CC BY
70
the method of auxiliary or model equations. Sufficient stability conditions in terms of parameters of the researched systems are received.
Key words: solutions' stability on the part of variables; linear impulsive differential equations with aftereffect; method of the auxiliary or model equations.
Кадиев Рамазан Исмаилович, Дагестанский научный центр, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]
Kadiev Ramazan Ismailovich, Dagestan Research Center, Dagestan State University, Makhachkala, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.977.5
ОБ УПРАВЛЕНИИ С ПОВОДЫРЕМ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ВЫВЕДЕНИЯ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ
© И.Н. Кандоба, И.В. Козьмин, Е.К. Костоусова, В.И. Починский
Ключевые слова: оскулирующая орбита; динамическая система; оптимальное управление; фазовые ограничения; поводырь; сопутствующие позиции.
Рассматривается задача оптимального выведения ракеты-носителя на заданную околоземную эллиптическую орбиту при ограничениях на управление и текущее фазовое состояние нелинейной динамической системы, описывающей движение носителя. Математическая модель управляемого движения ракеты-носителя включает уравнения поступательного движения его центра масс и уравнения вращательного движения носителя как твердого тела. Требуется построить программное управление, обеспечивающее выведение ракетой-носителем на заданную орбиту полезной нагрузки максимальной массы. Для построения допустимых в этой задаче управлений предлагается один подход, основанный на методологии решения задач управления с поводырем. Приводятся результаты численного моделирования с использованием реальных данных.
Данная работа посвящена вопросам построения конструктивных методов решения одной прикладной задачи оптимального управления нелинейной динамической системой при ограничениях на управление и текущее фазовое состояние системы. Для исследования этой задачи использованы подходы, основанные на идеологии задач управления с поводырем [1], [2] и обратных задач динамики [3]. Для построения допустимых управлений предлагаются методы, которые доведены до реализуемых вычислительных алгоритмов. Приводятся результаты численного моделирования с использованием реальных данных, свидетельствующие о достаточной эффективности предлагаемых подходов к решению исследуемой задачи.
Рассмотрим задачу оптимального управления нелинейной динамической системой, описывающей движение ракеты-носителя (РН) от точки старта до момента выхода РН на заданную околоземную эллиптическую орбиту. Здесь, в отличие от [4, 5], математическая модель управляемого движения РН включает уравнения поступательного движения его центра масс и уравнения вращательного движения носителя как твердого тела. Двигательная установка РН состоит из одного жестко закрепленного основного двигателя, создающего тягу вдоль оси симметрии РН, и четырех подвижных рулевых двигателей. Движение
РН на промежутке [ts, tf] в инерциальной стартовой системе координат описывается уравнениями:
ж = v,
v = WR(t, ж, 1, -0, р, () + WA(t, ж, v, 1, 0, р) + д(ж), ,
W = Л(^ш)+М(£,ж,(), (1)
( = u,
= (w2 sin р + W3 cos p) / cos 0, 0 = w2 cos p — w3 sin p, (2)
P = W1 + (w2 sin p + w3 cos p) tg
где ж, v € R3 — положение и скорость центра масс РН; w € R3 — угловая скорость; 1,0, р — углы тангажа, рыскания и крена соответственно; Wr , Wa и g — реактивное, аэродинамическое и гравитационное ускорения соответственно; Л — функция специального вида; М — выражения, определяемые моментами сил от рулевых двигателей. В момент времени ts для системы (1), (2) задаются начальные условия
ж^) = Жs, v(ts) = vs, w(ts) = Ws = 0, ((ts) = (s = 0, (3)
?(ts) = 1 = n/2, 0(ts) = 0s = 0, ^(ts) = Ps. ( )
Управлениями u (t) € R4 служат скорости u i = (i изменения углов ( поворота продольных осей камер рулевых двигателей:
| u i(t)| < umax, t € [ts, tf] (i = 1, 2, 3, 4). (4)
РН должен быть выведен на заданную оскулирующую эллиптическую орбиту с требуемой точностью, то есть должны быть выполнены терминальные ограничения:
|i — i| ^ Ai, |Q — Q | ^ An, |hmin — hmin| ^ Ahmin, |hmax — hmax| ^ АНш ax, |Wor — Wor| ^ Аш, (5)
где наклонение плоскости орбиты i, долгота восходящего узла Q , минимальная hm¡n и максимальная hmax высоты орбиты соответственно, аргумент перигея wor — параметры, определяющие оскулирующую эллиптическую орбиту (вообще говоря, отличную от круговой). Здесь следует отметить, что значения перечисленных параметров однозначно определяются компонентами векторов ж^), v(tf) (см. [6]). Через i, Q , hmin , hmax , Wor обозначены значения соответствующих параметров заданной орбиты выведения, а через Ai , An , Ahmin , Ahmax , Аш — допустимые отклонения от этих параметров.
