ОБ ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЯХ МОДЕЛИ ИЗИНГА-ПОТТСА НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 1 (2023). С. 44-55.

УДК 517.958

ОБ ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЯХ МОДЕЛИ ИЗИНГА-ПОТТСА НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ

М.М. РАХМАТУЛЛАЕВ, Б.М. ИСАКОВ

Аннотация. Известно, что при низких температурах основному состоянию соответствует предельная мера Гиббса. Следовательно, задача изучения множества основных состояний для данной физической системы является актуальным.

Рассматривается одна модель смешанного типа (далее назовем моделью Изинга-Поттса) на дереве Кэли, т.е. модели Изинга и Поттса связаны с параметром а, где а £ [0,1]. В рассматриваемой статье изучается основное состояние для модели Изинга-Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли. Известно, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством вершин V дерева Кэли порядка к и группой Gk, где Gk — свободное произведение к + 1 циклических групп второго порядка. Определяются периодические и слабо периодические основные состояния, соответствующие нормальным делителям группы Gk- Для модели Изинга-Поттса описано множество периодических и слабо периодических основных состояний, соответствующих нормальным делителям индекса 2 группы Gk- Доказано, что при некоторых параметрах нормального делителя не существует таких периодических (не трансляционно-инвариантных) основных состояний. Также доказано, что для нормальной подгруппы состоявшихся из четных слов существуют периодические (не трансляционно-инвариантные) основные состояния и доказано существование слабопериодических (не периодических) основных состояний.

Ключевые слова: дерево Кэли, модель Изинга-Поттса, периодические и слабо периодические основные состояния.

Mathematics Subject Classification: 82В26, 60К35

1. Введение

Каждой мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Если существует более чем одна мера Гиббса, то говорят, что существуют фазовые переходы. Основная проблема для данного гамильтониана — это описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса.

Известно, что фазовая диаграмма Гиббеовых мер для данного гамильтониана близка к фазовой диаграмме основных изолированных (устойчивых) состояний этого гамильтониана. При низких температурах основному состоянию соответствует предельная мера Гиббса (см. [1], [2]). Поэтому, естественно возникает задача описания основных состояний.

В работе [5] изучены трансляционно-инвариантные и периодические основные состояния для модели Изинга на дереве Кэли. В работе [6] вводится понятие слабо периодических основных состояний. Слабо периодические основные состояния для модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями описаны в работах [6] и [7]. Периодические основные состояния для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли порядка к = 2 изучены в работах [8] и [9]. В работе [10] для модели Поттса изучены

М.М. Rakhmatullaev, В.М. Isakov, Ground states of the model Ising-Potts on a Cayle tree. © рахматуллаев M.M., Исаков Б.м. 2023. Поступила 10 февраля 2022 г.

слабо периодические основные состояния для нормального делителя индекса 2, В работе [11] для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли порядка к ^ 2 описано множество периодических и слабо периодических основных состояний, соответствующих нормальным делителям индекса 4 группового представления дерева Кэли, В работах [12] и [13] изучены периодические и слабо периодические основные состояния для А-модели на дереве Кэли, А в работе [14] для модели Изинга изучены периодические основные состояния относительно подгруппы индекса три, В работе [16] на основе реп-личного алгоритма методом Монте-Карло выполнены исследования фазовых переходов антиферромагнитной слоистой модели Изинга на кубической решетке с учетом внутри-елойных взаимодействий вторых ближайших соседей в малых диапазонах, В работе [17] изучены разные фазовые переходы и взаимодействие 2-х и 3-х ближайших соседей методом Монте-Карло для модели Поттса при д = 3, В работе [18] показано, что переход из антиферромагнитной и коллинеарной фаз в парамагнитную является фазовым переходом первого рода, в то время как переход из фрустрированной области в парамагнитную — фазовым переходом второго рода для модели Поттса при д = 3 па треугольной решетке, В работе [19] ферро и антиферромагнитная трехвершинная (д = 3) модель Поттса на треугольной решетке с учетом взаимодействия вторых ближайших соседей,

В недавней работе [20] авторы рассмотрели модель Поттса на дереве Кэли и доказали существование новых классов гиббсовских мер отличающихся от ранее известных,

В данной работе рассматривается одна модель смешанного типа (далее назовем моделью Изинга-Поттса) на дереве Кэли порядка к ^ 2, Модели Изинга и Поттса связаны с параметром а, где а Е [0,1]. Если а = 0, тогда модель совпадает с моделью Поттса, если а =1, тогда модель совпадает с моделью Изинга, Для модели Изинга-Поттса относительно нормального делителя группы — свободное произведение к + 1 циклических групп {е, а,г} второго порядка с образующими а1, а2,..., ак+и соответственно, т.е. а2 = е (см, [15]), определяются периодические и слабо-периодические основные состояния,

В заключение этого параграфа кратко опишем структуру статьи, В следующем параграфе вводятся основные определения и известные факты, В третьем параграфе исследуются периодические и слабо периодические основные состояния.

