CC BY
15
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2021. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
УДК 539.3
doi 10.18522/1026-2237-2021-1-4-14
ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПЛАСТИНЫ НА ЛОКАЛЬНОЙ ОПОРЕ В РАМКАХ ТЕОРИИ РОДИОНОВОЙ - ТИТАЕВА - ЧЕРНЫХ
© 2021 г. В.Е. Величко1, П.С. Мостовьх2
1Институт проблем машиноведения Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия, 2Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Санкт-Петербург, Россия
AXISYMMETRIC LOADING OF A PLATE ON A LOCAL SUPPORT IN THE FRAMEWORK OF THE RODIONOVA-TITAYEV-CHERNYKH THEORY
V.E. Velichko1, P.S. Mostovykh2
institute for Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg, Russia, 2Saint Petersburg State Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
Величко Виктор Евгеньевич - аспирант, Институт проблем машиноведения Российской академии наук, Большой пр. В.О., 61, г. Санкт-Петербург, 199178, Россия, email: [email protected]
Мостовых Павел Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, Высшая школа гидротехнического и энергетического строительства, Инженерно-строительный институт, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Политехническая ул., 29, Гидрокорпус-1, г. Санкт-Петербург, 195251, Россия, e-mail: [email protected]
Viktor E. Velichko - Postgraduate, Institute for Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences, Bol-shoi Ave V.O., 61, St. Petersburg, 199178, Russia, e-mail: viktor. velichko @mail. ru
Pavel S. Mostovykh - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, High School of Hydraulic and Power Engineering Structural, Civil Engineering Institute, St. Petersburg State Polytechnic University, Polytechnich-eskayaSt., 29, Gidrokorpus-1, St. Petersburg, 195251, Russia, e-mail: [email protected]
Рассматривается осесимметричная задача деформации круглой пластины постоянной толщины с центральным отверстием под воздействием собственного веса. Пластина опирается на кольцевую опору. Эта задача возникла в связи с оценкой деформации отражающей поверхности оптического зеркала больших телескопов. Она решается с помощью неклассической теории оболочек Родионовой - Титаева - Черных (РТЧ), учитывающей поперечное обжатие пластины. Решение получено методом ортогональной прогонки Годунова. Оно сравнивается с решением задачи в рамках трехмерной теории упругости с использованием осесимметричных конечных элементов в свободно распространяемом пакете Code_Aster Получены результаты, характеризующие оптическое качество зеркальной поверхности: размах отклонений и среднеквадратичное отклонение. Выполнено параметрическое исследование с вариацией толщины пластины и полуширины опоры. Проведено сравнение двух методов и выявлена нефизичность поведения неклассической теории РТЧ на зеркальной поверхности при увеличении толщины пластины или уменьшении полуширины опоры. Установлен критерий допустимости применения теории РТЧ для данного типа задачи.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
Ключевые слова: математическое моделирование, теория пластин, модель неклассической теории пластин, поперечное обжатие, оптическая поверхность, метод конечных элементов, CodeAster.
The problem of an axisymmetric bending of a plate with constant thickness under its own weight is considered. The plate has a circular support. The problem is solved in an axisymmetric statement using a nonclassical shell theory of Rodionova-Titaev-Chernykh (RTCh), which takes plate compression in thickness into account. The solution for this theory is obtained using Godunov's orthogonal sweep method. This solution is compared with the solution obtained using the general three-dimensional theory of elasticity, implemented in an open-source package CodeAster using axisymmetric finite elements. The motivation for this study is the description of a stress-strain state of some variants ofprimary mirrors of large optical telescopes under the action of gravity. The obtained results characterizing the optical quality of the mirror surface are: the peak value (PV) and the root-mean square (RMS) of its displacement. A parametric study was carried out, i.e., the thickness of the plate and the half-width of the support were varied. The two methods were compared. It is shown that, as the plate thickness increases or the half-width of the support decreases, non-physical behaviour of the mirror surface takes place within the limits of the nonclassical theory of RTCh. A criterion of its applicability is therefore proposed.
Keywords: mathematical modeling, plate theory, nonclassical plate theories, plate compression in thickness, optical surface, finite element method, Code_Aster.
