Метод определения азимута пуска и программы угла тангажа на атмосферном активном участке полета ракеты-носителя Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ АЗИМУТА ПУСКА И ПРОГРАММЫ УГЛА ТАНГАЖА НА АТМОСФЕРНОМ АКТИВНОМ УЧАСТКЕ ПОЛЕТА РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ

Д.В. Мазгалин, В.И. Починский

THE METHOD OF DETERMINING THE AZIMUTH OF THE START AND THE TANGAGE ANGLE PROGRAM ON THE ACTIVE SITE OF ATMOSPHERIC FLIGHT OF ROCKET LAUNCHER

D. V. Mazgalin, V.l. Pochinsky

Перспективным направлением повышения готовности ракеты-носителя к запуску является учет при построении программной траектории выведения значений мери-дианальной и зональной составляющих ветра, полученных по результатам метеозондирования атмосферы. Алгоритмы построения программной траектории должны обеспечивать устойчивый ее расчет в условиях ограниченного времени подготовки полетного задания в наземной системе управления на стартовом комплексе непосредственно перед стартом с выполнением жестких требований по точности и ограничений на программу движения со стороны системы стабилизации. Проведено исследование решения задачи определения параметров управления традиционными методами Ньютона первого и второго порядка. Разработан алгоритм определения параметров управления с учетом особенностей расчета прогнозируемых отклонений. Численные эксперименты на траекториях запуска ракеты-носителя PH 14А14 показали хорошую работу алгоритма.

Ключевые слова: оптимальное управление, ракета-носитель, активный участок.

A promising direction of preparedness rocket launch is the account of the construction program trajectory breeding values of the meridian and zonal wind component, obtained as a result of atmosphere meteosounding. The algorithms for constructing program should provide a stable trajectory of its calculations in the limited time available for the flying mission in the ground control system at launch complex just before the start of implementation of stringent requirements on accuracy and movement restrictions on the program from the stabilization system. A study for solving the problem of determining the parameters of traditional management methods of Newton first and second order. An algorithm for determining the control parameters allowing for the calculation of projected variances. Numerical experiments on the trajectory of a launch rocket 14A14 have shown a good performance of the algorithm.

Keywords: optimal control, rocket launch, the active site.

Введение

системе управления на стартовом комплексе непосредственно перед стартом.

Актуальность работы заключается в необходимости повышения готовности ракеты-носителя к запуску, а также в учёте при построении программной траектории выведения значений мери-дианальной и зональной составляющих ветра, полученных по результатам метеозондирования атмосферы. При этом алгоритмы построения программной траектории должны обеспечивать устойчивый ее расчет в условиях ограниченного времени подготовки полетного задания в наземной

В рамках актуальности работы поставлены задачи: 1) выполнить математическое описание определения параметров управления традиционными методами Ньютона первого и второго порядка; 2) разработать алгоритм определения параметров управления с учетом особенностей расчета прогнозируемых отклонений.

1. Постановка задач

Мазгалин Дмитрий Вениаминович - аспирант института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург; dmazgalm@rambler. ги

Mazgalin Dmitry Veniaminovich - postgraduate student of Institute of Mathematics and Mechanics of The Ural Branch of RAS, Ekaterinburg; dmazgalin@rambler.ru

Починский Вениамин Иванович - ведущий разработчик ФГУП НПО А, г. Екатеринбург; avt@npoa.ru

Pochinsky Veniamin Ivanovich - senior researcher of Federal State Unitary Enterprise NPOA, Ekaterinburg; avt@npoa.ru

2. Математическое описание определения

параметров управления

Одной из задач, решаемых баллистическим навигационным обеспечением запуска ракеты-носителя (PH) с космическим аппаратом (КА), является построение программной траектории выведения на заданную орбиту. Движение PH определяется заданием ориентации вектора тяги (оси PH) через угловые программы по углам тангажа и рыскания. По сложившейся практике [1, 2] на атмосферном участке полета после прохождения кратковременного вертикального участка программа по углу тангажа задается в виде

VW = 6(0+a(0;

_ (1) a(0 = а ехр(а(? - /,)) (l - exp (а(? - tx))),

где 0(0 - угол тангажа вектора поточной скорости центра масс; a(t) — угол атаки; /, - момент окончания участка вертикального полета; a - амплитуда угла атаки; а - коэффициент развертки программы угла атаки по времени, а < 0 .