2. Определения и известные факты

Пусть тк = (У,Ь), к ^ 1 есть дерево Кэли порядка к, т.е. бесконечное дерево, из каждой вершины которого выходит ровно к +1 ребро, где V — множество вершин, Ь — множество ребер тк.

Пусть С к — свободное произведение к + 1 циклической группы {е,^} второго порядка с образующими а1,а2,..., ак+ь соответственно, т.е. а2 = е (см, [15]),

Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством вершин V дерева Кэли порядка к и группой Ск (см, [10], [4]),

Две вершины х,у Е V называются соседними, если они представляют собой концевые точки некоторого ребра I Е Ь, и в этом случае мы будем писать I = (х,у).

п

Для произвольной точки х° Е V положим Шп = {х Е V 1ё,(х°,х) = п}, Уп = и №т,

т=0

^ = {(%, у) Е Цх, у Е Уп}, тдр ¿(х, у) — расстояние между «уна дереве Кэли, т.е. число ребер пути, соединяющих х и у .

Обозначим через $ (х) множество «прямых потомко в» точки х Е С к, т.е. если х Е Ш'п, то 5(ж) = {у Е Шп+\ : б,(х,у) = 1}. Через 8\(х) обозначим множество всех ближайших соседей точки х Е Ск, т.е. 5*1 (ж) = {у Е Ск : (х,у)} и через х^ обозначим единственный элемент множества 5'1(ж) \ 5(х).

Мы рассматриваем модель, где спин принимает значения из множества Ф = { — 1, 0,1}, Конфигурация а на V определяется как функция х € V ^ а(х) € Ф; множество всех конфигураций совпадает с О = Фу.

Пусть Ск/0*к = {Н1,...,НГ} фактор группа, где С^-пормальпый делитель индекса г ^ 1

Определение 2.1. Конфигурация а(х) называется С*к-периодичехкой, если а(х) = аг при хг € Н^ Ух € С к. Ск-периодическая конфигурация называется, трансляционно-инвариантной.

Для данной периодической конфигурации индекс нормального делителя называется периодом конфигурации.

Определение 2.2. Конфигурация а(х) называется С*к-слабо периодической, если а(х) = при х4 € Нг, х € Н^, Ух € Ск.

Гамильтониан модели Изинга-Поттса имеет вид

Н(а) = -а^ а(х)а(у) - (1 - а)^2 (2Л)

(:х,у)е ь (х,у)е ь

где 3 = (31,32) € К2, 0 ^ а ^ 1, ^ — символ Кронекера

'0, если г = ], 1, если г =

Г0, если г = ],

кз = / • (2'2)

(Д, если г = ].

3. Основные состояния

Для пары конфигураций о и совпадающих почти всюду, т.е. всюду, за исключением конечного числа точек, мы рассматриваем относительный гамильтониан Н(а, ф) — различие между энергиями конфигураций о, т.е.

н ф = (а(х)а(У) - Ф)<^(У)) - (1 - 2 - 6v(xMу)), (зл)

(х,у), (х,у),

где 7 = (,1\, ,12) € К2 — произвольный фиксированный параметр.

Пусть М — множество единичных шаров с вершинами в V. Мы назовем сужение конфигурации о на шаре Ь € М ограниченной конфигурацией аъ. Определим энергию конфигурации на Ь следующим образом:

и(аъ) = -^ ^(х)а(у) - 2(1 - а)^ 5а(хМу). (3.2)

<х,у>еь <х,у>еь

Известна следующая лемма ([6], [8]):

Лемма 3.1. Относительный гамильтониан (2.2) имеет вид

Н (а,ф = £(и (аъ) -и (&)). ъем

В этой работе рассмотрим случай к = 2. Через съ обозначим центр единичного шара Ь. Пусть

В- = {х € 5Дсъ) : <ръ(х) = -1},

Во = {х € 5Дсъ) В+ = {х € 5Дсъ)

Фъ(х) = 0}, фъ(х) = 1}.

Пусть ръ(съ) = г, г € Ф и |В-| = й, |В+| = ¿. Тогда |В0| = 3 - й - ¿. Легко доказывается

Лемма 3.2. Для каждой конфигурации оь верно следующее:

U(ab) e{U1,U2,U3,...,U12},

где

Ui = 0,

U4 = —aJl — (1 — a)J2,

U7 = ^ — ^ J2, ' 2 1 2

Ui

1 — а

10

-J-2

Ü2 = — '~2^J1 — ^(1 — a)J2,

TT = a J « J

u 5 = — 2 Jl — ~ 32,

U8 = aJl} Un = — ^ J2,

U3 = 3>a ~2 Зъ

и6 = a т — 2 Ji — (1 — a)J2,

и9 = -Ji, 2 i

Ui2 = -(1 - a)J2.

