CC BY
8
УДК 519.174.7
Л. И. Боголюбский1, A.M. Райгородский
1,2,3,4
1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) 3Бурятский государственный университет им. Доржи Ванзарова 4Кавказский математический центр, Адыгейский государственный университет
Об оценках в проблеме Борсука
Обсуждаются различные оценки, связанные с проблемой Борсука. Рассматриваются некоторые серии дистанционных графов и индуцированные ими двойственные конфигурации в пространствах «малых» размерностей и при росте размерности. К графам применяется модификация линейно-алгебраического метода, в результате получаются нижние оценки / (й) — минимального числа частей множеств «меньшего диаметра» из проблемы Борсука в М^.
Ключевые слова: гипотеза Борсука, число Борсука, хроматическое число пространства, число независимости, проблема Нелсона-Эрдёша-Хадвигера, дистанционный граф, разбиение, запрещённое расстояние, граф диаметров.
L. I. Bogolubsky1, A.M. Raigorodskii1,2,3,4
1M. V. Lomonosov Moscow State University 2 Moscow Institute of Physics and Technology 3Banzarov Buryat State University 4Caucasus Mathematical Center, Adyghe State University
On bounds in Borsuk's problem
In this work we discuss various estimates connected with Borsuk's conjecture. We consider some series of distance graphs and corresponding induced dual configurations embedded to the spaces of «small dimensions» as well as in case of growing dimension. We then apply a modification of the linear algebra method to the graphs. This leads us to lower estimates of f (d) - the minimal possible number of subsets of «smaller diameter» in terms of Borsuk's problem in Rd.
Key words: Borsuk's conjecture, Borsuk number, chromatic number of a space, independence number, Hadwiger-Nelson problem, distance graph, partition, banned distance, diameter graph.
1. Введение и история проблемы
Проблема Борсука — вопрос в комбинаторной геометрии, иосвящённый исследованию справедливости следующего утверждения. Дано евклидово пространство М и произвольное множество диаметра 1 в этом пространстве. Гипотеза такова: возможно разбить это множество на не более нем (I + 1 подмножество, каждое из которых будет иметь диаметр менее 1. Эквивалентно: любое ограниченное множество в М можно разбить на не более, нем (I +1 подмножество меньшего диаметра.
Гипотеза, ошибочно называемая гипотезой Борсука (сам Борсук такого утверждения не делал — он лишь задал вопрос!), в действительности неверна. Это было доказано Капом и Калаи в 1993 году в [1]. Интерес, однако, представляет дальнейшее изучение величины /^1) — минимального числа подмножеств меньшего диаметра, на которые можно разбить
© Боголюбский Л. И., Райгородский А. М., 2019
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2019
произвольное множество в евклидовом пространстве М^, в зависимости от размерности й. В этих терминах опровергнутое предположение имеет вид
f (й) < й + 1 Уй е N.
(1)
Утверждение гипотезы (1) справедливо в некоторых частных случаях, например, при й = 2 (это доказал сам Борсук в 1932 г. в [2]), при й = 3 (Перкал в 1947 г. в [3]), для выпуклых тел с гладкой границей при всех й (доказано Хадвигером в [1] в 1946 г.), для всех центрально-симметричных тел при всех й (доказано Рислингом в [5] в 1971 г.), для всех тел вращения при всех й (доказано Декстером в [6] в 1995 г.), для множеств, инвариантных под действием группы симметрии ^-симплекса (доказано Роджерсом в [7] в 1971 г.).
Однако же в 1993 году Кап и Калаи показали [1], что /(1325) > 1326, что опровергло (1). Далее события развивались следующим образом. В 1994 году Алон (под псевдонимом Нилли) нашёл [8] контрпример при й = 946. В 1997 году Райгородский уточнил [9] нижнюю грань размерности до 561. Затем в 2000 году Вайссбах понизил [10] её до 560. Далее, в 2002 году, последовали результаты Хинрикса [11] для й = 323 и Пихурко [12] для й = 321; в 2003 году Хинрикс и Рихтер опубликовали доказательство [13] следующего уточнениия: /(298) > 298 +11. В 2014 г. Бондаренко опроверг [14] гипотезу для й ^ 65, и, наконец, в том же году Иенрихом была получена [15] наилучшая известная на текущий момент нижняя грань, й = 64.
Более подробно с историей проблемы можно ознакомиться в [16] - [20].
Число / (с!) изучалось не только в «малых» размерностях, но ив асимптотике (й ^ те). Известны как оценки сверху — например, в [21] показано, что
Интересен следующий факт. Наилучшая известная на текущий момент нижняя оценка (2) числа Борсука /в асимптотике была получена с помощью исследования серии дистанционных графов (см. раздел 2) с вершинами на сетке {—1, 0,1}га С Мга. С другой стороны, при некоторых «малых» й {й = 561, см. [9]) аналогичный подход даёт лучшие результаты за счёт дистанционных графов с вершинами в {-1,1}га (что эквивалентно исполь-{0, 1}
«малым размерностям», вовсе оперируют не дистанционными графами: в статьях [11] и [13] для получения результатов использовались решётки, а в статьях [14] и [15] — сильно регулярные графы.
В какой момент с ростом й устанавливается «доминирование» {-1, 0,1 }-дистанционных {-1, 1}
го типа координат векторов — вершин графов на оценки при «малых» й > 561, то есть какие
{-1, 0, 1} {-1, 1} когда предпочтительны какие из них? В настоящей работе мы исследуем эти вопросы, используя метод, основанный на нашей недавней публикации [24], посвящённой смежной проблеме комбинаторной геометрии — задаче Нелсона-Эрдёша-Хадвигера о хроматическом числе пространства.
Дальнейшее изложение имеет следующую структуру. В разделе 2 будут даны основные нужные определения и в общих словах будет описана схема доказательства. В разделе 3 мы расскажем об известных вспомогательных результатах, связанных с линейно-алгебраическим методом в комбинаторике, а также сформулируем и докажем новые необходимые нам теоремы. В разделе 4 мы введём понятия двойственного перехода и обобщённого
/ (с!) < (1.224 ... + 0(1))"*,
так и оценки снизу:
/^ (1.203 ... + о(1))^ (Кап и Калаи, 1993, [1]), /(¿) ^ (1.2255 ... + о(1))^ (Райгородский, 1999, [22]).
(2)
двойственного перехода и опишем свойства этих отображений. В разделе 5 сформулируем и докажем нужные для получения оценок утверждения, специфичные для конкретных рассматриваемых нами серий дистанционных графов. Наконец, в разделах 6 и 7 мы окончательно сформулируем оценки для каждой из серий, опишем схему вычислений и приведём численные результаты.
2. Главные понятия и общая схема рассуждений
Дадим некоторые базовые определения.
Говоря о графах, мы будем рассматривать исключительно неориентированные графы без петель и кратных рёбер, то есть такие пары С = (V, Е), где V — произвольное (чаще — конечное и непустое) множество, а Е — подмножество декартового произведения V х V, не содержащее элементов вида (V, у), то всегда содержащее элемент (и, у) одновременно с любым (V, и), где и,у е V.
Числом, независимости графа С = (V, Е) называется а(О) — наибольшая возможная мощность подмножества вершин и С V такого, что никакие две из них не соединены ребром, то есть (и х и) П Е = 0.
Хроматическим числом графа С = (V, Е) называет ся х(&) — наименьшее возможное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины V таким образом, чтобы никакое ребро из Е не соединяло две вершины одного цвета.
Для хроматического числа любого конечного графа С = (V, Е) имеем
a(G)'
Дистанционным графом в евклидовом пространстве Rd (метрика — стандартная 12) мы будем называть такой граф G = (V,E), что каждая его вершина из V может быть отождествлена с некоторой точкой Rd таким образом, чтобы множество рёбер Е совпало со множеством пар вершин, отстоящих друг от друга на некоторое запрещённое расстояние
Pcrit ■
Графом диаметров для множества V С Rd называется такой граф G = (V, Е), что Е = {(x, y) | x, y e V, l2(x, y) = diam V} ,
где
diam V = sup l2(x, y). x,yev
В соответствии со сказанным в разделе 1 определим для произвольного множества Q С Rd его число Борсука как
f (Q) = min{/ : Q = Q 1 U ... U Qf, Уг diamQj < diamQ}, (3)
а также определим
f (d) = max f (Q).
QCRd,diamQ=1
Из определения следует тривиальный способ получения нижних оценок: если дано ограниченное множество Q С Rd, то f (d) ^ f (Q). Отметим, что здесь мы безболезненно отказались от требования diam Q = 1 за счёт гомотетии.
Легко видеть, что если G = (V, Е) — конечный граф диаметров, то число Борсука f (V) множества вершин попросту совпадает с хроматическим числом графа x(G). Это следует из того, что попадание двух смежных вершин графа диаметров в один «цветовой кластер» при некоторой раскраске V равносильно тому, что диаметр этого цветового кластера совпадает
с ё1аш V, а значит1, такие цветовые кластеры не могут выступить в роли множеств О из (3).
Рассуждения выше доказывают следующую лемму. Лемма 1. Пусть С = (V, Е) — некоторый конечный граф диаметров, V С М^. Тогда
/(¿) > /(V)= х(С) > ^. (4)
Утверждение полученной леммы ставит нас в условия, весьма сходные с начальными условиями недавней работы авторов [24], поэтому дальнейшие рассуждения будут сходными с рассуждениями из упомянутой статьи. Мы приводим их здесь целиком.
В тексте статьи будем придерживаться следующих обозначений: п-мерные векторы будем обозначать х, у,... Их координаты будем обозначать х1,у1,..., подразумевая всегда х = (хг,.. .,хп), у = (у1,.. .,уп)-
3. Линейно-алгебраический метод
В этом разделе мы сперва сформулируем теорему, необходимую для доказательства нужных нам верхних оценок чисел независимости дистанционных графов посредством линейно-алгебраического метода. Эта теорема была доказана в [24] (теорема 4 в цитируемой статье). Затем будут изложены соображения, позволяющие прийти к новым теоремам для случая {-1,1}-векторов. Все эти теоремы будут необходимы нам для рассмотрения некоторых серий дистанционных графов в контексте отыскания нижних оценок чисел Борсука. Отметим, что подробнее с классическим линейно-алгебраическим методом можно ознакомиться, например, по книге [25].
