CC BY
23
НАУКИ О ЗЕМЛЕ. Геодезия и маркшейдерское дело
DOI.org/10.5281/zenodo.1196707 УДК 528.1
М.Д. Герасименко, В.М. Каморный
ГЕРАСИМЕНКО МИХАИЛ ДАНИЛОВИЧ - д.т.н., профессор, главный научный сотрудник e-mail: mdg@iam.dvo.ru
Институт прикладной математики ДВО РАН
(кафедра геодезии, землеустройства и кадастра Инженерной школы ДВФУ) Радио ул., 7, Владивосток, 690041
КАМОРНЫЙ ВАЛЕРИЙ МИХАЙЛОВИЧ - к.т.н., профессор кафедры геодезии, землеустройства и кадастра Инженерной школы, e-mail: kamornyy.vm@dvfu.ru Дальневосточный федеральный университет Суханова ул. 8, Владивосток, 690091
Об учете разновременности повторных наблюдений на геодинамических полигонах при их математической обработке
Аннотация: Анализируется влияние разновременности измерений в каждой эпохе при повторных наблюдениях на геодинамических полигонах. Сделан вывод, что разновременность наблюдений в каждой эпохе может оказать существенное влияние на результаты, поэтому следует отдать предпочтение строгому способу обработки скоростей изменения во времени измеряемых величин. Ключевые слова: уравнивание, повторные наблюдения, геодинамический полигон, разновременность наблюдений.
Введение
Большинство программ, используемых в настоящее время для обработки повторных измерений на геодинамических полигонах (ГД11), предполагает, что все измерения, отнесенные к эпохе ti, выполнены одновременно. Практически наблюдения в эпоху ti выполняются на ГД11 в течение довольно длительного промежутка времени, за который могли произойти весьма существенные подвижки земной коры, поэтому для каждого измерения j следует указать эпоху tij. Учет разновременности наблюдений можно вести разными способами.
Наиболее удобным и строгим математическим аппаратом в этом случае является знаменитый фильтр Калмана, который в настоящее время хорошо известен геодезистам благодаря исследованиям профессора В.К. Панкрушина и его учеников [3]. Исследования в данном направлении представлены в последние годы в работах [1, 2 и др.], причем в [1] приведен достаточно обширный критический обзор публикаций по применению фильтра Калмана в геодезии. Недостатком способа является невозможность исключения систематических ошибок измерений, в том числе и ошибок редуцирования измерений на поверхность относимости. Этот недостаток данного способа до сих пор не преодолен.
Другой путь учета разновременности наблюдений - составление уравнений поправок измеренных величин для эпохи t0 < t0 < t2) относительно необходимых неизвестных вектора коор-
dX
динат X и вектора составляющих скоростей смещения пунктов по осям координат w = — . Этот
dt
© Герасименко М.Д., Каморный В.М., 2018
О статье: поступила: 29.11.2017; финансирование: работа выполнена при частичной поддержке Комплексной программой фундаментальных научных исследований ДВО РАН «Дальний Восток» на 2018 г.
путь отражен в работах [4, 5]. Его недостатки: не только не исключается влияние ошибок редуцирования измерений на оценку точности результатов, но приходится решать систему нормальных уравнений вдвое большего порядка.
Способ уравнивания разностей измерений устраняет недостатки указанных выше способов, связанные с систематическими ошибками измерений и ошибками редуцирования. Порядок решаемой системы уравнений равен лишь числу неизвестных координат. Разновременность наблюдений в этом способе легко учесть, если уравнения поправок составлять относительно скоростей изменения измеряемых величин вместо разностей измерений, т.е. в качестве свободных членов использовать величины - А/
А11 = АТ , (1)
где А/. = ¡у — - разность измерений, АГ = ¿2 — ^ - разность времени измерений.
Таким образом, в зависимости от того, что считать в качестве результатов измерений при уравнивании и их весов, будут получены несколько различающиеся окончательные результаты.
Цель настоящей работы - исследование влияния разновременности реальных геодезических измерений на геодинамическом полигоне на результаты оценки определяемых параметров современных движений земной коры и выявление наиболее оптимального алгоритма математической обработки наблюдений.