Определение 3.1. Конфигурация p называется, основным, состоянием гамильтониана, Н, если U (<£ь) = min {U1, U2,U3,..., U12} для любо го b Е М.

Периодическую (слабо периодическую, транеляционно-инвариантную) конфигурацию, являющуюся основным состоянием, далее назовем периодическим (слабо периодическим, тралсляционно-иивариалтным) основным состоянием.

Целью этой работы является описание множества периодических и слабо периодических основных состояний для модели Изинга-Поттса на дереве Кэли порядка к = 2, соответствующих нормальным делителям индекса 2 группового представления дерева Кэли. Обозначим Ci = {ifb : U(рь) = Ui} и

А, = {J Е R2 : Ut = min {Ui, U2, U3,..., U12}} , (3.3)

где i = 1, 2,..., 12.

Нетрудный, но достаточно громоздкий анализ показывает, что Ai имеет вид:

М — 1 т

-J2 > J1},

Ai = {(Ji,J2) е R2\Ji Z 0 Л = {(Ji,J2) е R2\Ji Z 0 = {(Ji,J2) е R2\Ji ^ 0

a

a — 1

a

a — 1

a

J2 ^ Ji}, J2 Z Ji},

A4 = А = {(Ji, J2) е R2\Ji = —J2; J2 < 0},

a

Л = А? = Aio = {(Ji, J2) е R2\Ji = 0; J2 = 0}, = ^ = {(Ji, J2) е R2\Ji = 0; J2 ^ 0},

Ai = {(Ji, J2) е R2\Ji Z —^^ J2; J2 Z 0},

a

Ai2 = {(Ji,J2) е R2\Ji ^ 0; J2 = 0}.

Легко проверить, что

i2

R2

LK

í=i

На Рисунке 1 показано расположение А^, г = 1, 2,..., 12 в плоскости.

3.1. Трансляционно-инвариантные основные состояния. В этом подпункте мы изучаем трансляционно-инвариантные основные состояния. Напомним, что конфигурация а(х) называется трансляционно-инвариантной, если а(х) = г, Ух Е V, г Е Ф. Доказана следующая

Рис. 1. Расположение А^ г = 1, 2,..., 12 в плоскости.

Теорема 3.1. Пусть к = 2. Для, модели Изинга-Поттса верны следующие утвержде-

1) На множестве Ап существует единственное трансляционно-инвариантное основное состояние и оно имеет вид <р(х) = 0 Ух € Ск.

2) На множестве А2 существуют два основных состояния и они, имеют вид <р(х) = ±1, Ух € Ск.

3) Если (3\, 32) € К2 \ (Ац и А2), тогда, не существует трансляционно-инвариантного основного состояния.

Доказательство. 1. Пусть ^(х) = 0 Ух € Ск. Тогда УЬ € М, имеем, что ^ь(сь) = О, |В_| = 0,1В+1 = О, |#о| = 3, следовательно ^ь € Сц. Значит конфигурация ц>(х) = О,Ух € Ск является трансляционно-инвариантным основным состоянием на множестве Ац

2. Пусть р(х) = 1, Ух € Ск. Тогда УЬ € М, имеем, что ^ь(сь) = 1,1В_ | = 0,1В+1 = 3,1В01 = 0, следовательно <рь € С2. Отсюда получим, что конфигурация ц>(х) = 1,Ух € Ск является трансляционно-инвариантным основным состоянием на множестве А2.

Пусть ^(х) = -1, Ух € Ск. Тогда УЬ € М, имеем, что ^ь(сь) = -1,1В_1 = 3,1В+1 = 0,1В01 = 0, следовательно <рь € С2. Отсюда получим, что конфигурация ц>(х) = -1, Ух € Ск является трансляционно-инвариантным основным состоянием на множестве А2.

3. Очевидно. □

Замечание 3.1. Отметим, что при а = 0, Гамильтониан (2.1) описывает модели Поттса. Тогда теорем,а 3.1 совпадает с пунктом, Б.1. Теоремы, 2 из работы, |8| в случае 32* = 0 (3* = 32 из работы [8]Д.

3.2. Периодические основные состояния. Пусть А С {1, 2,... ,к + 1}. Известно, что любой нормальный делитель индекса два группы Ск.; имеет следующий вид (см. [10]):

НА = {х € Ск : ^ шх(аг) - четно}. геА

Рассмотрим фактор группу Ск/На = {Н0,Н\}, оде Н0 = На, Н\ = Ск \ Н0. В этом пункте изучим ^^-периодическое основное со стояние, ^^-периодическая конфигурация имеет следующий вид:

ал, если х Е Н0,

„ (3.4)

а2, если х € Н\, где а\,а2 € Ф.

ф) = |

Теорема 3.2. Пусть к = 2 и |А| = 1. Тогда всякие Н^-периодические основные состояния, являются, трансляционно инвариантными.

