Об основном уравнении безгироскопной инерциальной навигационной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.7.052.7:527.625.2

ОБ ОСНОВНОМ УРАВНЕНИИ БЕЗГИРОСКОПНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

ГОРДИН А.Г., КОМКОВ А.В.________________

Рассматривается возможность построения навигационных систем для специфического класса автономных объектов управления, определяются их типы, которые наиболее удовлетворяют требованиям, предъявляемым к системам этого класса объектов. Формируется основное уравнение инерциальной навигации измерительного блока для общего случая. Описывается частный случай этого уравнения для измерительного блока с акселерометрами, жестко связанными с объектом.

В настоящее время широко распространены малогабаритные и микроминиатюрные роботы различного назначения, способные выполнять возложенные на них задачи автономно и с высокой эффективностью (микроминиатюрные автономные роботы — МАР) [1,2]. Требования, которые определяются спецификой такого класса объектов, исключают возможность использования существующих систем управления и навигации. Актуальным становится вопрос создания новых или модернизации существующих систем в целях приведения их характеристик в соответствие с требованиями, предъявляемыми к системам для МАР. Поскольку на первый план выходит автономность выполнения объектами возлагаемых на них задач, для их навигации и управления существующие и хорошо зарекомендовавшие себя системы с внешним источником информации о положении объекта (спутниковые, радионавигационные и др.) не пригодны. Для установки на борту этих объектов необходимы автономные малогабаритные системы навигации. Среди них ведущее место занимают инерциальные системы навигации. Поскольку малогабаритные роботы имеют на борту ограниченный запас ресурсов, а требование автономности объектов исключает возможность их подсоединения к внешним источникам информации, то время выполнения объектом поставленной перед ним задачи ограничено. Это позволяет не останавливаться на коррекции показаний данных систем, а основное внимание уделять повышению точности и уменьшению массово-габаритных характеристик.

Инерциальные системы разделяют на два класса:

1) системы с гиростабилизированной платформой (инерциальные измерители установлены на платформе, занимающей определенное положение в пространстве независимо от движения корпуса объекта);

2) бесплатформенные системы (инерциальные измерители закреплены жестко на корпусе объекта и движутся вместе с ним).

Рассмотрим возможность использования инерциальных систем обоих классов для МАР. Системы первого типа сложны и дорогостоящи, поскольку содержат в качестве измерительных блоков гиростабилизированные платформы (ГСП) различных типов [3]. Платформа стабилизируется в пространстве и моделирует инерциальную систему координат с точностью до ухода гироскопов стабилизации. Таким образом, известно положение трехгранника системы координат, в которой определяются навигационные параметры (геоцентрической, географической и т.п.). Вследствие этого система с ГСП позволяет выделять параметры ориентации и движения объекта с очень высокой точностью, однако из-за значительной стоимости и конструктивной сложности, а также неприемлемых массово-габаритных характеристик для установки на малогабаритных и микроминиатюрных роботах она не пригодна.

В настоящее время широко распространены бесплатформенные инерциальные навигационные системы (БИНС), где положение измерительного трехгранника определяется аналитически с помощью вычислительного устройства на основе показаний инерциальных измерителей, совершающих движение вместе с корпусом объекта. Эта задача решается в соответствии со сложными алгоритмами, что определяет повышенные требования к вычислителю.

Поскольку в БИНС датчики закреплены не на платформе, а на корпусе объекта, то диапазон внешних воздействий, измеряемых этими датчиками, более широкий. Стоимость бесплатформенных систем определяется стоимостью датчиков и вычислителя, поэтому ниже, чем у ГСП. Область применения БИНС весьма широка. Вследствие того, что массово-габаритные и точностные характеристики измерительного блока БИНС зависят от инерциальных измерителей, эти системы можно использовать на МАР.

Параметры движения и ориентации объекта в БИНС определяются путем решения в вычислителе основного уравнения навигации. Его вид зависит от типа инерциальных измерительных блоков, классификация которых приведена в [2] и которые разделяются следующим образом.

1. Измерительные блоки с датчиками угловой скорости (ДУС) различного вида и акселерометрами. Данный вид наиболее распространен в настоящее время, однако наряду с высокой точностью определения навигационных параметров и простыми алгоритмами их выделения имеет следующие недостатки: сравнительно высокая стоимость; использование индивидуального типа датчиков для определения каждого из инерциальных параметров (что усложняет конструкцию измерительного блока и не позволяет применять информацию с одного типа датчиков для определения параметров, выделяемых другим типом). Поэтому уменьшение массово-габаритных характеристик этого типа систем

РИ, 2002, № 4

47

возможно при ухудшении точности определения инерциальных параметров, что неприемлемо.

