CC BY
78
2. Российские MES-системы или как вернуть производству оптимизм / Ю. Гараева [и др.]. М.: САПР и графика. №10, 2013. С. 16-19.
3. Саратов А. А. Системный синтез структур технических объектов на основе метода взаимных штрафов // Тез. док. междунар. конф. «CAD/CAM/PDM - 2001». ИПУ РАН, 2001. С. 14-15.
4. Теория расписаний. Задачи и алгоритмы / А. А. Лазарев [и др.]. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011. 222 с.
Саратов Анатолий Алексеевич, канд. техн. наук, директор, sapford@,.tula.net, Россия, Тула, ЗАО «АК «Интерсап»
COMPETITIVE METHOD OF SYNTHESIS OF THE MACHINE SCHEDULING
A.A. Saratov
The technology of synthesis of the machine schedules realized in system "САПФОРД" discrete manufactures of machine-building plant is described. The original algorithm of structurally-parametrical synthesis of the machine schedule developed by the author is put in a basis of a technique of designing, optimised on criterion of minimisation of production costs at a delay ofperformance of orders.
Key words: the machine schedule, a method of mutual penalties, system "SAPFORD".
Saratov Anatoly Alekseeevich, candidate of technical sciences, the director, sap-ford@,.tula.net, Russia, Tula, JSC "АК "Intersap".
УДК 62-503.57
ОБ ОЦЕНКЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СЕТИ
Е.Д. Агафонов, Н.Р. Антропов
Изложены вопросы ускоренной оценки решения системы уравнений при построении модели разветвленной гидравлической сети. Модель включает в себя уравнения, составленные в соответствии с законами Кирхгофа для трубопроводной сети. Рассматривается случай, когда совместно с решением системы уравнений необходимо уточнять её коэффициенты.
Ключевые слова: моделирование, идентификация, оценка решения, непараметрические методы, гидравлическая сеть.
Многие предприятия транспорта нефти и нефтепродуктов, энергетики, коммунального хозяйства в России и за рубежом эксплуатируют гидравлические сети. Гидравлическая сеть - сложный технический объект,
модели которого обладают такими особенностями, как большая размерность системы, нелинейность и многосвязный характер описывающих ее операторов, сложная топология, наличие ненаблюдаемых и случайных факторов, влияющих на ее функционирование, и т.д. Задачи управления и прогнозирования характеристик и технологических режимов работы сети неразрывно связаны с построением ее математических моделей.
В научной и отраслевой литературе [1, 2, 3] предлагаются различные подходы к построению моделей гидравлических сетей. Многочисленные работы [4, 5] посвящены методологии построения динамических моделей процессов, происходящих в гидравлических сетях. Зачастую речь идет о моделях, основанных на привлечении законов гидродинамики, выраженных в системах уравнений в частных производных для описания распределенных систем. Подход, который используется в таких работах, требует достаточно полной информации о физических характеристиках перекачиваемой жидкости, характере ее течения, внутреннем профиле и геометрической конфигурации трубопровода, исчерпывающей информации о функционировании насосных агрегатов. Во множестве случаев такие модели сложны в вычислительном плане, требуют учета неизвестных, часто неизмеримых или непредсказуемо меняющихся во времени и в пространстве параметров.
В качестве основного подхода к построению моделей технологических режимов в настоящее время принимается процедура создания моделей стационарного течения жидкости. Под термином «стационарная модель» подразумевается статическая модель установившегося режима технологического процесса. Модель представляет собой большую систему нелинейных алгебраических уравнений, сформированную в соответствии с законами Кирхгофа для трубопроводной сети [1]:
сп -1 + ... + с1пхп = ^
ck-1,1 Х1 + •" + ck-1, пхп qk-1
I |Р1 —1 I |Р П —1 7
^ФА1 Х1 + ... + сы*п\хп\ Хп = К1
(1)
I |Р1 —1 I |Р п —1 /
Сп\Цх\\1 Х1 + к + сп^п\хп\ хп = кп—к+1
где п - количество участков в графе сети; к - количество узлов; х]-, ] = 1,2 к п - расход по ]-й трубе; qi, i = 1,2 к к — 1 - приток в узле; Sj, ] = 1,2 к п - гидравлическое сопротивление соответствующей трубы; Н1, i = 1,2 к п — к +1 - сумма действующих напоров с учетом знака по всем дугам ^го контура; в - коэффициент в законе зависимости величины падения напора от значения расхода; с^ = {—1,0,+1} определяется по первому
или второму закону Кирхгофа. Для второго закона Кирхгофа и для нелинейных уравнений с^ = {—1,+1} (в зависимости от направления обхода), если j-й участок входит в цикл, соответствующий ^му нелинейному уравнению, либо cii = 0.