Доказательство. При а1 = а2, имеем, что ^^-периодическая конфигурация (3.4) является транеляционно-инвариантным состоянием, которое изучено в теореме 2.1. Рассмотрим случай где а\ = а2. Пусть

— 1, если х Е Н0,

0, если х Е Нх.

Если сь Е Н0, тогда УЬ Е М, имеем, что р1,ь(сь) = —1, 1В-1 = 2, 1В01 = 1, 1В+1 = 0, следовательно Е С4. Если сь Е Н\, тогда ^\,ь(сь) = 0, 1В-1 = 1, 1В01 = 2, 1В+1 = 0, следовательно р1,ь Е С12. Так как А4ПА12 = {0, 0}, следует что, соответствующая конфигурация не является основным состоянием на К2 \ {(0, 0)}. Пусть

— 1, если х Е Н0,

1, если х Е Н\.

Если сь Е Н0, тогда УЬ Е М, имеем, что ^2,ь(сь) = —1, 1В-1 = 2, 1В01 = 0, 1В+1 = 1, следовательно р2,ь Е С6. Если съ Е Нъ тогда УЬ Е М, имеем, что р2,ь(сь) = 1, 1В-1 = 1, 1В01 = 0, 1В+1 = 2, следовательно р2,ь Е С7. Так как А6 П А7 = {0,0}, следует что, соответствующая конфигурация не является основным состоянием на К2 \ {(0, 0)}. Пусть

0, если х Е Н0,

— 1, если х Е Н\.

Если сь Е Н0, тогда УЬ Е М, имеем что >-рз,ь(сь) = 0, 1В-1 = 1, 1В01 = 2, 1В+1 = 0, следовательно Е С12. Есл и сь Е Н\, тогда УЬ Е М, имеем что рз,ь(сь) = —1, 1В-1 = 2, 1В01 = 1, 1В+1 = 0 следовательно <£3,ь Е С4. Так как А4 П А12 = {0, 0}, соответствующая конфигурация не является основным состоянием на К2 \ {(0, 0)}.

Для конфигурации р4(х) = —^1(х), <^5(х) = —^2(х)ш <рв(х) = —р3(х) подобным методом легко доказать, что соответствующие конфигурации также не являются основными состояниями на К2 \ {(0,0)}.

Отметим, что кроме ^г(х), г = 1, 6 не существует периодических (не транеляционно-инвариантных) конфигураций. □

Аналогичным методом при |А| = 2 можно доказать следующую теорему:

Теорема 3.3. Пусть к = 2 и |А| = 2. Тогда, вся,кие Н^-периодические основные состояния, являются, трансляционно инвариантными.

Отметим, что при к = 2 и |А| = 3, нормальный делитель На имеет вид:

С^2 = {х : |ж| — четно} (см. [10]). Для С^2-периодических основных состояний получена следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть к = 2. Тогда, для модели Изинга-Поттса верны следующие утверждения:

I) На, множестве А3 существуют два, С^2-периодических основных состояния и они имеют вид:

1, если х Е Н0,

— 1, если х Е Нх.

II) На множестве Ах существуют четыре С^2-периодических основных состояния и они, имеют вид:

г, если х Е Н0, ], если х Е Н\,

у1(х)

^2(Х)

а(х) = ±

ф) = |

где \г - 31=1 (г,] € Ф).

Доказательство. Докажем пункт I, Рассмотрим конфигурации:

1, если х € Н0, -1, если х € Нл.

Если сь € Н0, тогда УЬ € М, имеем что ^1,ь(сь) = 1, \В_\ = 3, \В0\ = 0 \В+ \ = 0, следовательно '¿>1,ь € Сз. Если съ € Нъ тогда р\,ь(сь) = -1, \В_\ = 0 \В0\ = 0 \В+\ = 3, следовательно € С3. Отсюда видим, что на С^2 конфигурация а\(х) является периодическим основным состоянием на А3. Теперь рассмотрим:

-1, если х € Н0, 1, если х € Н\.

Конфигурация а2(х) также является периодическим основным соетоянием на А3. Доказывается аналогично доказательству для а\(х). Докажем пункт II. Рассмотрим конфигурации:

0, если х € Н0, -1, если х € Нл.

Если сь € Н0, тогда УЬ € М, имеем что ^1,ь(сь) = 0, \В_\ = 3, \В0\ = 0 \В+\ = 0, следовательно € С\. Если сь € Нл, тогда УЬ € М, имеем что ^\,ь(сь) = -1, \В_\ = 0, \В0\ = 3, \В+\ = 0 следовательно € Сь Отсюда видим, что на С| конфигурация а\ является периодическим основным состоянием на А\. Теперь рассмотрим:

-1, если х € Н0, 0, если х € Н\.