Приближенное уравнивание разностей измерений
Уравнения поправок составляются для разностей измерений в виде
Ау. = а лдхл + а ,дх, +... + А/
] ]1 1 ] 2 2 ]
с весами
С
Р = 2 с 2 , (2)
] Щ] + т]
где дхк - поправки в разности координат пунктов, и - средние квадратические ошибки
измерений для 1-й и 2-й эпох.
Из решения нормальных уравнений получим вектор уравненных координат
дх = —NЬ, (3)
где
N = Ат РА,
(4)
Ь = А РА/.
Вектор свободных членов уравнений поправок А/ и их весовая матрица Р устанавливаются по формулам (1) и (2).
Уравнивание скоростей изменения результатов непосредственных измерений
Уравнения поправок имеют вид
Аvj = а. дх1 + а 2дх2 +... + А/., (5)
а веса устанавливаются по формуле (2). Горизонтальная черта над символами здесь и далее указывает, что соответствующие им величины являются скоростями.
В результате решения системы нормальных уравнений по известным формулам метода наименьших квадратов (3)-(4) получим требуемый вектор скоростей подвижек пунктов по осям координат.
Полученное решение является нестрогим, так как при составлении системы нормальных уравнений веса вычисляется по формуле (2). По сути дела, здесь сделан переход к уравниванию
функций результатов непосредственных измерений, и при установлении весов не учтено, что свободные члены уравнения (5) зависят от промежутков времени А^. .
Строгое уравнивание скоростей изменения результатов непосредственных измерений
Недостаток предыдущего способа легко исправить, если уравнениям поправок приписать
веса
которые получаются с учетом функциональной зависимости А/. от А^..
Тогда по стандартной методике (3)-(4) получим искомый вектор скоростей смещений
Анализ способов уравнивания
Изложенные выше способы уравнивания несколько различаются между собой и приводят, естественно, к различным результатам обработки, поэтому встает задача сравнения этих способов. К сожалению, эта задача теоретически становится неразрешимой, так как разности измеряемых величин относятся, во-первых, к разным промежуткам времени, во-вторых - они неравноточны из-за неравноточности непосредственных результатов измерений направлений и длин линий.
По этим причинам все оценки параметров подвижек современных движений земной коры (СДЗК) в 1-м способе становятся неопределенными, так как не представляется возможным получить строго промежуток времени, за который произошли подвижки. 2-й и 3-й способы более определенны в этом смысле, так как дают скорости изменения оценок СДЗК на заданный промежуток времени.
В табл. 1 для сравнения приведены скорости изменения оценок координат пунктов, наблюдаемые в 1981 и 1983 гг., для трех рассматриваемых способов линейно-угловой сети Карымского геодинамического полигона (Камчатка) (см. рисунок).
Р
К + т1
пунктов 8Х = — N Ь .
8
6
1
3
Схема линейно-угловой сети Карымского геодинамического полигона.
Таблица 1
Скорости изменения координат и оценка их точности, мм/год
Пункт Способ 1 Способ 2 Способ 3
8х т 8х т 8х т
1 3 10 4 10 3 10
-18 9 -18 10 -18 10
2 -1 6 -2 6 0 6
3 5 4 5 3 5
3 5 6 5 7 6 7
-7 7 -9 8 -7 8
4 -9 6 -9 7 -12 6
-8 6 -8 7 -8 6
5 1 6 0 6 1 6
0 6 0 6 1 6
6 -6 8 -6 9 -6 9
8 7 8 7 8 8
7 8 6 9 7 9 7
10 7 10 7 11 7
8 2 8 -2 9 -3 9
1 6 0 6 1 6
9 6 7 7 8 6 8
-10 6 -11 6 -10 6
10 -4 4 -5 5 -5 5
3 5 3 5 3 5
11 -1 4 0 5 0 5
15 5 15 5 15 5
12 0 5 0 6 1 5
-7 5 -6 5 -7 5
13 2 4 3 5 3 5
4 4 5 5 4 4
14 -2 4 -2 4 -2 4
3 4 -2 5 -3 5
15 -1 4 -1 4 0 4
9 5 9 5 9 5
Данные табл. 1 на первый взгляд свидетельствуют, что нельзя отдать преимущество тому или иному способу обработки: результаты оценки точности практически идентичны. Но сами величины смещений пунктов отличаются от теоретически более строгого 3 способа до 5 мм/год, что практически в среднем сравнимо с самими величинами смещений. Анализ дат наблюдений показал, что в среднем разность этих дат для двух эпох составляет примерно At =1,87 года. Более точно устанавливать её не имеет смысла, так как из-за неравноточности измерений сами разности дат измерений становятся неравноточными. Учитывая сказанное, оценки способа 1 можно несколько уточнить, умножив их на коэффициент К=2/1,87 = 1,07, приближенно приводящий полученные результаты обработки к промежутку времени в 1 год.
