CC BY
32
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 2 (2014). С. 78-98.
УДК 517.9
ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ВЫРОЖДЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
M.B. ПЛЕХАНОВА, В.Е. ФЕДОРОВ
Аннотация. Исследованы вопросы управляемости линейных распределённых систем управления, описываемых дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной, однородная часть которых обладает вырожденной сильно непрерывной разрешающей полугруппой. Для таких систем с, вообще говоря, зависящим от времени ограниченным оператором при функции управления найдены критерии е-управляемости за время T и е-управляемости за свободное время в терминах операторов, входящих в уравнение. Общие результаты использованы при исследовании е-управляемости систем рассматриваемого вида с конечномерным входом. Полученные критерии проиллюстрированы на примерах систем управления, описываемых различными уравнениями и системами уравнений в частных производных, не разрешимыми относительно производной по времени.
Ключевые слова: система управления, вырожденное эволюционное уравнение, уравнение соболевского типа, управляемость.
Mathematics Subject Classification: 93B05, 34G10, 47N70, 47F05
1. Введение
Пусть X, У, U — банаховы пространства, операторы L Е L(X; У) (линейный и непрерывный из X в У), ker L = {0}, M Е Cl(X; У) (линейный, замкнутый, плотно определенный в X, действующий в У), B : [0,T] ^ L(U; У), y : [0,T] ^ У. Рассмотрим задачу исследования е-управляемости распределённых систем управления, динамика которых описывается уравнением
LX(t) = Mx(t) + B(t)u(t) + y(t), (1)
т. е. исследования возможности приведения траектории решения уравнения (1) посредством выбора функции управления u(-) из любого заданного начального состояния Хо в е-окрестность произвольной наперед заданной точки при всяком е > 0.
Говоря в дальнейшем о системе управления, описываемой уравнением, скажем, (1), часто для краткости будем называть ее системой управления (1) или системой (1).
Если оператор L непрерывно обратим, то уравнение (1) можно представить в разрешенном относительно производной виде X(t) = Sx(t) + B1(t)u(t) + yi(t). Управляемость (е-уп-равляемость) систем управления, описываемых разрешенным уравнением, вообще говоря, в банаховом пространстве исследовали в своих работах Н.Н. Красовский [1], R.E. Kalman, Y.C. Ho, K.S. Narendra [2], H.O. Fattorini [3], Ф.А. Шолохович [4], А.Б. Куржанский [5], R. Triggiani [6], Б. Шкляр [7, 8] и многие другие (см. также обзоры [9, 10, 11], работы [12, 13]).
Под решением уравнения (1) будем понимать почти всюду на (0,T) удовлетворяющую уравнению функцию x Е ^^(0, T; X), q > 1, - так называемое сильное решение уравнения
M.V. Plekhanova, V.E. Fedoroy,On control of degenerate distributed systems.
© Фёдоров В.Е., Плеханова М.В. 2014.
Работа частично поддержана РФФИ (грант 14-01-31125 мол_а).
Поступила 12 декабря 2013 г.
[14]. Нас будет интересовать случай кег Ь = {0} при условии сильной (Ь,р)-радиальности оператора М [15, 16]. В этом случае уравнение (1) редуцируется к системе двух уравнений на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых
х :(£) = 51 х1^) + В1({)и(1) + у1 (£)
является разрешенным относительно производной, а второе, на ядре полугруппы однородной части исходного уравнения (1), имеет нильпотентный оператор О при производной:
Сх0(£) = х° (£) + В0(£)и(£) + у0(£). (2)
Специфика уравнения (1) с вырожденным оператором Ь обусловлена особенностями уравнения (2) на ядре полугруппы и состоит в том, что, во-первых, функции управления приходится брать более гладкими, чем функции из пространств Лебега. Причем, это ограничение на функции управления по существу: в теореме 3 [14] показано, что необходимые и достаточные условия разрешимости вырожденного уравнения (2) очень близки к условию принадлежности пространству Соболева Ж**+1(0,Т; Ы), где р Е {0} и N - параметр, характеризующий степень вырожденности системы. При этом согласно следствию 3 [14] в случае управления из пространства Ь2(0,Т; Ы) уравнение (2), вообще говоря, не является разрешимым. Другими характерными особенностями вырожденного уравнения (2) являются:
- его однозначная разрешимость при отсутствии заданного начального условия, а потому - необходимость согласования значений функции управления и ее производных в начальный момент времени с начальным состоянием х0 в случае, когда оно задано заранее;
- независимость решения от начального состояния ж0 в моменты времени £ > 0;
- не интегральный, а дифференциальный вид решения уравнения, использующий значения производных до порядка р от функции управления в текущий момент времени.
В данной работе рассматриваются свойства е-управляемости за время Т и е-управляемости за свободное время системы, описываемой уравнением (1). Основным результатом при этом являются необходимые и достаточные условия для е-управляемости уравнения (1) в смысле сильных решений в терминах операторов, входящих в уравнение. Эти условия достаточно просты, чтобы их можно было проверить для конкретных вырожденных распределённых систем управления, описываемых уравнениями и системами уравнений в частных производных, что продемонстрировано на примерах.
Как частный случай общей ситуации получены критерии е-управляемости системы (1) в случае, когда В(£) = В1 для всех £ > 0, а также в случае, когда Ы = Кт, т Е N
т
и = (и1,и2,... ,ит), Ьг : [0, Т ] ^ У, г = 1, 2,...,т, В (£)и(£) = ^ Ьг(Ь)иг(£), то есть для
г=1
системы вида
т
Ьх(£) = Мх(£) + ^ Ьг(£)иг(£) + у(£). (3)
г=1
Она называется системой управления с конечномерным входом. Существенным является тот факт, что в случае систем управления с конечномерным входом необходимым условием е-управляемости является конечномерность ядра полугруппы, на котором задано уравнение (2). Приведены примеры е-управляемых распределённых систем с конечномерным входом, описываемых уравнениями или системами уравнений в частных производных, не разрешимыми относительно производной по времени, и примеры распределённых систем с конечномерным входом, не являющихся е-управляемыми (за время Т или за свободное время).
Вопросы е-управляемости за время Т вырожденного уравнения (1) с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М ранее исследовались в работах [17, 18], но при этом
рассматривался только случай, когда В(£) = В1 для всех £ > 0 и у = 0, и использовалось только понятие классического решения уравнения (из пространства С 1([0,Т];Ы)). Однако при построении общей теории оптимального управления системами, описываемыми операторно-дифференциальными уравнениями вида (1) в банаховых пространствах, гораздо удобнее использовать сильные решения из Жд1(0,Т; Ы) (см. [14]). При постоянном операторе В и у = 0 некоторые частные результаты об е-управляемости уравнения (1) в смысле сильных решений получены в [19] и обобщены в данной работе.
Управляемость и е-управляемость в смысле классических решений вырожденных (кег Ь = {0}) систем вида (3) с одномерным или двумерным входом рассматривались в работах [20, 21] в случае существенно более ограничительных, чем в данной работе, условий на параметры в уравнении - когда оператор М (Ь,р)-ограничен, 6^(£) = Ьц при £ > 0, у = 0.
Отметим также касающуюся распределенных систем управления (1) с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М работу [22], в которой критерий полной (или точной) управляемости системы в гильбертовом пространстве сформулирован с использованием понятия сильно минимальной последовательности обобщенных экспонент.
2. Задача Коши для вырожденного эволюционного уравнения
В данном параграфе приведены необходимые для дальнейшего изложения результаты
о существовании и свойствах сильно непрерывной разрешающей полугруппы линейного операторного дифференциального уравнения первого порядка с вырожденным оператором при производной и о разрешимости задачи Коши в смысле сильных решений для соответствующего неоднородного уравнения. Их доказательства можно найти в работах
[14, 16].
Пусть X, У - банаховы пространства, операторы Ь Е £(Х; У), кегЬ = {0},
М Е С/(X; У). Введем также обозначения N0 = {0} и N К+ = {0} и К+,
рь(М) = {ц Е С : (цЬ - М)-1 Е £(У; X)}, Я^(М) = (цЬ - М)-1Ь, Ь^(М) = Ь(цЬ - М)-1.