К управляемому движению РН предъявляется ряд дополнительных требований. Эти требования обуславливают наличие ограничений на текущее фазовое состояние системы (1), (2). Укажем наиболее существенные из них:
|?(t)| < ?max, |0(t)| < 0max, |p(t)| < pmax, t € [ts,tf]; (6)
|1(t)| < 1max, |0(t)| < 0max, |p(t)| < pmax, t € [ts,tf]; (7)
|(i(t)| < (imax, t € [ts,tf] (i = 1, 2, 3, 4). (8)
Кроме того, должно быть обеспечено падение отделяемых частей РН в заданные районы с соблюдением условий типа
r(íf,ж&)) < I, (9)
где ж € R3 — вектор координат центра масс отделяемой части (ОЧ), if — момент времени падения ОЧ на Землю, r — расстояние от центра масс ОЧ до центра заданного для ОЧ района падения. Здесь разрешенный район падения ОЧ считается круговым, I — допустимое отклонение точки падения ОЧ от центра района.
Требуется построить программное управление и, обеспечивающее выведение на заданную орбиту полезной нагрузки максимальной массы. Изменение массы РН описывается заданной монотонно-убывающей функцией (она учитывается в правых частях (1)). Это сводит, как и в [4, 5], задачу выведения максимальной массы РН на заданную орбиту к задаче быстродействия. Таким образом, можно сформулировать следующую задачу оптимального управления.
З а д а ч а 1. (Основная задача) Для управляемой системы (1), (2) с начальными условиями (3) в момент времени найти программное управление и (■), минимизирующее значение функционала ,1о[ и (■)] = tf. При этом должны быть выполнены ограничения (4), (6)-(8), а также условия (9) падения ОЧ в заданные районы и условия (5) на параметры орбиты.
Для построения в задаче 1 допустимого управления может быть применен следующий подход, основанный на методологии решения задач управления с поводырем [1, п. 57]. Предлагается наряду с системой (1), (2) рассмотреть упрощенную систему, определяющую траекторию движения центра масс РН:
х = г), V = Шя(г, х, 0, ф) + Шл(г, х,-}, 0, ф) + д(х),
0 = иь ф = и2, (10)
в которой функции Шя и Ша строятся на основе Шя и Ша из (1) (например, Шя(г, х, 0, ф) = Шя(г, х, 0, ф, 0, 0) , ША(г, х, 0, ф) = ША(г, х,0, ф, 0)), а начальные условия (11) в момент ^ задаются значениями соответствующих компонент фазового состояния системы (1), (2):
х^) = Xs, -г(^з) = Vs, 0^) = 0s, ф^) = фs• (11)
Здесь в качестве управляющих параметров используются скорости и 112 изменения углов тангажа 0 и рыскания ф:
|ЗД)| < 0тах, |и2(г)| < фтах, г € (12)
а на текущее фазовое состояние системы (10) накладываются ограничения
|0(г)| < 0тах, |ф(г)| < фтах, г € ^]• (13)
Здесь и далее для того, чтобы отличать величины, относящиеся к системе (1), (2), от величин, имеющих отношение к упрощенной системе (10), последние снабжаются сверху горизонтальной чертой. Рассмотрим следующую вспомогательную задачу оптимального управления.