Программа по углу рыскания \ypr{t) задается соотношением \fpX0 = 0.

Плоскость полета PH определяется заданием азимута пуска (Р0).

При разработке системы управления PH Союз-2 для обеспечения условий управляемости и стабилизируемое™ при запусках с большими аэродинамическими обтекателями при реально действующих ветрах, учете паспортных параметров PH, определяемых на стартовом комплексе, были выдвинуты дополнительные требования:

а) должен быть предусмотрен вариант построения программной траектории в наземной аппаратуре системы управления (НАСУ) с учетом данных по измеренным значениям меридианаль-ной и зональной составляющих ветра, полученных по результатам метеозондирования атмосферы за 5-7 часов до запуска PH;

б) на атмосферном участке полета первой ступени, начиная с высоты h = 3,5 км (достижения числа Маха величины = 0,7) до окончания работы двигательной установки первой ступени в момент ?2 (достижения высоты ~ 45 км), программные значения углов атаки a(t) и скольжения (р(0) не должны превышать 10 угловых минут, то есть практически быть нулевыми;

в) величины прогнозируемых отклонений точки падения корпуса первой ступени от центра разрешенного района падения по дальности (L) и направлению (б) не должны превышать заданных величин.

Наличие ограничения по величине угла скольжения видоизменило на PH Союз-2 задание программы по углу рыскания на участке полета первой ступени. Значение vjipr(t) полагается равным нулю от момента пуска (/кп) до момента достижения высоты h = 3,5 км. На последующем интервале полета значение wpr(t) полагается равным углу

рыскания вектора поточной скорости (уДО = о(0)-Сопряжение программ ург(0 = 0 и \\iprU) = с>(0 проводится по линейной зависимости с учетом ограничения по величине угловой скорости.

Значение коэффициента а выбирается из условия обеспечения на момент достижения высоты в 3,5 км значения |а(0|^Ю угловых минут и а(/) < 0. Проведенные исследования показали, что для PH типа Союз-2 значение параметра а может быть выбрано единым для всех условий пуска и равным -0,2.

Параметрами управления, с помощью которых можно обеспечивать нулевые значения прогнозируемых отклонений I и В на момент окончания работы ДУ первой ступени остаются а и Р0.

Значения отклонений по дальности и направлению при заданных значениях (а, Р0) могут быть получены посредством интегрирования уравнений движения PH на активном участке полета первой ступени и уравнений движения корпуса первой ступени на пассивном участке после отделения ее от PH. Таким образом, зависимости Ь = Ь(а, Р0), В = В( а, Р0) являются сложными функциями, заданными через решения систем нелинейных дифференциальных уравнений.

На первом этапе разработки СУ PH Союз-2 для определения значения параметров а, Р0 применялся метод баллистической пристрелки с использованием метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений:

Да,/>0) = 0;

В(а,Р0) = 0.

Известно [3], что метод Ньютона позволяет найти решение системы нелинейных уравнений при выполнении условий:

— существования и единственности решения в области поиска;

-равномерной ограниченности первых производных и ограниченности нормы отображения (I, В) -»(а, Р0) в области поиска.

Неопределенность в действующих возмущениях и временные ограничения на время построения программной траектории в НАСУ на стартовом комплексе не позволяют заранее выбрать начальные условия по ( а, Р0), обеспечивающие быструю сходимость.

При некоторых сочетаниях возмущений требования не выполняются, и может иметь место расходимость метода Ньютона при решении системы (2). Такие случаи были обнаружены при проведении тестирования и отработки метода построения программной траектории на моделирующих позициях.

В связи с этим были проведены исследования, направленные на построение метода нахождения (а, Рц), при котором в случае существования решения системы (2), получались бы искомые параметры, а в случае его отсутствия получались бы

Метод определения азимута пуска и программы угла тангажа на атмосферном активном участке полета ракеты-носителя

значения а, Р0, дающие наименьшее отклонение модуля радиуса отклонения точки падения корпуса первой ступени от центра разрешенного района, то есть обеспечивалось

ттй Ро р(а, ^о), (3)

где

р(а, Р0) = j(L(a,P0))2+(B(a,PQ)f .