Пусть р Е N. Оператор М называется сильно (Ь, р) -радиальным, если
(I) За Е К (а, +то) С рь(М);
(II) ЗК > 0 Уц Е (а, +то) Уп Е N
К
тах{||(д£(М))„(р+1>|к*), ||(Ь£(М))""'+1,||£№')} < (ц _ а)„(р+11;
О о
(III) существует такой плотный в У линеал У, что для любых у ЕУ, ц Е (а, +то)
||М(цЬ - М)-‘(Ь£(М))р+1у|>. < а)у+2;
(1у) для любого ц Е (а, +то)
К
И(л^(М))р+1(МЬ - М)-1||АК*> < (ц -а)р+2.
Через X0 (У0) обозначим ядро кег(Я^(М))р+1 (кег(Ь^(М))р+1), а через X1 (У1) - замыкание образа 1ш(Л^(М))р+1 (1ш(Ь^(М))р+1) в норме пространства X (У). Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на ^тМд = Xк П doшM (Xк), к = 0,1.
Теорема 1. [16]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда
(I) X = X0 ©X1, у = у0 ФУ1;
(II) Ьк Е к; ук), Мк Е С/^к; Ук), к = 0,1;
(III) существуют операторы М—1 Е £(У°; X0) и Ь-1 Е £(У1; X1);
(1у) оператор С = М0“1Ь0 является нильпотентным степени не больше р, т. е. Ср+1 = О;
(у) ауществует вырожденная сильно непрерывная полугруппа операторов
(X* Е £(Х) : £ Е }, разрешающая уравнение Ьх(£) = Мх(£), при этом для всех £ Е
выполняется неравенство [[XЬ]\с(х) < Ке“* с конст,ант,ами К, а из определения сильной (Ь, р)-радиальности;
(у1) оператор 51 = Ь-1М1 Е С/(X:) является инфинитезимальным генератором С0-непрерывной полугруппы (X* = Х*|х 1 Е £(Х!) : £ Е №+}•
Единица полугруппы X0 = Р = 5- Пт (^Д^(М))р+1 является проектором вдоль подпространства X0 на X1, а Q = 5- Пт (^Ь^(М))р+1 - проектор вдоль У0 на У!.
Рассмотрим задачу Коши
х(0) = х0 Е domM (4)
для уравнения
Ьх(£) = Мх(£) + у(£). (5)
Сильным решением задачи (4), (5) называется вектор-функция х Е Жд!(0,Т; X), д > 1, если она удовлетворяет условию (4), почти всюду на (0,Т) х(£) Е domM и выполняется равенство (5). В силу вложения ^^(0, Т; X) ^ С([0, Т]; X) данное определение корректно.
Теорема 2. [14]. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален. Тогда при любых у Е Жр+1(0,Т; У) и
х0 Е Му = < х Е domM : (I — Р)х = — СкМ0_1(/ — Q)y(k)(0)
I к=0
существует единственное сильное решение х Е Жд1(0,Т; X) задачи (4), (5). При этом
* р
х(£) = X*х0 + / X*-*Ь-1 Qy(s)ds — ^ СкМ0~1(/ — Q)y(k)(^).
0 к=0
3. О связи ^-управляемости вырожденной эволюционной системы
и её подсистем
В условиях предыдущего параграфа везде далее будем предполагать сильную (Ь, р) -радиальность оператора М. Кроме того, часто будут использоваться условия
В Е С 1([0,Т]; £(Ы; У)), (I — Q)B Е Ср+1([0,Т]; £(Ы; У)), Т > 0, (6)
у Е ^(0,Т; У), (I — Q)y Е Жр+1 (0, Т; У), Т> 0, д > 1. (7)
Функции управления «(•) для системы, описываемой задачей Коши
х(0) = х0 Е domM, (8)
Ьх(£) = Мх(£) + В(£)и(£) + у(£), (9)
выбираются из пространства Жр+1(0,Т; Ы). Также необходимо выполнение условия х0 Е Мви+у теоремы 2. Множество функций управления, удовлетворяющих этому условию, обозначим
Н(ю,у) = {« е И'Г’О^Г; у) : (I - Р)ю =
СкМ-1 £ В<к'-')(0}и(,)(0) + ^^(0)
к=0 \ 1=0 ,( )-
где В0 = (I — Q)B, у0 = (I — Q)y. С помощью теоремы 1 задачу Коши (8), (9) можно редуцировать к двум задачам
х1(0) = Рх0,
х (£) = б^х1^) + Ь- ^В(£)м(£) + Ь-^у(£) (10)
и
х0(0) = (I — Р )х0,
сх°(£) = х0(£) + М0_1(/ — ф)В(£)м(г) + М0_1(/ — ф)у(г), (11)
заданным на подпространствах X1 и X0 соответственно. Здесь $1 = Ь-1М1 Е С(Х1),
С = М0_1£0 Е £(Х0), х1(^) = Рх(£), х0(£) = (I — Р)х(£).
Замечание 1. Согласно теореме 2 (см. также [14, 16]) единственным решением задачи Коши для уравнения (10) является функция
£
х1(^) = X£х0 + У X£-5Ь-_1^(В(^)м(5) + у(в))^5,
0
а для уравнения (11) при условии и Е Нд(х0,у) - функция
х0М = — £ С‘М-1 (£ 1!(кк— ВГ'^У'^) + У0<к)(*^ .
Замечание 2. Можно ослабить условия (6) на оператор-функцию В, потребовав вместо них выполнения условий
В Е Ж(0,Т; £(и; У)), (I - ^)В Е Жр+1(0,Т; £(и; У)), д'
д - і
при Т > 0. Тогда В (-)и(-) Е Жр+1(0, Т; У) и сильные решения нужно искать в пространстве ЖІ(0,Т; X).
Говоря об е-управляемости системы, описываемой некоторым уравнением, будем через ж(Т; ж0; и) обозначать значение в момент времени Т сильного решения задачи Коши для этого уравнения с начальным значением ж0 и функцией управления и.
Система (9) называется е-управляемой за время Т > 0, если для любых ж0 Е ^шМ, Ж Е X, е > 0 существует такое управление и Е Н(ж0,у), что ||ж(Т; ж0; и) — Ж||х < е.
Пусть Е - банахово пространство, Д С Е. Через врапД будем обозначать линейную
оболочку множества Д, а через врапД - ее замыкание в пространстве Е.
Лемма 1. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален. Тогда если
(I — ф)В Е Ср+1([0, Т]; С{Ы; У)), (I — ф)у Е Жр+1(0, Т; У), то из е-управляемости за время Т системы (11) следует равенство
{ р к!С* М-1 1
іт V ——-------в0*-1)(0), I = 0,1,...,р> = ^шМ0. (12)
ІҐі г!(к — г)! )
Доказательство. Из е-управляемости системы (11) следует, что для всех ж0 Е ^шМ0 должно выполняться включение
р ( р к!с* м-1
с0 = Ж0 + ^ С* М0_1у0(к)(0) Е врал | іш ^ _ 0), В0*-°(
*=0 I *=г !( )!
иначе множество допустимых функций управления Н(х0,у) окажется пустым. Отсюда и из произвольности элемента х0 Е ^шМ0, а значит и элемента х0 Е domM0, имеем
р
ИС* М-1 „О-
эрап ^ 1т ^ ^^В0к (0), I = 0,1,... ,р > 3 domM0. к=| !( )! ]
Обратное вложение имеет место в силу того, что С = М0_1Ь0, поэтому тС С domM0. Лемма доказана.
