CC BY
9ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2007. № 1
55
Краткие сообщения
УДК 517.544.72+517.574
ОБ УГЛОВЫХ ПРЕДЕЛАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ
В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ
С. Л. Берберян
1. В настоящей работе изучается вопрос существования угловых пределов у гармонических функций f (z), определенных в круге D : \z\ < 1, в произвольной точке £ G Г : \z\ = 1. Будем придерживаться общепринятых обозначений. Через Л« обозначим диаметр, соединяющий точки £ и —£. Интерпретируя круг D как модель плоскости в геометрии Лобачевского, обозначим через a(zi, Z2) неевклидово расстояние между точками zi, z2 из круга D :
<7(21,22) = iln((l+u)/(l-u)),
где u = \(zi — z2)/(1 — ziz2)\.
Через l(£, ф) обозначим гиперцикл, который соединяет точки £ и —£ и образует с диаметром Л« угол ф G (—п/2,п/2). Пусть H(£,^1,^2) — область, ограниченная гиперциклами 1(£,ф1 ),1(£,ф2), где ф1,ф2 G (—п/2,п/2). Для произвольного подмножества S круга D, для которого точка £ G Г является предельной точкой, обозначим через C (f, £, S) предельное множество функций f (z) в точке £ относительно множества S. Если для любых значений ф1,ф2 G (—п/2,п/2) предельное множество C(f,£, Н(£,ф1 состоит из
единственного значения а, то говорят, что функция f (z) имеет в точке £ G Г угловой предел а. Скажем, что гармоническая функция f (z) нормальна в D, если нормально в D в смысле Монтеля семейство {f (S(z)),S(z) G T}, где T — группа автоморфизмов круга D (см. [1]).
Теорема 1. Пусть f (z) — гармоническая функция в D. Для того чтобы функция f (z) имела в произвольной точке £ G Г конечный угловой предел а, необходимо и достаточно, чтобы предельные множества C(f,£, Н(£,ф1,ф2)) были ограничены сверху (снизу) в любой области H(£,ф1 ,ф2) и существовали два гиперцикла 1(£,ф1 )и 1(£,ф2), для которых справедливо соотношение
lim f (z) = lim f (z) = а. (1)
z^« z >«
zei(«,^i) zei(«,<P2)
Из этой теоремы следует результат, полученный Миком (см. [2]) при значительно более жестком предположении.
Теорема 2. Пусть f (z) — нормальная гармоническая функция в D. Для того чтобы функция f (z) имела конечный угловой предел а в произвольной точке £ G Г, необходимо и достаточно, чтобы существовали два гиперцикла 1(£,ф1 ),1(£,ф2), где ,ф2 G (—п/2,п/2), для которых справедливо соотношение (1).
Достаточность в утверждении теоремы 2 была получена Миком при условии, что существует предел
а у функции f (z) в некоторой области H (£,ф1 ,ф2), т.е. lim f (z) = а.
z *« zen («,^1,^2)
Замечание 1. Пример функции f (z) = arg(1 — z) показывает, что условие существования предела по двум гиперциклам нельзя заменить условием существования предела по одному гиперциклу.
2. Вычислительную часть доказательства теоремы 1 выделим в виде лемм.
Лемма 1. Пусть S — произвольная подобласть круга D и точка £ G Г является одной из предельных точек множества S. Если гармоническая в D функция f (z) имеет C (f,£, S) = R, где R = {—œ}U R U {+œ} (под R понимается множество действительных чисел), то для любых последовательностей точек (zn), (z'n), zn,z'n G S, n G N, lim a(zn,z'n) = 0, lim zn = £, из свойства lim f (zn) = a следует,
что lim f (z'n) = a.
Доказательство леммы 1 дано в работе [3].