Описание проблемы
Нобелевские премии по физике последних лет показали, что человечество стремится к освоению Вселенной. Для этого нужны качественные инструменты - оптические телескопы, которые с каждым годом увеличиваются в габаритах. Чем больше габариты главного зеркала телескопа, тем больше излучения может собрать телескоп и, как следствие, тем более слабые источники могут быть им обнаружены.
Точность зеркал оптических телескопов (а современные большие телескопы - это рефлекторы) зависит от качества их изготовления (выведения поверхности, полировки) и от отклика отражающей поверхности зеркала на внешние воздействия, такие как сила тяжести и изменение температуры. Внешние воздействующие факторы приводят к изменению формы и размеров зеркальной поверхности, что влияет на качество оптического изображения. Деформации зеркала обычно бывают чисто упругими, так как перемещения зеркальной поверхности для решения оптических задач должны быть не больше порядка длины волны отражаемого излучения. Обычно для юстировки (настройки оптического прибора) берется красный свет с длиной волны X = 632,8 нм.
Деформация оптической поверхности зеркала под действием внешних усилий определяется видом и местоположением опор. Вид опор может быть разным - это пружинные элементы, гидро- и пневмоподвесы и рычажные механизмы [1]. Расположение опор также может существенно различаться. В данной статье рассматривается зеркало на кольцевой опоре, которая может быть, например, трубкой, наполненной жидкостью или газом под высоким давлением. В дальнейших исследова-
ниях авторы предполагают рассмотреть другие виды опор, с другим расположением, в частности распределенные по концентрическим окружностям точечно расположенные пружинные и рычажные механизмы.
Размер опоры определяет габариты телескопа, дополнительную массу и, что наиболее существенно, тепловые деформации зеркала, связанные с разностью коэффициентов термического расширения опоры и зеркала, выполненного из керамического материала 2еш^г, с предельно низким коэффициентом термического расширения [2]. Поэтому размер опоры стремятся уменьшить [1].
Для детального описания напряженно-деформированного состояния оптических зеркал часто применяют метод конечных элементов (МКЭ), один из численных методов решения уравнений теории упругости [3]. Результаты, полученные МКЭ, чувствительны к форме конечных элементов. Кроме того, для правильного разрешения напряженно-деформированного состояния конструкции необходимо использовать 4-5 линейных или 2-3 квадратичных элементов по толщине [4]. Меньшее количество элементов может вызвать эффект блокировки поперечного сдвига - явление, проявляемое во время изгиба конструкции. Твердотельный элемент в данном случае будет демонстрировать более жесткое поведение по сравнению с аналитическим решением. Поэтому для описания пространственной задачи теории упругости для тонкостенных конструкций потребуется большое количество конечных элементов правильной формы.
Зеркало телескопа можно представить элементами типа пластин. Существенное преимущество данной модели зеркала в том, что она легко обеспечивает выполнение исследования оптимизации конструкции. Все уравнения, описывающие эффектив-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
ные свойства, могут быть включены в оптимизационную задачу для выбора параметров, обеспечивающих наилучшее оптическое качество, наименьший вес и другие требования. Кроме того, этот тип модели пригоден для быстрой разработки оптимальной конструкции зеркала [3].
Так как одной из основных характеристик качества зеркала является размах поперечных отклонений его лицевой поверхности (РУ) [5], равный разности между максимальным и минимальным поперечными отклонениями оптической поверхности зеркала, то нужна теория пластин, описывающая деформирование не только поверхности приведения (ПП), но и зеркальной поверхности, в том числе в области действия внешнего, локализованного на небольшой площади усилия.
Для данного типа задачи требуется теория пластин, учитывающая как деформации сдвига, так и поперечное обжатие пластин. К сожалению, большинство теорий пластин и оболочек, включенных в конечно-элементные пакеты, не учитывают поперечное обжатие пластин (теории Кирхгофа - Лява и Рейсснера - Миндлина) [6], а также имеют большие погрешности при приложении сосредоточенных сил, вызванных также эффектом блокировки [7].
Для дальнейших исследований деформаций оптических зеркал телескопов также необходима теория пластин, которая позволит учитывать расширение и уточнение задачи, переменную толщину, мно-гослойность ортотропной пластины, кроме того, использовать двухмерную эквивалентно-жесткую модель для облегченного зеркала [3].