Теорема 1. Пусть р - простое число, п е N. Рассмотрим произвольную совокупность векторов £ С {—1, 0,1}"" такую, что (x, x) = г для любого x е £; и подсовокупность Т С £ такую, что для некоторого а е N и любых различных x и y из Т верно
(x, y) ^ г mod ра,
где (x, y) — евклидово скалярное произведение векторов в Мга; а г е N — некоторая константа. Пусть также г ^ ра — 1. Тогда,
|Т| < V ( П )(П —
т2 /
где
V = {(т1,т2) : т1,т2 е : т1 + 2т2 е {ра — 1,ра — 2}} . Более того, в случае, если Т С £ С {0, !}"",
и« с-'— 0. (5)
{—1, 1}
1 Здесь важно, что С — конечный граф. В случае бесконечных графов диаметров совпадение числа Борсука с хроматическим числом не имеет места. Контрпример следующий. Рассмотрим граф диаметров единичной сферы Я -1 С Н . Этот граф двудольный, так что его хроматическое число — двойка. В то же время классическая теорема Ворсука-Улама-Люстерника-Шнирельмана утверждает, что / = <1 + 1.
Подробнее см. [23]. На интуитивном уровне можно представить «правильную» раскраску двумерной единичной сферы в два цвета, где каждый из двух кластеров является объединением открытой полусферы с полуоткрытым полуэкватором. Диаметр каждого из таких кластеров равен единице.
Теорема 2. Пусть р — нечётное простое число, п e N п = 0 mod pa, где a e N. Рассмотрим произвольную совокупность векторов £ С {—1,1}га таких, что первые F координат, любого из них равны 1, где F e N, F < п, и подсовокупность Т С £ такую, что для любых различных x и y из Т верно
(x, y) e {^о = 0, r1} mod
где r1 e {1,... ,pa — 1} причём г1ф 0 mod p. Тогда справедлива оценка,
Pa-2 / га (" — F)•
fc=0 4 7 x e £
Sx(y) = 4 П « — (x. y)),
J ie{1,...,pQ!-1}\{ri}
где аргумент y — некоторый вектop из £, a ft e Z^o — максимальная степень вхождения p в число
П -
ie{1,...,pQ!-1}\{ri}
Лемма 2. При любом y e Z справедливы следующие утверждения.
1) ^x(y) e Z.
Если (x, y) = 0 mod pa, mо ^x(y) ф 0 mod p.
3) Если верно, что
(x, y) ф 0 mod pa, ^
(x, y) ф r1 mod pa,
mo ^x(y) ф 0 mod p.
(x, y) ф 0
mod будет попутно разобран при доказательстве пункта 2; случай, когда (x, y) mod ра не лежит во множестве {0, п} — при доказательстве пункта 3. В самом конце останется убедиться в целочисленности значений функции в случае, когда (x, y) ф п mod ра.
Докажем утверждение пункта 2. Нам известно, что (x, y) ф 0 mod ра. Требуется показать, что ^x(y) ф 0 mod р. Рассмотрим два случая. (x, y) = 0
1 Т-Г DjT
Sx(y) = ^ П * = = А
ге{1,...,р«-1}\{г1}
где, по определению ft, D ф 0 mod р.
Пусть теперь (x, y) = — kpa для некоторого к = 0, к e Z.
Нужно убедиться, что «сдвиг вправо» на кра единиц «произведения с пропуском» не приведёт к тому, что «сдвинутое произведение с пропуском» будет иметь степень вхождения р большую, чем р.
О-1-1-О-1-1-1-О
0 п р» V_ _.У
«произведение с пропуском», степень вхождения р сюда есть ¡3
сдвиг на кра
О-1-1-О-1-1-1-о
кра кра + П (к + 1)ра V_ _^
«сдвинутое произведение с пропуском», степень вхождения р сюда есть
Пусть ) — количество чисел, к ратных Q £ М, среди элементов некоторого множества целых чисел
Вычислим $.
те
Р' = ({кРа + 1,...,кра + п - 1}) + ({кра + п + 1,..., (к + 1)ра - 1})] =
7=1
а
= Е ({кРа + 1,...,кра + п - 1}) + ({кра + п + 1,..., (к + 1)ра - 1})] +
7=1
те
+ Е [вр'< ({кРа + 1,...,кра + п - 1}) + ({кра + п + 1,..., (к + 1)ра - 1})].
7=«+1
Две полученные суммы назвоём первой суммой и второй суммой.
Допустим, что вторая сумма ненулевая. Тогда для некоторого I £ N верно кра < 1ра+1 < (к + 1)ра, то есть к < 1р < к + 1, чего не может быть при 1р £ N. Так что вторая сумма равна нулю. Поэтому имеем
а
Р = ({1,...,п - 1}) + ({п + 1,...,ра - 1})],
7=1
а
Р' = ^[^р7 ({кра + 1,...,кра + Г1 - 1}) + ({кра + п + 1,..., (к + 1)ра - 1})].
7=1
При 7 ^ а внутренние слагаемые совпадают, так как сдвиг множества вправо на кра не влияет на делимость его элементов на р1 (так как кра шоё р1 = 0). Поэтому @' = следовательно, <3Х(у) £ Z. Это завершает доказательство пункта 2.
Перейдём к доказательству пункта 3. Нам известно, что (х, у) шоё ра £ {0, Г1}.
-(х, у)
ведение с пропуском» получит хотя бы одно дополнительное вхождение р по сравнению с обычным «произведением с пропуском» Пге{1 ра-1}\{п} ^
Назовём сдвигом число в = -(х,у) (конечно, сдвиг зависит от х,у). Изобразим «сдвинутое произведение с пропуском» и его прообраз относительно сдвига обычное «произведение с пропуском».
О-1-1-О-1-1-1-о
0 п р» V_ _.У
«произведение с пропуском», степень вхождения р сюда есть ¡3
сдвиг на s вправо
S + 1 s + р» — 1 О-1-1-О-1-1-1-О
s S + Г1 s + р» Ч._ _.У
«сдвинутое произведение с пропуском», степень вхождения р сюда есть
Для произвольного 7 e N рассмотрим изменение Dpi(...) - числа вхождений р1 (в точности) после сдвига. Для этого рассмотрим элементы обычного «произведения с пропуском» как разность двух множеств: «целочисленного отрезка» S = {1,...,ра — 1} и ненулевого запрета {г1}.
Рассмотрим влияние «пропуска» г 1 иа изменение числа вхождений р1. Напомним, что Г1 ф 0 mod р, т.е. Г1 не даёт ни единого вхождения до сдвига; однако же в случае, когда Г1 + s ф 0 mod р1 ( ^^ Г1 — (x, y) ф 0 mod р1), после сдвига мы утрачиваем вхождение р1. Итак, «пропуск» может уменьшить та единицу число вхождений каждого из р1 в «сдвинутое произведение с пропуском» по сравнению с обычным «произведением с пропуском».
С другой стороны, рассмотрим аналогичное влияние на разницу числа вхождений р1 со стороны «целочисленного отрезка» S. А именно, для фиксированного j ^ а рассмотрим все возможные остатки сдвига s по модулю р7, и для каждого из остатков определим число кратных р1 в сдвинутом целочисленном отрезке.
р1 2Р1 (.. .)p~i ра ра + р1
v_ _у
сдвиг s = 0 — 1 кратшх р1 v_:_ _У
s = 1 ра 7 кратшх р1
s = р1 — 1 ра 7 кратшх р7
s = р~'] ра 7 — 1 кратных р'1
s = р7 + 1 ра 7 кратшх р7
Как можно видеть, ситуация здесь следующая. При сдвигах вида s ф 0 mod р1 сдвинутый целочисленный отрезок содержит столько же чисел, кратных р1, что и целочисленный
отрезок до сдвига; в случае же s ф 0 mod р1 прирост числа вхождений после сдвига составляет +1.
Теперь, объединяя рассуждения о влиянии пропуска и целочисленного отрезка, оценим разницу между степенью вхождения р в сдвинутое произведение с пропуском Р' и степенью вхождения р в обычное произведение с пропуском Р, чтобы убедиться, что при сдвиге эта степень вхождения возросла. Пусть Д7 — разница в числе вхождений чисел, кратных р1.
7 a 7 a
Д = & — р = Е Дт = Е Д^ + Е Д^ > Е Д^ =
7=1 7=1 7=а+1 7=1
a
У^ [l(s ф 0 mod р1) — 1 (п + s ф 0 mod р1)] =
7=1
а а 1
= Е[1—[l(ro + s ф 0 mod р1) + l(r1 + s ф 0 mod р1)]] = а—ЕЕ l(r^+s ф 0 mod р1).
7=1 7=1¿=0 При ЭТОМ
a 1 а—1 1 1
+ s ф 0 mod р1 ) = E^l((x, y) ф п mod р1) + ^((x, y) ф n mod pa).
7=1 г=0 7=1 г=0 г=0
Первая сумма не превосходит a — 1 вследствие требования п ф Г0 mod р. Вторая сумма обращается в ноль по условию. Итого
Д = р' — р ^ a — (a — 1) = 1,
то есть «сдвинутое произведение с пропуском» точно имеет большую степень вхождения р, чем обычное «произведение с пропуском», что и завершает доказательство пункта 3.
От доказательства леммы нас теперь отделяет только доказательство целочисленности из пункта 1. А именно, нужно показать, что условие
(x, y) ф r1 mod pa
гарантирует целочисленность величины
1
¥ .
П (i — (x, y)).
ie{1,...,pa—1}\{rx}
Пусть (x, y) ф n mod pa. По аналогии с доказательством пункта 3 вычислим Д:
7 a 7
д = р'—р = Е Д^ = Е Д^ + Е Д7.
7=1 7=1 7=а+1
Отметим, вторая из сумм ^7=0+1 Д7 неотрицательна, так как «произведение с пропуском» до сдвига точно не содержало чисел, кратных pa+1. Для первой же суммы запишем:
а а
Е Д7 = Е [ 1(s ф 0 mod р7) — 1 ((n + s) ф 0 mod р7))
7=1 7=1
a
= Е ^ 1(г1 ф 0 mod р1) — 1 г1 + г1) ф 0 mod р1) j
7=1
Итак, Д ^ 0, так что величина целочисленна, тем самым пункт 1 доказан, доказана и лемма 2 в целом.
□
0.