Обозначим через ж^Т; ж0; и) значение в момент времени Т сильного решения задачи Коши ж:(0) = ж0 Є ёотМ. для уравнения (10), а через ж0(Т; ж0; и) - значение в момент времени Т сильного решения задачи Коши жо(0) = ж0 Є ^шМ0 для уравнения (11). Кроме того, через ж0(Т; и) обозначим значение в момент времени Т сильного решения уравнения
(11), которое согласно теореме 3 [14] однозначно определяется и без условия Коши. Замечание 3. В случае сильно (Ь, 0)-радиального оператора, т. е. при р = 0, для Т > 0 условие
эрал | іт —І—.в0к-1) (Т), / = 0,1,..., р | = ^тМ0
к=1
Г-1
принимает вид 1шМ0 (I — ф)В(Т) = doшM0 и поэтому равносильно условию
1ш(/ — д)в (т) = у0.
Лемма 2. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален и выполняется условие (12). Тогда
(I) если выполняются условия (6), (7) и для любых х0 € domMl; х € X1, е > 0 существует такое и € Жр+1(0,Т; Ы), при котором |х1(Т; х0; и) — х||х < е, то найдется и такое и1 € Нд(х0, у), что |х1(Т; х0; и1) — х||х < е;
(II) если (I — ф)£ € СР+1([0, Т]; £(Ы; У)), (/ — ф)у € Жр+1(0,Т; У) и для всех х € X0, е > 0 существует и € Жр+1(0,Т; Ы), для которого выполняется ||х0(Т; и) — Х||х < е, то для любых х0 € domM0, Х € X0, е > 0 существует такое и1 € Н(х0,у), что ||х0(Т; х0; и1) — Х|х < е.
Доказательство. Докажем утверждение (1). В силу замечания 1 и условий данной леммы
Ух0 € domMl Ух € X1 Уе > 0 Зи € Жр+1(0,Т; Ы) т
Хтх0 + У Хт-5Ь-1 ^ (В(з)и(з) + у(з)) ^5 — х < е/2.
0 X
По условию (12) существуют такие и0, и1,... ир € Ы, что
Р Р р Ь.\ Г<к и /г-1
(I — Р)х0 + £ С°М- у0™(0) = — £ £ лТГГпТв0к-,)(0)«1.
0=0 1=0 к=1 '( )-
Изменим имеющуюся функцию управления и(-) в правой окрестности нуля гладким образом, чтобы получить новую функцию управления
и1 € Жр+1(0,Т;Ы), для которой и!г)(0) = и, I = 0,1,...,р. Будем искать такую функцию в виде
/\ ( * (* — *0)° ГА 1
и1(^=( Н -----------------к----- + ^ ик к? , * € [0,^0],
' 0' 0=0 ' 0=0 '
и1 (*) = и(*), * € [*0,Т], при некотором *0 € (0,Т). При любых коэффициентах а0 € Ы,
к = 0,1,... ,р, такая функция удовлетворяет требуемым начальным условиям. Подберем
коэффициенты ао так, чтобы выполнялось и10)(*0) = и(0)(*0) для к = 0,1,... ,р. Приравнивая производные, получим рекуррентную формулу для коэффициентов
Р
а0 = и(*0) ^ ] и0к? ,
0=0
(п)(* ) (Р + 1)р(р — 1) ... (Р — П + т + 2) Р-^ *0
ап = и )(*0) — ^ Сп -------------------*П-т-«т — 2^ и0+пк?
т=0 0 0=0 ’
для П = 1, 2, . . . ,р.
Взяв £0 < 1, получим
а0І|м < 1и1жр+1(0,*о;М) + ИМк Ни = С0,
0=0
Iа1 Ни < НиН^р+1(0,*о;М) +
(р + 1)с0 ^ .. ,, Сі
+ / , 1^0 Ни < —, ^0
Поэтому
І0
р
0=0
и II <" _р Іар||м < ,р .
р
0=0
1 - — І0
|и1 |С([0,*о];М) < ||а0||м |* — *0|0 + |и0 ||и <
0=0 0=0
0 Р Р Р
+ |ио |и < ^ Со + ^ |ио|и.
0=0 0=0 0=0
Последнее выражение не зависит от *0, поскольку константы С0 от него не зависят. Поэтому при достаточно малых *0 € (0, $]
РР
||и — и1 ||ь1(0,т;М) < I ||и||с([0,*0];М) + С0 + ||и0 ||м I ^ <
0=0 0=0
<
Є
Же|а|Т 1^|£(У ;Х )||В ||с([0,<5];£(М ;У)) ’
где К, а - константы из определения сильной (Ь,р)-радиальности оператора М. Отсюда
т
XтЖ0 + I Xт 1^(В(^)м1(5) + у(з))^5 — Ж
^Т-вт-1
<
X
<
т
X ж0 + / X вЬ- ^(В(з)и(з) + у(з))^з — Ж
+
х
+
т
Xт вЬ-1^В(^)(м1(5) — и(з))^з
< є/2 + є/2 = є.
0 X
Для доказательства утверждения (іі) заметим, что описанная выше замена функции и на и1 не повлияет на значение решения уравнения (11) в момент времени Т (см. вид решения в замечании 1).
Следствие 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполняются условия (6), (7), (12). Тогда если для всех ж0 Є ^тМ, Ж Є X, є > 0 существует и Є Ж(р+1(0,Т;Ы), для которого
Цж^Т; Рж0; и) + Ж0(Т; и) — Ж|| ^ < Є, то существует такое и1 Є Н(ж0, у), что ||ж(Т; ж0; и1) — Ж||х < Є.
Доказательство. Построив при достаточно малом £0 функцию управления и1 Є Н(ж0, у), как при доказательстве леммы 2, получим
||ж(Т; ж0; и1) — Ж||х < Ця1 (Т; Рж0; и1) + Ж0(Т; (I — Р)ж0; и1) — Ж||х <
< |ж1(Т; Рж0; и) + Ж0(Т; и) — Ж||х+
0
+
т
Xт вЬ-1^В(^)(и1(в) — и(з))^з
< 2є,
0 X
что и доказывает следствие.
Замечание 4. В дальнейшем будем использовать лемму 2 и следствие 1 неявным образом и при доказательстве є-управляемости довольствоваться существованием подходящей функции управления из всего пространства Ж(р+1(0,Т;Ы), а не из Нд(ж0,у).
Следующий результат говорит о том, что управляя двумя системами (10) и (11) посредством одной функции управления, мы, тем не менее, можем привести траектории обеих систем в є-окрестности нужных точек одновременно.
Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполняются условия (6), (7). Тогда система (9) є-управляема за время Т в том и только в том случае, когда Є-управляемы за время Т системы (10) и (11).
Доказательство. Прямое утверждение теоремы очевидно, поскольку система (9) распадается на две подсистемы на взаимно дополняющих друг друга подпространствах - (10) и (11). Докажем обратное утверждение теоремы. Пусть
Уж0 Є астМ0 УЖ0 Є X0 Ує > 0 3у Є Ж(р+1(0,Т; Ы)
ЕЕ
,=0 0=,
1!(к — 1)!
(Т)у(,)(Т) — ^ С0М-1у0(0)(Т) — Ж'
0=0
< є/3,
х
Уж1 Є аотМ1 УЖ1 Є X1 Ує > 0 3^ Є Жр+1 (0,Т; Ы) т
Xтж1 + І Xт 1^(В(з)и>(з) + у(з))^з — Ж1
-т-в г-1
< є/3.
0 X
„0 ______ (т Г>\гт. ,7.0 ___ (т гт.1 ______ ^1
Для х0 € domM, х € X возьмем х0 = (I — Р)х0, х0 = (I — Р)х, х0 = Рх0, х1 = Рх. По
этим векторам и по е > 0 выберем соответствующие функции управления V, и>. Обозначим и(*) = и>(Т — *) при * € [0,Т], и0 = (—1)0^(0)(Т), к = 0,1,... ,р, и, как это сделано при доказательстве леммы 2, построим по этим данным функцию и1 € Жр+1(0,Т; Ы), для
которой и10)(0) = (—1)0^(0)(Т),
и
и11к(0,т;и) < Зке|а|т|Ь-1д|£(У;Х)|В|с([0,Й];£(и;У)) .