2. Измерительные блоки с угловыми и линейными акселерометрами. В таких системах угловые акселерометры используют для определения абсолютной угловой скорости объекта, а линейные - для определения компонентов кажущегося ускорения. Более дешевые, чем системы первого типа, они также характеризуются разнотипностью датчиков при определении параметров движения, накапливанием ошибок в определении угловой скорости из-за интегрирования во времени, помимо полезной информации и ошибок самого датчика. Поэтому для построения навигационных систем, использующихся в МАР, они не пригодны.

3. Измерительные блоки, включающие линейные акселерометры для определения инерциальных параметров. Данные системы наряду с дешевизной и однотипностью инерциальных измерителей, возможностью функциональной избыточности измерительных блоков без усложнения конструкции блока имеют и ряд недостатков: накопление ошибок при определении инерциальных параметров из-за интегрирования ошибок датчиков; большие габаритные характеристики, чем у измерительных блоков с ДУС и акселерометрами (это связано со спецификой определения параметров угловой скорости с помощью линейных акселерометров посредством измерения углового ускорения), высокие требования к акселерометрам, меньшая точность. Массово-габаритные характеристики измерительных блоков, включающих линейные акселерометры, зависят от характеристик акселерометров и при достаточно точных и малогабаритных акселерометрах (например, струнных) могут быть значительно меньше, чем у измерительных блоков с ДУС и акселерометрами. Таким образом, используя данный тип измерительных блоков как основу для построения систем навигации, возможно удовлетворить требования, предъявляемые к системам для МАР.

При использовании систем третьего типа отпадает необходимость в дополнительных источниках ин -формации, что уменьшает стоимость системы и ее массово-габаритные характеристики. Данные системы упоминаются в [4], однако уровень вычислительной техники периода расцвета инерциальных систем (70-е годы двадцатого века) не позволил реализовать безгироскопные системы на достаточно высоком уровне. Развитие вычислительной техники в последние годы позволило построить БИНС на основе использования достаточно недорогих акселерометров.

Задачей инерциальных систем навигации является определение с высокой точностью кинематических параметров движения центра масс объекта и его углового положения без привлечения внешних источников информации. Эта информация определяется по алгоритмам, сложность которых зависит от типа используемых инерциальных датчиков, конструкции измерительного блока и сложности

самого уравнения выделения инерциальных параметров.

Рассмотрим уравнение навигации, применяемое в инерциальных навигационных системах для получения параметров движения объекта. Подобное уравнение для системы с ГСП было представлено в [5]. Получим уравнение навигации для БИНС с жестко закрепленными акселерометрами, разнесенными относительно центра масс объекта.

Вводим следующие системы координат (СК) (рисунок):

1. Инерциальную O иХ иУиZH .

2. Стартовую OcXcYcZc (вращается относительно инерциальной СК с угловой скоростью ГО, начало в инерциальной СК описывается вектором rc ).

3. Связанную с объектом OjXYZ (вращается относительно стартовой СК с угловой скоростью ГО 2, начало в стартовой СК описывается вектором rc1 , а в инерциальной — вектором ГО ).

4. Измерительную ОиXrYrZr. Связана с измерительным блоком системы навигации (движется поступательно и может вращаться относительно связанной системы координат с угловой скоростью ГО з , начало в связанной СК определяется вектором r02, в инерциальной — вектором r03).

Используем второй закон Ньютона [5] в процессе формирования уравнения. Запишем уравнение второго закона Ньютона относительно чувствительного элемента акселерометра массой m . Смещением чувствительного элемента акселерометра относительно корпуса самого датчика пренебрегаем и в первом приближении рассматриваем чувствительный элемент акселерометра как точечную массу, сосредоточенную в точке о . При выводе уравнения не будут учитываться переходные режимы измерительного блока, поэтому считаем основным установившийся режим. К инерционной массе акселерометра, двигающейся в инерциальной СК, приложена сумма сил Fs ньютонова притяжения массы всей совокупностью небесных тел, включая, строго говоря, и притяжение массами объекта, на котором установлен акселерометр. Сила fynp обусловлена упругой деформацией подвеса самого акселерометра. Уравнение можно записать в следующем виде:

48

РИ, 2002, № 4

. Fv(;„■)+ fynp , (1)

где V0 — вектор абсолютной скорости точки о в инерциальном пространстве; t — текущее время.