Вернёмся теперь к докзательству теоремы 2. Полагая
x = (xi, ...,xn), y = (yi,... ,yn), распишем скалярное произведение в ^x(y):
£x(y) = П ^ - [xiyi + • • • + ХпУп]) •
Р ie{i,...,pQ!-i}\{ri}
Рассматривая при произвольном фиксированном x £ £ функцию ^x(y) как отображение координат (yi,..., уп), раскроем в полученном выражении скобки и, пользуясь тем, что в предположении теоремы yf = 1, заменим все квадраты переменных на тождественную единицу. Получим некоторый многочлен
Sx(y) = -1 Е ЧЬ-Ъ У!1 ...yt, (7)
р ¡3i+...+i3n<pa-2, Ae{o,i}
Здесь, конечно, подразумевается, что коэффициенты многочлена J^... зависят от вектора x. Отметим свойство i?x(y): значения этого многочлена совпадают со значениями ^x(y) ПРИ любых x, y £ £. Это позволяет нам сформулировать следующую лемму:
Лемма 3. Пусть некоторое подмножество векторов {xi,...,xs} С £ таково, что для любых г, j, г = j верно
(xi, xj) £ {r0 = 0, ri} mod pa.
Тогда, соответствующие этим векторам многочлены <3xi,..., <3xs линейно независимы, над полем Q.
Доказательство. Предположим, что многочлены линейно зависимы, то есть пусть для некоторых констант c'i,... ,c's £ Q, не равных нулю одновременно, справедливо
ciSxi + ... + c'sGxs = 0,
то есть линейная комбинация многочленов — тождественный ноль. Домножив рациональные дроби с^ на произведение их знаменателей, а затем разделив нацело полученные коэффициенты одновременно на наибольшую возможную степень р, получим для некоторых целых Ci, не делящихся на р одновременно,
ci&ci (y) + ... + Cs§xs (y) =0
для произвольного y £ £.
Теперь в это равенство подставим поочерёдно y = xi,..., xj,..., x s, а затем рассмотрим его по модулю р. В соответствии с леммой 2 мы при г = j имеем i?xi (xj) = 0 mod р, а при г = j, напротив, (?xj.(x^) ф 0 mod р, так как (xj, xj) = 0 mod ра. Поэтому получаем при любом j = 1,... ,s
Cj<3ylj (xj) ф 0 mod p,
а значит, Cj ф 0 mod p при всех j = 1... s, что приводит нас к противоречию — коэффициенты не должны делиться на р одновременно.
□
С помощью доказанной леммы 3 мы можем оценить сверху размерностью минимального по включению линейного пространства над полем Q, содержащего все (т.е. для всех x £ £) многочлены i?x(y). Оценку же этой размерности сверху проведём, пользуясь представлением (7) - подсчитаем количество элементов соответствующего базиса. С учётом того, что первые F координат фиксированы, и включать соответствующие yi в базисные мономы не имеет смысла, получаем:
Ра—2 / ЕА
и< £ " — F>
fc=0 4 7
что завершает доказательство теоремы. □
Полученная теорема допускает обобщение на случай ненулевого остатка п по модулю ра. А именно, справедлива следующая (более общая)
Теорема 3. Пусть р — нечётное простое число, п £ N п ф —£ mod ра, где a £ N, е £ Z. Рассмотрим произвольную совокупность векторов £ С {—1,1}"" таких, что первые F координат, любого из них равны 1, где F £ N, F < п, и подсовокупность F С £ такую, что для любых различных x и y из F верно
(x, y) £ {r0 ,r'1} mod ра, где г' = ri — е,г = 0,1, причём г1 £ {1,... ,ра — 1}, г0 = 0 и выполнено условие
г0 ф r1 mod р. (8)
Тогда справедлива оценка,
Ра—2 / га (" — ")•
fc=0 4 7
Доказательство. Доказательство будет проведено по тому же плану, что и доказательство теоремы 2.
Для произвольного x £ £ рассмотрим функцию
sx (у) = 1 п (г — (x, у) — $
J ге{1,...,ра — 1}\{п}
где аргумент y — некоторый вектор из £, a ft £ — максимальная степень вхождения р в число
П ■
ге{1,...,ра — 1}\{гх}
y££
1) gx(y) £ Z.
2) Если (x, y) ф — е mod ра, то QX(у) ф 0 mod р.
3) Если верно, что
i(x, у) ф — £ mod ра, ^
l(x, y) ф г1 — £ mod ра,
то QX (у) ф 0 mod р.
Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству леммы 2 — достаточно заметить, что значения QXX(y) можно получать, формально увеличивая на е величину (x, y) в формуле для вычисления ^x(y). П
Построим многочлены (?Х п0 ^Х аналогично тому, как строились по — то есть раскроем скобки и заменим все квадраты у* на тождественную единицу:
£х(у) = 1 Е ^у"1 ■■■Уп■ (Ю)
р 131+...+13„^Р"-2, ¡зке{0,1}
Для д^(у) также имеет место совпадение по значению с ^Х(у) а кроме того, для этих многочленов верна аналогичная лемме 3 лемма о линейной независимости.
Лемма 5. Пусть некоторое подмножество векторов х5} С £ таково, что для
любых г, г = ] верно
(хг, х^) £ { — е, п — е} шоё ра■
Тогда, соответствующие этим векторам многочлены ^Хх, ■ ■ ■, линейно независимы, над полем 0>.
Доказательство. Полностью аналогично доказательству леммы 3 ввиду того, что для любого х £ £ верно £Х(х) Ф 0 шоё р. □
Тем самым, мы снова можем оценить размерность в соответствии с (10) и прийти к оценке
Ра-2 / ЕЛ (" — ")■
к=0 4 7
что завершает доказательство теоремы 3.
□
4. Двойственный переход
4.1. Простой двойственный переход
Пусть £ С {—1, 0,1}п — произвольная совокупность векторов. Для любого вектора х £ £ определим его образ при (простом) двойственном переходе:
(х * x)íj = ХгХ^ ■
£
* будем обозначать £*.
2
Здесь формально х £ Мп, ах * х £ Мп . Однако, как мы увидим в дальнейшем, размер-£*
лемму 15).
Скалярное произведение двух «двойственных элементов» определим естественным образом:
п п
(х *х, у * у) = ЕЕ(х * (у * у)*.? ■
г=1]=1
Лемма 6. Справедливо равенство
(х * х, у * у) = (х, у)2.
Доказательство.
п п п п / п \ / п
(х* х,у * у) = ЕЕ(х* хЬ'(у * уЬ' = ЕЕх*хзугуз = ЕхгуЧ ( Е
г=1 j=1 г=1 ¿=1 \г=1 ) \^=1
ХгУг] I V Х3Уз I = (х' у)2
□
Изучим метрику, индуцированную таким скалярным произведением.
Лемма 7. Пусть совокупность £ С {—1, 0,1}п такова, что во всех её векторах содержится одинаковое количество ненулевых координат,, то есть для некоторого г € Мм любого х € £ имеем, (х, х) = г. Тогда, максимальное расстояние между элементами двойственной конфигурации £* достигается на т,аких парах векторов, что модули скалярных произведений, прообразов этих векторов при отображении * минимальные возможные.
Доказательство. Пользуясь леммой 6, вычислим квадрат расстояния между некоторыми произвольными векторами х * о у * у из двойственной конфигурации:
(х * х — у * у, х * х — у * у) = (х * х, х * х) + (у * у, у * у) — 2(х * х, у * у) =
= (х, х)2 + (у, у)2 — 2(х, у)2 = 2г2 — 2(х, у)2.
Так как г постоянно, то расстояние в двойственной конфигурации тем больше, чем
£
доказать.
□
4.2. Обобщённый двойственный переход
Теперь опишем обобщение понятия двойственного перехода, введённого в разделе 4.1. Пусть выбраны числа 1,3 € М, Р € с условия ми I ^ 3, Р € {3—1,3}. Предположим, что совокупность £ такова, что первые Р координат каждого из её векторов равны +1. Определим образ вектора х при ( 1, 3, Р) —двойственном переходе (обобщённом) следующим образом:
(х ® х)^ = Хг ■ Xj ,г = I, . . . ,П,] = 3,... ,п.
*
хода точнее, * — это (1,1, 0)-обобщённый двойственный переход
Также зададим скалярное произведение на парах векторов из двойственной конфигурации £® (то есть из образа £ под действием
п п
(х ® х, у ® у) = ^ £(х ® х)^(у ® у)^-.
г=1 ]=3
Лемма 8. В сделанных допущениях справедливо равенство
(х ® х, у ® у) = ((х, у) — (I — 1)) ■ ((х, у) — (3 — 1)).
Доказательство.
п п п п / п \ / п
(х ® х у ® у) = ^ Е(х ® х)гу (у ® у)гу = ^ ^ Х1Х]У1У] = £ ХгУг) I £ Х]У]
г=^J=J г=1 ]=3 \г=! ) \]=3
= ((х, у) — (I — 1)) ■ ((х, у) — (3 — 1)).
Здесь в последнем переходе мы воспользовались тем, что I — 1 ^ 3 — 1 ^ Р, а первые Р координат векторов х и у — это обязательно единицы. □
Рассмотрим вопрос о биективности двойственного перехода.
Лемма 9. Пусть Р ^ I. Тогда (1,3,Р) -двойственный переход биективен.
Замечание. Отметим, что условие Р ^ I автоматически влечёт условие Р ^ 1, то есть мы обязательно фиксируем хотя бы одну единичную координату.
х, у £ £
совпадают образы при двойственном переходе, то есть если
х ® х = у ® у,
то и сами векторы совпадают.
Рассмотрим случай Р = 3 — 1 (изображён, например, на рис. 3). Рассмотрим набор равенств
XIX] = (х ® х)и = (у ® у)и = у/у.7, XIXJ+l = (х ® х)/^+1 = (у ® у)+1 = у!yJ+l,
XIХп = (х ® х)/п = (у ® у)/га = У/Уга.
В связи с тем, что ж/ = у1 = 1, моментально получаем совпадение координат х и у с 3-й по п-ю включительно. А так как Р = 3 — 1, имеем ещё Ж1 = ■ ■ ■ = хз-1 = у1 = ■ ■ ■ = УJ-l = 1. Тем самым векторы-прообразы совпадают полностью.
Доказательство для случая Р = 3 (изображён, например, на рис. 2) абсолютно аналогично. □
*
ненулевая координата, с наименьшим индексом, каждого их них есть +1.