З а д а ч а 2. (Вспомогательная задача) Для управляемой системы (10) с заданными в момент времени ts начальными условиями (11) найти программное управление и(■) , минимизирующее значение функционала ,1о[и(■)] = tf. При этом должны быть выполнены ограничения (12), (13), а также условия (9) падения ОЧ в заданные районы и условия (5) на параметры орбиты.
Управления, удовлетворяющие в задачах 1 и 2 всем требованиям кроме условия оптимальности, будем называть допустимыми в соответствующих задачах.
Для вспомогательной задачи 2 известен [4, 7] алгоритм построения допустимого управления иь = (Ц3,^) для системы (10), которое обеспечивает выведение центра масс РН на заданную орбиту за время, близкое к минимальному.
Предлагается допустимые в основной задаче 1 управления и для системы (1), (2) строить на известном промежутке времени ] по предварительно найденному во вспомогательной задаче 2 управлению иь для упрощенной системы (10).
В дальнейшем систему (1), (2), описывающую управляемое движение РН как «твердого тела», будем называть полной системой. Упрощенную систему (10), описывающую управляемое движение центра масс РН, будем называть поводырем для полной системы, а упомянутое выше субоптимальное во вспомогательной задаче 2 управление 7ь для поводыря — базовым управлением. Через х и х будем обозначать «расширенные» векторы состояния х = (хт, -ит, ¿т)т € К16 и X = (Хт, -¿т, 0)т € К8 полной системы
и поводыря соответственно.
Допустимое в основной задаче 1 управление и для полной системы и соответствующее ему значение момента tf выхода РН на заданную орбиту могут быть определены, используя известное базовое управление 7Ь для поводыря, следующим образом.
Из условия полного выгорания топлива на всех ступенях РН для поводыря и полной системы определяются предельно отдаленные моменты времени ¿тах и ¿тах выключения двигательной установки последней ступени РН соответственно. Задается начальное значение искомого момента времени tf = Т = шш{Ттах, ¿тах} .
Затем выполняется итерационная по начальному моменту времени ¿о процедура. Здесь обозначения величин, относящихся к ] -й итерации, снабжаются индексом ] , который указывается вверху справа и заключается в круглые скобки, а соответствующее ] -й итерации значение начального момента времени обозначается через ¿н . На первой итерации (] =0) начальный момент времени ¿н полагается равным своему исходному (априорно заданному) значению ¿0 = .
На текущей (] -й) итерации выполняются следующие операции.
1. Для фазового состояния х (¿н^) полной системы проверяется терминальное ограничение (5) на параметры орбиты. В случае выполнения условий (5) значение tf полага-
-Ц)
ется равным ¿н и итерационная процедура завершается — искомое управление для полной системы построено.
Ч7) _
2. Проверяется условие tн ^ Т Д^тт, где Д£тт — параметр процедуры. Если это условие не выполняется, то итерационная процедура завершается и делается вывод о невозможности построения с выбранными значениями параметров этой процедуры в задаче 1 управления и для полной системы, обеспечивающего выведение РН на заданную орбиту. Этот вывод основан на том, что запасы топлива на последней ступени
РН практически израсходованы, а в силу результата выполнения первой операции фа-
-Ц)
зовое состояние полной системы в момент времени t н не удовлетворяет терминальному ограничению (5) — в полной системе в момент времени ¿н не осуществляется выход РН на заданную орбиту.
3. В результате решения вспомогательной задачи 2 на текущем «длинном» интервале времени [¿н^,^] строится базовое управление 7^ = 7ь(¿| ¿н^, х (¿н^)) для поводыря. Здесь ) = (¿н^, х (¿н^)) — момент вывода центра масс РН в системе (10) на
заданную орбиту с помощью управления 7(:,) , где фазовое состояние х (¿н^) полной системы определяет начальные условия для поводыря. Проверяется удовлетворяет ли фазовое состояние х (¿е7^) поводыря терминальному ограничению (5) (реализуется ли выход центра масс РН в системе (10) на заданную орбиту с требуемой точностью с помощью управления 7(:,) ). Если это условие не выполняется, то итерационная процедура завершается и делается вывод о невозможности построения с помощью данной процедуры (с выбранными значениями ее параметров) управления и для полной системы, обеспечивающего выведение РН на заданную орбиту.