Разделим обе части выражения (1) на массу. При этом примем в качестве Fv (?0И) силу гравитационного поля основной планеты, тогда ускорение

можно записать как g(?ou) = , считая, что

действие других небесных тел мало по сравнению с основным. После деления силы упругости на

- f /

массу получаем вектор n = yym показаний акселерометра. В системе OXo YoZo для однокомпонентного акселерометра запишем n = [nx 0 0Т . Тогда уравнение (1) с условием всего сказанного выше преобразуется к виду

dV0

dt

■ = g (?0И) 4

_dr0_

dt

= Vo

(2)

где n — вектор показаний акселерометра в инерциальной СК.

Для вывода уравнения рассмотрим классическую задачу определения положения точки в подвижной СК, которая движется в базовой неподвижной системе координат [6]. Задача разбивается на несколько этапов, количество которых зависит от количества пар СК. В рассматриваемом случае она разбивается на следующие этапы:

Этап 1. В качестве базовой принимается инерциальная СК OИХ И YuZu , а в качестве подвижной — стартовая СК OcXcYcZc. Определим положение точки 01. Тогда при данных приближениях линейную скорость точки 01 в инерциальной СК можно записать следующим образом:

VOj = VOc + Ш1 х rci, а в стартовой СК

Оі

/0c + Ші X rc + Ш 1 X rci

drc1

dt ’

(3)

(4)

где Vc — вектор скорости начала стартовой С К в

0c

проекциях на оси OcXcYcZc.

Тогда выражение (2) с учетом (4) в базовой системе координат принимает вид

7-c

Т c

"Оі

dV°1 і — V c M ffl! ^

—d^ + Ш1X V01 = MиД^го )+ n );

* c drc

cc

О" 17

+ Ш1 X rc + Ш1 X rc1 +

drC1

dt :

(5)

с

здесь M uc — матрица направляющих косинусов, описывающая переход от инерциальной и старто-drc ^

вой С К; dt — локальная производная вектора rc

с

в стартовой СК.

РИ, 2002, № 4

Этап 2. В качестве базовой рассматриваем стартовую СК OcXcYcZc, а в качестве подвижной — связанную СК O1XYZ . Опишем движение точки OU относительно этих систем координат.

Тогда можно записать линейную скорость точки OU относительно стартовой СК:

VOu = VO1 + Ш 2 х Г02

а относительно связанной СК

dr02 dt ,

(6)

VOOИ = VO + Ш 2 х rc1 + Ш2 х г02 O1 1

dr02 dt ,

(7)

где V(O1 — вектор скорости точки o1 в проекциях на оси связанной СК.

Выражение (2) в связанной СК 01XYZ принимает вид

+ Й2 х V8оИ = McsMuc(4?0И)+nИ);

-V s = djc оИ dt

-(Й1 + й2) х (mcs1MhC^s)+

(<^)1+®2)х 4

drc1

dt

+ <2 х Г)2 +

dr02 dt ,

s

(8)

здесь Mcs — матрица направляющих косинусов, описывающая переход от стартовой к связанной

СК ;

drc

dt

s

drc1

dt — локальные производные векто -

s

ров rc1,rc в связанной СК; M^M и1 — матрицы, обратные Mcs,Muc соответственно; rcs,rcs1 — векторы rc ,Гд в проекциях на оси связанной СК.

Этап 3. В качестве базовой рассматривается связанная СК 01XYZ , а в качестве подвижной — измерительная СК О Ux г YrZ г . Опишем движение точки О относительно этих систем координат.

Можно записать линейную скорость точки о относительно связанной СК:

V0 = Vs + Ш 3 х ї0+

0 оИ 3 0 dt ,

а относительно измерительной СК

V0 = Vй + Ш3 X 1)9 + Ш3 X Г0 + ■dr°

0 оИ 3 3 0 dt ,

(9)

(10)

где VИ — вектор скорости точки оИ в проекциях оИ 1

на оси связанной СК.