Выберем теперь для системы (9) функцию управления ^1(*) = и1(Т — *). Тогда
^(0)(т) = (—1)0и10)(0) = ^(0)(Т), поэтому
т
[ Хт-5Ь-1^В(^(з) — ^(з))^з < е.
|ж(Т; Ж0; у1) — Ж||х < 2є/3 +
х
Теорема доказана.
4. Соотношения между различными понятиями є-управляемости
Введем еще 2 определения є-управляемости, активно используемых при рассмотрении систем вида (10) (см., например, [8, 10]).
Система (9) называется є-управляемой в нуль за время Т > 0, если для любых ж0 Є аотМ, є > 0 существует такое управление и Є Н(ж0,у), что ||ж(Т; Ж0; и)||х < Є.
Система (9) называется є-управляемой из нуля за время Т > 0, если для любых Ж Є X, є > 0 существует такое управление и Є Нд(0,у), что выполняется неравенство ||ж(Т; 0; и) — Ж||х < Є.
0
Перечислим соотношения между различными понятиями е-управляемости для системы (9), временно условившись называть введенное в предыдущем параграфе понятие е-уп-равляемостью из любой точки в любую.
Утверждение 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, (I—^)В Є Ср+1([0,Т]; £(Ц; У)), (I — ^)у = 0. Тогда для системы (11) понятие е-управляемости в нуль за время Т является бессодержательным.
Доказательство. Полагая и = 0 Є Жр+1 (0, Т; Ц), получим даже точную управляемость (е = 0) в нуль за любое время Т > 0 системы (11).
Утверждение 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р) -радиален, при этом ^В Є С1([0,Т]; £(Ц; У)), Є Ж^(0,Т;Ц). Для системы (10) понятия е-управляемости из нуля и из любой точки в любую за время Т эквивалентны.
Доказательство. Обозначим X = X — XТ х0. Тогда в силу замечания 1 х(Т; Жо; и) — X = х(Т; 0; и) — X. Произвольность X означает произвольность X и наоборот. Поэтому понятия е-управляемости из нуля и из любой точки в любую эквивалентны. Утверждение 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполняются условия (6), (7). Тогда система (9) е-управляема из любой точки в любую за время Т в том и только в том случае, когда она е-управляема из нуля за время Т и выполняется условие (12).
Доказательство. Прямое утверждение очевидно. Для доказательства обратного заметим, что, как показано в теореме 3, е-управляемость системы (9) равносильна е-управляемости каждой из подсистем (10) и (11). Для первой из них в силу утверждения
2 е-управляемость из нуля эквивалентна е-управляемости из любой точки в любую, решение же второй системы в момент времени Т > 0 согласно замечанию 1 вообще не зависит от начального состояния системы.
Замечание 5. Аналогичное утверждение, как нетрудно заметить, справедливо и для системы (11).
Утверждение 3 позволяет в дальнейшем ограничиться рассмотрением понятия е-управлемости из любой точки в любую за время Т, которое, как и прежде, будем называть просто е-управляемостью за время Т.
5. Критерий е-упрлвляЕмости за время Т
Лемма 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, ^В Є С1([0,Т]; £(Ц; У)),
Є Ж^(0,Т; У). Тогда система (10) е-управляема за время Т в том и только в том случае, когда
їзрап{ішХТ-5Ь-1^В(в), в Є [0,Т]} = X1.
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу утверждения 2 можно рассматривать только е-управляемость из нуля. Предположим, что система не является
т
е-управляемой. Тогда, сделав замену X = X — / ХТ-5Ь-1^у(в)^в, получаем, что множе-
о
ство векторов вида
Т
J XТ-5Ь-1дВ(в)и(в)^в, где и Є Жр+1(0,Т; Ц),
о
не является плотным в пространстве X1. Тогда по теореме Хана - Банаха существует такой функционал / Є X1 \ {0}, что
Т
0 = / I у хТ-5ь-1дв(в)и(в)^в | = / / (хТ-5ь-1дв(в)и(в)) ^в (13)
для любых и Є Жр+1(0,Т; Ц).
Для любой функции V € £1(0, Т; Ы) найдется последовательность {ип} С Жр+1(0,Т; Ы), для которой Иш ип = V в £1(0,Т;Ы). Отсюда
Т
Т
/ (хТ_*ь-1дв (вК(в))^в — / (хТ-5ь-1дв (вМв)) ^
<
Т
< |/(ХТ-5Ь-1 дв (в)(и„(в) — ф))) I ^ <
Т
<
X1*Ке|а|Т||Ь- 1 ||£(у 1;Х!) |дв|с([0,Т];£(М;У)) / ||ига(в) — ^(в) ІІМ^в ^ 0
при п ^ то. Поэтому равенство (13) справедливо для всех функций и € £1(0,Т;Ы). Возьмем £0 € (0,Т) и малое 5 > 0, и5(£) = и> € и при £ € [£0 — 5, £0 + 5], и5(£) = 0 при £ € [0,Т] \ [£0 — 5, £0 + 5]. Тогда в силу непрерывности полугруппы {X* € £(Х) : £ € К+} и оператор-функции В(•) выполняется равенство
*0
0 = 2Ї / (хТ-‘ь-‘«в (в)ш) * = / (хТ_ ь-'двфш),
*о-5
где £ € (£о — 5, £0 + 5). Переходя к пределу при 5 ^ 0+, получим равенство
/ (х т ",о !-1дв (*0 )ад) = 0 для всех £0 € (0,Т), ад € Ы. Отсюда и из непрерывности функционала / следует, что / (ХТ-5Ь-1^В(з)ад) = 0 для всех 5 € [0,Т]. Значит, множество врап{тХт-5Ь-1^В(8), 5 € [0,Т]} не плотно в пространстве X1.
Обратное утверждение очевидно в силу интегрального вида решения уравнения (10) и определения интеграла.
Сформулируем критерий е-управляемости системы (11).
Лемма 4. Пусть оператор М сильно (£,р)-радиален, и пусть
(I — ^)В € Ср+1([0,Т]; £(Ы; ^)), (I — Ф)у € Жр+1(0,Т; У). Тогда система (11) е-управляема за время Т в том и только в том случае, когда выполняется условие (12) и
врап < іш
і!С0 Мо-1 „«.-,)
Р
£ «(* — О!
в00-|)(т), / = 0,1,
, р =
х0.
Доказательство. Прямое утверждение леммы следует из леммы 1, вида решения
р
системы (11) и произвольности вектора X = X + М-У(к)(Т) из X0. Дока-
0=0
жем обратное утверждение. В силу линейности используемых операторов для вектора
р
Х+ £ М—1у0(к)(Т) € X0 при любом е > 0 существуют такие и0 ,и1,... ,ир € Ы, что
0=0
і!С0 М-1 ч*_0
£ £ іРт в0
1=0 0=1 4 '
Р
в00-1)(Т)и — ^ С0М-1у0(0)(Т) — X
0=0
е.
АГ
р ^ ^ I л к
Поэтому для функции и(£) = £ ( ] и0 из Жр+1(0,Т;Ы) выполняется неравенство
0=0
|х0(Т; х0; и) — Х||х < е. Утверждение леммы доказано.
Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполняются условия (6), (7). Тогда система (9) е-управляема за время Т в том и только в том случае, когда выполняется условие (12),
1рап{ішхТ_5Ь_1дв(в), в Є [0,Т]} = X1, (14)
----- /• І!С°М0 1 о(0_0№\ 1 и 1 I У0
вр^^т^ |!(і — |)! в0 )(Т), 1 = 0,^..^Р? = (15)
Доказательство. Необходимость условий (12), (14) и (15) следует из лемм 1, 3 и 4. Достаточными они являются в силу тех же лемм и теоремы 3.
Из полученных критериев в случае постоянной оператор-функции в нетрудно получить следующие утверждения.
Следствие 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, для всех і Є [0,Т] (I — д)в(і) = в1, (I — д)у Є Жр+1 (0,Т; У). Тогда система (11) е-управляема за время Т в том и только в том случае, когда
врап{ішС0М0_1в1, і = 0,1,... ,р} = аошМ0. (16)
Доказательство. Из е-управляемости системы (11) по лемме 1 следует условие (12), которое в случае постоянной оператор-функции (I — д)в имеет вид (16).
