Теорема о расщеплении в квазибанаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ТЕОРЕМА О РАСЩЕПЛЕНИИ В КВАЗИБАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Г, А, Свиридюк, Дж, К, Аль-Делфи

Теория ст-ограниченных операторов в банаховых пространствах к настоящему времени достаточно хорошо развита (см., например, [1; 2, гл. 4]), имеет многочисленные приложения [3-6] и даже распространена на локально выпуклые пространства [7]. Настало время распространения этой теории и на квазибанаховы пространства [8], причем необходимость диктуется не только желанием пополнить теорию, но и стремлением к более полному исследованию неклассических моделей математической физики. По традиции [1] начнем с базовых определений [8], которые иллюстрируем примерами из квазисоболевских пространств [9]. Затем приведем доказательство теоремы о расщеплении, которая регламентирует расщепление пары квазибанаховых пространств в прямые суммы, а также расщепление действий пары линейных операторов, отображающих одно квазибанахово пространство в другое.

1. Квазибанаховы пространства

Пусть U — некоторый (вообще говоря, бесконечномерный) линеал. Отображение и || • || : U ^ R называется квазинормой, если

(i) Vu G U U||u|| > 0, причем U||u|| = 0 ^ и =0, где 0G U;

(ii) Vu G U Va G R и||au|| = |a|U||u||;

(iii) Vu, v G U u||u + v|| < Kи||u|| +д ||v||), где K G [1,+ x).

Если K = 1, то квазинорма U || • || называется нормой. Линеал U, снабженный квазинормой U|| • ||, называется квазинормированным пространством. В дальнейшем, не теряя общности, будем отождествлять линеал U и квазинормированное пространство (U,U || • ||).

© 2013 Свиридюк Г. А., Аль-Делфи Дж. К.

Последовательность {uk} С U назовем фундаментальной, если

Ve е R+ 3N е N Vk,l е N (k,l > N) ^ ЫК - ui || < е).

Последовательность {uk} С U называется сходящейся, если

3u е U Ve е R+ 3N е N Vk е N (к > N ^ (UIK - u|| < е).

Вектор u е U называется пределом, сходящейся последовательности и обозначается u = lim uk. Квазинормированное пространство U на-

k—— Ж

зывается полным, если любая фундаментальная последовательность {uk} С U имеет предел u е U. Полное квазинормированное пространство U называется квазибанаховым.

Будем говорить, что квазибанахово пространство U = (U,U || • ||) вложено в квазибанахово пространство F = (F,® I • ||), если U С F; непрерывно вложено U ^ F, если оно вложено, ®||u|| < constU ||u| при всех u е U и константа не зависит от u; плотно и непрерывно вложено, если вдобавок И = F, причем замыкание понимается в смысле квазинормы ®|| • ||.

Пример 1. Пусть последовательность {Ak} С R+ такова, что lim Ak = +<то. По аналогии с пространствами Соболева Wm введем в

k——ж q

рассмотрение квазисоболевские пространства

где m е R, q е R+. Пространства lm квазибанаховы при всех m е R, q е R+ с квазинормой

при этом они тоже банаховы, только если q е [ 1, + то). Если q е (0,1), то константа равна K = 21/q. Заметим етце, что если m = 0, то lq = lq. Наконец, имеют место аналоги теорем вложения Соболева: l^1 С l^ плотно и непрерывно при всех m ^ и.

Пусть U = (U,U || • ||) и F = (F,® || • ||) — квазибанаховы пространства. Линейный оператор L : U ^ F, отображающий пространство U в

пространство F называется ограниченным, если g||Lu|| < constU ||u|| при всех u £ U и константа не зависит от u, и непрерывным, если lim Luk = L( lim uk) для любой сходящейся последовательности

к——ж к—— ж

{uk} С U.

В квазибанаховых пространствах справедливо базовое утверждение функционального анализа — линейный оператор ограничен точно тогда, когда он непрерывен. Множество линейных непрерывных операторов, отображающих пространство U в пространство F обозначим символом Jzf(UF)- Это пространство квазибанахово с квазинормой

llL|l = SUP ®llLull •

я1М1=1

Оператор L £ J? (U; F) называется топлинейным (т. е. топологическим и линейным) изоморфизмом, если существует обратный оператор L- eif (F;U).

Пример 2. Пусть неубывающая последовательность {Лк} С R такова, что lim Лк = +то. Введем в рассмотрение квазиоператор Лапла-

к——ж

са Au = {Лдщд,}. Оператор Л принадлежит Jz?(/m; /™-2) при всех m £ R, q £ R+, причем существует квазиоператор Грина A-u = {Л— uk}, который принадлежит Jzf(/™—; /™). Таким образом, квазиоператор Лапласа А : / m ^ /™-2 — топлинейный изоморфизм при всех m £ R, q £ R+.

2. Теорема о расщеплении

Пусть U и F — квазибанаховы пространства, L, M £ Jz? (U; F)- Введем в рассмотрение L-резольвентное множество

pL( M) = {p £ С : (pL — M)— £ if (F;U)}

и L-спектр aL(M) = С \ pL(M) оператора M. Нетрудно показать, что множество pL(M) всегда открыто, поэтому L-спектр оператора M всегда замкнут. Также нетрудно показать, что L-резольвента (pL — M)— оператоpa M голоморфна на pL(M).