Конфигурация ^2(х) также является периодическим основным состоянием на А\. Доказывается аналогично доказательству для ф\(х). Теперь рассмотрим:

0, если х € Н0,

1, если х € Н\.

Если сь € Н0, тогда УЬ € М, имеем что >-р3,ь(сь) = 0, \В_\ = 0 \В0\ = 0 \В+\ = 3,

следовательно р3,ь € Сь Есл и сь € Н\, тогда УЬ € М, имеем что р3,ь (сь) = 1, \В_\ = 0,

(2)

\В0\ = 3, \В+\ = 0 следовательно р3,ь € Сь Отсюда видим, что на Ск 2 конфигурация

является периодическим основным состоянием на Ал. Теперь рассмотрим:

1, если х € Н0, 0, если х € Нл.

Конфигурация ф4(х) также является периодическим основным с оетоянием на Ал. Доказывается аналогично доказательству <^3(х), Отсюда видим, что на С^2 конфигурации (¿ч(х), г = 1, 4 являются периодическими основными состояниями на Ал. □

Замечание 3.2. Отметим, что при а = 0, Гамильтониан (2.1) описывает модели Поттса. Тогда теорема 3-4 совпадает с пунктом Б.З теоремы 2 из работы, [8] в случае 32 = 0.

аг(х)

&2(х) =

=

фА(х)

3.3. Слабо периодические основные состояния. Изучим Я^-слабо периодическое основное состояние. Я^-слабо периодическая конфигурация имеет следующий вид:

если х4 Е Н0,х Е Н0,

если х^ Е Н0,х Е Нх,

если х^ Е Н1,х Е Н0,

если хI Е Н1,х Е Н]_,

где Е Ф, г,] = 0,1.

Далее для удобства слабо периодическую конфигурацию р(х), х Е С к, напишем в виде <Р = (V0,0, ^0,1,^1,0,^1,1).

Теорема 3.5. Пусть к = 2 и |А| = 1. Тогда для модели Изинга-Поттса верны следующие утверждения:

I) На множестве {(.!1,.12) Е К2|/1 = — (1—а2 32\ 32 ^ 0} существуют шесть Нд-слабо периодических (непериодических) основных состояний и они имеют вид:

(1,1, 0,1), (—1, —1,0, —1), (1, 0,1,1), (—1, 0, —1, —1), (—1, 0, 0,1), (1, 0, 0, —1).

II) Всякие Нд-слабо периодические основные состояния кроме конфигураций указанных в пункте I являются, трансляционно-инвариантными.

Доказательство. Докажем пункт I. Рассмотрим конфигурацию:

= (1,1, 0,1).

1. Пусть сь Е Н0, возможны следующие случаи:

a) сь\. Е Н0 ж 1р1уъ(сь]) = 1, тогда р1,ь(сь) = 1, 1В_ | = 0,1В01 = 0,1В+1 = 3, следовательно '¿>1,Ь Е С4.

b) сЬ1 Е Н0 ж (р1гь(сь±) = 0, тогда у1,ь(сь) = 1, 1В_| = 0,1В01 = 1,1В+1 = 2, следовательно, '¿>1,Ь Е С4.

c) сЬ1 Е Я1 и 1р1р(сЬ\) = 1, тогда у1,ь(сь) = 0, 1В_ | = 0,1В01 = 0,1В+1 = 3, следовательно, <Р1,Ь Е Съ

2. Пусть сь Е Н1, возможны следующие случаи:

a) сь\. Е Н0 ж 1р1уъ(сь]) = 1, тогда р1,ь(сь) = 1, 1В_ | = 0,1В01 = 0,1В+1 = 3, следовательно <^1,Ь Е С4.

b) сь\. Е Н1 ж ^1,ь(сь1 ) = 1, тогда ^1,ь(сь) = 1, 1В_ | = 0,1В01 = 1,1В+1 = 2, следовательно,

'¿>1,Ь Е С4.

c) сЬ1 Е Я1 и 1р1р(сЬ\) = 1, тогда у1,ь(сь) = 1, 1В_ | = 0,1В01 = 0,1В+1 = 3, следовательно, Р1,Ь Е С1.

Отсюда получим, что на множестве А1П А4 = {(■!]_, 32) Е К2|= —(1—а2 32; 32 ^ 0} слабо

периодическая конфигурация (р1 являетея С^2- слабо периодическим основным состоянием.

Теперь рассмотрим :

<Р2 = (—1, —1,0, —1).

1. Пусть сь Е Н0, возможны следующие случаи:

a) сь\. Е Н0ж >-р2,ь(сь1) = — 1, тогда р2,ь(сь) = —1, 1В_ | = 3,1В01 = 0,1В+1 = 0, следовательно, ф2,Ь Е С4.

b) сЬ1 Е Н0ж ф2,ь(съ\) = 0, тогда ^2,ь(сь) = —1, 1В_ | = 2,1В01 = 1,1В+1 = 0, следовательно, ф2,Ь Е С4.

c) сь± Е Нгж ф2,ь(съ\) = —1 тогда ^2,ь(сь) = 0, 1В_| = 3,1В01 = 0,1В+1 = 0, следовательно,

ф2,Ь Е С1.

