Об особом оптимальном по расходу топлива управлении в центральном гравитационном поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.01:629.78

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 3

В. С. Новоселов

ОБ ОСОБОМ ОПТИМАЛЬНОМ ПО РАСХОДУ ТОПЛИВА УПРАВЛЕНИИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

1. Построение особых оптимальных управлений связано с трудностями, обусловленными необходимостью исследования последовательных производных по времени от вырожденного условия стационарности линейного управления [1]. Нелинейность дифференциальных уравнений движения в гравитационном поле существенно усложняет такую процедуру. Поэтому обычно ограничиваются решением компланарных задач. Общее решение уравнений Эйлера-Лагранжа для задач оптимизации в центральном гравитационном поле содержит две определяемые условиями трансверсальности постоянные [2], а именно величину функции Гамильтона совместной системы уравнений движения и уравнений Эйлера-Лагранжа, а также лагранжев множитель, отвечающий циклической угловой координате. В работах [3, 4] предложено построение особого управления для частного случая, когда первая из указанных постоянных обращается в нуль, а вторая отлична от нуля. В [4, 5] рассмотрена вторая частная задача, в которой обращается в нуль вторая постоянная, а первая не равна нулю. Некоторые результаты статьи [4] отличаются от соответствующих результатов в [3, 5]. С помощью численного исследования второй вариации показано [б], что особое управление первой из отмеченных задач не оптимально. Представляется полезным применить аналитическое необходимое условие оптимальности второго порядка [1] при анализе особых управлений в центральном гравитационном поле.

В настоящей работе применяются методы аналитической динамики управляемых систем [2, 7] к исследованию оптимального по расходу топлива особого управления в центральном гравитационном поле, анализируется выполнение необходимых условий оптимизации второго порядка для двух указанных частных решений. Приведены иллюстративные примеры.

2. В качестве фазовых переменных принимаем радиальную и трансверсальную скорости, величину полярного радиуса, полярный угол и массу космического корабля:

хх = иг, Х'2 = хз - г, хА= <р, х5 = т. Уравнения движения в указанных переменных имеют вид [2, 7]

с1х х _1/9 9 _1\ _1 /

= х3 (яо — эе х3 ) + цигт соъц),

иХу —1 , -1 • / /14

—^■ = —х\Х2Х3 + цигт вттр, (1)

(1хз ¿Хц _1 с/ж 5

Здесь аг - произведение универсальной гравитационной постоянной и массы планеты, ф - угол наклона тяги к радиусу-вектору, иг > 0 - постоянная эффективная скорость истечения, ц и ф являются управляющими функциями (управлениями).

© В. С. Новоселов, 2007

Оптимальность космической траектории понимается в смысле минимума расхода топлива

<к

Ф1 =

г

что равносильно минимизации характеристической скорости

<

ф2

J Lidt = тя - mK, (2)

rK

: J vdt = ur ln(m„/mK), и = цигт~1. (3)

í„

Управление (v представляет собой величину реактивного ускорения. Индексами «н» и «к» отмечаем характеристики точек старта и финиша. Рассмотрим следующие варианты:

1) при ограничении на управление ц

О ^ ц ^ а = const > 0; (4)

2) при ограничении на управление v

0 ^ V ^ /3 = const > 0. (5)

Функционалы (2) и (3) могут быть дополнены терминальными слагаемыми. Формулы (1)-(5) и подынтегральные функции в (2) и (3) не содержат явно время t, поэтому функция Гамильтона будет постоянной [2, 7]

Н = цигх^1(— 1 + Ai cos 'ф + Ао sin^) — /uA5 + Н = h = const, (6)

где

Н = Aia,'g 1 (х2 — эз2^1) — Ao^i-f^a-'J1 + А3Ж1 + Х^х^^1. (7)

Во втором варианте множитель перед скобкой в (6) заменяем на и и полагаем А5 = 0. Формула (7) сохраняется без изменения. Запишем отвечающие функции (б) уравнения Эйлера-Лагранжа

dXi _i dX2 _i, .. . . ,

= Х2х2х3 - Аз, — = х3 {-2\1х,2 + Х2х1 - А4),

= AixJj(x2 — 2аг2х31) — X2xix2x32 + Xix2x32, dXd „ ,

—1 = 0, А4 = const, (8)

dt

= цигх§2(— 1 + Al cos ф + X2 sin -ф).