Обратно, из условия (16) и плотной определенности оператора М0 в X0 (см. теорему 1 (іі)) следует, что 8раП{ішС0М0_1в1, і = 0,1,... ,р} = X0 и согласно лемме 4 получим е-управляемость системы (11).
Замечание 6. Из последнего утверждения видно, что в случае постоянной оператор-функции (I — д)в е-управляемость системы (11) за время Т влечет ее е-управляемость за любое другое время Т1 > 0.
Следствие 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р) -радиален, в (і) = в1 для всех і Є [0,Т ] и выполняются условия (7). Тогда система (9) е-управляема за время Т в том и только в том случае, когда
8рап{ішх5Ь_1дв1, в Є [0,Т]} = X1, врап{ішС0Мо"1^ — д)в1, і = 0,1,... ,р} = аошМ0.
6. ПОНЯТИЕ и КРИТЕРИЙ е-УПРАВЛЯЕМОСТИ за свободное ВРЕМЯ
Введем в рассмотрение еще одно понятие управляемости.
Система (9) называется е-управляемой за свободное время, если для любых ж0 Є аошМ, X Є X и е > 0 существует время Т > 0 и функция управления и Є Н^0,у), такие, что ^(Т; ж0; и) — XIX < е.
Замечание 7. Очевидно, что из е-управляемости за время Т следует е-управляемость за свободное время.
Лемма 5. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда если (I — д)в Є СР+1([0, +то); £(Ц; У)), для всех Т > 0 (I — д)у Є Жр+1(0,Т; У), то из е-управляемости за свободное время системы (11) следует равенство (12).
Доказательство. При доказательстве аналогичной леммы 1 время Т не играло никакой роли.
Теорема 5. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, для любого Т > 0
у Є ^(0,Т; У), (I — д)у Є Жр+1(0,Т; У), в Є С 1([0, +то); £(Ц; У)),
(I — д)в Є СР+1([0, +то); С{и; У)). Тогда система (9) е-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда е-управляемы за свободное время системы (10) и
(11).
Доказательство. Прямое утверждение теоремы очевидно, докажем обратное. Возьмем х0 € аошМо, X € X. Тогда существует время Т > 0 и управление и € Жр+1(0,Т; У) для приведения траектории системы (10) в е-окрестность точки РЖ. Изменив функцию и в достаточно малой левой окрестности точки Т, как при доказательстве теоремы 3, получим управление и1 € Жр+1(0,Т; У), которое также за время Т приводит траекторию системы (10) в е-окрестность точки РЖ, при этом за время Т траектория системы (11) приходит в е-окрестность точки (I — Р)Х. Тем самым траектория системы (9) приходит в е-окрестность точки X = РЖ + (I — Р)Х и теорема доказана.
Теорема 6. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, (I — ^)В(£) = В1, (I — ^)у = 0 для всех £ > 0. Тогда система (11) е-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда она е-управляема за время Т при любом Т > 0.
Доказательство. Обратное утверждение теоремы 6 очевидно, докажем прямое утверждение. Пусть система (11) е-управляема из нуля за свободное время, то есть для любых X € X и е > 0 существуют Тх,£ > 0 и управление и € Жр+1(0, Тх,£; и), такие, что
— £ С0М0-1в1и(0)(Тх;£) — X 0=0
< е.
Покажем, что система (11) е-управляема за время Т. Если Т > ТХ £, то возьмем функцию управления «(і) = и(і — Т + ТХ є) при і Є [Т — ТХ є, Т],
«(0 = £и(0'){0)(< ~ Т+ Тхе)0, (Є [0,Т — Т*.«].
0=0 і!
Если Т < ТХ)Є, достаточно взять «(і) = и(і — Т + ТХ)Є) при і Є [0, Т].
Критерии е-управляемости за свободное время рассматриваемых систем докажем только в случае у = 0.
Лемма 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и пусть ^у = 0,
^в Є С 1([0, +то); £(Ы; У)). Тогда система (10) е-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда
8рап{ішх51 Ь_1дв(в2), в1,в2 > 0} = X1.
Доказательство. Рассуждая от противного, как при доказательстве леммы 3, получим равенство / (хТ_*°Ь_1дв(і0)т) = 0 для всех Т > 0, і0 Є [0,Т], т Є Ы. Отсюда следует, что / (х51 Ь-двЫт) = 0 для всех в1,в2 > 0 в силу произвольности Т > 0. Поэтому из предположения о том, что система (10) не является е-управляемой за свободное время, следует, что множество єрап{ішх51 Ь_1^в(в2), в1,в2 > 0} не плотно в пространстве X1.
Прямое утверждение леммы следует из интегрального вида решения и определения интеграла.
Лемма 7. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и пусть
(I — ^)в Є СР+1 ([0, +то); £(Ы; У)), (I — ^)у = 0. Тогда система (11) е-управляема за
свободное время в том и только в том случае, когда
і!с0 М_1
врап ^ іш^^ в00 г)(0), I = 0,1,... ,р /■ = аошМ0. (17)
0=1 !( — )! )
Доказательство. Из е-управляемости системы (11) следует условие (17) в силу леммы
Рассуждая, как при доказательтве леммы 4, нетрудно показать, что е-управляемость за свободное время системы (11) равносильна выполнению условия
У врал/т к'( М°.; р°к-1)(Т), / = 0,1,...,Д = Х°. (18)
т>° I к— ,( . )
В силу замкнутости подпространства X° и непрерывности оператор-функций В°к), к = 0,1,... ,р, множество (18) совпадает со множеством
I I----- к!^М° 1 Р(к-1)(Т) 7 0 1
7!(к _/), Р° )(Т., 7 = 0,1,...,Р
ГГ ^° \ к—1
и поэтому содержит множество
----- /-^ к!^кМ0 1 р(к-1)(0) 7 0 1 1
7!(к _ 7 ), Во )(0М = 0,^..^Р?.
Из сильной (Ь,р)-радиальности оператора М следует, что оператор М° плотно определен в Х°, поэтому и в силу проведенных рассуждений из равенства (17) следует равенство (18), а значит, и е-управляемость за свободное время системы (11). □
Замечание 8. С помощью лемм 4 и 7 нетрудно получить другое доказательство теоремы
6.
Из теоремы 5 и лемм 6, 7 следует критерий е-управляемости за свободное время системы (9).
Теорема 7. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, у = 0, оператор
В € С 1([0, +то); £(и; У)), (I _ ^)В € Ср+1([0, +то); £(и; У)). Тогда система (9) е-управ-ляема за свободное время в том и только в том случае, когда
эрап{тХ51 Ь—^В(в2), в^в2 > 0} = X1, (19)
{ р к!^к М —1 1
1ш^^ В°к г)(0), 7 = 0,1,... ,р| = аошМ°. (20)
Как и в случае е-управляемости за время Т, для постоянного оператора В последнее утверждение примет более простой вид.
Следствие 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, В(£) = В1 для всех £ > 0, у = 0. Тогда система (9) е-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда
эрап{тХ5Ь—1^В1, в > 0} = X1, врап{тСкМ—1(1 _ ^)В1, к = 0,1,... ,р} = аошМ°.
7. УПРАВЛЯЕМОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДЗЕКЦЕРА
Пусть О С К5 - ограниченная область с границей дО класса Сте. Рассмотрим систему управления, описываемую уравнением Дзекцера
(А _ Д)ад4(ж, £) = аДи>(ж,£) _ вД2^(ж,£) + с(£)Ди(ж, £), (ж,£) € О х К+, (21)
А, а € К, в € К+, с : К+ ^ К, с краевыми условиями
д д -
V—и> + (1 _ V)ад = V—Д^ + (1 _ V)Дад = 0, (ж, £) € 5О х К+, (22)
дп дп
где V € К. Для ее редукции к системе вида (9) выберем
Г д
X = Я^(О) = < V € Ж|(0) : V—^(ж) + (1 _ V)^(ж) = 0, ж € дО
а<эшМ = #4(П) = V є ^ (П) : ( + 1 — V ) г>(ж) =
у = Ь2 (П), Ь = Л — А є£(Х; у), М = аА — в А2 є С1(Х; У),
д /-
дп
= + 1 — ^ А-у(ж) = 0, ж є дП
При этом В(і) = с(і)А є £(Х; У) при любом і > 0.