2. Пусть сь Е Н1, возможны следующие случаи:

°0,0, V0,1, V1,0,

a) сь^ € Щи ^2,ь(сь1) = -1, тогда р2,ь(сь) = -1, \В_ \ = 3, \В0\ = 0, \В+\ = 0, следовательно, ф2,Ь € С4.

b) сЬ1 € #! и ^2,ь(сь1) = -1, тогда >-р2,ь(сь) = -1, \В_\ = 2, \В0\ = 1, \В+\ = 0, следовательно, ф2,Ь € С4.

c) сЬ1 € Щи ф2,ь(съ\) = -1, тогда >-р2,ь(сь) = -1, \В_\ = 3, \В0\ = 0, \В+\ = 0, следовательно, ^2,ь € Сг.

Отсюда получим, что на множестве АгП А4 = {(Зг, 32) € К2\Зг = - (1_еа2 32; 32 ^ 0} слабо

периодическая конфигурация является С^2- слабо периодическим основным состоянием.

Теперь рассмотрим :

^3 = (1, 0,1,1).

1, Пусть сь € Н0, возможны следующие случаи:

a) сн € Щи <р3,ь(сц) = 1 тогда Ф;3,ь(сь) = 1, \В_ \ = 0, ^ = 1, \В+ ф3,ь € С4.

b) сн € Щи ^33,ъ(сы) = 1 тогда <р3,ь(сь) = 1, \В_\ = 0, ^ = 0, \В+ ^3,ь € С4.

2, Пусть сь € Нг, возможны следующие случаи:

a) сн € Щи (р3,ь(сц) = 1, тогда ^3,ь(сь) = 0, \В_ \ = 0, \В0\ = 0, \В+ <^3,ь € С2.

b) сн € Нги ^3,ь(сы) = 1 тогда ^3,ь(сь) = 1, \В_\ = 0, ^ = 0, \В+

ф3,ь € С2.

c) сч € Щи ^3,ъ(сы) = 0, тогда <р3,ь(сь) = 1, \В_ \ = 0, \В0\ = 1, \В+ ф3,ь € С4.

Отсюда получим, что па множестве А2П А4 = {(Зг, 32) € К2\Зг = - (1_еа2 32; 32 ^ 0} слабо

периодическая конфигурация являет ся С^2- слабо периодическим основным состоянием.

Теперь рассмотрим :

^4 = (-1, 0, -1, -1).

1, Пусть сь € Н0, возможны следующие случаи:

a) сь± € Н0и ^4,ь(сь1) = -1 тогда >-р4,ь(сь) = -1, \В_ \ = 2, \В0\ = 1, \В+\ = 0, следовательно, ф4,Ь € С4.

b) сь\. € Нги Фа,ь(сь±) = -1 тогда р4,ь(сь) = -1, \В_ \ = 3, \В0\ = 0, \В+\ = 0, следовательно, ф4,Ь € С4.

2, Пусть сь € Нг, возможны следующие случаи:

a) сь\. € Н0и р4,ь(сь1) = -1 тогда р4,ь(сь) = 0, \В_ \ = 3, \В0\ = 0, \В+\ = 0, следовательно, ф4,Ь € С2.

b) сь± € Нги <р±,ъ(съ\) = -1 тогда >-р4,ь(сь) = -1, \В_ \ = 3, \В0\ = 0, \В+\ = 0, следовательно, ф4,Ь € С2.

c) сь± € Нги <р^ъ(съ\) = 0 тогда >-р4,ь(сь) = -1, \В_ \ = 2, \В0\ = 1, \В+\ = 0, следовательно,

ф4,Ь € С4.

Отсюда получим, что на множестве А2П А4 = {(Зг, 32) € К2\Зг = -32; 32 ^ 0} слабо

периодическая конфигурация являет ся С^2- слабо периодическим основным состоянием.

Теперь рассмотрим :

=(-1, 0, 0,1). 1, Пусть сь € Н0, возможны следующие случаи:

а) сч € Щи р5,ь(сы) = -1, тогда р5,ь(сь) = -1, \В_ \ = 2, \В0\ = 1, \В+\ = 0, следовательно, ф5,Ь € С4.

= 2, = 3,

= 3, = 3, = 2,

b) Cbi E H0 и <ß5,b(cbi) = — 1, тогда р5,ь(сь) = 0, IB-I = 1, IB01 = 0, IB+I = 2, следовательно, E Ci.

c) cbi E H1 и 1р5,ь(сь±) = 1 тогда tp5,ь(сь) = 0, IB-I = 2, IB0I = 0, IB+I = 1, следовательно, ^5,b E Ci.