Во втором варианте последнее уравнение системы (8) опускается.

Для точек переключения управления /х и на участках промежуточной тяги выполняется условие

дН

— UrX'U-l + Ai cos4' + Ао sin-0) - А5 = 0. (9)

Of!

Во втором варианте для точек переключения управления и и па участках промежуточного реактивного ускорения

дН

-г— = -1 + Al costó + A2sinV> = о. (10)

oís

Уравнения (9) и (10) дополним условием стационарности по управлению -ф

дН

—- = 0, -Ai sin^> + Ао cosí/1 = 0. (11)

игр

Последние уравнения систем (1) и (8), а также условие (9) позволяют получить

dX-a _i. . _i

= /хх5 А5, А5 = схь , с = const,

Ai cos 1р + A2 sin гр = А, А = 1 + и~1с = const. (12)

На основании (11) и (12) имеем

Ai=AcosV>, A2 = Asini/>- (13)

Для второго варианта в формуле (13) надо положить А = 1. Заметим, что постоянная с определяется с помощью условий трансверсальности. В обычной постановке конечная масса тк считается заданной, а величина т„ минимизируется. Если нет дополнительных условий на значения т„ и тк, тогда Дтк = 0, а Дшн произвольна. Поэтому Af = 0. По формуле (12) с = 0. Получаем в данном случае и в первом варианте А = 1. Предполагая А ф 0, формулу (9) с помощью (12) и (13) преобразуем к виду

ЯН

= Х(А? + А2 - А2) = 0, х = игх-1 А"1. (14)

Для второго варианта ц заменяем на v и полагаем А = 1,,\ = 1. Характеристики возможных особых режимов оптимального управления получим на основе дифференцирования по времени тождества (14) и последующего выражения производных фазовых переменных и лагранжевых множителей по уравнениям (1) и (8)

= -Х^з1 [AlАз + А2Ж3 ^АхХг - A2xi + А4)] = 0, (15)

= ^^"'(ЗА? - Al) + (Ai*2 - Х2Х1 + А4)2 + А2*2] = 0, (16)

1 tfl ñH

-^з^- = х^ХзЧ-^x, + 10AiA2®2 - 8А1А3Х3 - Xlx1+4X2X4) = 0, (17)

1 Ój^ дН

--——— = 4 {иигх71 (■-6A'l cos 1р + 10AiA2sin^ - Xlcostp)+

2 at4 оц

+Xl(22si2x~2 - Mxlx'1) + X\{s?x32 - 2x\xJ1 + Vx22x3l) + 4AiA3xi-

-18AiA4a;2a;¡"1 - 18A2A3:r2 + 6A2A4a;ia;¿"1 + 8A^x3 - 4A|x¡"= 0. (18)

Формулы (15)—(18) эквивалентны соответствующим инвариантным соотношениям из работы [4], а при Л4 = 0 - из [5].

Поскольку в тождестве (18) члены, содержащие управление /л или и = ,

взаимно не уничтожились, то рассматриваемая задача по терминологии [5] относится к классу задач с особыми траекториями второго порядка. Для оптимальности особых траекторий второго порядка должно выполняться следующее необходимое условие в форме Роббинса [1]:

~г~"тттД ^ 0, -6Ar eos v + ЮЛ1Л2 siné - A, eosф ^ 0.

a/i dt'1 Ofi

Оно с учетом (13) примет вид

совф(3 sin2 ф - 2 eos2 ф) íí 0. (19)

Из инвариантного'условия (16) следует А3 ^ 2А2, с учетом формулы (13) sin2 ф ^ 2cos2ф. Поэтому скобка в формуле (19) положительна и для оптимальности особой траектории необходимо eos ф ^ 0. Равенство eos ф = 0, ф = отвечает обращению в нуль в соотношении (18) члена, содержащего /х. В данном случае особая траектория будет более высокого порядка. Далее принимаем eos ф ф 0 или Ai ф 0. Тяга необходимо должна составлять тупой угол с направлением полярного радиуса

| ^ Ф ^ | +arcsin(l/\/3), у - arcsin(l/V3) ^ ф sí у. (20)