Доказательство. Допустим, что х * х = у * у, причём известно, что первые ненулевые координаты векторов х и у есть +1 Покажем, что х = у. Пусть х* — координата х с наименьшим индексом. По предположению имеем набор равенств
ХгХг = УгУг,
ХгХг+1 = УгУг+1,
ХгХп — УгУп,
причём хг = 1. Пусть у^ — первая ненулевая координата у, и ] = г. Тогда ] < г, и имеем противоречие вида 0 = х^х^ = у^у^ = 0. Стало быть, ] = г, поэтому Уг = 1. Комбинируя вышесказанное, получаем покоординатное совпадение векторов: хг = у% = 1,хг+1 = уг+1, ■ ■ ■ ,хп = уп, а остальные координаты векторов нулевые; итак, х=у
□
Изучим теперь метрику, индуцированную на £® введённым скалярным произведением.
Лемма 11. Пусть совокупность £ С {—1, 0,1}п такова, что во всех её векторах содержится одинаковое количество ненулевых координат,, то есть для некоторого г £ Мм любого х £ £ имеем, (х, х) = г, а также пусть первые Р координат, каждого из векторов £ равны 1. Пусть заданы, не которые 1,3 £ М, ^ £ с условиями I ^ 3, Р ^ I, Р £ {3 — 1,3}. Тогда, максимальное расстояние между элементами двойственной конфигурации £® достигается на т,аких парах векторов, что скалярные произведения прообразов этих векторов при отображении ® минимизируют значения, квадратного трёхчлена {р — (I — 1)) ■ {р — (3 — 1)) на множестве возможных скалярных произведений векторов £
Доказательство. Вычислим квадрат расстояния между двумя произвольными векторами двойственной конфигурации x ® хиу ® ус учётом леммы 8:
(х ® х - у ® у, х ® х - у ® у) = (х ® х, х ® х) + (у ® у, у ® у) - 2(х ® х, у ® у) =
= ((х, х) - (I - 1)) ■ ((х, х) - (J - 1)) + ((у, у) - (I - 1)) ■ ((у, у) - (J - 1)) -
-2((х,у) - (I - 1)) ■ ((х,у) - (J - 1)) =
= 2(r - (I - 1)) ■ (г - (J - 1)) - 2((х, у) - (I - 1)) ■ ((х, у) - (J - 1)).
Таким образом, расстояние в двойственной конфигурации максимально при значениях скалярного произведения в исходной конфигурации, минимизирующих квадратный трёхчлен (t - (I - 1)) ■ (t - (J - 1)), что и требовалось доказать. □
Лемма 12. Пусть совокупность £ С {-1, 0,1}"" такова, что во всех её векторах содержится одинаковое количество ненулевых координат,, то есть для некоторого г £ N и любого х £ £ имеем, (х, х) = г, а, также пусть первые F координат, каждого из векторов £ равны 1. Пусть заданы,е не которые I,J £ N, F £ с условиям и I ^ J, F ^ I, F £ {J - 1, J}. Также пусть для некоторого 5 £ определены числа,
г[ = I- 1 - 5, г2 = J - 1 + 5
т,акие, ч,т,о для, некоторых х\, у1, х2, у2 £ £ справедливо (х1, у1) = г'х, (х2, у2) = г'2, но не существует т,аких х3, у3 £ £; ч,т,о
г' < (хз, уз) < г2.
Тогда, расстояние между векторами х ® хиу ® у из £® принимает, максимальное возможное значение, если и только если выполнено одно из условий (х, у) = г' и (х, у) = г'2.
Доказательство. Следует из леммы 11 ввиду того, что г' и г2 минимизируют квадратный трёхчлен (t - ( I - 1)) ■ (t - (J - 1)) на множестве скалярных произведений элементов £. □
5. Общие замечания о сериях графов
Лемма 13. (О чётном числе единиц и, совпадении, остатков.) Пусть каждый, вектор некоторой совокупности £ С {-1,1}га таков, ч,т,о количество его положительных коор-
х, у £ £
(х, у) =п mod 4.
Доказательство. Рассмотрим скалярное произведение двух данных векторов, условно изобразив (см. рис. 1) их следующим образом: сначала пусть идут все единицы, имеющиеся
хх уу
ух
ух у
другой. Условимся, что в первую группу входит а единиц, а в третью — с минус единиц. Также условимся, что среди координат х ровно ki единиц и k-i минус единиц. В этих обозначениях скалярное произведение двух векторов можно выразить так:
(х, у) = а - (k' - а) + с - (k-1 - с) = 2а + 2с - k' - k-1.
k1 а + ( -1 - )
у
+1
-1
координаты из x
k-1
к
1
координаты из y
а kl - а с k-l - с
+1 -1 -1 Рис. 1. Сопоставление единиц и мннус единиц в двух векторах
+1
(x, y) = 2a + 2с - k1 - k-1 = 4a - 2a - 2k-1 + k-1 + 2c - k1 =
= 4a - 2(a + k-1 - c) + k-1 - k1 =
= 4a - 2(a + - c) - 2k1 + + k1 = 4(...) + n.
В последнем переходе мы учли, что число (a + k-i - с) чётно и fci чётно, а многоточием
(x, y) 4
остатком от деления п на 4.
□
Лемма 14. (О запрете). Пусть р ^ нечётное простое число, е £ Ъ, а £ N ап = 4ра - е. Пусть £ С {-1,1}га — произвольная совокупность векторов такая, что все её векторы содержат, чётное число единиц, а, первые F координат каждого из её векторов равны единице, где F £ N, F < п. Пусть число r[ £ Z таково, ч,т,о выполнены, условия
r[ ф п mod 4
I г[ - 4ра < 2F - п, у r1 + 4ра ^ п
(второе условие эквивалентмо неравенству -е ^ r[ < 2F + е).
Тогда для произвольных двух различных векторов x, y £ £ имеет место эквивалентность
(x, y) ф г! mod ра ^^ (x, y) = r[.
Доказательство. Пусть (x, y) ф rl mod pa. Заметим, что скалярные произведения векторов £ могут принимать значения от 2F - п до п включительнопричём значение п достигается только на парах совпадающих векторов.
Заметим, что если rl > -е, то (x, y) = rl + 4ра, т.к. rl + 4ра > п.
Если же rl = -е, то предположим, что (x, y) = rl + 4pa. Тогдa (x, y) = 4pa - e = n, то x=y
С другой стороны, по условию леммы rl -4ра < 2F -п, так что скалярное произведение (x, y) не может принять значение rl - 4ра.
Следовательно, при rl ^ -е если (x, y) ф rl mod ра, то
(x, y) = rl + Bpa,
где В £ {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3}. Возьмём это равенство по модулю 4. С учётом леммы 13 получим
Вра ф 0 mod 4.
Так как р нечётно, это значит, что В = 0, т.е. (x, y) = rl-
Доказательство в обратную сторону тривиально. □
и
п
которых количество минус единиц, нулей и единиц составляет соответственно k_1,ko и k'
-1 + ko + k1 = п.
Лемма 15. (О размерностях) Пусть числа, n,I,J,F £ N таковы, что I ^ J, J ^ п и F £ {J - 1, J}. Рассмотрим множество n-мерных векторов £ С {-1, 0,1}п, которое назовём, исходной конфигурацией. Пусть для каждого из векторов исходной, конфигурации
F
элементов в векторах £ фиксировано, то есть для некоторого г £ N и любого х £ £ ( х, х) =
Понимая под размерностью двойственной конфигурации2 размерность минимального по включению аффинного пространства, её содержащего, рассмотрим dim£®. Справедливы следующие оценки.
Если F = J, а все элементы векторов исходной конфигурации суть ±1, то
dim£® < (П ~2 + 1) . (П)
F = J £ {-1, 0, 1 } J = 1
то
dim £® < (П - ^ + ^ + (п - 2) = П(П2+ 1) - 2. (12)
F = J £ {-1, 0, 1}
J > 1, то
dim £® < -2 + ^+(n -J + 1). (13)
Если F = J - 1, координаты векторов исходной, конфигурации суть ±1, то
dim £® < -J + ^+(n -J + 1). (14)
F = J - 1 £ {-1, 0, 1}
dim £® < -J + ^+2(n -J + 1). (15)
F = J
Если все координаты векторов £ есть ±1 размерность £® оценивается мощностью «половины квадрата без диагонали» (с учётом xj = 1). Мощность диагонали считать не нужно, так как на ней (х ® х)^ = 1. Отсюда dim£® ^ ("_2+1)' чт0 доказывает (11).
£ {-1, 0, 1} соответствующему «половине квадрата без диагонали», добавляется размерность подпространства, соответствующего «куску диагонали». Заметим, что сумма всех диагональных элементов £® постоянна. Также отметим, что при J = 1 не нужно учитывать первый
J = 1
in - J + 1\ ч n(n + 1)
dim £® 2 j+(n - 2) = ——- - 2,
J > 1
получается, и получаем оценку
dim £® < -2 + ^+(n -J + 1),
2Отметим, что каждый из векторов £® содержит (те — I + 1)(те — J + 1) координат.
что доказывает (12) и (13).
Теперь рассмотрим случай Р = 3 — 1 (рис. 3).
Если координаты векторов исходной конфигурации суть ±1, оценка размерности складывается из мощности «половины квадрата без диагонали» и (п — 3 + 1) — размерности подпространства элементов (х®х)^, г = I,... ,Р, ] = 3,... ,п. Диагональ считать не нужно в двойственной конфигурации на ней всегда единицы. Получаем
ё1ш£® < — 2 + 1) +(п — 3 + 1).
Если координатывекторов £ — го множества {—1,0,1}, то добавляетсяразмерность подпространства, соответствующего диагонали. Получаем
ё1ш£® < — 2 + ^+2(п — 3 + 1).
Тем самым доказаны (14) и (15) и лемма целиком.
0 1 2 3
I = -4
5
6 7
3 = ^ =-8 9 10 11 12
1234
3
6 7 8 9 10 11 12
Х8 Х9 Хю хп Х12
Х8 Хд Хю хп %12
Х8 Х9 Хю хп Х12
Х8 Хд Хю хп Х12
Х8 Хд Хю Хц Х\2
-> 3
п - 3 + 1
г п - 3 + 1
Рис.2. Размерности в случае Р = 3
Лемма 16. (О размерностях образов простого двойственного перехода.) Рассмотрим, множество п-мерных векторов £ С {—1,0,1}га; которое назовём исходной конфигурацией. Пусть количество ненулевых элементов в векторах £ фиксировано, то есть для
5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 } .