4i)
4. Уточняется значение tf, а именно полагается tf = if .
(i)
5. Проверяется условие завершения итерационного процесса: tf ^ ¿н + £tf, где etf —заданная погрешность в определении значения tf в задаче 1 (параметр процедуры). При этом в силу результата первой операции фазовое состояние x (í^) полной системы не удовлетворяет терминальному ограничению (5) (в полной системе в момент t^ не реализуется выход РН на заданную орбиту). Если вышеупомянутое условие выполнено, то итерационная процедура завершается и формулируется вывод о невозможности построения с выбранными значениями параметров этой процедуры управления u для полной системы, обеспечивающего выведение РН на заданную орбиту.
6. Задается текущий «короткий» интервал [¿н^^к^] : ¿к^ = ¿н^ + At(i) , где At(i) — параметр процедуры. Уточняется значение t^j = minl^tf ,T} .
7. Выполняется описанная ниже реконструкция управления u(i) для полной системы по управлению U(i) для поводыря на «коротком» интервале [t^,^] .
8. Полная система с помощью управления u(i) , действующего на интервале [t^,^) , переводится из состояния x (t^) в состояние x (t^) .
(i) (i 1)
9. Осуществляется переход к следующей итерации: j = j + 1, ¿н = ¿к .
В результате выполнения описанной выше итерационной процедуры определяется значение момента tf выхода РН на заданную орбиту и строится кусочно-постоянная на интервале [ts,tf] вектор-функция u , которая определяет допустимое в основной задаче 1 управление для полной системы (1), (2): u (t) = u (i)(t) , t € [¿н^^к^) (j = 1, 2,...,Nf ), где Nf — количество выполненных итераций.
Более подробно остановимся на процедуре реконструкции управления u(i) по управлению U(i) на «коротком» интервале [¿н^^к^] .
Полагая в кинематических уравнениях (2) 0(t)=Ub(t) , ^>(t)=Ub(t) , ф(^=фь(^ (t € € [¿н^, ¿к^] ), где фb = U2?, получаем систему двух линейных уравнений относительно угловых скоростей w2 и w3 :
w2 sin ^ + w3 cos ^ = U^ cos фЬ, W2 cos — W3 sin = U2 .
Далее, если потребовать, чтобы <¿>(t) = 0, t € [¿н^^к^] (в этом случае в основной задаче 1 будут выполнены самые жесткие ограничения (7) на t¿>), то из последнего уравнения в (2) следует, что
, .sin фь
Wi + (W2 sin ^ + w3 cos -=7- = 0.
cos фь
В результате приходим к системе трех линейных уравнений относительно угловых скоростей Wk(t) , t € [tl^] (k = 1, 2, 3 ). Единственное решение этой системы на интервале [¿н, ¿к^ определяет функции:
Wi(t) = — Ub(t) sinф b(t),
W2(t) = Ub(t) cosф b(t) sinp(t) + Ub(t) cosp(t), t € [^] (14)
W3(t) = Ub(t)cos ¿b(t)cos <p(t) — U2b(t)sin <p(t).
Следуя общей методологии управления с поводырем [2, п. 26], будем на интервале [íh^ík^] пытаться строить управление u(j) для полной системы, для которого функции Wk в силу полной системы принимают такие же значения, как и функции Wk ( k = 1, 2, 3 ). Для этого будем существенным образом использовать специфический вид правых частей уравнений, описывающих в (1) динамику угловых скоростей Wk (k = 1, 2, 3 ):
W1 = Rl(t, ж) (— sin ¿1 — sin ¿2 + sin ¿3 + sin ¿4),
W2 = G2(t) W1W3 + R2(t, ж) (sin¿1 +sin¿3), t € [íh,ík], (15)
W3 = G3(t) W1W2 + R3(t, ж) (sin¿2 + sin¿4),
где G2(t) = J2(t) —tJ1(t) , G3(t) = —G2(t), Rk(t,x) = —Ck(k = 1,2,3); Jk -J2(t) Jk(t) моменты инерции РН относительно соответствующих осей связанной с РН прямоугольной
системы координат, P(t, ж) —функция тяги рулевых двигателей РН, Ck(t) (k = 1, 2, 3 ) —
заданные кусочно-линейные функции; J2 = J3 , c2 = c3 .