Этот вывод совпадает с результатом работы [5]. Из уравнений (15) и (17) получаем

4А:А3 = х31(-2\\хх + 2AIA2X2 + A|xi),

4А2А4 = 2A?Zi - 6AIA2X2 +3A'^i. (21)

На основании (15) и (16) с учетом (14) находим

\хх2 - A2Z1 + А4 = ±AIA_1(A¡ - 2А^ае.-Сз К (22)

По формулам (15) и (22) имеем

Л3 = =fA2A_1(A¡ - (23)

Второе уравнение формулы (21) и уравнение (22) разрешим относительно радиальной и трансверсальной скоростей:

XI = 2А2(ЗА| -2А?)-1 [^тЗА^-^-гЛ?)*®®^] , (24)

z2 = (А2 - 2А?)5(ЗА^ - 2А2)-1 [—А4АГ1(А| - 2\j)i =F А_1(2А? + ЗА^аехд .

Формулы (23), (24) совпадают при А4 = 0 с выражениями соответствующих величин работы [5].

С помощью следующего из формул (6), (7), (9) интеграла Н = h и формулы (15) находим

(Аьг2 - A2.ti)2 + A.,(AIZ2 - Aox'i) = Л.А1Ж3 + А^ая2.^1. (25)

Вычтем (25) из возведенного в квадрат соотношения (22):

A4(Ai2-2 - \2Xi + А4) + h\\x3 = А2А~2(А2 - 2 А2 - A2)ae2xJ1. Множитель при A4 выражаем по формуле (22). После умножения на A2Aj~1i,3 приходим

1/2 " г-

к уравнению четвертой степени относительно х3' = у/г

A2hx¡ ± геА4А(А^ - 2Aj) = xf + Зае2 А? = 0. (26)

Уравнение (26) можно записать в виде уравнения четвертой степени относительно Хз = г

A4h2rA + Qst\2h\\r2 - ae2A2A|r(A2 - ЗА2) + 9ae4A? = 0,

которое совпадает с соответствующим уравнением работы [4], если в последнем выполнить сокращение на Af и исправить очевидную опечатку.

3. В уравнении (26) явно выделены две неизменяемые на всей экстремальной траектории постоянные h и А4, которые определяются с помощью условий трансверсальности. Если нет ограничения на выбор í„ или íK, например допускается произвольная фаза движения по одному из граничных многообразий, то h = 0. При ограничении на время перехода указанная постоянная не может полагаться нулевой. Если одно из граничных многообразий не налагает ограничения на значение полярного угла, например рассматривается переход между орбитами, из которых хотя бы одна является круговой, то А4 = 0. Как следует из (26), при h = 0 и А4 = 0 получаем Ai = 0, что отвечает трансверсальной тяге, которую мы исключили. Будем рассматривать два частных случая:

а) h = 0, А4 ф 0;

б) h ф 0, А4 = 0.

Уравнение (26) для этих случаев дает

= q=3aeAA¡"1(l - 3cos2 ф)% cos3 ф, (27a)

x% = -Зэе2 А/Г1 cos3 ф. (276)

Для удовлетворения уравнения (19) в формуле (27а) при А4 > 0 надо выбирать верхний знак, при А4 < 0 - нижний. По той же причине из формулы (276) следует h > 0. С помощью (24) и (27) для радиальной скорости получаем

a¡i = 2А_1А4(1 - 2cos2V>)(3 - 5cos2^)-1 sinocos-2ф, (28a)

xi = =F6asx¡~ * (1 - 3cos2 ф)5(3 - 5eos2 ф)'1 sinфсоёф. (286)

Соответственно для трансверсальной скорости

х2 = ^А_1А4(1 — 3cos2 ф)(3 ~ 4 cos2 ф)(3 — 5 cos2 ф)-1 cos-3 ф, (29а)

О

х2 = =FaeXg ^ (1 — 3cos2 ф)^(3 — cos2 ф)(3 - 5cos2ф)'1. (296)

Формулы (27) и (29) показывают, что при прямом движении х2 = гф > 0 выбираем нижний знак, при обратном движении - верхний.