и
Уравнения (1) описывают установившиеся процессы, происходящие в узлах и независимых контурах сети. Параметры уравнений - коэффициенты гидравлического сопротивления, показатели характера течения жидкости и действующие напоры, переменные - объемные расходы по соответствующим участкам сети. Построение модели связано с решением двух задач: уточнением неизвестных коэффициентов (обратная задача) и отысканием искомых объемных расходов (прямая задача).
Для численного решения системы уравнений на данный момент применяются «увязочные» методы, метод контурных расходов и метод последовательных приближений с инерцией [1], которые представляют собой различные модификации метода Ньютона. Использование перечисленных методов сопровождается большими вычислительными трудностями. Скорость их сходимости зависит от начального приближения, что следует из естественной ограниченности, т.е. локальности метода Ньютона. На практике для систем уравнений высокой размерности точность задания начального приближения должна быть очень высока для того, чтобы найти решение в допустимых пределах точности [1].
При этом стоит отметить, что «увязочные» методы ограничены количеством неизвестных, которое обычно не превосходит несколько сотен, а метод последовательных приближений позволяет решать системы уравнений с числом неизвестных до десятка тысяч, но требует достаточно большой длительности расчета [1]. Особенно актуальной эта проблема становится при переходе от задач моделирования гидравлических сетей к задачам построения систем управления, работающих в режиме реального времени.
Существующие на данный момент подходы к расчету и моделированию гидравлических сетей [1, 2, 3] включают в себя различные методы ньютоновского типа, для которых основной сложностью является проблема выбора начального приближения, определяющего скорость сходимости и точность получаемого решения. Таким образом, чем более точно выбрано начальное приближение, тем ближе будет полученное приближенное решение к истинному и тем быстрее оно будет найдено.
Одним из важнейших параметров рассматриваемой модели гидравлической сети (1) являются коэффициенты гидравлического сопротивления Sj. На практике эти коэффициенты часто не соответствуют проектным данным, поэтому очевидна необходимость в ходе решения задачи уточнять эти коэффициенты. Таким образом, в рамках данной работы рассматривается подход к одновременному оцениванию решения системы
уравнений (1) и неизвестных параметров гидравлического сопротивления.
Рассмотрим нефтепроводную сеть, состоящую из 5 участков, 4 узлов и 2 насосных агрегатов. Введем обозначения: {Н(j ^ ], X(j ^ ]}, t = 1, N - выборка статистически независимых наблюдений вектора состояний нефтепроводной сети в дискретные моменты времени t = 1, N, где Н -
вектор действующих напоров сети; X - вектор объемных расходов;
Н(^) с Н, X(^) с X, - векторы, составленные из компонент векторов
Н,X, входящих в j -е уравнение.
В качестве системы уравнений для определения установившихся расходов нефтепроводной сети примем
х1 + 2 х2 — х3 + 2 х4 + х5 = 1
3х1 + х2 — 2 х3 — х4 + 4 х5 = 5
х1 — 2 х2 — 4 х3 + 2 х4 + 3 х5 = 3 (2)
-I |0,75 |0,75 |0,75 |0,75 | |0,75 ,
5 х:| х: — 2| х2 х2 + 3 х3| х3 — 2| х4 х4 — х5 х5 = /
0,75 0,75 0,75 0,75 0,75
4| х:| х: — 5 х2 х2 — х3 х3 + 6| х4| х4 — 2| х5| х5 = п2
Для расчета нефтепроводов в системе уравнений (2) коэффициент в1 = в2 = Р3 = в4 = в5 = 1,75 [1]. Под входными регулируемыми воздействиями будем понимать величины напоров / = 3 и /2 = 2, под выходными -значения расходов х^, х 2, х 3 , х 4, х 5 . Система (2) подобрана специально и величина расхода х* = (хь х2, х3, х4, х5), где х: = х2 = х3 = х4 = х5 = 1 является её решением и соответствует ламинарному течению нефти в трубопроводе.
