, Vol. 28, no. 3, pp. 323-330. (in Russ).

14. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. Izvestiya Irkutskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Seria: Matematika, 2010, Vol. 3, no. 1, pp. 104-125. (in Russ.).

Received September 12, 2015