2 3
I = -4
5
6
Р = -7 3 = -8 9 10 11 12
Х8
Хд
Хд
Хд
хд
Х10
Х10
Х10
Х10
Х11
х11
Х11
Х11
п - 3 + 1
Рис.3. Размерностив случае Р = 3 — 1
Х12
Х12
Х12
Х12
П - 3 + 1
некоторого г € N и любо го х е £ имеем (х, х) = г. Рассмотрим т,акже двойственную конфигурацию £*. Справедлива следующая оценка её размерности3:
ё1ш£* < П(П + 1) — 1. 2
(16)
Доказательство. Доказательство аналогично обоснованию утверждения (12) из .леммы 15 (отличие лишь в условии о первых координатах). □
1
6. Серии дистанционных графов и их образы в двойственном пространстве
Далее общая схема рассуждений будет следующей. В каждом случае мы рассмотрим некоторый граф С = (£, Е) и некоторый (обобщённый) двойственный переход Убедимся в том, что двойственный переход биективен, и с его помощью естественным образом построим С® = (£®,Е®) — граф, изоморфный С. Затем мы покажем, что множество рёбер Е таково, что С® — граф диаметров £®. В силу изоморфности графов независимые множества в С® будут однозначно соответствовать независимым множествам в С, мощность
С
3Отметим, что каждый из векторов £* содержит п2 координат.
множества. Это даст нам оценку вида
I«ЩлЕ®) > I<Е°) = rfC*) > ^ = Л±. (17)
Далее для мы укажем способ оценки a(G) сверху и вычислим |£|. Мы рассмотрим несколько параметризованных серий графов и для каждой из них опишем схему перебора параметров, приводящего к оптимальной оценке, соответствующей некоторому конкретному графу G из этой серии.
6.1. Серия { — 1, 0,1}-графов с фиксированными числами координат каждого из типов
Рассмотрим серию графов G\, где
G\(n,pa, k-i, k0, к\) = (V\ (n,pa ,к-\,k0,k\),Ei (n,pa ,k-\,k0,k\), Vi = {x = (xh...,xn) G {-1, 0,1}ra : { : x3 = г}| = кг ,i G {-1, 0,1}, k\ + k-i = pa, (xi = ... = xi-i = 0,xi = 0) (xi = +1)}, Ex = {(x, y) G V! x V! : (x, y) = 0},
n, k\, k-i, a — натуральные числа, p — нечётное простое число.
Рассмотрим двойственный переход * В соответствии с леммой 7 из определения Е\ моментально вытекает, что G* = (V]*, Е*) — граф диаметров V* Из леммы 10 следует, что * действует на G\ биективно.
Рассмотрим условие (x, y) ф 0 mod pa и ответим на вопрос, для каких x и y из V\ оно может выполняться. Для произвольных x, y G V\ заметим, что |(x, y)| ^ (x, x) = pa. Поэтому возможные значения скалярного произведения — {— pa, 0,pa}. Легко видеть, что скалярное произведение ра соответствует лишь паре из совпадающих векторов, а — ра — паре из противоположных векторов. Однако в силу требования о том, что первая ненулевая координата любого вектора из V\ равна единице, противоположные векторы не присутствуют в V\ одновременно. Стало быть, условие (x, y) ф 0 mod ра эквивалентно тому, что либо x = y, либо (x, y) = 0.
Наконец, обратим внимание на тот факт, что все векторы — вершины этих графов содержат ровно ра ненулевых координат. Поэтому для оценки числа независимости графа можно применить теорему 1. В соответствии с ней получаем оценку
a(Gi(n,pa,k-i,koM)) < V (П)(П — Ш1\
где
V = {(т\,т2) : mi,m2 G : ш\ + 2т2 G {ра — 1,ра — 2}} .
Отметим, что полученная оценка числа независимости зависит лишь от п и ра. Легко видеть, что число вершин в графе составляет
|V, )|= (»)(» —1).
Для оценки размерности £* пользуемся леммой 16. Утверждение (17) принимает вид
п(п + 1) Л > к_! ] . .
2 ) > £ О (П~Т), 1 }
(mi,m,2)€r>
где
V = {(m\, m2) : mi,m2 G : mi + 2m2 G {pa — 1,pa — 2}}
Схема перебора параметров будет следующей. Для каждого п мы рассмотрим нечётные pa в Пределах до п — 1 включительно. По п и ра оценим a(G\). Для каждой пары (п,ра) переберём ki в пределах от 1 до pa — 1, однозначно определяя к-1 и ко и получая конкретную оценку вида (18).
6.2. Серия { —1, 0,1}-графов с фиксированным числом ненулевых координат
Рассмотрим серию графов G2, где
G2(n,pa) = (V2(n,pa),E2(n,pa)),
V2 = {x = (xi,...,xn) e {—1, 0,1}ra : l{j :xj = 1}| + l{j :xj = —1}| = pa, (xi = ... = xi-i = 0,xi = 0) (xi = +1)},
E2 = {(x, y) e V2 x V2 : (x, y) = 0},
п
Как и в случае Gi, v каждого графа серии G2 все вершины содержат одинаковое число ненулевых коорднинат. Поэтому снова при двойственном переходе * получаем, что G* = (V*, E*) — граф диаметров V*- Вновь, пользуясь леммой 10, от метим, что * действует на G2 биективно. И опять же аналогично рассуждениям о Gi получаем, что условие (x, y) = 0 mod pa эквивалентно тому, что либо x = y, либо (x, y) = 0. Ввиду того факта, что каждый вектор из множества V2 вершин графов G2 содержит pa > pa — 1 ненулевых координат, число независимости графа оценивается по теореме 1. Без изменений со случая Gi
lV2(n,P^)| = (П)
12* i
Получаем серию оценок
f!*i±!2 - Л >___(ш
^ 7 Vm-i/ V т%
(mi,m2)£D
V = {(mi, т2) : mi,m2 e : mi + 2m2 e {pa — 1,pa — 2}} .
Схема перебора здесь упрощается. Рассмотрим нечётные pa в пределах до п — 1 включительно, моментально получая для каждой пары (п, pa) оценку вида (19). Для каждой из размерностей среди таких оценок выберем наилучшую.
Gi G2
зована следующим образом: строки соответствуют верхним оценкам размерностей двойственных конфигураций, столбцы — сериям графов. В каждой ячейке таблицы указана наилучшая оценка снизу числа Борсука, которая была получена нами для данной размерности с использованием графов данной серии. В скобках указаны параметры одного из оптимальных в этом смысле графов: в случае Gi — (k-i,k0, ki), а в случае G2 — (п, pa). Ячейки, в которых конкретный граф не указан, заполнены оценками, следующими из оценок для младших размерностей 4. Наконец, лучший результат для каждой строки в каждой из приводимых здесь и далее таблиц мы помечаем жирным.
Вычисления были сделаны с помощью программы на Python 2.7, доступной по ссылке [271.
4Обладая оценкой вида f (й) ^ Д, где /1 — число Ворсука некоторой конфигурации, лежащей на (в, — 1)-мерной сфере, мы можем заключить, что /(й + 1) ^ + 1 или /(й+1) ^ /(й) + 1, предъявив конфигурацию, лежащую на ¿-мерной сфере. Новая конфигурация получается из старой добавлением единственной новой точки, лежащей вне гиперплоскости старой конфигурации. Подробнее это построение описано, например, в [26]. Мы вправе применять такую «дооценку», так как все рассматриваемые нами графы в двойственных пространствах лежат на сферах вследствие требования о постоянном количестве ненулевых координат.
Таблица!
Оценки, полученные с помощью G\ и G2
размерность 4
серия графов ^ Gi G2
1127 1128 1194 (47, 19)
1175 1176 1385 (48, 19)
1224 1225 1596 (49, 19)
1274 1275 1830 (50, 19)
1325 1326 2088 (51, 19)
1377 1378 2370 (52, 19)
1430 1431 2678 (53, 19)
1484 1485 3137 (54, 23)
1539 1540 3686 (55, 23)
1595 1596 4305 (56, 23)
1652 1653 5001 (57, 23)
1710 1711 5780 (58, 23)
1769 1770 6648 (59, 23)
1829 1830 7612 (60, 23)
1890 1891 8829 (61, 25)
1952 1953 10238 (62, 25)
2015 2016 11817 (63, 25)
2079 2189 (12, 39, 13) 13580 (64, 25)
2144 2505 (12, 40, 13) 15562 (65, 27)
2210 2855 (12, 41, 13) 18102 (66, 27)
2277 3249 (13, 40, 14) 20961 (67, 27)
2345 3746 (13, 41, 14) 24167 (68, 27)
2414 4301 (13, 42, 14) 27749 (69, 27)
2484 4919 (13, 43, 14) 31957 (70, 29)
2555 5605 (13, 44, 14) 37112 (71, 29)
2627 6414 (14, 43, 15) 42917 (72, 29)
2700 7388 (14, 44, 15) 49433 (73, 29)
2774 8477 (14, 45, 15) 56721 (74, 29)
2849 9691 (14, 46, 15) 65602 (75, 31)
2925 11041 (14, 47, 15) 76075 (76, 31)
3002 12696 (15, 46, 16) 87877 (77, 31)
3080 14610 (15, 47, 16) 101133 (78, 31)
3159 16754 (15, 48, 16) 115973 (79, 31)
3239 19147 (15, 49, 16) 132536 (80, 31)
3320 21810 (15, 50, 16) 150968 (81, 31)
3402 24765 (15, 51, 16) 171422 (82, 31)
3485 28035 (15, 52, 16) 194060 (83, 31)
3569 31645 (15, 53, 16) 220638 (84, 37)
3654 35620 (15, 54, 16) 260693 (85, 37)
3740 40513 (18, 49, 19) 306775 (86, 37)
3827 47490 (18, 50, 19) 359603 (87, 37)
3915 55460 (18, 51, 19) 419958 (88, 37)
4004 64536 (18, 52, 19) 488683 (89, 37)
4094 74838 (18, 53, 19) 566693 (90, 37)
4185 86497 (18, 54, 19) 654974 (91, 37)
4277 99651 (18, 55, 19) 754583 (92, 37)
4370 114452 (18, 56, 19) 866658 (93, 37)
4464 131060 (18, 57, 19) 992417 (94, 37)
4559 149646 (18, 58, 19) 1133159 (95, 37)
4655 170395 (18, 59, 19) 1304158 (96, 41)
4752 193500 (18, 60, 19) 1523731 (97, 41)
4850 222461 (20, 57, 21) 1774425 (98, 41)
4949 258240 (20, 58, 21) 2059811 (99, 41)
6.3. Серии { — 1,1}-графов с п = 4ра, 4ра — 1,4ра + 1
Рассмотрим серии графов Ga,4,5, определённые следующим образом:
V3A(n) = {(x = (хъ..,хп)) G {—1,1}n,Xl = 1, |{г : хг = 1}| ф 0 mod 2},
G3(n) = (V3(n),E3(n)) ,n = 4pa,E3(n) = {(x,y) G Va x Va : (x,y) = 0}, G4(n) = (VA(n),EA(n)),n = 4pa — 1,Ea(n) = {(x,y) G V4 x V4 : (x,y) = — 1}, V5(n) = {(x = (xb..,xn)) G {—1,1}ra,^i = X2 = 1, |{г : Xi = 1}| ф 0 mod 2},
G^) = (V5(п),Еб(п)),п = 4pa + 1,Еб(п) = {(x, y) e Ve x Ve : (x, y) = 1},
a — натуральное число, p — нечётное простое число.