Зададим на интервале [¿Н^, tK^] локальную сетку tj) € [tH\ t^] (i = 0,1,..., N ):
íg = tg < tg < tg < ... < tN = ¿g : tg = t g + ¿ti (i = 0,1,..., N — 1).
Управление u(j) , действующее на «коротком» интервале [¿Н^^к^) , определяется кусочно-постоянной функцией
u (j)(t) = u (j'i)*, t € [t(j),t(+)1) (i = 0,1,..., N — 1),
для построения которой используется следующая итерационная по tj) (i = 0,1,..., N — 1) процедура (далее во избежание излишней громоздкости обозначений индекс j , указывающий на интервал [¿Н^, ¿K] , будем опускать в тех случаях, где это не вызывает разночтения). На текущей i -й итерации этой процедуры выполняются следующие операции:
1. На основе (14) и (15) строится некоторая совместная линейная система (подробнее о ней будет сказано ниже) из трех уравнений относительно четырех неизвестных Sk,i+1 =sin(¿k(tg)) ( k = 1, 2, 3, 4 )
4
y^ a„k,íSk,í+1 = n = 1,2,3. (16)
k=1
Эта система имеет однопараметрическое семейство решений s(i+1)(p) = {sk,i+1(p)}k=1 ( —1 ^ Sk,i+1(p) ^ 1 Vp € [—1,1]) . Считаем, что параметр p задается одной из неизвестных Sk,i+1 ( k € {1, 2, 3, 4} ).
2. Пусть Пд — множество таких значений параметра p € [—1,1] , для которых управления u(j,i) (p) вида
, „ arcsinfskm(p)) — arcsin(ski) , „
u k,i(p) =-v -L^, k = 1, 2, 3, 4, (17)
оказываются допустимыми в основной задаче 1.
Если Пд = 0, то для выполнения ограничений (4), (6)-(9) основной задачи 1 вместо решения системы (16) находится решение экстремальной задачи:
f (p) = IIA(i)s(i+1)(p) — b(i)||2 ^ min при условиях(4), (6) — (9), (17), — Kski+1(pK1
pe[-1,1]
и полагается, что Пд = {p*} , где p* = argmin f (p) , а u(j,i)* = u (j,i)(p*) . Здесь A(i) = {a„k,i} , n = 1,2,3 , k = 1,2,3,4 , b(i) = (bM, fc.i, b3,i)T .
3. В случае, когда Пд не является одноточечным, в соответствии с идеологией экстремального сдвига [1, п. 57] определяется «наилучшее» на элементарном интервале [¿^),-£(+)1) управление и(-?'г)* = и^(р*) , где р* € Пд — решение экстремальной задачи
^(р) = - ¿(¿(+\| и^(р))||2 ^ тт .
4. Полная система с помощью управления и (-?'г)* переводится из состояния х (¿(,?)) в состояние х (¿(+)1) .
5. Осуществляется переход к следующей итерации: г = г + 1.
Для построения системы (16) применяется два подхода. Первый заключается, условно говоря, в «прицеливании» на величины ¿£,¿+1 , которые определяют для полной системы в моменты времени ^ € [¿нДк] сопутствующие позиции: ¿^ = ¿к(¿¿^^(¿¿^)) (к = 1, 2, 3 , г = 0,1,...,Ж). В этом случае разностная аппроксимация уравнений (15) на локальной сетке ^ € [¿н, ¿к] (г = 0,1,..., N) с учетом выражений (14) для функций ¿к ( к = 1, 2, 3) приводит к следующей совместной системе (16) трех линейных уравнений относительно ^,¿+1 ( к = 1, 2, 3, 4) :
W1,i+1 — W1,
(ti
W2,i+1 — W2,i
(ti
W3,i+1 — W3,i
= R1,i+1 (—s1,i+1 — s2,i+1 + s3,i+1 + s4,i+1),
= G2,i+1 W3,i+1 W1,i+1 + R2,i+1 (s1,i+1 + s3,i+1), (18)
= G3,i+1 W2,i+1 W1,i+1 + R3,i+1 (s2,i+1 + s4,i+1),
(ti
где wfc>i » wfc(t(j)) , Rfc>i+1 » R Й+\,ж(4Л)) (k = 1, 2, 3 ); См+1 = Gfc(t(+\) ( k = 2, 3 ).