Первый этап исследований проводился применительно к запуску КА «Corot» на замкнутую эллиптическую полярную орбиту с углом наклона i„ak = 98,3 град.

Были рассмотрены следующие варианты алгоритма поиска (а, Р0).

Вариант 1. Поиск (а, Р0) методом наискорейшего спуска по градиенту функции р( а, Р0) с организацией минимизации целевой функции вдоль градиентного направления методом квадратичной аппроксимации (метод ДСК [4]).

В качестве начального приближения точки (а, Р0) брались значения, полученные в предположении номинальных условий пуска и отсутствия вращения Земли. Численное моделирование показало очень медленную сходимость метода. Число необходимых итераций превысило 300, что является недопустимым в виду имеющихся ограничений по времени расчета.

Для выяснения причин низкой скорости сходимости была построена поверхность р = р( а, Р0). Выяснилось, что зависимость р = р( а, Р0) представляет собой узкий желоб вдоль оси а, что и объясняет низкую скорость сходимости.

Вариант 2. Метод минимизации с использованием вторых производных (метод Ньютона второго порядка [4]).

По проведенным расчетам при тех же начальных условиях, что и для метода градиентного спуска (вариант 1), процесс поиска разошелся. Причина состояла в том, что матрица, обратная матрице Гессе целевой функции, не оказалась положительно определенной.

В связи с неудовлетворительными результатами по определению а, Р0 с использованием традиционных общих методов поиска экстремума, была проведена разработка метода, учитывающего специфические свойства функций L = Д a, Р0), В = В( a, Р0).

Вариант 3. Метод определения параметров управления (а, Р0) с учетом свойств функций L(a,Po),B(a,Po)[5].

Уравнение В( a, Р0) = 0 при фиксированном а Ф 0 всегда имеет решение по Р0. В простейшем случае, когда вращение Земли и ветер отсутствуют, искомое решение Р0 равно пеленгу геодезической линии Pgeod из точки старта на точку центра района падения. Именно поэтому Pgeod берется, обычно, в качестве начального приближения в итерационных процессах.

Функции L = L(а, Р0), В = В(a, Р0) являются

непрерывными, допускающими разложение в ряд Тэйлора по приращениям Да, АР, где Аа - приращение а и АР - приращение к Р0.

Производная дВ/дР0 имеет порядок /?35т(о3), где о3 - угловая дальность от точки старта до точки падения, К3 - радиус Земли. То есть величина дВ/дР0 существенно отличается от нулевого значения. Функция В = В{ а, />о) хорошо аппроксимируется линейной зависимостью. Отсюда, для определения поправки АР, обнуляющей величину В(а + Аа, Р0 + АР)

приближение

, можно использовать линеиное

дВ

АР = (-1) В(й,Р0) + ~:Аа

да

дВ

(4)

Проведем разложение в ряд Тейлора функции Ь = Да, Р0), подставим в него вместо АР соотношение (4) и учтем в членах второго порядка глав-

ныи член

1 d2L

2 да2

В результате получим

Да + Да, Р0 + АР) « Lob (а, Р0) + ^Ц

Да +

ob

1 d2L

(Аа)2,

2 да2

где использованы обозначения

(5)

L0b ~ L(a, Р0)-

dL

дРг

В(а, Р0)/

дВ

дР

о

dL

да

ob

dL

да

dL дВ /дВ

дР0 да/

дРп

Определим значение Аакг из условия, что определяющий основной член второго порядка по (Да)2 меньше, чем допустимая погрешность Е1 определения отклонения по дальности, то есть

Аа

gr

Тогда имеем в линейном плане:

Да + Аа, P0+AP)~Lob+\^)

\да)оЬ

Найдем приращение Аа из условия

Да.

(6)

(7)

mini

|Да|<Да^

1°ь+Ш

Аа .

ob

2. Алгоритм определения параметров управления

На основании приведенных рассуждений итерационный алгоритм определения параметров ( а, Р0) описывается следующими шагами.

Шаг 1. На начало /-го шага считаются определенными значения:

1. (а(/), ,Ро(0) ~ ,_е приближение к искомым параметрам.