Пусть задан (1,1,1)-двойственный переход Вершины G3;4;5 содержат чётное число единиц, поэтому в силу леммы 13 попарные скалярные произведения векторов — вершин
п 4
каждом из трёх случаев «запретное» (т.е. соответствующее ребру) скалярное произведение — скалярное произведение с минимальным возможным модулем.
Отсюда, пользуясь леммой 11, выводим, что Gf4 5 — графы диаметров для Vj® 5 соответственно. Отметим, что в силу леммы 9 двойственный переход ® — биекция па соответствующих четырёх множествах.
Следующее утверждение — моментальное следствие леммы 14.
xy
Если x, y e V3, то условие (x, y) = 0 mod pa эквивалентно уеловию (x, y) = 0. Если x, y e V4, то условue (x, y) = —1 mod pa эквивалентно условию (x, y) = —1. Если x, y e V5, то услов ue (x, y) = 1 mod pa эквивалентно уел овию (x, y) = 1.
Полученная лемма позволяет применить для оценивания чисел независимости графов из серий Gj^), G4(п), G5(п) модификацию теоремы 1 5. Получаем оценки
a(G3,4H) < a(G5H) <
п — 1 <Ра — 1, п — 2 <Ра — Ъ
Одна или две первые единицы во всех векторах-вершинах фиксированы, а общее количество единиц чётно. Следовательно,
№,4| = 2га-2, №1 = 2п-3.
Также во всех трёх случаях справедлива оценка размерности в соответствии с леммой 15, утв. (11):
п
dim Vjf, 5 <
п2 .
Итого получаем
~>п—2
п
" СГЛ)'
^ Т^ТГ, п = 4pa, 4pa — 1, (20)
,pa-U
> ^Sr, п = 4pa + 1. (21)
' п-2 '
Ура -iJ
Перебор параметров здесь не нужен. Схема вычислений тривиальна и состоит в приме-
п
Результаты вычислений для серий С3, С^ С5 приводятся в таблице 2. Таблица органи-
п
ячейке конкретный граф не указан, для получения оценки в соответствующей размерности мы воспользовались описанной выше «дооценкой».
5Мы пользуемся тем фактом, что в векторах из Уз, Уа, представлено всего два типа координат. Координаты эти, однако, суть единицы и минус единицы, а не единицы и нули, как того требует условие оценки (5). Но в действительности это не влияет на справедливость оценки. Для доказательства этого необходимо будет, следуя доказательству теоремы 4 из [24], при оценке размерности пространства многочленов заметить, что в базисные мономы не имеет смысла включать квадраты переменных — так же, как и в случае нулей и единиц.
Кроме того, в случае С3 и нет смысла включать в базисные мономы координату у1, так как она всегда равна единице; в случае же мы фиксируем сразу две первых координаты. Это дополнительно уточняет верхнюю оценку числа независимости: берутся числа сочетаний из те — 1а п — 2 соответственно.
Таблица2
Оценки, полученные с помощью G4 и G5
размерность 4
серия графов ^ Gs G4 G6
630 730 (36) 631 631
666 766 730 (37) 667
903 1003 967 1495 (43)
946 2294 (44) 1010 1538
990 2338 2294 (45) 1582
1275 2623 2579 4638 (51)
1326 7093 (52) 2630 4689
1378 7145 7093 (53) 4741
2211 7978 7926 43130 (67)
2278 65660 (68) 7993 43197
2346 65728 65660 (69) 43265
2775 66157 66089 129972 (75)
2850 197558 (76) 66164 130047
2926 197634 197558 (77) 130123
4095 198803 198727 1161338 (91)
4186 1761149 (92) 198818 1161429
4278 1761241 1761149 (93) 1161521
4851 1761814 1761722 3449827 (99)
4950 5227010 (100) 1761821 3449926
5050 5227110 5227010 (101) 3450026
5671 5227731 5227631 10214224 (107)
5778 15464526 (108) 5227738 10214331
5886 15464634 15464526 (109) 10214439
6555 15465303 15465195 30157112 (115)
6670 45629021 (116) 15465310 30157227
6786 45629137 45629021 (117) 30157343
7503 45629854 45629738 88820971 (123)
7626 134314638 (124) 45629861 88821094
7750 134314762 134314638 (125) 88821218
10731 134317743 134317619 2242669786 (147)
10878 3386889064 (148) 134317766 2242669933
11026 3386889212 3386889064 (149) 2242670081
13203 3386891389 3386891241 19152094988 (163)
13366 28904388755 (164) 3386891404 19152095151
13530 28904388919 28904388755 (165) 19152095315
14535 28904389924 28904389760 55863170611 (171)
14706 84284783729 (172) 28904389931 55863170782
14878 84284783901 84284783729 (173) 55863170954
17391 84284786414 84284786242 473755108853 (187)
17578 714432837949 (188) 84284786429 473755109040
17766 714432838137 714432837949 (189) 473755109228
18915 714432839286 714432839098 1377689396215 (195)
19110 2077131705062 (196) 714432839293 1377689396410
19306 2077131705258 2077131705062 (197) 1377689396606
Отметим, что во всех рассмотренных выше конфигурациях фигурирует один запрет. Ниже, наконец, мы рассматриваем несколько ситуаций, где запрета два.
6.4. Серии {-1,1}-графов с двумя запрещёнными скалярными произведениями
Рассмотрим ситуацию, когда запрета два. Для этого нам потребуется следующая лемма.
Лемма 18. (О паре запретов.) Пусть р ^ нечётное простое число, е € Ъ, а € N а, п = 4ра — е. Пусть £ С {-1,1}"" — произвольная совокупность векторов такая, что все её векторы содержат, чётное число единиц, а, первые Р координат, каждого из её векторов равны единице, где Р € М, ^ < п. Тогда, если соблюдено одно из условий 1-8, наложенных на г[ ,г'2, Р и е, для произвольных еекторов х, у € £ справедлива эквивалентность
(x, y) ^ r[ mod ра í (x, y) = r[,
(x, y) ^ r'2 mod pa [ (x, y) = r'2.
Условия таковы:
1) = 0, = 0, 2= 4, Р ^ 3;
2) = —4, = 4, 2 = 8, Р 7; Л\
3) = 1, = —1, 2 = 3, Р ^ 2;
4) = —3, = 3, 2 = 7, Р 6; Л\
5) = 2, г[ = —2, 2 = 2, Р ^ 1;
6) = —2, = 2, 2 = 6, Р ^ 5;
V = —1, = 1, 2 = 5, Р 4; л\
8) = —5, = 5, 2 = 9, Р ^ 8.
Доказательство. В соответствии с леммой 13 все скалярные произведения векторов из £ сравнимы с — е по модулю 4. Для каждого значения е выпишем несколько последовательных элементов множества, в котором лежат значения скалярных произведений (в том числе, возможные значения г' и г2)-
Для е = 0, —4:
..., —12, —8, —4, 0, 4, 8, 12, ...
Для е = 1, —3:
..., —13, —9, —5, —1, 3, 7, 11, ...
= 2, —2
..., —14, —10, —6, —2, 2, 6, 10, ...
= —1, —5
..., —15, —11, —7, —3, 1, 5, 9, ...
Рассмотрим условия 1-8. Для каждого из них применим лемму 14 к тройкам (е,Р, ) и (е,Р, г^) (тривиально проверяется, что условия леммы соблюдены). Так мы увидим, что
II (У
запрет остатков г' и г2 по модулю р означает соответственно запрет скалярных произведений г' и г'2 между различными век торами £. Объединяя утвержден и я для г' и г'2, завершаем доказательство леммы.
□
Рассмотрим серии графов Од, устроенные следующим образом.
С6(п, г\, г'2, Р) = (У6(п, Р),Е6(п, г\, г'2)), п = 4ра, г'х =0, г'2 = 4, либо
п = 4ра + 4, г[ = 4, г'2 = 8;
От(п, г[, г2, Р) = (Ут(п, Р),Ет(п, г[, г2)), п = 4ра — 1, г[ = —1, г2 = 3, либо
п = 4ра + 3, г[ = 3, г2 = 7;
С8(п, г[, г2, Р) = (У8(п, Р),Е8(п, г[, г2)), п = 4ра — 2, = —2, г2 = 2, либо
п = 4ра + 2,г[ = 2, г2 = 6;
Од(п, г[, г2, Р) = (Уд(п, Р),Ед(п, г[, г2)), п = 4ра + 1, г[ = 1, г2 = 5, либо
п = 4ра + 5,г[ = 5, г2 = 9;
V6,7,8,9(n, F) = {x = (xi, ...,xn) e {-1, l}n,xi = ... = xF = 1, |{г :xi = 1}| ф 0 mod 2},
E6,7,8,g(n, ri, r'2) = {(x, y) e V6,7,8,9 X V6,7,8,9 : (x, y) e {r', }} ,
где p — нечётное простое число, a e N, F e N,F ^ n — 1. Также рассмотрим связанные с каждым из графов отображения ®(г', г2, 5, F), определённые как (I,J,F)-двойственные переходы при
I = г[ + 1 + 5, J = r2 + 1 — 5,
I ^ J,
F ^ I, F e {J — 1, J}, F ^ Fmin( r[, r'2),
где Fmin(г', r'2) — ограничение снизу на F, соответствующее одному из значений из леммы 18 (это значение определено однозначно для заданных е, г', г2). Также рассмотрим ®(г[, г2, 5, F)(G6,7,8,9(n, r[, r2,F)) — образы указанных графов под действием соответствующих двойственных переходов.