Подбор подходящей теории пластин для анализа поверхности зеркала
Пластины обычно считаются тонкими, если отношение толщины пластины к ее диаметру не превышает 0,1 [8]. Отношение толщины главного зеркала телескопа к его диаметру может варьироваться от 1/20 до 1/6 [9], поэтому зеркало можно рассматривать как пластину средней толщины.
Для нетонких пластин применение классической теории Кирхгофа - Лява дает существенные погрешности, связанные с тем, что модель Кирхгофа использует бесконечную жесткость поперечного сдвига [10]. Это подтверждается исследованиями, обзор которых дан в [1]. При шарнирном опирании круглой пластины на сплошное опорное кольцо с уменьшением отношения И / d (где И - толщина пластины; d - диаметр пластины) растет превалирование сдвиговых составляющих над изгибными.
В [11] рассматривается расчет облегченных зеркал телескопов и их узлов крепления под действием
силовых и температурных воздействий, в частности задача прогиба пластины на системе сосредоточенных опор под собственным весом. За основу принята модель пластин Тимошенко - Рейсснера.
В [12] решения по теориям пластин Рейсснера, Жилина, Векуа, Редди, Штейгманна, Амбарцумяна сравнивались с решением, полученным в рамках трехмерной теории упругости. Перемещения в обоих случаях были представлены рядом по пара-
2 h метру c =--
12 a2
где h - толщина пластины; a -
характерный размер. Рассматривалась изотропная линейно-упругая пластина постоянной толщины. Нагружены лицевая и задняя поверхности пластины (без учета объемных сил).
На основании этого исследования дана рекомендация: чтобы улучшить теорию второго порядка (это может быть полезно для применений, где а в плоскости пластины намного меньше ширины пластины), необходимо рассматривать приближение третьего порядка, т.е. при формулировании соотношений теории пластин удерживать все члены порядка 0( с6). Иначе говоря, для удовлетворительного описания воздействия нагрузки, стремящейся к сосредоточенной перерезывающей силе, необходимо использовать теорию с возможно большим порядком аппроксимации продольных и поперечных перемещений пластины, но не меньше третьего порядка.
Для описания проблемы отклонения отражающей поверхности под действием внешних факторов требуется теория, учитывающая не только прогиб зеркала под действием нагрузки, но и изменение его толщины. Это могут быть либо трехмерная теория упругости, либо неклассические теории пластин и оболочек. Одной из таких теорий оболочек, учитывающей поперечный сдвиг, поперечные нормальные напряжения, сжимаемость материала в направлении нормали к опорной поверхности и нелинейное распределение компонент вектора перемещения по толщине оболочки, является теория оболочек переменной толщины Родионовой - Титаева - Черных (РТЧ) [13]. Как указывают авторы, их теория в зависимости от геометрических и механических характеристик и вида приложенных воздействий может быть пригодна для расчета относительно толстых пластин и оболочек, а также в рамках этой теории может использоваться модель многослойных пластин и оболочек.
Оценки теории РТЧ при неравномерно распределенной нагрузке по внутренней и внешней лицевой граням цилиндрической оболочки даны в [14, 15]:
отношение толщины оболочки к ее радиусу И не
Я
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
1
должно превышать — , иначе использование теории
РТЧ некорректно. В статье [16] сравниваются теории РТЧ и решение, полученное методом МКЭ в программном комплексе Ansys 11 для цилиндрической оболочки с локально приложенной нагрузкой. Расхождение результатов монотонно растет с увеличением отношения — и при — достигает 8 %. Я 5
В работе [17] рассматривалась круглая пластина с цилиндрической ортотропией, подверженная равномерному сжатию с обеих лицевых сторон пластины и зажатая по боковой грани. Исследовались в осесимметричной постановке уточненная теория Амбарцумяна, теория оболочек средней толщины Палия - Спиро и теория РТЧ. Решения по данным теориям сравнивались с решением, полученным МКЭ в программном комплексе COMSOL Mul-tiphysics. Сравнение показало приемлемое соответствие теорий Палия - Спиро и РТЧ результатам, полученным МКЭ.