Оператор M называется спектрально ограниченным относительно оператора L (коротко, (L, а)-ограниченным), если

За £ R+ Vp £ С (|p| > a ^ Bp £ PL(M)) •

Пример 3. Пусть Я = l™+2, F = I™- Зададим операторы L,M G ; l^) формулами L = Л — Л, M = аЛ, где Л G R, a G R \ {0} — некоторые константы. Поскольку L-спектр aL (M) оператора М состоит из точек {рд, = х-\k > к £ N \ {I : \ = Л;}}, оператор М (L, <г)-ограничен.

Пример 4. Рассмотрим квазиоператор Грина Л-1 G J? (l^; l™-2) как оператор Л-1 G J? (l^; l^), что возможно в силу аналога теорем вложения Соболева. Положим Я = F = l^ L = Л-, M = I — единичный оператор на l Поскольку L-спектр <rL(M) оператора M в

этом случае состоит из точек {Лк}, оператop M те является (L,а)-ограниченным.

Пример 3 показывает существование относительно а-ограничен-ных операторов, а пример 4 устанавливает тот факт, что не все операторы относительно а-ограничены.

Пусть оператор M (L, а)-ограничен. Выберем контур д = {р G C : |р| = r > а} и пост роим операторы

где RL(M) = (pL — M) — L — правая, а LL(M) = (pL — M)— L — левая L резольвенты оператора M, причем интегралы понимаются в смысле Римана.

Лемма 1. Пусть оператор M (L, а)-ограничен. Тогда операторы P G J?(Я) (= J?(Я; Я)) н Q G J?(F) — проекторы.

Доказательство этого утверждения почти дословно повторяет соответствующее доказательство для случая банаховых пространств (см. [1; 2, гл. 4]), поэтому опускается.

Положим Я = kerP, Я1 = imP, F = kerQ, F1 = imQ и через Lk и Mk обозначим сужение oneраторов L и M на Як, k = 0,1, соответственно.

Пример 5. Пусть пространства Я, F и операторы L, M такие, как в примере 3. Тогда

Я0

{0}, если Л G {Лк};

{u G Я : uk = 0, k G N \ {l : Л = Л;}};

U _ Г U, если Л (/ {Хк};

1 {u e U : u; = О, Л; = Л}.

Подпространства Fk, к = 0,1, определяются аналогично.

Теорема 1 (теорема о расщеплении). Пусть оператор M (L,a)-ограничен. Тогда

(i) Lk,Mk (Uk; Fk), к = 0,1;

(ii) существуют операторы M— e Jf(F0;U0) n L— e Jf(F^U1). Доказательство. Утверждение (i) вытекает из легко проверяемых тождеств LP = QL и MP = QM. Для доказательства (ii) заметим, что оператор M-1 равен сужению оператора

~ [(Л-мг1'^

2пг J p

Y

на подпространство F0, а оператop L- равен сужению оператора

--- [(uL — M) 1 dp

2л* J

на подпространство F1- Подробнее см. в [2, гл. 4].

Введем в рассмотрение операторы H = M—1L0 e J? (U0) и S = L— M e&(U1).

Следствие 1. Пусть оператор M (L, а)-ограничен. Тогда

Ж Ж

(pL — M) — = — ^ HkM— (I — ^Y,U-kSk—L— Q, |p| > a.

k^O k=0

Будем говорить, что то — устранимая особая точка L-резольвенты оператора M, толи H = О; полюс порядка p e N если Hv ф O, а Hp+1 = О; существенно особая точко, если Hk ф О, k e N. Удобно в дальнейшем устранимую особую точку в бесконечности называть полюсом порядка нуль, a (L, а)-ограниченный оператор M называть (L,p)-ограниченным, если то — несущественная особая точка его L-pe-зольвенты.

Пример 6. Пусть пространства U, F и операторы L, M такие, как в примере 3. Тогда оператор M (L, 0)-ограничен. Действительно, как нетрудно показать, в данном случае H = О.

ЛИТЕРАТУРА

1. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47-74.

2. Sviridvuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

3. Загребипа С. А., Москвичева П. О. Устойчивость в моделях Хоффа. Saarbrucken: LAMBERT Acad. Publ., 2012.

4. Замышдяева А. А. Линейные уравнения Соболевского типа высокого порядка. Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.

5. Малахова Н. А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений Соболевского типа. Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.

6. Сагадеева М. А. Дихотомии решений линейных уравнений Соболевского типа. Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.

7. Федоров В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений Соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 8. С. 131— 160.

8. Al-Delfi J. К. Quasi-Banach space for the sequence space Ip, where 0 < p < 1 // J. College Education. Math. Al-Mustansiriyah University (Baghdad, Iraq). 2007. N 3. P. 285-295.

9. Аль-Делфи Дж. К. Квазисоболевы пространства // Вести. ЮУрГУ. Сер. Математика, механика, физика. 2013. Т. 5, № 1. С. 107-109.

г. Челябинск

28 сентября 2013 г.