Здесь при вычислении значений Wk,i+1 в формулах (14) полагается, что p(t(+)1) w p(t(j)) .
Второй подход, с содержательной точки зрения, отражает стремление как можно точнее отслеживать динамику значений функций Wk (k = 1, 2,3) на интервале [¿нДк] . Тогда разностная аппроксимация равенств W1 = Wk t € [¿н,?к] , полученных из уравнений (15) и выражений (14), приводит к следующей совместной системе (16) трех линейных уравнений относительно Sk,i+1 ( k = 1, 2, 3, 4) :
W 1(t(+)1) ~ RR1,i+1(— s1,i+1 — s2,i+1 + s3,i+1 + s4,i+1) = W 1(t(+)1),
cW2(t(H-1) ~ G2,i+1 W3,i+1 W1,i+1 + ^2,i+1(s1,i+1 + S3,i+1 )= W¿2(t(+)1), (19)
CW3(t(+)1) ~ G3,i+1 W2,i+1 W1,i+1 + RR3,i+1 (s2,i+1 + s4,i+1) = W3(t(+)1)-
Здесь, с учетом (14) и ф = 0,
W1 = — Üb sin 0 b — UbU2b cos 0 b,
WW2 = 71 cos 0b sin ф — Ü^Ük sin 0 b sin ф + Ü2 cos ф, (20)
} b b b b b } b w3 = Ü1 cos cos ф — Üf Üb sin cos ф — Ü2 sin ф.
Выбор одного из описанных выше подходов к построению системы (16) зависит от характера поведения значений сопутствующих позиций Wk,i ( k = 1, 2, 3 ), зависящих от значений
компонент базового управления Üb и значения угла крена ф. Если в полной системе в (j)
моменты ti наблюдается отклонение значений угловых скоростей Wk от значений соответствующих им сопутствующих позиций Wk,i ( k = 1, 2, 3 ) на величину, превышающую
заданный порог, то систему (16) следует задавать уравнениями (18). В противном случае, если значения угловых скоростей ши удерживаются в заданной окрестности значений соответствующих им сопутствующих позиций Ши,г (к = 1, 2, 3), то в качестве системы (16) целесообразно использовать уравнения (19), что позволяет избежать чрезмерного «раскачивания» значений угловых скоростей в полной системе.
Для примера на рис.1-6 отражены результаты реконструкции управления и для полной системы по известному базовому управлению иь (рис. 1) для поводыря на «коротком» интервале времени [¿н,?к] : Д£ = 90 сек, 5£г = 1 сек. На рис. 2 представлены графики функций углов тангажа (слева) и рыскания (справа), соответствующих базовому управлению иь для поводыря (пунктирные линии) и построенных по этому управлению функций указанных углов для полной системы (сплошные линии). На рис. 3 с помощью пунктирных линий отображены графики функций Ши(£) , сплошными линиями — графики функций (£) , £ € [¿нДк ] (к = 1, 2, 3 ). На рис. 4 приведены графики четырех компонент и и ( к = 1, 2, 3, 4 ) построенного управления и (£) , £ € [¿н ,£к] . На рис. 5 представлены графики функций 5х(£) = ||ж(£) — Х(£)|| (слева) и 5-и(£) = — V (£)|| (справа), £ € [¿нДк] , определяющих значения отклонений координат и скоростей центра масс РН в точках на пространственных траекториях поводыря и полной системы.