Для исходного состояния системы (2) сформируем выборку входных воздействий:
/ [*] = / + 2/ • 5 • (щ №] — Q),i = 1,2; t = 1, N,
где 5 - амплитуда случайной ошибки в каналах измерения; ц г ^ ] - последовательность равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных чисел; Q = 0,5 - параметр сдвига. Генерирование выборочных значений X[t] вектора гидравлических потоков в участках нефтепровода осуществим при решении системы (2) методом Ньютона с изолированием решения для каждого t. Объем выборок: N = 100, N = 200, N = 500. Амплитуды случайной ошибки: 5 = 0.05,5 = 0.1. Количество уравнений в системе (число неизвестных): п = 5.
В качестве процедуры уточнения параметров гидравлического сопротивления будем использовать процедуру Кифера - Вольфовица [6]. На р-м шаге процедура для оценки параметров будет выглядеть следующим образом:
Sj[р] = Sj[р — 1] — у('>[р] • Ъ(Н(>[р],X<'■ >[р],s<'■>[р — 1]), j = Щ,i = Щ,
где коэффициенты у (г)[ р], определяющие длину шага, удовлетворяют условиям Роббинса - Монро.
В качестве оценки решения системы уравнений (2) примем статистику [6]:
ж
£ х, [і ] П ф
і=1
I,
О -є ,[| ]
V ,
N п
£П ф
і=і,=і
(3)
где Ф(-)- колоколообразная (ядерная) функция; Cj (N),] = 1,п - параметры размытости, удовлетворяющие некоторым условиям сходимости [7]; еj^],j = 1,1,t = 1,N - компоненты рабочей выборки вектора невязок 8^],
специальным образом сгенерированной на основе исходной выборки «вход-выход»:
є,[|] = саХі[і] + ... + с,пхп[|] - д,,=1,к -1
VI 11Р1 -1
є, [|] = с,ЛІх1[|]| 1 х1[|] + ••• + с,п8АХп [|]| п хп [|] - Н] [|]5, = к,п •
В качестве ядерной функции Ф(-) в оценке (3) выберем функцию Епанечникова:
Ф(щ ) =
3
4 О,
(1 - --2)
если Щ<1 ----
,, =1 п •
если Ы > 1
Отметим, что оценка (3) является сходящейся в среднем и среднеквадратическом .
Оптимальные параметры размытости с (N) выберем из условия минимума следующего среднеквадратичного критерия:
N
£х, [/•] П Ф
*шє ^єу[і]-єу[і]л
хі[і ]
І Ф і
V-1
с( N)
Ж *ш є (Єv [і ] -є V [і]Л
£ П Ф
І Ф і V-1
с( N)
^ шіп,, -1, п
с( N)
Процедура оптимизации осуществляется перебором наилучшей пробы с шагом т, т.е.
ск (N) - ск-1(N) + т,к - \п.
Результаты расчетов ошибки а для разного объема выборки и случайной ошибки представлены в табл. 1. Под ошибкой а понимается суммарное абсолютное отклонение оценки решения системы от истинного решения.
Таблица 1
Результаты расчета ошибки оценки решения________________
£=0,05 (5 %)
N 100 200 500
а 0,01204 0,00527 0,00327
£=0,1 (10 %)
N 100 200 500
а 0,07604 0,04296 0,02917
При увеличении объема выборки ошибка уменьшается, что соответствует асимптотическому поведению оценки (3). Наличие случайной ошибки в каналах измерения негативно сказывается на ошибке оценки решения, что свойственно всем непараметрическим оценкам.
Усредненные результаты сравнения скорости отыскания решения алгоритмом оценки решения и методом Ньютона представлены в таблице
2. Число реализаций вычислительного эксперимента - 1000. Начальное приближение в методе Ньютона выбиралось достаточно близко к истинному решению.
Таблица 2
Результаты сравнения скорости отыскания решения____________
Метод Время расчета, с
Метод Ньютона 0,024
Алгоритм оценки решения 0,531
Скорость отыскания решения алгоритмом его оценки в среднем на порядок выше метода Ньютона. Это вызвано тем, что процедура метода Ньютона предполагает вычисление матрицы Якоби на каждой итерации, представляющей собой матрицу частных производных. В общем случае, для систем большой размерности только её вычисление является трудоемкой в вычислительном смысле задачей. Для расчета гидравлических сетей эта проблема становится особенно актуальной, так как размерность сети может достигать несколько десятков тысяч.