Тогда выражение (2) с учетом (10) в измерительной СК oUxrYrZr принимает вид

49

^ +Ю x VO = MsrM CSM и^4?0и))+ 5;

VO = ^ + 1 + ®2 + Ю3 ) x (M sr Mcs”M ис^с )+

r

+ ((Di + Ю2 + Ю3)x (Ms/M-c1^! dt”

+ (ю2 + D3)x (MSr1ro1'^+-d2

(11)

+ Ю3 X ro +

dr0

dt

r

где Msr — матрица направляющих косинусов перехода от связанной к измерительной СК ;

die dlc1 d4)2

dt ’ dt r ’ dt r

— локальные производные векто-

ров rc1,rc,r02 в измерительной СК; М^1 — матрица, обратная Msr; rcr,rcr1,r0r2 — векторы rc1,rc,r02 в проекциях на оси измерительной СК; її — вектор показаний акселерометров в измерительной системе координат.

Выражение (11) дополняется системой дифференциальных уравнений Пуассона следующего вида:

dM ис dt

dMcs

dt

dMsr

dt

Ю1М ис Ю2М cs; Ю 3Msr-

(12)

Полученные системы (11) и (12) представляют собой общий случай уравнений навигации, решая которые, можно определить кинематические параметры объекта на основе информации измерительного блока с акселерометром, размещенным в точке O . Для блока акселерометров вводятся следующие допущения:

1) измерительный блок жестко закреплен на кор -пусе объекта (Ю3 = 0 , Msr = const);

dM ис dt

dMcs

dt

Msr

- ff>1M ис

= ®2M cs = const.

(14)

При использовании системы (14) следует учитывать, что информацию об угловых скоростях Ю” и ю2 получают по показаниям линейных акселерометров измерительного блока. Поэтому для определения 6 компонент векторов количество инерциальных измерителей должно быть увеличено до количества, достаточного для вычисления компонент всех угловых скоростей и линейных ускорений, действующих на объект.

Выражения (13) и (14) представляют собой идеальные уравнения инерциальной системы, использующей информацию измерительного блока с линейными акселерометрами для получения информации о кинематических параметрах объекта.

Литература: 1. Робот размером с пятицентовую монету... // Компьютерное обозрение. №12. 2001. С. 5. 2. Гордин А.Г., Комков А.В. Актуальные задачи использования информационных технологий при построении бесплатформенных инерциальных навигационных систем для малогабаритных БПЛА / Сб. науч. трудов Национального аэрокосмического университета. Авіаційно-космічна техніка і технологія. Харків: "ХАІ", 2000. Вип. 21. С. 180-186. 3. Горенштейн И.А., Шульман И.А. Инерциальные навигационные системы. М.: Машиностроение. 1970. 231 с. 4. Бесплатформенные инерциальные навигационные системы (Обзор) // Вопросы ракетной техники. 1967. №1. С. 69-76. 5. Помыкаев И.И. Основы теории инерциального метода измерения ускорения движения летательного аппарата // Сб. науч. трудов. Системы ориентации и наведения летательных аппаратов / Под ред. д.т.н. Б.А. Рябова. М.: Машиностроение. 1968. С. 29-55. 6. АндреевВ.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы. М.: Наука. 1966.580 с.

Поступила в редколлегию 21.01.2002 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Подлесный Н.И.

2) объект движется вокруг Земли (Ю” представляет собой известную величину);

3) вектор r0 = const.

Тогда получим систему для рассматриваемого случая:

^ + 53 * VO = Ms,McsMис(g(f0"))+ 5 ;

VO = ^

O dt

+1

+ ю 2

+ Ю 2, x (m^mJm

Msr^Fei ^ djcl dt

sr І02 ^ d?02

+ —— ,

(13)

r

r

Гордин Александр Григорьевич, канд. техн. наук, доцент кафедры систем управления Национального аэрокосмического университета им. Н.Е. Жуковского "ХАИ". Научные интересы: интегрированные инерциальные системы навигации. Увлечения и хобби: история науки и техники, летательные аппараты, природа. Адрес: Украина, 61058, Харьков, ул. Культуры, 11, кв. 61, тел. 44-23-54, 43-93-55.

Комков Андрей Владимирович, аспирант кафедры систем управления летательных аппаратов Национального аэрокосмического университета им. Н.Е. Жуковского "ХАИ". Научные интересы: навигационные системы. Увлечения: история авиации и бронетанковой техники, электроника, микроконтроллеры. Адрес: Украина, 61068, Харьков, ул. Блюхера, 15-Б, кв. 37, тел. 44-23-54, 68-86-70.

50

РИ, 2002, № 4