В табл. 2 приведены значимые скорости изменения дилатации А (в год) для трех рассматриваемых способов обработки, причем в способе 1 они уже приведены к одному году с учетом коэффициента К=1,07.
Таблица 2
Значимые скорости изменения дилатации и ее средние квадратические ошибки
Название треугольника Способ 1 Способ 2 Способ 3
А КА А КА А КА
2-1-3 3,11 1,31 -2,62 1,31 -2,98 1,32
3-4-13 0,73 0,56 0,86 0,56 0,74 0,59
4-5-13 1.18 0,52 1,33 0,53 1,21 0,57
5-6-11 0,71 0,56 0,68 0,56 0,75 0,57
6-7-10 0,78 0,55 0,77 0,55 0,78 0,55
8-9-10 -0,94 0,60 -0,95 0,60 -0,94 0,60
9-12-15 -0,91 0,44 -0,88 0,44 -0,79 0,42
11-15-14 -0,78 0,49 -0,75 0,49 -0,69 0,50
11-14-13 -1,58 0,51 -1,56 0,52 -1,52 0,53
Таблица 3
Значимые скорости изменения растяжения и их средние квадратические ошибки
Название треугольника Способ 1 Способ 2 Способ 3
Е, тщ Ег тЕг Ег тЕг
3-4-13 2,65 0,94 0,94 0,95 2,72 1,01
4-5-13 2,40 0,83 2,70 0,85 2,46 0,90
5-11-13 1,23 0,83 1,20 0,90 1,37 0,93
5-6-11 2,10 1,10 2,02 1,10 2,09 1,11
6-7-10 2,10 0,83 2,13 0,83 2,09 0,85
7-8-10 2,15 1,05 2,19 1,06 2,18 1,09
Анализ результатов табл. 2 также не дает оснований отдать предпочтение тому или иному способу обработки, хотя отдельные значения дилатации различаются до 15%. Средние же квадра-тические ошибки ее определения примерно одинаковы во всех способах.
В табл. 3 приведены аналогично табл. 1, 2 величины значимых максимального растяжения, а в табл. 4 - сжатия.
Приведенные значения компонент деформаций в целом подтверждают одинаковость качественной картины деформаций, получаемой различными способами. Численные же значения различаются до 15% и более, а результаты оценки точности практически идентичны.
Таблица 4
Значимые скорости изменения сжатия и их средние квадратические ошибки
Название треугольника Способ 1 Способ 2 Способ 3
mE2 e2 mE2 E2 mE2
1-2-12 -0,82 0,66 -0,82 0,66 -0,82 0,68
1-12-9 -0,90 0,82 -0,87 0,83 -0,94 0,83
2-1-3 -5,40 2,79 -5,00 2,79 -5,84 2,79
2-3-13 -0,77 0,64 -0,75 0,65 -0,77 0,67
2-13-14 -1,40 1,04 -1,39 1,04 -1,52 1,09
2-14-12 -0,67 0,87 -0,64 0,88 0,64 0,88
3-4-13 -1,20 0,67 -1,23 0,68 -1,23 0,71
4-5-13 -0,05 0,70 -0,04 0,69 -0,04 0,76
5-11-13 -0,97 0,61 -0,94 0,60 -0,89 0,62
5-6-11 -0,67 0,68 -0,66 0,68 -0,59 0,66
6-7-10 -0,55 0,78 -0,58 0,78 -0,52 0,72
6-10-11 -1,09 0,68 -1,10 0,69 -1,10 0,70
7-8-10 -1,59 1,07 -1,54 1,06 -1,51 1,04
8-9-10 -1,87 0,94 -1,89 0,96 -1,88 0,96
9-12-15 -2,21 0,67 -2,13 0,68 -2,02 0,65
9-15-10 -0,65 0,57 -0,66 0,62 -0,65 0,57
10-15-11 -1,07 0,67 -1,08 0,69 -1,08 0,70
11-15-14 -2,14 0,66 -2,08 0,66 -1,90 0,63
11-14-13 -2,64 0,91 -2,59 0,92 -2,47 0,94
12-14-15 -1,90 0,71 -1,82 0,70 -1,66 0,66
Отметим, что в способах 1 и 3 ошибкой единицы веса является точность измерения разностей направлений и получены значения ^ = 0",667 и ¿i3 = 0",675. Их разность равна 0",008, т.е. составляет всего около 1%. При уравнивании вторым способом ¿и2 = 0,358 с/год, т.е. является точностью скорости изменения разностей направлений и, таким образом, она не сопоставима с ^ и ¿i3.