Как видно на рис. 1, каждая из компонент и^ и и^ базового управления иь имеет по
одной точке разрыва на интервале [?н,?к] . В связи с этим возникают очевидные пробле-
^ ь ^ ь
мы с использованием формул (20), в которых фигурируют производные и 1 и и2 . Кроме того, в указанных точках разрыва происходит скачок значений функций Ши , задаваемых формулами (14). Это обстоятельство инициирует скачок значений компонент и (к = = 1, 2, 3, 4 ) управления и для полной системы, которые вычисляются по формулам (17) на элементарных интервалах ) С [¿н,£к] , содержащих указанные точки разрыва
функций и1ь и и2ь . Такие скачки значений и и г для малых значений шага 5£г разбиения интервала [¿н,£к] приводят к нарушению ограничений (4) на управление и фазовых ограничений (6)-(8) в основной задаче 1. В частности, при этом в окрестностях упомянутых выше точек разрыва происходит значительное отклонение значений функции ф от нуля. Для преодоления описанных трудностей в малой окрестности (радиус окрестности — параметр процедуры) каждой из точек разрыва выполняется сглаживание соответствующей
функции 0ь или фь с помощью, например, интерполяционных сплайнов второго или тре-
^ ь ^ ь
тьего порядков, что позволяет устранить точки разрыва в и 1 и и2 . Для полной системы
-и?, grad ¡Бве
240 260 280 300 320 340
^ С ^ ее
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
— и?, grad/sec
240 260 280 300 320 , 340
н
А
1к ^ вес
Рис. 1: Вспомогательная задача 2. Базовое управление иь . Графики функций иь(£) и
и2ь(£) , £ € [¿нДк]
0
Рис. 2: Основная задача 1. Реконструкция управления и на «коротком» интервале времени [¿нДк] . Графики функций 0ь(£) , (слева) и фь(£) , ф(£) (справа), £ € [¿"нДк]
Рис. 3: Основная задача 1. Реконструкция управления и на «коротком» интервале времени [£н,£к] . Графики функций Ш1(£) , ш1(£) (вверху слева), Ш2(£) , ш2(£) (вверху справа) и Ш3(£) , ш3(£) (внизу в центре), £ € [¿н,?к]
на рис. 6 (слева) проиллюстрирована динамика значений функции ф. На рис. 6 (справа) представлен график функции ф , где с помощью горизонтальной пунктирной линии указано заданное в момент времени £н значение ф(£н) = 0 .
Как показывают результаты численного моделирования, введеное в процедуре реконструкции управления и на «коротком» интервале [¿н^^к^] множество Пд оказывается непустым на каждой итерации этой процедуры. При этом использование в этой процедуре
220
и1, grad/sec
2440
260
280
300
320
340
—из, grad /sec
240 260 280 300 320 . 340
-4
220
-4
220
: — и2, grad /sec
240
260
280
300
320
340
'к вес
: и4, grad/sec
240
'и
260
280
300
320
340
'к ', вес
Рис. 4: Основная задача 1. Реконструкция управления и на "коротком" интервале времени [¿н, ¿к] . Графики компонент и к ( к = 1, 2, 3, 4 ) управления и (¿) , £ € [¿н, ¿к] .