Все векторы из 1/6,7,8,9 содержат чётное число координат-единиц, поэтому, в соответствии с леммой 13, все значения попарных (внутри каждого V;) скалярных произведений этих векторов совпадают с n по модулю 4.
V6,7,8,9
x y V6,7,8,9
(x, y) mod pa e {r', r2} эквивалентно условию (x, y) e {r', r2}•
Применим лемму 12 к двум последовательным таким скалярным произведениям г[ и г2 (это возможно, так как имеем как раз г' = I — 1 — 5, r!2 = J —1 + 5) и убедимся, что рёбра из ^6,7,8,9 соединяют вершины, расстояние между образами которых в образе V6®78 9 максимально. Неформально это означает, что запрет пары остатков скалярных произведений в прообразе соответствует запрету максимального расстояния в образе.
Отметим, что двойственный переход ®(г', г2, 5, F) биективен в силу леммы 9. С учётом замечания о том, что запрет пары скалярных произведений соответствует запрету пары остатков, для оценки числа независимости применим теорему 3 (легко видеть,
V6,7,8,9
Получим оценку
a(G6,7,8,9) < Е("к ). (22)
F
нице, а всего в каждом векторе содержится чётное количество единиц, то общее количество вершин составляет |V6,7,8,9(n)| = 2n-F
Для размерностей образов графов при двойственном переходе в соответствии с утверждениями (14) и (11) из леммы 15 имеем
dim Vv7,8,9 < (П — 2 + ^ + (n — J + 1)(J — F).
Собирая воедино рассуждения текущего подраздела, получаем следующие оценки чисел Борсука:
//n — J + 1\ \ 2n-F—
/ +(n — J + 1)(J — F) ^ —-, n = 4pa, 4pa — 1, 4pa — 2, 4pa + 1,
W 2 У J (,,-f,
fc=0
4pa + 4, 4pa + 3, 4pa + 2, 4pa + 5.
Результаты вычислений для серий Сб, Ст, С 8 и С9 приводятся в таблице 3. В скобках указаны параметры оптимального графа (п, I, ■], Р). Если параметры в ячейке не указаны, для соответствующей размерности была применена «дооценка».
ТаблицаЗ
Оценки, полученные с помощью С6, С8 и С9
размерность ф
серия графов ^ Ge Gr Gs Gg
561 759 (36, 2, 4, 3) 759 (35, 1, 3, 2) 759 (34, 1, 1, 1) 759 (37, 3, 5, 4)
820 1472 (44, 1, 5, 4) 1472 (43, 1, 3, 3) 1018 1472 (45, 2, 6, 5)
861 2321 (44, 2, 4, 3) 2321 (43, 1, 3, 2) 2321 (42, 1, 1, 1) 2321 (45, 3, 5, 4)
1128 2891 (52, 1, 5, 5) 2891 (55, 4, 8, 8) 2588 2891 (53, 2, 6, 6)
1176 4500 (52, 1, 5, 4) 4500 (51, 1, 3, 3) 2636 4500 (53, 2, 6, 5)
1225 7044 (52, 2, 4, 3) 7044 (51, 1, 3, 2) 7044 (50, 1, 1, 1) 7044 (53, 3, 5, 4)
2016 26592 (68, 1, 5, 5) 26592 (71, 4, 8, 8) 7835 26592 (69, 2, 6, 6)
2080 41044 (68, 1, 5, 4) 41044 (67, 1, 3, 3) 7899 41044 (69, 2, 6, 5)
2145 63626 (68, 2, 4, 3) 63626 (67, 1, 3, 2) 63626 (66, 1, 1, 1) 63626 (69, 3, 5, 4)
2556 79829 (76, 1, 5, 5) 79829 (79, 4, 8, 8) 64037 79829 (77, 2, 6, 6)
2628 122850 (76, 1, 5, 4) 122850 (75, 1, 3, 3) 64109 122850 (77, 2, 6, 5)
2701 189802 (76, 2, 4, 3) 189802 (75, 1, 3, 2) 189802 (74, 1, 1, 1) 189802 (77, 3, 5, 4)
3828 709181 (92, 1, 5, 5) 709181 (95, 4, 8, 8) 190929 709181 (93, 2, 6, 6)
3916 1086594 (92, 1, 5, 4) 1086594 (91, 1, 3, 3) 191017 1086594 (93, 2, 6, 5)
4005 1670378 (92, 2, 4, 3) 1670378 (91, 1, 3, 2) 1670378 (90, 1, 1, 1) 1670378 (93, 3, 5, 4)
4560 2101953 (100, 1, 5, 5) 2101953 (103, 4, 8, 8) 1670933 2101953 (101, 2, 6, 6)
4656 3215194 (100, 1, 5, 4) 3215194 (99, 1, 3, 3) 1671029 3215194 (101, 2, 6, 5)
4753 4933134 (100, 2, 4, 3) 4933134 (99, 1, 3, 2) 4933134 (98, 1, 1, 1) 4933134 (101, 3, 5, 4)
5356 6211462 (108, 1, 5, 5) 6211462 (111, 4, 8, 8) 4933737 6211462 (109, 2, 6, 6)
5460 9487651 (108, 1, 5, 4) 9487651 (107, 1, 3, 3) 4933841 9487651 (109, 2, 6, 5)
5565 14533276 (108, 2, 4, 3) 14533276 (107, 1, 3, 2) 14533276 (106, 1, 1, 1) 14533276 (109, 3, 5, 4)
6216 18308386 (116, 1, 5, 5) 18308386 (119, 4, 8, 8) 14533927 18308386 (117, 2, 6, 6)
6328 27930587 (116, 1, 5, 4) 27930587 (115, 1, 3, 3) 14534039 27930587 (117, 2, 6, 5)
6441 42723846 (116, 2, 4, 3) 42723846 (115, 1, 3, 2) 42723846 (114, 1, 1, 1) 42723846 (117, 3, 5, 4)
7. Заключение
Дадим теперь ответы на вопросы, заданные во введении.
В таблицу 4 для наглядности собраны оценки чисел Борсука пространств малой размерности, полученные с помощью «самых сильных» серий графов. Это означает, что из таблицы были исключены столбцы, в которых для рассмотренных нами размерностей не содержалось ни одного «лучшего в строке» результата, не достигнутого в предыдущих столбцах - так, оказывается, что Сб в этом смысле доминирует над а оценки, основанные на ^4, сильнее оценок, основанных на Сз, уже исходя из (20). Остаются столбцы, соответствующие С2 — серии {—1, 0,1}-графов с фиксированным числом ненулевых координат, Сз — сери и {-1,1}-графов «с одним запретом», Сб — терпи {-1,1}-графов «с двумя запретами». Здесь, как и в таблицах 1 и 3, мы, дабы сделать таблицу обозримой, пренебрегаем её строками, в которых наилучший результат получается с помощью «дооценки». Конечно, такие строки могут быть легко восстановлены. Здесь важно отметить, что для «малых размерностей» в разных случаях работают разные идеи. Для многих й, по всей видимости, нижняя оценка для /(с!) приводится в таблице 4 впервые.
Таблица!
Сравнение оценок чисел Борсука пространств малых размерностей
размерность 4
серия графов ^ G2 Gs Ge
561 562 562 759 (36, 2, 4, 3)
820 821 920 1472 (44, 1, 5, 4)
861 862 961 2321 (44, 2, 4, 3)
1128 1195 2476 2891 (52, 1, 5, 5)
1176 1386 2524 4500 (52, 1, 5, 4)
1225 1597 2573 7044 (52, 2, 4, 3)
1890 8829 (61, 25) 7657 7709
1952 10238 (62, 25) 7719 7771
2015 11817 (63, 25) 7782 7834
2016 11818 7783 26592 (68, 1, 5, 5)
2080 13581 7847 41044 (68, 1, 5, 4)
2145 15563 7912 63626 (68, 2, 4, 3)
2278 20962 65660 (68) 63759
2556 37113 65938 79829 (76, 1, 5, 5)
2628 42918 66010 122850 (76, 1, 5, 4)
2701 49434 66083 189802 (76, 2, 4, 3)
2850 65603 197558 (76) 189951
3569 220638 (84, 37) 198277 190670
3654 260693 (85, 37) 198362 190755
3740 306775 (86, 37) 198448 190841
3827 359603 (87, 37) 198535 190928
3828 359604 198536 709181 (92, 1, 5, 5)
3916 419959 198624 1086594 (92, 1, 5, 4)
4005 488684 198713 1670378 (92, 2, 4, 3)
4186 654975 1761149 (92) 1670559
4560 1133160 1761523 2101953 (100, 1, 5, 5)
4656 1304159 1761619 3215194 (100, 1, 5, 4)
4753 1523732 1761716 4933134 (100, 2, 4, 3)
4950 2059812 5227010 (100) 4933331
5356 3645551 5227416 6211462 (108, 1, 5, 5)
5460 4227501 5227520 9487651 (108, 1, 5, 4)
5565 4888126 5227625 14533276 (108, 2, 4, 3)
5778 6480872 15464526 (108) 14533489
6216 11381100 15464964 18308386 (116, 1, 5, 5)
6328 13246846 15465076 27930587 (116, 1, 5, 4)
6441 15375505 15465189 42723846 (116, 2, 4, 3)
6670 20548138 45629021 (116) 42724075
7140 36510771 45629491 53843925 (124, 1, 5, 5)
7260 42124522 45629611 82054071 (124, 1, 5, 4)
7381 48483212 45629732 125358495 (124, 2, 4, 3)
7626 63774534 134314638 (124) 125358740
8384 153592119 (129, 53) 134315396 125359498
8514 177000680 (130,53) 134315526 125359628
8645 203521513 (131, 53) 134315657 125359759
8777 233507010 (132,53) 134315789 125359891
8910 267342303 (133,53) 134315922 125360024
9044 305447594 (134,53) 134316056 125360158
9179 348280600 (135, 53) 134316191 125360293
9315 398529295 (136, 59) 134316327 125360429
9452 466820352 (137, 59) 134316464 125360566
9590 545493701 (138, 59) 134316602 125360704
9729 635925506 (139, 59) 134316741 125360843
9869 739647011 (140, 59) 134316881 125360983
10010 858358804 (141, 59) 134317022 125361124
10152 993946100 (142, 59) 134317164 125361266
10295 1148495045 (143, 59) 134317307 125361409
10296 1148495046 134317308 1354767865 (148, 1, 5, 5)
10440 1324310123 134317452 2059341163 (148, 1, 5, 4)
10585 1523932677 134317597 3137001950 (148, 2, 4, 3)
10878 2040013712 3386889064 (148) 3137002243
11475 3585535973 (151, 61) 3386889661 3137002840
11627 4108658537 (152, 61) 3386889813 3137002992
11780 4699472449 (153, 61) 3386889966 3137003145
11934 5365604653 (154, 61) 3386890120 3137003299
12089 6159942008 (155, 67) 3386890275 3137003454
12245 7201786262 (156, 67) 3386890431 3137003610
12402 8402150920 (157, 67) 3386890588 3137003767
12560 9782444352 (158, 67) 3386890746 3137003925
12719 11366594042 (159, 67) 3386890905 3137004084
12720 11366594043 3386890906 11548841982 (164, 1, 5, 5)
12879 13181297915 (160, 67) 3386891065 11548842141
12880 13181297916 3386891066 17532574162 (164, 1, 5, 4)
13041 15256295978 3386891227 26667999195 (164, 2, 4, 3)
13366 20323127147 28904388755 (164) 26667999520
13860 30828453073 (166, 67) 28904389249 26668000014
Также мы произвели расчёты для случая «растущей размерности». Численный эксперимент показывает, что с ростом с! начинают поочерёдно доминировать две серии графов — ({—1, 0,1}-графы с одним «запретом») и ({—1,1}-графы с двумя «запретами»). В таблицу 5 мы включаем лишь те достаточно большие размерности, при переходе через которые можно наблюдать смену доминирующей серии, а также размерности, большие предполагаемой «пороговой» — как можно видеть из проведённых расчётов, начиная
ей = 22154 устанавливается ожидаемое в соответствии с [22] доминирование {—1, 0,1}-графов с ограничением на количество ненулевых координат.