Постановка задачи для теории РТЧ
Оптическое зеркало, если оно не состоит из сегментов, обычно имеет осесимметричную форму. Для оценки применяемой здесь теории рассматривается упрощенный пример осесимметричной круглой пластины постоянной толщины с центральным отверстием (рис. 1). Высота пластины будет варьироваться. Центральное отверстие пластины имеет радиус г— = 0,1 м, внешний радиус пластины г2 = 0,5 м. Пластина опирается одной из поверхностей, которую в дальнейшем будем называть задней, на кольцевую опору. Ширину опоры будем менять.
Рис. 1. Кольцевая пластина постоянной толщины. Расположена на локальной опоре, реакция которой заменена распределенной нагрузкой / Fig. 1. Circular plate of constant thickness. The plate is located on a local support, its reaction is modelled by a distributed load
В данной статье ограничимся рассмотрением действия силы тяжести без учета температуры. Сила тяжести направлена вдоль оси вращения пластины в направлении задней поверхности, поэтому поставленная задача осесимметрична. Введем цилиндрическую систему координат (г, ф, г). Ее начало расположено в центре отверстия, плоскость (г, ф) совпадает с задней поверхностью, ось г направлена против силы тяжести. Так как задача осесиммет-рична, то распределение перемещений, деформаций и напряжений в пластине не зависит от окружной координаты ф.
В рамках теории РТЧ нельзя использовать одновременно статические и кинематические граничные условия на поверхностях исследуемого тела [13]. На лицевой поверхности зеркала, противоположной задней, необходимо ставить статическое граничное условие - равенство напряжений нулю. То же граничное условие справедливо на внутренней и внешней боковых поверхностях пластины, а также на задней поверхности вне кольцевой опоры. Поэтому воздействие кольцевой опоры необходимо также задать статически. В рамках данной задачи рассматривается вопрос о влиянии локализации нагрузки. Вид распределения существенно не влияет на напряженно-деформированное состояние в пластине, особенно в зоне лицевой поверхности. Поэтому выбирается функция, задающая распределение реакции опоры по ее площади из соображений удобства численной реализации, ориентируясь только на то, чтобы она обеспечивала выполнение условий равновесия пластины, была дважды непрерывно дифференцируемой и в пределе стремилась к дельта-функции. Воздействие кольцевой опоры можно представить в виде нормированной функции распределения Гаусса
p{r ) = p0 n=e~П (r~rm ):
_
(1)
где р0 - коэффициент нормировки; пг - параметр, характеризующий толщину опоры; гт - радиус середины кольцевой опоры. Касательную нагрузку примем равной нулю. Полуширина гауссова распределения связана с параметром пг зависимостью
dw = 2л/1и2—.
пг
На расстоянии 2dw от середины опоры отношение функции р(г) к коэффициенту нормировки определяется соотношением
р(гт ± 2dw )/Ро < 0,002 %.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
При стремлении полуширины нормированного гауссова распределения к нулю получаем дельта-функцию
8(r - rm ) = lim n=e~n(r~Гт )2-
nr VK
Теория анизотропных пластин РТЧ позволяет учесть поперечный сдвиг и поперечное обжатие нормали к ПП оболочки. Уравнения теории упругости приводятся к уравнениям с меньшим числом независимых переменных с помощью метода невязок (метода моментов) [18].
Вводится безразмерная координата 2z - h h '
При ^ = — 1 определяется задняя поверхность пластины (там, где прикладывается нагрузка), при С = 1 - лицевая поверхность.
Пространственно распределенные напряжения, деформации и перемещения раскладываются в ряды по полиномам Лежандра и удерживаются несколько первых членов этих рядов:
f(r, С) = nf(i )(r)PP (С). i=0
Порядок аппроксимации величин напряженно-деформированного состояния - перемещений ur, uz ,
деформаций err, ew, erz, ezz и напряжений
orr, orz, ozz - приведен в табл. 1. Перемещения
иф, деформации егф, и напряжения агф, для
осесимметричного случая равны нулю [19].