На основании первого уравнения Эйлера-Лагранжа (8) и формул (13), (23), (28) и (29)

ф = ±aezj5(l -3cos2V)^(3-5cos2^)_1cos2^, (30а)

ф = ±4a3Xg " (1 - 3 cos2 ф)з (3 - 5 cos2 ф)'х cos2 ф. (306)

По формулам (27), (29) и (30) получаем

а) ф = -ф(3 - 4 cos2 V') cos-2 ф, ip = Аф - 3 tg ф + const, (31а)

б) ф = — - cos2 ф) cos-2 ф, ip = - 3tgV>) + const. (316)

Соотношение (18) с учетом (13), (23), (27)-(29) дает

¡лиг _ аз2 f (1 — 3 cos2 ф)(9 - 25 cos2 ф 4- 20 cos4 ф) — - 3^- cost/ ______ , (32а)

ииг „аз2 , 9 - 49cos2 ф + 35 cos4 ф - 35 cos6 ф

-(3 — 5 cos2 ф)3-• (32б)

Согласно формулам (4) и (5), правые части выражений должны быть неотрицательными и не превосходить заданных значений.

Формулы (27а)-(32а) находятся в соответствии с работой [3], формулы (286), (296), (326) - с [5]. Имеются отличия по сравнению с работой [4]. На основании уравнений (1), (8) с учетом интеграла Н = h для особых траекторий можно получить дополнительный интеграл

— Aixi — А2х2 + 2А3ж3 4- Aur ln(m„m_1) - 3h.(t — tH) = С\,

Ci = —А"ж" - Xйх2 + 2А3Ж3 = const,

который совпадает с интегралом в [4], если в последнем изменить знаки первых трех членов. Отсюда можно получить выражение для текущей массы тела

m = mH exp [-А"lu~l{C\ + 3h(t - tH) + А1Ж1 + Aox2 — 2A3z3)]. (33)

Формулы (32a), (326) и (33) определяют секундный расход массы топлива ß.

4. Для удовлетворения необходимого условия второго порядка, как следует из формул (19) и (20), должно быть cos ф < 0 и cos2 ф ^ Следует выполнить и физическое условие /шгт-1 Jä 0. Формула (32а) показывает, что частное решение для случая а) указанным условиям не удовлетворяет.

Выражение в скобках числителя формулы (326) для £ = cos2 ф на отрезке [0,1] убывает и имеет единственный корень äs 0,208. Поэтому в случае б) существует полуинтервал (£*, на котором необходимое условие оптимальности второго порядка выполняется.

Чтобы упростить изложение, примем А = 1, и будем рассматривать отвечающую выполнению необходимого условия оптимальности суженную область | ^ cos2 ф ^ Для прямого движения при cos ф\ = —1/\/3 по формулам (276) (296) г2 = ае2/г_1/\/3, x'i =0, х-2 = 0. Соответственно при cos фо = — л/2/3 получаем г2 = 2#ге2/г\

X! = - — у 3337-2 2 sin </»2, j sin V2 i = Х2 = -^=гег22. (34)

Если перелет происходит с уменьшением полярного радиуса, то sin ф2 > 0, при увеличении полярного радиуса sin ф2 < 0.

Полагаем r2 = Л, тогда h = ^~а:2Л~2, г2 = §-^/§Л2, í'i ~ 1,36Л. Имеем удовлетворяющие необходимому условию оптимальности две ветви решения: одна из точки с полярным радиусом г\ и нулевыми компонентами скорости в фазовую точку с полярным радиусом Л и компонентами скорости (34) при sin ф2 > 0, другая, наоборот, - из точки с полярным радиусом Л и компонентами скорости (34) при sin^/>2 < 0 в точку с полярным радиусом ?'i и нулевыми компонентами скорости. Как показывает формула (326), при изменении х-л от Л до (I)4 Л реактивное ускорение изменяется от 397 • 17~3\/2эе2Л~2 и 0,114ае2Л-2 до ¡sfi¿2R~2 ta 1,88а;2Л"2.