2. Значения целевой функции Ц а(г), Ро(г)), В( а (г), Л,(0) и их производные первого и второго порядка, найденные численным методом.

Шаг 2. По второй производной вычисляется значение допуска на возможное приращение а на г'-м шаге

/ д2Г,

2е,/

/ да2

Ла„Д/):

Шаг 3. Вычисляется максимально возможное уменьшение целевой функции \Ц д.(і'), Ро(0)| на /'-м шаге по линейному приближению с учетом ограничения по приращению а :

•Да

&

&*.)оЬ и обобщенное отклонение

1оЬ =Ь(а(і), Р0(і))-

ді

дРа

втг), р0т

' дБ

о;

Шаг 4. Осуществляется проверка выполнения условий:

4.1. \Ь(аО), Р00))\<г2 и \В(а(г), Р0(Г))\ < е2 ,

где г2 допуск на точность приведения в заданный район.

4.2. Ьу< б2 и |5(а(/), Р0(0)| < ^2 ■

4.3. N > N,1, где N - число проведенных итераций, - максимально допустимое число итераций.

Если хотя бы одно из условий 4.1—4.3 выполнено, то фиксируется окончание поиска.

Шаг 5. Если ни одно из условий 4.1-4.3 не выполнено, то проводим вычисление корректирующих поправок для искомых параметров.

1. Если Ьу> г2 и Да (г + 1) =

\^оЬ \> ^ у с

1 , то берем

Да^п(1о4).

2. Если Ьу> е2 и Да(; + 1) > -ЬоЪ

ьоЬ\<^

’, то берем

Іді.

‘оЬ

да

3. Если Ьу<е2 и ЬоЬ > 0, то берем Да(/ + 1) = Ма,.г,

значение коэффициента к подбиралось опытным путем и положено равным -4.

4. Если Ьу<е2 и ^оЬ < ^ , то берем Да(г + 1) = 0.

Вычисляем

ДР(г +1) = -Я(а(0, Р0 (0) +

дВ(а(Г), Р) (/)) /аЛ(а(/),/о(0)

н-------:------Ла(г +1) / -

5а

дРп

Шаг 6. Подготовка к следующему шагу а(/ +1) = а(/) + Да(г +1) ,

Р0(1 + 1) = Р0(0 + АР(г + 1)

В качестве первого приближения берутся значения (а, Р0), определенные без учета вращения Земли и ветра. В этом случае значение Р0 равно пеленгу геодезической линии, проведенной из точки старта в центр разрешенного района падения корпуса первой ступени, а а может быть найдено однократно для всех условий пуска методом баллистической пристрелки.

Третий вариант определения (а, Р0) был протестирован на шести запусках PH Союз-2 при задании составляющих ветра равными полученным по данным метеозондирования перед пуском, а также при задании систематических возмущений по термодинамическим характеристикам атмосферы для каждого месяца года по ОСТ.

Во всех рассмотренных условиях запусков PH Союз-2 число итераций не превысило 23, при этом обеспечивалось выполнение требований по точности приведения корпуса первой ступени в разрешенный район падения и выполнение требований по времени построения программной траектории.

Заключение

Проведенные исследования позволили разработать простой, показавший в проведенном тестировании хорошую сходимость и удовлетворяющий требованиям по точности метод определения параметров управления и построения программной траектории на атмосферном участке полета PH Союз-2 в условиях учета данных по метеозондированию атмосферы.

Литература

1. Апазов, Р.Ф. Методы проектирования траекторий носителей и спутников Земли / Р. Ф. Апазов, О.Г. Сытин. — М.: Наука, 1987.

2. Баллистические ракеты и ракеты-носители / О.М. Алифанов, А.Н. Андреев, В.Н. Гущин и др. -М.: Дрофа, 2004.

3. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р.П. Федоренко. — М.: Наука, 1978.

4. Химмельблау, Д. Прикладное и нелинейное программирование / Д. Химмельблау. - М.: Мир, 1975.

5. Разработка оптимального способа построения программного движения на А У без ограничений на районы падения элементов конструкций PH. Отчет по научно-исследовательской работе. — Екатеринбург: УрО РАН ИММ, 2008.

Поступила в редакцию 14 мая 2010 г.