Далее используется обозначение А^ для самосопряженного оператора из С/(Ь2(П)) с областью определения аошА^ = Н^(П), А^г = Аг, г є аошА^. Через {^к : к є М} будут обозначаться ортонормированные в смысле скалярного произведения (•, •) в Ь2(П) собственные функции оператора А^, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Лк : к є М} с учетом их кратности. При этом используется тот известный факт, что спектр а(А^) оператора А^ дискретен, конечнократен и сгущается только к —то.
Теорема 8. Пусть в > 0, аЛ — вЛ2 = 0, с є С:(К+;К). Тогда система (21), (22) є-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда с(0) = 0. Если с(0) = 0, с(Т) = 0, то система (21), (22) є-управляема за время Т > 0.
Доказательство. В теореме 5 [23] доказана сильная (Ь, 0)-радиальность оператора М, где Ь, М соответствуют классу краевых задач, в который входит задача (21), (22). Согласно этому результату, если в > 0, аЛ — вЛ2 = 0, то оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, где Ь, М - определенные в данном параграфе операторы. При этом Q = £ (^^)<^&,
Ак =А
1 — Q = £ (,№)^к.
Ак=А
Нетрудно заметить, что в рассматриваемой ситуации если с(і) = 0 для некоторого і > 0, то ішВ(і) = У, ^В(і) = У1, іш(1 — Q)B(і) = У0, ішМ0_1(/ — Q)B(і) = аошМд.
Таким образом, если с(0) = 0, то с учетом замечания 3 выполняется условие (20) теоремы 7, при этом в силу гомеоморфности оператора Ь1 : X1 ^ У1 справедливо равенство ішЬ-^В(0) = X1. Поэтому выполняется условие (19) и система (21), (22) є-управляема за свободное время. Обратно, если с(0) = 0, то не имеет места равенство (20) и по теореме 7 система (21), (22) не является є-управляемой за свободное время.
Пусть с(0) = 0, с(Т) = 0, тогда выполняется условие (15) и при этом
ішЬ- QB(Т) = X1. Следовательно, условие (14) теоремы 4 также выполняется и система (21), (22) є-управляема за время Т.
Замечание 9. Отметим, что условие с(Т) = 0 не является необходимым для
є-управляемости за время Т > 0 системы (21), (22).
8. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ФАЗОВОГО ПОЛЯ
Исследуем управляемость линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля
т| г (ж, і) = Аг(ж, і) — А0(ж, і) + а11(і)м1(ж, і) + а12(і)м2(ж, і),
А0(ж, і) — в$(ж, і) + г (ж, і) + а21(і)и1(ж, і) + а22(і)и2(ж, і) = 0, (23)
(ж, і) є П х К+,
с краевыми условиями
V г(ж,і) + (1 — v)z(ж,і) = 0, / ,ч й .„.ч
д-д) л/ ^ П (ж, і) є дП х К+, (24)
V 0(ж,і) + (1 — V )0(ж,і) = 0, 4 ' + 47
где П С К5 - ограниченная область с границей дП класса Сте, V, в є К. Возьмем X = У = и = (Ь2(П))2,
Ь =( 0 0) Є£ (<Ь2<П)2) • М ^А —в— ^д) ЄС1 (<Ь2<П)2) •
В(і)=(мі» мі))є£ (<Ь2<П)2), * > °-
Теорема 9. Пусть в є а(А), є С1(К+; К), г,^ = 1,2. Тогда при усло-
вии выполнения неравенства а11(0)а22(0) — а12(0)а21 (0) = 0 система (23), (24) є-управляема за свободное время. Если выполняются неравенства а21 (0) + а22(0) = 0, а11(Т)а22(Т) — а12(Т)а21(Т) = 0, то система (23), (24) є-управляема за время Т.
Доказательство. В работе [24] показано, что при в є а(А) оператор М сильно (Ь, 0) -радиален,
1 О ) = ( 1 —А(в1 — А,)-1
(в1 — А)-1 О У , Q ^ О О
X1 = ішР = {(V, (в1 — А^)-1 V) : V є Ь2(П)},
X0 = кегР = {0} х Ь2(П), У1 = iшQ = Ь2(П) х {0},
У0 = кегQ = {(^,ад) є (Ь2(П))2 : V = А^(в-1 — А)-1^}.
Нетрудно показать, что оператор В (і) в данной задаче таков, что при і > 0 ішВ (і) = У тогда и только тогда, когда а11(і)а22(і) — а12(і)а21 (і) = 0; кроме того, іш(1 — Q)B(^) = У0, если и только если ^(і) + ^22(і) = 0.
Поэтому в случае а11 (0)а22(0) — а12(0)а21(0) = 0 имеем iшQB(0) = У1, іш(1—Q)B(0) = У0 и с учетом замечания 3 и гомеоморфности оператора Ь1 по теореме 7 система (23), (24) є-управляема за свободное время.
Условие а21(0) + а22(0) = 0 при этом в точности означает выполнение необ-
ходимого условия (12) є-управляемости системы (23), (24) за время Т. Условие а11(Т)а22(Т) — а12(Т)а21(Т) = 0 в силу вышесказанного в рамках данной задачи означает, что iшQB(Т) = У1, іш(1 — Q)B(T) = У0. Поэтому условие (15) выполняется с учетом замечания 3. Осталось заметить, что условие (14) выполняется, поскольку имеет место цепочка вложений
X1 3 врап{ішХ^Ь^В^) : 5 є [0, Т]} 3 ішЬ-^В(Т) = X1.
9. УПРАВЛЯЕМОСТЬ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Рассмотрим систему уравнений
v1t(ж, і) = Дv1(ж, і) + а(і)и1(ж, і),
Vзt(ж,^) = ДV2(ж,і) + в(і)и2(ж,і), (ж,і) є П х К+, (25)
0 = Дvз (ж, і) + 7 (і)из(ж,і),
с краевыми условиями
^(ж,і) = 0, (ж, і) є дП х К+, г = 1, 2, 3. (26)
Здесь П С К5 - ограниченная область с границей дП класса Сте, функции а, в, 7 : К+ ^ К.
Возьмем X = У = и = (Ь2(П))3, аошМ = (Н^П))3,
/1 0 0 \ / Д 0 0 \ / а(і) 0 0 \
Ь = I 0 0 1 І , М = I 0 Д 0 І , В (і) = I 0 в (і) 0 I
\0 0 ^ \ 0 0 Д ) \ 0 0 7(і) у
при £ > 0. В работе [17] была показана сильная (X, 1)-радиальность оператора М, где Ь, М - определенные выше операторы, и найдены подпространства
X0 = У0 = {0} х Ь2(П) х Ь2(П), X1 = У1 = Ь2(П) х {0} х {0}
и операторы Ь-1 = I : Ь2(П) ^ Ь2 (П),
Д-1 0 ^ с /0 Д-М СМ-1 /0 Д-2
0 Д-1 ^ , G = ^ 0 0 ) , °М° = ^ 0 0
Вырожденная подсистема (11) в данной ситуации имеет вид
Д-^з*(ж,і) \ _ / V2(ж,^)+ в(і)Д-1«2(ж,і)
0 ) I Vз(ж,^)+ 7(і)Д 1из(ж,і)
(27)
Лемма 8. Пусть в є С 1(К+; К), 7 є С2(К+; К). Тогда система (26), (27) є-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда в(0)7(0) = 0. Система (26), (27) є-управляема за время Т в том и только в том случае, когда в(0)7(0)в(Т)7(Т) = 0.