2, Пусть съ E Hi, возможны следующие случаи:

a) Chi E #o и р5,ь{сь1) = —1 тогда р5,ь(сь) = 0, IB-I = 1, IB0I = 0, IB+I = 2, следовательно, Ръ,ь E Ci.

b) Cb_i E Щи <рь,ь(сь1) = 0, тогда р5,ь(сь) = 1, IB-I = 0, IB0I = 2, IB+I = 1, следовательно, Ръ,ь E C5.

c) Cbi E Щи ip5,b(cbi) = 1 тогда р5,ь(сь) = 1, IB-I = 0, IB0I = 1, IB+I = 2, следовательно, Ръ,ь E C4.

Отсюда получим, что на множестве А1 П А4 П А5 = {(Ji, J2) E R2I Ji = —J2; J2 ^ 0}

слабо периодическая конфигурация являетея G^2- слабо периодическим основным состоянием.

Теперь рассмотрим:

ре = (1, 0, 0, —1).

1, Пусть съ E Н0, возможны следующие случаи:

a) Chi E Н0 ж фъ,ь(съ\) = 1 тогда р6,ь(сь) = 1, IB-1 = 0, IB0I = 1, IB+I = 2, следовательно, Рб,ь E С4.

b) Cbi E Н0 ж p6,b(cbi) = 1 тогда р6,ь(сь) = 0, IB_I = 2, IB0I = 0, IB+I = 1, следовательно, E Ci.

c) Cbi E Щи ipe,b(cbi) = —1 тогда (р6,ь(сь) = 0, IB-1 = 1, IB0I = 0, IB+I = 2, следовательно, E Ci.

2, Пусть сь E Hi, возможны следующие случаи:

a) Cbi E Н0 ж ipe,b(cbi) = 1 тогд а (р6,ь(сь) = 0, IB-1 = 2, IB0I = 0, IB+I = 1, следовательно, <Рв,ь E Ci.

b) Cbi E Щи ^6,b(cbi) = 0, тогда р6,ь(сь) = —1, IB_ I = 1, IB01 = 2, IB+I = 0, следовательно, E С5.

c) Chi E Hi ж (р6,ь(сы) = — 1 тогда ре,ь(сь) = —1, IB_I = 2, IB0I = 1, IB+I = 0, следовательно, E С4.

Отсюда получим, что на множестве Ai П А4 П А5 = {(J]_, J2) E R2I Ji = —(i—a2 J2; J2 ^ 0}

слабо периодическая конфигурация p4 являет ея G^2-слабо периодическим основным состоянием, Заметим что, во всех случаях область пересечений Ai,A2,A4 и Аъ равна множеству

{(Ji, J2) E R2IJi = —J2-, J2 < 0}.

а

Значит на множестве {(Ji, J2) E R2^^ = —(1 — a)J2; (1 — a)J2 ^ 0} конфигурация i = 1.6 является слабо периодическим основным состоянием. Отсюда следует, что первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем пункт II: Рассмотрим произвольную конфигурацию отличающуюся от конфигурации из пункта I:

'р7 =(1, 1, 0, —1).

1, Пусть сь E Н0, возможны следующие случаи:

a) Cbi E Н0 ж p7,b(cbi) = 1 тогда р7,ь(сь) = 1, IB_ I = 0, IB0I = 0, IB+I = 3, следовательно,

ф7,Ь E С2.

b) Cbi E Н0 ж p7,b(cbi) = 0, тогда р7,ь(сь) = 1, IB-1 = 0, IB0I = 1, IB+I = 2, следовательно,

p7,b E C4.

с) Cbi Е Нщ <р7,ъ(съ\) = —1 тогда р7,ь(сь) = 0, 1В_| = 1,1В01 = 0, IB+ = 2, следовательно, ф7,Ь Е СЪ

2, Пусть сь Е Hi, возможны следующие случаи:

a) сЬ1 Е Я0 и p7,b(cbi) = 1 тогда ^7,ь(сь) = 1, 1В_| = 2,1В01 = 0, IB+I = 1, следовательно, ^7,ь Е С7.

b) съ\. Е Н1 и ф7>ъ(съ\) = 1 тогда р7,ъ(съ) = —1, 1В_| = 1,1В01 = 1, IB+ = 1, следовательно,

ф7,Ь Е CW.

c) сь_1 Е Щи <p7,b(cbi) = — 1 тогда ip7,b(cb) = —1, 1В_ | = 2,1В01 = 1, IB+I = 0, следовательно, ф7,Ь Е С4.