Стоит отметить, что полученные оценки решения при необходимости отыскания более точного решения можно использовать в качестве начального приближения для различных алгоритмов ньютоновского типа, что повысит их точность и скорость сходимости.
Предлагаемый подход к оценке решения системы уравнений в задаче определения потокораспределения нефтепроводной сети планируется к применению в компаниях, осуществляющих транспорт нефти по магистральным нефтепроводам (ОАО «Транссибнефть», ОАО «Востокнефтепро-
вод», ОАО «Востсибнефтегаз» и др.). Внедрение методик расчета, основанных на предложенном подходе, позволит на порядок сократить время расчета стационарных (установившихся) технологических режимов магистрального нефтепровода.
На практике работа нефтепровода рассматривается как последовательность переходов от одного технологического режима к другому. Расчет потенциально возможных технологических режимов производится в режиме реального времени, следовательно, возможно расчитать лишь ограниченное количество технологических режимов. Применение описанного подхода позволит значительно расширить множество расчетных технологических режимов, тем самым повысив эффективность и надежность эксплуатации технологического оборудования нефтепроводов.
Список литературы
1. Логинов К.В., Мызников А.М., Файзуллин Р.Т. Расчет, оптимизация и управление режимами работы больших гидравлических сетей / Математическое моделирование. 2006. Т.18. №9. С. 92-106.
2. Мызников А.М. Моделирование и идентификация параметров сложных гидравлических сетей: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Тюмень, 2005. 116 с.
3. Мызников А.М. Уточнение коэффициентов сопротивления в сложных гидравлических сетях по результатам ограниченного числа измерений // Теплофизика и аэромеханика. 2005. Т.12. №3. С. 513-516.
4. Кассина Н.В. Математическое моделирование динамики гидравлических систем с использованием методов аналитической механики и теории нелинейных колебаний: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нижний Новгород, 2006. 118 с.
5. Селезнев В.Е., Алешин В.В., Прялов С.Н. Математическое моделирование трубопроводных сетей и систем каналов: методы, модели и алгоритмы / под ред. В.Е. Селезнева. М.: МАКС Пресс, 2007. 695 с.
6. Красноштанов А.П. Метод генерации решений на многосвязных системах в условиях неопределенности: дис. ... д-ра техн. наук. Красноярск, 2001. 295 с.
7. Медведев А.В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск: Наука, 1983. 174 с.
Агафонов Евгений Дмитриевич, канд. техн. наук, доц., agafonov@gmx.de, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,
Антропов Никита Романович, студент, underlag.sikrer@gmail.ru. Россия, Красноярск, Сибирский государственный аэрокосмический университет им. акад. М. Ф. Решетнева
THE ESTIMATION OF THE SOLUTION OF THE SYSTEM OF EQUATIONS IN THE PROBLEM OF CONSTRUCTING THE MODEL OF HYDRAULIC NETWORK
E.D.Agafonov, N.RAntropov
The rapid evaluation of solution of equations in the problem of determining the steady hydraulic network costs are given. The model includes equations compiled in accordance with the laws of Kirchhoffs pipeline network. The case when together with solution of the system it is necessary to specify its coefficients is considered.
Key words: modeling, identification, solution's estimation, nonparametric methods, hydraulic network.
Agafonov Evgeniy Dmitrievich, candidate of technical sciences, docent, agafo-nov@gmx.de, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,
Antropov Nikita Romanovich, student, underlag.sikrer@gmail.com, Russia, Krasnoyarsk, Siberian State Aerospace University named after M.F. Reshetnev
УДК 62-93
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ДИАГНОСТИКИ СОСТОЯНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Чиликин А.А., Трушин Н.Н.
Рассмотрены современные методы диагностики гидросистем и на основе их анализа разработана приоритетная последовательность их использования.
Ключевые слова: диагностика, гидросистема, искусственная нейронная сеть.
Сфера использования гидросистем чрезвычайно велика и постоянно расширяется. Гидропривод применяют в различных отраслях машиностроения для передачи энергии рабочим органам, в качестве исполнительных систем управления машинами и технологическим оборудованием и как самостоятельную следящую систему. Поэтому уверенная эксплуатация является необходимостью при работе с гидросистемами. Под эксплуатацией здесь понимается не только использование оборудования, но также обслуживание и ремонт.