Таблица 1
Порядок аппроксимации величин напряженно-деформированного состояния по толщине пластины / The order of approximation of the values of the stress-strain state in the plate thickness (within the RTCh theory)
f Ur Uz err e еФФ ezz erz a rr аФФ a zz arz
n 3 2 3 3 1 2 3 3 3 2
Введем принятые в классической теории пластин интегральные величины напряжений (распределенные силы и моменты): 1
тг (г)=кг (г, ер (С) ¿С; аг (г) =
-1
1
= К -1
1
(r,Çp(С) dÇ; Mr(r) = \arr(r,Çp(Ç)dÇ ;
-1
Tp(r )= J
a
-1
фф
(r, Çp (Ç) dÇ; M ф(г) =
= |афф(г, СМ(С) ¿С. -1
Составляющие перемещений по толщине пластины, учитывая порядок аппроксимации, приведенный в табл. 1, можно представить в следующем виде:
иг (г, С) = и(гр (е) + Уг (гР(С) +
+ег (г )р2 (с)+Фг (г р (с),
и2(г,С)= м(т)Ро(е)+уг(гр(е)+ег(г)Р2(С),
где и, ^ - компоненты вектора перемещений точек ПП пластины; у г, е г характеризуют изменение длины нормали к этой поверхности; уг - угол поворота нормали в плоскости (г, г). Величины е г и ф г описывают нормальную кривизну в плоскости (г, г)
волокна, которое до деформации было перпендикулярным к срединной поверхности пластины.
При интегрировании соотношений упругости по толщине и учете введенных выше переменных задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка:
^ = М (г )у(г ) + я(г ),
аг
где вектор неизвестных - V(r ) ={Tr, Qr, Mr
u, w, y
Из табл. 1 видно, что порядок аппроксимации для поперечной деформации в22 линейный, для поперечного перемещения иг - квадратный, для напряжения по толщине - кубический.
Уравнения для неизвестных /'(г)(г) получаются интегрированием уравнений теории упругости по толщине; при этом используются условия ортогональности полиномов Лежандра.
Неизвестные Тф(г), Мф(г) исключаются алгебраически с помощью соотношений упругости. Компоненты составляющих перемещений ег, ф, Уе , ее
находятся при дальнейших алгебраических выкладках. Граничные условия на свободных от нагрузки боковых поверхностях пластины:
Гтг = 0, а = 0, Мг = 0 для г = г; |тг = 0, дг = 0, Мг = 0 для г = г2.
Вектор в правой части я(г) представляет собой комбинацию силы тяжести и приложенных к поверхностям пластины распределенных нагрузок, умноженных на коэффициенты упругости и толщину пластины. Распределенные нагрузки, направленные вдоль оси г, обозначаются Х+(г), Х-(г),
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
где плюс соответствует нагрузке на лицевой поверхности, минус - на задней.
Общая матрица N(r ) 6Х6 получается вырожденной. Это вызвано двумя физическими обстоятельствами. Во -первых, радиальные производные не зависят от абсолютного значения вертикального перемещения w (в связи с чем соответствующий столбец матрицы состоит из одних нулей). Во-вторых, поставленная задача может иметь решение только в том случае, если суммарная вертикальная нагрузка (внешнее распределенное давление и собственный вес пластины) равна нулю.
Распределенная нагрузка на задней поверхности
X- имеет вид нормированного закона распределения Гаусса (1). Распределенная нагрузка на лицевой поверхности XZ+ равна нулю. Поэтому дифференциальное уравнение для Qr с двумя граничными условиями позволяет определить коэффициент p0 (заранее неизвестный) величины распределенной нагрузки Xz , уравновешивающей объемную нагрузку от силы тяжести. При этом величиной wr регулируется ширина прикладываемого распределенного усилия, т.е. по сути изменяется ширина опоры зеркала. При найденном значении p0 система имеет бесконечное множество решений; для нахождения единственного решения необходимо поставить дополнительное граничное условие. Для этого используется равенство нулю вертикального перемещения uz на задней поверхности пластины в точке r = rm.
В результате из системы дифференциальных уравнений 6-го порядка выделяется уравнение для перерезывающего усилия на цилиндрическом сечении Qr, которое решается независимо перед решением остальных уравнений, и уравнение для вертикальных перемещений w , которое решается после остальных уравнений. Остается система дифференциальных уравнений для вектора неизвестных V(r)=T, Mr, u, у r}.