Отсюда получим, что пересечение А1 П А2 П А4 П А7 П А10 дает нам точку (0,0),

Это нам дает, что конфигурация р7,ь является транеляционно-инвариантной. Аналогичным методом можно доказать остальные случаи. Значит, все конфигурации кроме указанных в пункте I являются транеляционно-инвариантными на R2 \ (0, 0). □

Замечание 3.3. В работе [10] доказано, что для модели Поттеа на дереве Кэли порядка два, при |А| = 1 не существует Нд-слабо периодических (непериодических) основных состояний. А для, модели Изинга-Поттса на дереве Кэли порядка два, при |А| = 1 существуют Н^-слабо периодические (непериодические) основные состояния.

Благодарности

Авторы выражают глубокую признательность профессорам H.H. Ганиходжаеву и У.А. Розикову за полезные советы по работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Я.Г. Синай. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. М.: Наука. 1980.

2. Р.А. Минлос. Введение в математическую статистическую физику. Пер. с англ. Ю.В. Жукова. - М.: МНИМО. 2002.

3. U.A. Rozikov. Gibbs measures on Cayley trees: results and open problems // Rev. Math. Phvs. 25:1, 112 pp. (2013).

4. H.H. Ганиходжаев, У.А. Розиков. Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных моделей на дереве Кэли, // ТМФ. 111:1, 109-117 (1997).

5. U.A. Rozikov. A Constructive description of ground states and Gibbs measures for Ising model with two-step interactions on Cayley tree // Jour. Statist. Phvs. 122, 217-235 (2006).

6. У.А. Розиков, М.М. Рахматуллаев. Слабо периодические основные состояния и меры Гиббса для модели Изинга, с конкурирующим,и, взаимодействиями на дереве Кэли, // ТМФ. 160:3, 507-516 (2009).

7. М.М. Rahmatullaev. Description of weak periodic ground states of Ising model with competing interactions on Cayley tree // Appl. Math, and Inf. Science. 4:2, 237-241 (2010).

8. Г.И. Ботиров, У.А. Розиков. Модель Поттса с конкурирующим,и, взаимодействиями на дереве Кэли: контурный метод // ТМФ. 153:1, 86-97 (2007).

9. F.M. Mukhamedov, U.A. Rozikov, F.F. Mendes. On contour arguments for the three state Potts model with competing interactions on a semi-infinite Cayley tree //J- Math Phvs. 48, 013301 (2007).

10. М.М. Рахматуллаев. Слабо периодические меры Гиббса и, основные состояния для модели Поттса с конкурирующим,и, взаимодействиями на дереве Кэли, // ТМФ. 176:3, 477-493 (2013).

11. М.А. Расулова, М.М. Рахматуллаев. Периодические и слабо периодические основные состояния для, модели Поттса с конкурирующим,и, взаимодействиями на дереве Кэли, // Матем. тр. 18:2, 112-132 (2015).

12. Ф.М. Мухамедова, Ч. Пах, X. Джамиль. Основные состояния и фазовые переходы X— модели на дереве Кэли // ТМФ. 194:2, 304-319 (2018).

13. F.M. Mukhamedov, M.M. Rahmatullaev, M.A. Rasulova. Weakly periodic ground states for the \—model // Ukr. Math. Zhur. 72:5, 771-784 (2020).

14. M.M. Rahmatullaev, D.O. Egamov, F.H. Havdarov. Periodic and weakly periodic ground states corresponding to subgroups of index three for the ising model on Cayley tree // Rep. Math. Phvs. 88:2, 247-257 (2021).

15. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М.: Наука. 1982.

16. М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев. Фазовые переходы в антиферромагнитной слоистой модели Изинга на кубической решетке // Письма в ЖЭТФ. 103:7, 522-526 (2016).

17. F.A. Kassan-Oglva, А.К. Murtazaev, А.К. Zhuravleva, М.К. Ramazanov, A.I. Proshkina. Ising model on a square lattice with second-neighbor and third-neighbor interactions //J- Magn. Magn. Mat. 384, 247-254 (2015).

18. M.A. Магомедов, А.К. Муртазаев, Л.К. Магомедова. Фазовые переходы в модели Поттса на треугольной решетке // Естественные науки. 32:4, 14-24 (2017).

19. А.Б. Бабаев, М.А. Магомедов, А.К. Муртазаев, Ф.А. Кассан-Оглы, А.И. Прошкин. Фазовые переходы в двумерной антиферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке с учетом взаимодействий вторых ближайших соседей // ЖЭТФ. 149:2, 357-366 (2016).

20. M.M. Rahmatullaev, D.J. Dekhkonov. The Potts model on a Cayley tree: the new class of Gibbs measures // Preprint: arXiv:2211.12128 (2022).

Музаффар Мухаммаджанович Рахматуллаев,

Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз, Узбекистан,

ул. Университетская, 7,

100174, Ташкент, Узбекистан

Наманганский государственный университет,

ул. Уйчи, 316,

160136, Наманган, Узбекистан E-mail: [email protected]

Бегзод Мухторжонович Исаков, Андижанский государственный университет, ул. Университетская, 129, 170100, Андижан, Узбекистан E-mail: [email protected]