Выводы
Таким образом, катастрофического существенного влияния разновременности наблюдений на Карымском геодинамическом полигоне в 1981-1983 гг. не обнаружено. Детальный анализ дат наблюдений на Карымском геодинамическом полигоне показал, что измерения 1983 г. в абсолютном большинстве примерно одинаково сдвинуты относительно времени года в сравнении с 1981 г., что и привело, вероятно, к полученному результату. В противном случае следует ожидать более грубых искажений в первых двух способах, поэтому без всякого сомнения следует использовать на практике лишь третий способ, в котором строго уравниваются скорости изменения измеряемых величин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гуляев Ю.П., Хорошилов В.С., Лисицкий Д.В., Кобелева Н.Н. Прогнозирование процесса перемещений плотины Саяно-Шушенской ГЭС на этапе эксплуатации 2007-2009 годов // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2015. № 5/С. С. 61-66.
2. Гуляев Ю.П., Хорошилов В.С., Лисицкий Д.В. О корректном подходе к математическому моделированию деформационных процессов инженерных сооружений по геодезическим данным // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2014. № 4/С. С. 22-29.
3. Панкрушин В.К., Васильев Е.А. К теории системного анализа и рекуррентного оценивания движений и деформаций по многомерным временным рядам геодезических наблюдений // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1983. № 3. С. 44-52.
4. Хоманько А.А. Уравнивание геодезических сетей на геодинамических полигонах // Геодезия и картография. 1980. № 1. С. 20-23.
5. Papo H.B., Perelmuter A. Reparametrization of deformation analysis. Manuscripta geodaetica. 1983(8); 1:41-53.
THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE
Geodesy and Mine Survey
D0l.org/10.5281/zenodo.1196707
Gerasimenko M., Kamornyy V.
MIKHAIL GERASIMENKO, Doctor of Technical Sciences, Professor, Chief Researcher,
e-mail: mdg@iam.dvo.ru
Institute of Applied Mathematics, FEB RAS
Radio St. 7, Vladivostok, 690041
(Department of Geodesy, Land Management and Cadastre, School of Engineering, Far Eastern Federal University)
VALERIY KAMORNYY, Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Geodesy, Land Management and Cadastre, School of Engineering, e-mail: kamornyy.vm@dvfu.ru Far Eastern Federal University 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690091
Accounting of the time difference of repeated observations on geodynamic polygons in their mathematical processing
Abstract: The article deals with the influence of time difference measurements at each epoch of repeated observations on geodynamic polygons. It is agreed that the difference in time of observations in each epoch may have a significant impact on the results. Therefore, preference should be given to the strict way of processing the rates of change in time of the measured values.
Key words: adjustment, repeated observations, geodynamic polygon, diversity of observations.
REFERENCES
1. Gulyaev Yu., Khoroshilov V., Lisitsky D., Kobeleva N. The forecast of movement process of Sajano-Shushenskaja HPS dam during the exploitation time period 2007-2009. Izvestia vuzov. Geodesy and Aerophotography. 2015;5/C:61-66.
2. Gulyaev Yu., Khoroshilov V., Lisitsky D. Abont correct approach to mathematical modeling of deformation processes of engineering constructions by geodetic supervision. Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotography. 2014;4/C:22-29.
3. Pankrushin V.K., Vasilyev E.A. On the theory of system analysis and recurrent estimation of motions and deformations in multidimensional time series of geodetic observations. Izvestia vuzov. Geodesy and Aerophotography. 1983;3:44-52.
4. Homenko A.A. Equalization of geodetic networks on geodynamic polygons // Geodesy and Cartography. 1980;1:20-23.
5. Papo H.B., Perelmuter A., Reparametrization of deformation analysis. Manuscripta Geodaetica. 1983(8); 1:41-53.