Таблицаб
Сравнение оценок чисел Борсука пространств при росте размерностей
размерность 4
серия графов ^ G2 Ge
14027 35575214838 (167, 71) 26668000181
14196 41357928108 51071503180 (172, 1, 5, 4)
15050 85452235646 (173, 71) 77633048377
17019 403613843210 (184, 79) 285068165140
17020 403613843211 432113274440 (188, 1, 5, 4)
17204 470465660729 (185, 79) 432113274624
17205 470465660730 656117737023 (188, 2, 4, 3)
17765 737438558303 (188, 79) 656117737583
18720 1514737229760 (193, 81) 1255308792435
18721 1514737229761 1905118736125 (196, 2, 4, 3)
19109 2025160588555 (195, 81) 1905118736513
21944 14903109993823 (209, 89) 10570185288769
21945 14903109993824 16027885419443 (212, 2, 4, 3)
22154 17317326505560 (210, 89) 16027885419652
28440 969776983719828 (238, 101) 389313830989796
28679 1125124376330066 (239, 101) 389313830990035
28919 1303646677247046 (240, 101) 491862065149951
29160 1508544540124909 (241, 101) 743799486168000
29402 1743424867403225 (242, 101) 1126265437348847
29645 2012347763025557 (243, 101) 1126265437349090
29889 2319878366958467 (244, 101) 1126265437349334
Настоящая работа выполнена за счёт гранта РФФИ (проект N 18-01-00355) и гранта президента НШ-6760.2018.1.
Литература
1. Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk's conjecture // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1993. V. 29. P. 60-62.
2. Borsuk K. Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre // Fundamenta Mathematicae. 1933. V. 20, I. 1. P. 177-190.
3. Perkal J. Sur la subdivision des ensembles en parties de diamètre inférieur // Colloquium Mathematicum. 1947. V. 1. P. 45.
4. Hadwiger H. Uberdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers // Commentarii Mathematici Helvetici. 1945. V. 18. P. 73-75.
5. Riesling A.S. Borsuk's problem in three-dimensional spaces of constant curvature // Ukr. Geom. Sbornik. 1971. V. 11 P. 78-83.
6. Dekster B. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. 1995. V. 52, I. 1-2. P. 64-73.
7. Rogers C.A. Symmetrical sets of constant width and their partitions // Mathematika. 1971. V. 18. P. 105-111.
8. Nilli A. On Borsuk's problem // Jerusalem Combinatorics '93: an international conference in combinatorics. 1994. P. 209-210.
9. Райгородский A.M. О размерности в проблеме Борсука // УМН. 1997. Т. 52, вып. 6(318).
С. 181-182. ß
423.
11. Hinrichs A. Spherical codes and Borsuk's conjecture // Discrete Math. 2002. V. 243. P. 253256.
12. Pikhurko О. Borsuk's conjecture fails in dimensions 321 and 322 // arXiv preprint math/0202112. 2002.
13. Hinrichs A., Richter C. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Mathematics. 2003. V. 270, I. 1-3. P. 137-147.
14. Bondarenko A. On Borsuk's Conjecture for Two-Distance Sets // Discrete k, Computational Geometry. 2014. V. 51, I. 3. P. 509-515.
15. Jenrich Т., Brouwer A.E. A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk's Conjecture // Electronic Journal of Combinatorics. 2014. V. 21, I. 4. #P4.29.
16. Рамгородский A.M. Вокруг гипотезы Борсука // Геометрия и механика. 2007. Т. 23. С. 147-164.
17. Raigorodskii A.M. Three lectures on the Borsuk partition problem // London Mathematical Society Lecture Note Series. 2007. V. 347. P. 202-248.
18. Raigorodskii A.M. Cliques and cycles in distance graphs and graphs of diameters // Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics. 2014. V. 625. P. 93-109.
19. Raigorodskii A.M. Coloring Distance Graphs and Graphs of Diameters // Thirty Essays on Geometric Graph Theory. / J. Pach ed. Springer, 2013. P. 429-460.
20. Raigorodskii A.M. Combinatorial geometry and coding theory // Fundamenta Informatica. 2016. V. 145. P. 359-369.
21. Schramm O. Illuminating sets of constant width // Mathematika. 1988. V. 35, I. 2. P. 180— 189.
22. Рамгородский A.M. Об одной оценке в проблеме Борсука // Успехи математических наук. 1999. Т. 54, вып. 2(326). С. 185-186.
23. Рамгородский A.M. Гипотеза Кнезера и топологические методы в комбинаторике. Москва : МЦНМО, 2011.
24. Боголюбский Л.И., Рамгородский A.M. Замечание о нижних оценках хроматических чисел пространств малой размерности с метриками и ¿2 // Математические заметки. 2019. Т. 105. С. 187-213.
25. Рамгородский A.M. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. Москва : МЦНМО, 2007.
26. Гервер М.Л. О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры // Математическое просвещение. 1999. Сер. 3, вып. 3. С. 168-183.
27. https://github.com/LevBogolubsky/Borsuk_lower_linear_algebra References
1. Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk's conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1993. V. 29 P. 60-62.
n
Mathematicae. 1933. V. 20, I. 1. P. 177-190.
3. Perkal J. On the subdivision of sets into parts of smaller diameter. Colloquium Mathematicum. 1947. V. 1. P. 45.
4. Hadwiger H. Coverage of a set by sets of smaller diameter. Commentarii Mathematici Helvetici. 1945. V. 18. P. 73-75.
5. Riesling A.S. Borsuk's problem in three-dimensional spaces of constant curvature. Ukr. Geom. Sbornik. 1971. V. 11. P. 78-83.
6. Dekster B. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution. Journal of Geometry. 1995. V. 52, I. 1-2. P. 64-73.
7. Rogers C.A. Symmetrical sets of constant width and their partitions. Mathematika. 1971. V. 18. P. 105-111.
8. Nilli A. On Borsuk's problem. Jerusalem Combinatorics '93: an international conference in combinatorics. 1994. P. 209-210.
9. Raigorodskii A. On dimensionality in the Borsuk problem. Russian Math. Surveys. 1997. V. 52. P. 1324-1325.
10. Weißbach B. Sets with large Borsuk number. Beiträge Algebra Geom. 2000. V. 41. P. 417423.
11. Hinrichs A. Spherical codes and Borsuk's conjecture. Discrete Math. 2002. V. 243. P. 253256.
12. Pikhurko O. Borsuk's conjecture fails in dimensions 321 and 322. arXiv preprint math/0202112. 2002.
13. Hinrichs A., Richter C. New sets with large Borsuk numbers. Discrete Mathematics. 2003. V. 270, I. 1-3. P. 137-147.
14. Bondarenko A. On Borsuk's Conjecture for Two-Distance Sets. Discrete k, Computational Geometry. 2014. V. 51, I. 3. P. 509-515.
15. Jenrich T., Brouwer A.E. A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk's Conjecture. Electronic Journal of Combinatorics. 2014. V. 21, I. 4. #P4.29.
16. Raigorodskii A.M. Around Borsuk's Hypothesis. Journal of Mathematical Sciences. 2008. V. 154, I. 4. P. 604-623.
17. Raigorodskii A.M. Three lectures on the Borsuk partition problem. London Mathematical Society Lecture Note Series. 2007. V. 347. P. 202-248.
18. Raigorodskii A.M. Cliques and cycles in distance graphs and graphs of diameters. Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics. 2014. V. 625. P. 93-109.
19. Raigorodskii A.M. Coloring Distance Graphs and Graphs of Diameters. Thirty Essays on Geometric Graph Theory. J. Pach ed. Springer, 2013. P. 429-460.
20. Raigorodskii A.M. Combinatorial geometry and coding theory. Fundamenta Informatica. 2016. V. 145. P. 359-369.
21. Schramm O. Illuminating sets of constant width. Mathematika. 1988. V. 35, I. 2. P. 180-189.
22. Raigorodskii A.M. On a bound in Borsuk's problem. Russian Math. Surveys. 1999. V. 54, I. 2. P. 453^454.
23. Raigorodskii A.M. Kneser's Hypothesis and the Topological Method in Combinatorics. Moscow : MCCME, 2011.
24. Bogolubsky L.I., Raigorodskii A.M. A Remark on Lower Bounds for the Chromatic Numbers of Spaces of Small Dimension with Metrics l\ and l2. Matematicheskie Zametki. 2019. V. 105, I. 2. P. 187-213.
25. Raigorodskii A.M. The linear algebra method in combinatorics. Moscow : MCCME, 2007.
26. Gerver M.L. On partition of sets into parts of smaller diameter: theorems and counterexamples. Matematicheskoe prosveschenie. 1999. Ser. 3, V. 3. P. 168-183.
27. https://github.com/LevBogolubsky/Borsuk_lower_linear_algebra
Поступим в редакцию 21.07.2019