Доказательство. Критерий є-управляемости за свободное время для системы (26), (27) согласно лемме 7 (условие (17)) имеет вид
7;(0)Д-2 \ . /0 7(0)Д-2 \ I _ ,„2
/ в(0)Д-1 7'(0)Д-^ ■( 0 7(0)Д-2
^ 0 7(0)Д-^ , ^ 0 0 I С = (Н°'
Очевидно, что это равенство выполняется тогда и только тогда, когда в(0) = 0, 7(0) = 0.
В то же время это условие является необходимым для є-управляемости за время Т системы (26), (27). При его выполнении критерием є-управляемости за время Т в силу леммы 4 является равенство
чряп г. ( в(Т)Д-1 У(Т)Д-2 ) ,ш ( 0 7(Т)Д-2 )! =(н2(П))2
эра^1ш ^ 0 7(Т)Д-1 ^ , 1Ш ^ 0 0 )) (н0(П)) .
Лемма доказана.
Теорема 10. Пусть а, в є С 1(К+; К), 7 є С2(К+; К). Тогда если а(і)в(0)т(0) = 0
при некотором і > 0, то система (25), (26) є-управляема за свободное время. Если
в(0)7(0)а(Т)в(Т)7(Т) = 0, то система (25), (26) є-управляема за время Т.
Доказательство. По теореме 7 критерием є-управляемости за свободное время системы (25), (26) является совокупность двух условий: в(0)7(0) = 0 (согласно лемме 8) и эрап{1шХ51 QB(s2), 51,52 > 0} = У1. Это равенство в данной ситуации выполняется, если не является тождественно нулевой функция а, умножением на значение а (і) которой задается действие оператора QB(^) при і > 0.
Далее, имеем вложение
ішЬ-^В(Т) С врап{1шХт-5Ь-^В(8), 0 < 5 < Т}.
Если а(Т) = 0, то iшQB(T) = У1, поэтому iшЬ-1QB(Т) = X1 и выполняется условие (14) из теоремы 4. При в(0)7(0)в(Т)7(Т) = 0 с учетом леммы 8 получаем в таком случае є-управляемость за время Т системы (25), (26).
Замечание 10. Таким образом, если в(0)7(0) = 0, то система (25), (26) не является є-управляемой даже за свободное время.
Замечание 11. Если строго следовать результатам параграфов 4 и 5, то в лемме 8 и в теореме 10 надо требовать выполнение условия в є С2(К+; К). Однако, непосредственно исследуя данную систему, можно заметить, что достаточно, чтобы выполнялось условие в є С 1(К+; К), а требование излишней гладкости наследовано из абстрактной постановки задачи.
10. Об є-УПРАВЛЯЕМОСТИ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОМЕРНЫМ ВХОДОМ
Предположим теперь, что заданы вектор-функции у : К+ ^ У, : К+ ^ У,
і = 1, 2,... ,т. Рассмотрим систему управления
т
Ьж(і) = Мж(і) + Е 6і(і)мі(і) + у(і). (28)
І=1
Она является частным случаем системы (9). Чтобы убедиться в этом, достаточно взять
т
и = Мт, В(£)и(£) = £ 6»(£)и»(£) при £ > 0. Такие системы управления называются си-
»=1
стемами с конечномерным входом. Понятно, что при всех £ > 0 для оператора заданного вида В(£) е £(Ет; У).
Согласно теореме 1 уравнение (28) редуцируется к системе двух уравнений
т
х 1(£) = ^1^1(£) + Ь-1 ^ 6г1(£)мг(£) + Ь-1у1(£), (29)
»=1
т
Сж0(£) = х0(£) + М0 1 ^ 60(£)и»(£) + М0 1у0(£). (30)
»=1
Здесь Ь1(£) = ^6»(£), 60(£) = (I - ф)6»(£), г = 1, 2,... ,т, х1(£) = фг(£), х0(£) = (I - ф)х(£), у1 (£) = фу(£), у0(£) = (I — Ф)у(£), £ > 0. Решение задачи Коши х(0) = х0 для уравнения (28) имеет вид
ж(і) = X*ж0 + / X1 5Ь- 1 І ^ Ь1 (з)Иг(з) + у1 (ем ^5
. ,= 1
р / т
(к)
м0 1 ^ 60(і)иі(і) + у0(і)
к=0 \г=1
При этом первые два слагаемых дают решение уравнения (29), а последняя сумма - решение уравнения (30). Вектор-функции управления и = (и1,. .. , ит) будут выбираться из пространства Жр+1(0,Т; Мт), q > 1, с некоторым Т > 0. Через Нд(х0,у) обозначим множество вектор-функций и = (и1, и2,..., ит) е Жр+1(0, Т; Кт), удовлетворяющих условию
р / т \ (к)
-1 / \ л г,0„. і „,0
(I - р )ж = - £ ск м- £ Ь0 и, + уМ (0) =
к=0 \г=1 /
т р к , . р
= - Ё Ё Ё ,!(1. _ ,4,С‘М0-160(‘-‘)(0)«<')(0) - £ СкАМ-У^О)),
,= 1 к=0 1=0 ( ) к=0
которое необходимо для разрешимости задачи Коши для уравнения (28) (см. теорему 2).
Лемма 9. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, Ь0 є Ср+1([0, Т]; У0), і = 1, 2,..., т, у0 є Жр+1(0,Т; У0). Если система (30) є-управляема за время Т, то X0 не более, чем (р + 1)т-мерно, при этом
врап ^ ^ ^ ~\Щг—Ь*( )(0), , = 0,1,. -. Р, і = 1, 2,...,т^ = аошМ0 = X. (31)
С
Доказательство. Из леммы 1 следует первое равенство в (31). Второе равенство следует из доказанной таким образом конечномерности области определения аошМ° и ее плотности в X0.
Следствие 5. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Ь° Є Ср+1 ([0,Т]; У°),
і = 1, 2,... , т, у° Є Жр+1(0,Т; У0)- Тогда є-управляемость системы (30) за время Т равносильна ее точной управляемости за время Т-
Доказательство. В конечномерном пространстве є-управляемость системы эквивалентна ее точной управляемости (є = 0).
Следствие 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Ь° Є Ср+1 ([0,Т]; У°),
і = 1, 2,... , т, у° Є Жр+1(0,Т; У°). Тогда из є-управляемости за свободное время системы (30) следует, что М° Є £(Х°; У°).
Доказательство. Утверждение следствия сразу следует из второго равенства в (31) и замкнутости оператора М°.
Лемма 10. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Ь° Є Ср+1 ([0,Т]; У°),
і = 1, 2,... , т, у° Є Жр+1(0,Т; У°). Тогда система (30) є-управляема за время Т в том и только в том случае, когда выполняется (31) и
врап ^ -ущ-—-&0(1-1)(Т), I = 0,1,...р, і = 1, 2,..., т 1 = аошМ° = X°.
1=1
Доказательство. Из леммы 9 следует равенство (31), а из леммы 4 - равенство v0 -----|СМ° 1 гДО-О 1 П 1 • 1 о
Х = 8раЛ О /|(, _ П| V )(Т^ 1 = 0, 1,...p, і = 1, 2,...,т
1=1
р іЛґ'ікмг -1
эра^^Е _ 0)| Ь° (Т), 1 = 0,1,...P, і = 1, 2,...,т
-ІС1 М-1 ,°(й-0
1І(- _ 1)1 '
поскольку система векторов конечна.
Обратно, пусть для любого х° Є аошМ° = X0 существуют такие сі Є К, I = 0,1,... ,р,
і = 1, 2,...,т, что х° = ££ сі £ 6°(1 г)(Т). Выберем такие константы для
і=11=° д=і ,( )!
р
х° = _Х _ £ С1М-1у0(1)(Т) и, построив вектор-функцию управления с помощью ра-1=0
венств
р (/ — Т )
Иі(і) = _Е сі------_---, і = 1, 2, ...,т,
1=° 1
получим х(Т; и) = X. Доказана точная управляемость рассматриваемой системы за время Т.
Из лемм 9, 10 получим критерий є-управляемости за время Т системы (28).