и
Рис. 5: Основная задача 1. Реконструкция управления и на «коротком» интервале времени [¿нДк] . Графики функций ¿ж^) = ||ж^) — ж(^|| и = 11V— "¿(¿)|| , t € [¿н,?к]
методологии экстремального сдвига для определения «наилучшего» допустимого управления и (-?'г)* на каждом из элементарных интервалах [¿(,?), ¿(+)1) С [¿^¿к^] приводит к тому, что функции углов тангажа и рыскания для поводыря и полной системы оказываются практически идентичными (см. рис. 2), а реализующиеся в полной системе значения угловых скоростей ¿к(¿) являются достаточно близкими к значениям соответствующих им функций ¿к(¿) , t € [¿н^,^] (к = 1, 2, 3 ) (см. рис. 3). При этом уменьшение длины Д^- «коротко-
ы
ф, grad/sec
0.03г 0.02 0.01 0
-0.01 -0.02 -0.03
00:420 240 260 280 300 320
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
340
-0
—ф, grad ' —ф, grad
220
240 260 280 300 320 tu
340
tK t, sec
Рис. 6: Основная задача 1. Графики функций <£>(£) (слева) и (справа), £ € [¿н,£к] , в
полной системе
го» интервала [¿^¿к^] приводит к уменьшению значений невязок max ||x(t) —;
te[i
max
(j) xij)]
н 'lK ]
В заключение можно высказать мнение, что разработанные алгоритмы построения допустимого в основной задаче 1 управления для полной системы (1), (2) обеспечивают близость траектории этой системы к траектории ее поводыря — упрощенной системы (10). При этом момент времени tf выхода РН на заданную орбиту в полной системе (1), (2) оказывается несколько большим величины tf(ts, x (ts)) соответствующей моменту выведения центра масс РН с помощью базового управления Ub в системе (10) c начальными условиями (11), которые в момент времени ts задаются компонентами фазового состояния x (ts) полной системы. В целом, результаты вычислительных экспериментов свидетельствуют о достаточной эффективности описанного выше подхода к решению задачи оптимального управления, которая характеризуется сложной нелинейной динамикой системы (1), (2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
2. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985.
3. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 51-60.
4. Мазгалин Д.В. Построение способа управления ракетой-носителем при использовании в качестве управления программных угловых скоростей разворотов // Информационно-управляющие системы. 2010. № 3 (46). С. 21-29.
5. Думшева Т.Д., Костоусов В.Б., Костоусова Е.К., Починский В.И. Исследование задачи оптимального вывода полезной нагрузки на заданную эллиптическую орбиту // Тр. Ин-та математики и механики. УрО РАН. 2010. Т. 16. № 5. C. 57-65.
6. Охоцимский Д.Е, Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990.
7. Кандоба И.Н., Козьмин И.В., Ложников А.Б., Починский В.И. Оптимальное по быстродействию управление в задаче выведения ракеты-носителя // Забабахинские научные чтения: сборник материалов 12 Международной конференции. РФЯЦ-ВНИИТФ, Снежинск, 2014. С. 294-296.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке программы ориентированных фундаментальных исследований УрО РАН (проект № 13-1-012-НПО).
Поступила в редакцию 30 апреля 2015 г.
0
и
Kandoba I.N., Kozmin I.V., Kostousova E.K., Pochinskii V.I. ON A CONTROL WITH A GUIDE IN A PROBLEM OF OPTIMAL LAUNCHER INJECTION
A problem of optimal injection of a rocket carrier (a launcher) into a given near-earth elliptic orbit under some constraints on the control and the state of the nonlinear dynamic system describing launcher motion is considered. The mathematical model of launcher controlled motion includes the equations of translational motion of the mass center of the launcher and the equations of launcher rotation as a solid body. It is required to design a program control for the launcher that provides the maximal value of the payload mass led to the given orbit. One approach to constructing admissible controls in this problem based on the methodology of control problems with a guide is suggested. Results of the numerical simulation with the use of real data are presented.
Key words: osculating orbit; dynamic system; optimal control; state constraints; guide; accompanying positions.
Кандоба Игорь Николаевич, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Kandoba Igor Nikolaevich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Krasovskii of UB RAS, Ekaterinburg, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, e-mail: [email protected]
Козьмин Иван Викторович, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Kozmin Ivan Viktorovich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Krasovskii of UB RAS, Ekaterinburg, the Russian Federation, Researcher, e-mail: [email protected]
Костоусова Елена Кирилловна, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Kostousova Elena Kirillovna, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Krasovskii of UB RAS, Ekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher, e-mail: [email protected]
Починский Вениамин Иванович, ОАО НПО автоматики им. акад. Н. А. Семихатова, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Pochinskii Veniamin Ivanovich, Scientific and Production Association of automatics named after academician N.A.Semikhatov, Ekaterinburg, the Russian Federation, Candidate of Techniques, Leading Researcher, e-mail: [email protected]