56
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2007. № 1
Лемма 2. Пусть f (z) — гармоническая функция в D и предельные множества C(/,С, И(С,ф1,ф2)) ограничены сверху (или снизу) для любой области И(С, ф ,ф2)• Если предельные множества C(f,£, )) и C№,С,1(С,ф2)) ограничены сверху (или снизу) 'числом а, то и предельное множество C(f,£, И (С, Ф ,^2)) ограничено сверху (снизу) числом а•
Доказательство. Доказательство ведем методом от противного. Без нарушения общности будем считать, что С = 1. Предположим, что
um f (z) = ß>a. (2)
z^l z€H(1,#° #2)
Это значит, что существует такая последовательность {zn}, zn Е И(1,ф°,ф2), lim zn = 1, что lim f (zn) = ß > а. Проведем через точки {zn} неевклидовы перпендикуляры En к радиусу в точке С = 1,
n^-ж
пересекающие радиус, ^(^ф) соответственно в точках rn,tn,qn. Обозначим через E'n,E"n два ги-
перцикла на некотором конечном расстоянии Q от En, а через Fn, F^ — два гиперцикла на расстоянии Q + 1 от En. Обозначим через Gn замкнутую область, ограниченную гиперциклами 1(С, ф), l(C, ф2), Eln, E'n, а через G'n — замкнутую область, ограниченную гиперциклами ), К^ф), F"n, F^. Рассмотрим ото-
бражения Sn(z) = (z + rn)/(1 + rnz), n = 1, 2,... и rn — 1 при n — со. В силу свойств неевклидовой геометрии при этих отображениях гиперциклы l(1,Vi), 1(1,ф2), К^Ф), К^Ф) остаются инвариантными, прообразами En будет диаметр L, соединяющий точки i и —i, а прообразами E'n,E.n, Fn, F" — гиперциклы l(i, ф), l(i, — ф), l(i, —ф), l(i,v'), симметричные относительно L. Отсюда следует, что прообразом точек tn при отображениях Sn(z), где n = 1, 2,..., будет точка to, лежащая на пересечении гиперциклов l(1,v1) и L, а прообразом точек qn — точка q?, лежащая не пересечении гиперциклов 1(1,ф2) и L. При любом n имеем Sn(0) = rn и Sn(K) = Gn, Sn(K') = G'n, где K, K' — компакты, лежащие соответственно между l(i, —ф), l(i, ф), l(1,V0), l(1,v2) и l(i, —ф), l(i,v'), К^ф), К^ф). Очевидно, что K С K', lim a(zn,tn) > 0 и lim a(zn,qn) > 0, так как в противном случае из соотношения lim а(znk,tnk) = 0
га—>00 га—>00 fc—>оо
или lim a(znk ,tnk) = 0 следовало бы ввиду леммы 1, что lim f (tnk) = ß или lim f (qnk) = ß. Это невоз-
к^ж к^ж к^ж
можно, так как tnk £ l(1,^°), qnk Е К^ф). В силу инвариантности метрики а при отображениях Sn(z) предельные точки последовательности z'n, где z'n — прообразы zn, лежат внутри компакта K на диаметре L. Так как при любом n имеем Sn(K') С И(1, ф^, ф), то семейство {f (Sn(z))} ограничено сверху и в силу критерия Монтеля (см. [4]) нормально на K'. Пусть zo — одна из предельных точек последовательности z'n, т.е. z0 = lim z'n, . Так как
n к^ж nk
F(z?) = lim F(z^) = lim f (Snk(z'nk)) = klim f (z^) = ß = —с, (3)
к^ж k к^ж k к^ж
то случай равномерной расходимости на K исключается. Из соотношения (2) будем иметь, что предельная функция F (z) < ß .В силу принципа максимума для субгармонических функций F (z) = ß, что невозможно, так как
F(to) = lim f (Snk (to) = lim f (tnk) < а,
к^ж к^ж (4)
F(qo) = ,lim f (Snk (qo) = ,lim f (qnk) < а.
к^-ж к^ж
Следовательно, а > ß и предельное множество C(f, 1,И(1,ф°°,Ф2)) ограничено сверху числом а, что и требовалось доказать.
3. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть f (z) — гармоническая функция в D• Для того чтобы функция f (z) имела конечный угловой предел а в произвольной точке С £ Г, необходимо и достаточно, чтобы:
1) предельные множества C(f, С, И(С, ф1,ф2)) были ограничены сверху (снизу) для любой области
И (С,ф1 ,ф2);
2) предельные множества C(f ,С,КС,Ф^^(f^^fä,^)) для двух гиперциклов 1(С,ф1 ),1(С, ф2) были ограничены сверху (снизу) числом а;
3) существовала такая кривая l^ с концом в точке С, содержащаяся в некоторой области
И(С,ф,ф) с И(С,ф ,ф), что lim f (z) = а•
z^i
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2007. № 1
57
Доказательство. Необходимость условий теоремы 3 очевидна. Докажем достаточность условий теоремы 3. Рассмотрим сколь угодно большую область H(£,'",'2) Э H(£,'\,'2) и произвольную последовательность {zn} — £,zn Е H(£,''-!,ф'о). Докажем, что lim f (zn) = а. Рассмотрим сколь угодно большую
область H(£,''' ), целиком содержащую область H(£,''1 2). Через zn проведем неевклидовы перпендикуляры En к радиусу Л0 и проведем гиперциклы E'n ,E"n на неевклидовом расстоянии Q от En и гиперциклы F,n, F.n на неевклидовом расстоянии Q + 1 от En. Рассуждая так же, как в лемме 2, относительно областей H(£,''"2 ), H(£,''{,'2),H(£,'\), получим три компакта K' С K'' С K'''. На компакте K' предельная функция F(z) = а в силу принципа максимума(или минимума), и в силу теоремы единственности гармонических функций F(z) = а на K''. Отсюда следует, что lim f (zn) = а.
Замечание 2. На примере функции f (z) = arg(1 — z) легко видеть, что условие 3 в теореме 3 существенно.
Доказательство теоремы 1. Необходимость условий теоремы 1 очевидна. Для доказательства достаточности воспользуемся утверждением леммы 2, согласно которому предельное множество C(f,£, H (£, 2)) состоит только из одного значения а. Применяя теорему 3, получим достаточность условий теоремы 1.
Доказательство теоремы 2. Учитывая (см. [5]), что нормальная гармоническая функция f(z), ограниченная сверху (или снизу) вдоль некоторой некасательной к Г в точке £ Е Г кривой Ц, будет ограничена сверху(или снизу) в любом угле H(£, '\, '2), и принимая во внимание утверждение теоремы 1, получим достаточность условий в теореме 2. Необходимость условий в теореме 2 очевидна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lehto O, Virtanen K.I. Boundary behaviour and normal meromorphic functions // Acta math. 1957. 97, N 1-2. 47-65.
2. Meek J. On Fatous points of normal subharmonic functions // Mathematica Japonica. 1977. 22, N 3. 309-314.
3. Берберян С.Л., Гаврилов В.И. Предельные множества непрерывных и гармонических функций по некасательным граничным путям // Math. Montisnigri. 1993. 1. 17-25.
4. Монтель П. Нормальные семейства функций. М.; Л.: НТЛ, 1936.
5. Берберян С.Л. О граничных свойствах субгармонических функций, порождающих нормальные семейства на подгруппах автоморфизмов единичного круга // Изв. АН АрмССР. Сер. матем. 1980. 15, № 4. 395-402.
Поступила в редакцию 28.11.2005
УДК 593.374
ОБ ЭФФЕКТЕ "УСКОРЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ" В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
А. Б. Анисимов
В работе рассматривается частный случай определяющих соотношений нелинейной теории вязко-упругости Победри и показывается их применимость к задаче описания разупрочнения материалов при пульсирующем нагружении.
1. Самой общей формой записи физически нелинейных операторов определяющих соотношений вяз-коупругой среды является кратно-интегральный ряд Вольтерры [1].
В работе [2] описан частный случай таких определяющих соотношений. Нелинейные теории вязко-упругости, построенные на основе однократных интегралов, хотя и адекватны, но взаимообратны только в некоторых очень частных случаях. Кроме того, существуют эксперименты, в которых немонотонные периодические нагрузки приводят к ускорению ползучести [3, 4]. Эти эксперименты не удается объяснить "главными" теориями вязкоупругости, т.е. теориями, основанными на однократных интегралах. Нелинейная теория вязкоупругости Победри [2, 5, 6] адекватна (содержит материальные функции, которые могут быть найдены экспериментально), и из нее разложением по малому параметру легко получается кратно-интегральная теория Вольтерры. Для одномерного случая доказана взаимообратность теории Победри [7]. В работе рассматривается частный случай этой теории и показывается, что с его помощью описывается эффект "ускорения ползучести".