Теорема 11. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, вектор-функции Ь Є С1([0,Т]; У),
і = 1, 2, ...,т, у Є Ж(?1(0,Т; У) таковы, что Ь° Є Ср+1([0,Т ]; У°), і = 1, 2, ...,т, у° Є Жр+1(0,Т; У°). Тогда система (28) є-управляема за время Т в том и только в том случае, когда выполняется условие (31),
врап{ХТ-5Ь-16г1(в), 5 Є [0, Т], і =1, 2,..., т} = X1,
врап | ----------- Ь°(д г)(Т), I = 0,1,...р, і = 1, 2,... ,т! = аошМ° = X0.
11= 1І(- _ 1)1 1 () /
Замечание 12. При т = 1 и т = 2 и постоянных 61,62 Є У из теоремы 11 следуют основные результаты работы [21].
Аналогичные результаты об є-управляемости систем (28), (30) за свободное время следуют из леммы 7 и теоремы 7. Критерий є-управляемости системы (28) за свободное время, как и в случае систем с оператором управления общего вида, имеет более простой вид, чем критерий є-управляемости за время Т.
Теорема 12. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Є С 1([0, +то); У) таковы, что 6° Є Ср+1([0, +то); У°), і = 1, 2,...,т, у = 0- Тогда система (28) є-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда
врап{Х51 Ь-16г1(52), 51, 52 > 0, і =1, 2,..., т} = X1,
а пространство X0 не более, чем (р + 1)т-мерно, при этом
врап { ^ -'С М°-1 6°(1-1)(0), I = 0,1,.. .р, і = 1, 2,..., т 1 = аошМ° = X°.
л<- _1)1 I
11. Примеры систем с конечномерным входом
В ограниченной области О С К5 с границей дО класса Сте рассмотрим систему управления с конечномерным входом
т
(Л _Д),уі(ж,і) = аДи(х, і) _ вД2,у(ж,і) + бДя, і)мі(і), (х, і) Є О х К+, (32)
і=1
снабженную краевыми условиями (22). Здесь &»(•,£) Є Ь2(0) при і > 0, і = 1, 2,... ,т. Утверждение 4. Пусть в > 0, аЛ _ вЛ2 = 0, функции Є С 1([0, +то); Ь2(0)),
і = 1, 2,..., т. Если система (32), (22) є-управляема за свободное время, то система векторов
\ ^ (ЬіО, 0), ^)^, і = 1, 2,..., т > С Ь2(0)
и,=Л )
содержит базис подпространства У° = врап{^д : Лд = Л}.
Доказательство. Выберем операторы Ь, М, как в §7. По теореме 12 с учетом замечания 3 в случае є-управляемости за свободное время системы (32), (22) выполняется равенство аошМ° = 8рап{М0-16° (0), і = 1, 2, ...,т}, которое равносильно равенству
У° = 8рап{6°(0), і =1, 2,... ,т}, при этом 6°(0) = £ (&*(•, 0), ^)^.
Лк —Л
Замечание 13. В частности из утверждения 4 следует, что если система (32), (22) є-управляема за свободное время, то кратность собственного значения Л Є а (А) не больше т. Действительно, по лемме 12 подпространство X°, а значит и У°, в этом случае не более, чем т-мерно.
Для системы уравнений
т
г>1*(х,г) = Д^(ж,і) + £ 6г1(ж,і)мі(і),
і=1 т Л
Ші(ж,і) = Д^(ж,і) + £ 62(ж,і)Иг(і), (х, і) Є О X К+,
і=1
т
0 = Д^1(х, і) + £ Ь3(х, і)мі(і), і=1
где при і > 0 6^(•, і) Є Ь2(0), і = 1, 2,..., т, ^ = 1, 2, 3, с краевыми условиями (26) подпространство X0 = {0} х Ь2(0) х Ь2(0) бесконечномерно (см. §9). Поэтому условия теоремы 12 не выполняются и эта система не является є-управляемой даже за свободное время ни
при каком т Є N. То же самое можно сказать про линеаризованную квазистационарную систему уравнений фазового поля (см. §8)
т
т|г(ж,і) = Дг(ж,і) _ Д0(х,і) + £ 61 (х, і)иі(і), _
т і=1 (х,і) Є О х К+,
Д0(х, і) _ в^(х, і) + £(х, і) + £ 62(ж, і)Мг(і) = 0,
і=1
с краевыми условиями (24).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Наука. 1968. 359 с.
2. R.E. Kalman, Y.C. Ho, K.S. Narendra Controllability of linear dynamical systems // Contrib. Different. Equat. Vol. 1, № 2. 1963. P. 189-213.
3. H.O. Fattorini On complete controllability of linear systems // J. Different. Equat. 1967. Vol. 3. P. 391-402.
4. Шолохович Ф.А. Об управляемости в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 3. С. 479-484.
5. Куржанский А.Б. К управляемости в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9. C. 1715-1718.
6. R. Triggiani Controllability and observability in Banach space with bounded operators // SIAM J. on Control. 1975. Vol. 13, № 2. P. 462-491.
7. Шкляр Б.Ш. К управляемости линейных систем с распределёнными параметрами // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 467-471.
8. B. Shklyar Exact null controllability of abstract differential equations by finite-dimensional control and strongly minimal families of exponentials // Differential Equations and Applications. 2011. Vol. 2, № 3. P. 171-188.
9. R.F. Curtain The Salamon-Weiss class of well-posed infinite dimensional linear systems: a survey // IMA J. Math. Control Inform. 1997. Vol. 14. P. 207--223.
10. Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем // Изв. УрГУ. 1998. Т. 10, № 1. С. 103-126.
11. J. Klamka Controllability of dynamical systems. A survey // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. 2013. Vol. 61, № 2. P. 335-342.
12. D. Salamon On controllability and observability of time delay systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1984. Vol. AC-29, № 5. P. 432-439.
13. R. Rebarber, G. Weiss Necessary conditions for exact controllability with a finite-dimensional input space // Systems and Control Letters. 2000. Vol. 40. P. 217-227.
14. Плеханова М.В., Фёдоров В.Е. О существовании и единственности решений задач опти-
мального управления линейными распределёнными системами, не разрешенными относительно производной по времени // Изв. РАН. Сер. мат. 2011. Т. 75, № 2. С. 177-194.
15. Фёдоров В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами, // Докл. Академии наук. 1996. Т. 351, № 3. С. 316-318.
16. V.E. Fedorov Degenerate strongly continuous semigroups of operators // St. Petersbg. Math. J.
2001. Vol. 12, № 3. P. 471-489.
17. Рузакова О.А., Фёдоров В.Е. Об е-управляемости линейных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховых пространствах // Вычислит. технологии. 2005. Т. 10, № 5. С. 90-102.
18. Фёдоров В.Е., Рузакова О.А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными, операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 54-57.
19. Рузакова О.А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа в смысле сильных решений // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: тр. IX Междунар. Четаевской конф., посвящ. 100-летию Н.Г. Четаева. Иркутск: Ин-т динамики систем и теории управления СО РАН, 2007. С. 168-180.
20. Фёдоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. ІІЗ7— ІІЗ9.
21. Фёдоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 4. С. 6І8-628.
22. Фёдоров В.Е., Шкляр Б. Полная нуль-управляемость вырожденных эволюционных уравнений скалярным управлением // Мат. сб. 20І2. Т. 203, № І2. С. ІЗ7-ІБ6.
23. Фёдоров В.Е., Рузакова О.А. О разрешимости возмущенных уравнений соболевского типа // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, № 4. С. І89-2І7.
24. Фёдоров В.Е., Уразаева А.В. Обратная задача для одного класса сингулярных линейных операторно-дифференциальных уравнений // Тр. Воронежск. зимн. мат. шк. Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2004. С. І6І-І72.
Марина Васильевна Плеханова,
ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (научно-исследовательский университет), пр. Ленина, Т6,
454080, г. Челябинск, Россия E-mail: mariner79@mail.ru
Владимир Евгеньевич Федоров,
ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет», ул. Братьев Кашириных, 129,
454001, г. Челябинск, Россия E-mail: kar@csu.ru