5. На основании полученного результата могут быть рассмотрены удовлетворяющие необходимому условию второго порядка следующие два иллюстративных примера.

Пример 1. При минимальном значении функционала

Ф3 = j udt+~-^R-2{tK-tH) (35)

t„

войти в плотные слои атмосферы планеты с компонентами скорости xi(íK) = — X2(tK) = где Л - удаление от центра планеты условной

границы атмосферы, если космический корабль имеет нулевую скорость на расстоянии (|) i Л от центра планеты. Поскольку первые три фазовые переменные заданы в начальной и конечной точках и их вариации равны нулю, получаем следующее условие трансверсальности [2, 7]:

Л4(Д^к - Д^н) - (h - ^рэе2Л-2)(Д*к - Дt„) = 0. Принимаем tH = 0, ip„ = 0. Ввиду независимости вариаций ДtpK и AtK имеем

А4 = 0, /г=^ае2Л-2.

Можно применить частное решение случая 6) при А = 1. По формуле (276) получаем совч/'н = -1/л/З. Как следует из формул (286) и (296), при этом, действительно, ху =0, х2 = 0. Для конечной точки по формуле (276) со$фк = — л/2/3. По формуле (286) 8тфк = л/7/3. Отсюда фк = § + агсвш фк и 118°. Угол ф„, как и фк, будет находиться во втором квадранте, поэтому втфц — фн = § + агсвт(1/ \/3), ф„ и

125°. За время маневра угол наклона тяги к полярному радиусу уменьшился приближенно на 7°. По формуле (316) находим угловую дальность полета

1 3

Ук - <Рн = ^(Фк - Фн) - ^ёФк - 1ёф„) -

7 А 1 ( . Уз . л/2 - - л/ 2 - - • . --------

4 ^агсэш — - агсэт —-1 , - 1р„ к 18 .

Следует заметить, что видоизмененная задача при задании тангенса угла входа в атмосферу = = |а::(^к)|:г2 1(<к) = 6\/Т4/25, но без задания конкретных

величин xi(tK) и X2(tK) не будет иметь решения в классе особых управлений. В этом случае при

-xi(tK) = x2(iK)t g6>BX, Ах! +tg0BXAx2 = О из условия трансверсальности следует

А* Дх* + Ло Ахо = 0, cos^Ktg0BX = sinV>K, tgi/>K = tg<9BX.

Однако было получено tg i/'K = —л/7/2.

Пример 2. Космический аппарат на расстоянии х3 = R от центра планеты имеет

компоненты скорости х" = ^-y^aei?-^ х" = Требуется оптимально в

смысле минимума функционала (35) перевести его в точку с удалением от центра планеты ж3 — (|)4 R и полностью погасить скорость. По формулам (27б)-(29б) находим cosфп = —л/2/3, sin^H = —л/7/3, cos фк — —1\/3- Если начальная точка совпадает с конечной точкой примера 1, то особая траектория представляет собой зеркальное отображение траектории этого примера относительно луча, проходящего через указанную точку. Точно так же, как и в примере 1, можно показать, что особое управление не отвечает решению задачи, в которой для начальной точки заданы не компоненты скорости, а их отношение.

Оценки п. 4 и рассмотренные примеры указывают на весьма ограниченные возможности использования особых оптимальных траекторий при решении задач полетов в центральном гравитационном поле.

Summary

Novoselov V. S. On singular fuel-optimal control in a central gravitational field.

The application of analytic dynamics to singular fuel-optimal in gravitational field is given. The realization of the second order necessary condition of optimality for two particular solutions is analyzed. Illustrative examples are examined.

Литература

1. Габасов P., Кириллова Ф. M. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973. 256 с.

2. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. 317 с.

3. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации /Пер. с англ. В. К. Исаева. М.: Мир, 1966. 152 с.

4. Азимов Д. М. Аналитические решения для участков промежуточной тяги траекторий ракеты в ньютоновском поле //Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, выи. 3. С. 426-432.

5. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Матем. заметки. 1990. Т. 47, вып. 1. С. 62-74.

6. Гурман В. И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле // Космич. исследования. 1966. Т. 4, вып. 4. С. 499-509.

7. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 298 с.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 22 февраля 2007 г.