При стремлении внешней распределенной нагрузки к сосредоточенной выявляется неустойчивость решения. Это связано с жесткостью краевой задачи [20]. Она решается методом ортогональной прогонки Годунова [21]. Для его реализации разработана программа на основе пакета Wolfram Mathe-matica 12.0.
Далее находим оставшиеся величины перемещений, деформаций и напряжений, изменяющихся по толщине пластины.
Сравнение результатов РТЧ и С^е_Аз1ег
В дальнейшем сравниваются результаты, полученные по теории РТЧ и в программном комплексе Salome_Meca с решателем Code_Aster [22]. Используются конечные элементы QUAD4 с заданной для них осесимметричной моделью, аналоги твердотельных hex-элементов для трехмерной задачи. Для всех проведенных типов анализа строится равномерно распределенная сетка и используются 16 элементов по толщине пластины.
Задается распределенная нагрузка на нижнее ребро (эквивалент задней поверхности), аналогичная нагрузке, заданной в теории РТЧ, и применяется ускорение, имитирующее силу тяжести. За нулевое положение перемещений и2 выбраны их значения в
точке г = гт на нижнем ребре.
При расчете в Code_Aster и по теории РТЧ используются одинаковые характеристики материала зеркала, необходимые для решения упругой задачи:
плотность р = 2500 , модуль упругости
м3
E = 1-1011 Па и коэффициент Пуассона и = 0,3.
Отклонения отражающей поверхности зеркала характеризуют двумя величинами: PV и RMS [5]. Величина PV представляет разницу между максимумом и минимумом поперечных перемещений лицевой поверхности зеркала. Для дискретных величин
Г)ТЛ +J • +J
PV = max uz - mm uz , +J
где U - дискретные величины поперечных перемещений лицевой поверхности зеркала.
Среднеквадратичное отклонение RMS - интегральная характеристика деформации поверхности. Для дискретных величин [3]
RMS =
(
1 N
1 NW
N j=1
+j u„ —
N
+
E u+ m_
N
У
V J
где N - количество используемых узлов; ^ - доля площади в узле у. Для осесимметричного случая с равномерным распределением узлов
( rj+1 + rj
V i
r J ^^ r ^
-1Л
2 - Ar • r
j
2
2
= (2, N —1),
2
2
2
wj
2
2
r, — r
2
2
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2021. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
где Гу - координата по оси г узла у ; Аг - расстояние между узлами.
Проведено параметрическое исследование влияния толщины пластины — и ширины опоры ^ на РУ и RMS лицевой поверхности пластины в рамках теории РТЧ и пакета Code_Aster. На рис. 2 представлены графики поперечных перемещений пластины на задней (там, где прикладывается нагрузка, имитирующая опору) и противоположной ей лицевой поверхностях для полуширины гауссова распределения dw = 0,017 м. Место приложения усилия г выбрано так, чтобы в рамках теории РТЧ обеспечить равные прогибы на внутреннем и внешнем радиусах пластины. Рассмотрены пластины толщиной 0,05; 0,10; 0,15 и 0,20 м.
Приведены зависимости РУ и ЯМБ от полуширины гауссова распределения.
На рис. 3 представлены графики поперечных перемещений пластины на задней и лицевой поверхностях для толщины пластины — = 0,1 м. Рассмотрена полуширина гауссова распределения 0,017; 0,033; 0,066 и 0,139 м.
Анализ результатов
В табл. 2 показано, что при толщине — = 0,2 м идет сильное расхождение результатов по величинам РУ и ЯМБ между решениями по теории РТЧ и МКЭ в Code_Aster. Поперечные перемещения, полученные по теории РТЧ при данной толщине пластины, явно не соответствуют результатам, полученным в Code_Aster.
Таблица 2
Зависимость поперечных перемещений поверхностей от толщины пластины h, d = 0,017 м / The dependence of the transverse displacements surfaces on plate thickness h values, d = 0,017 m
Толщина h, м Радиус опоры rm , м Поверхность пластины PV, 10"8 м RMS, 10"10 м
РТЧ C A РТЧ C A
0,05 0,343 Задняя 15,0 16,3 23,1 23,7
Лицевая 14,8 16,3 22,9 23,5
0,1 0,342 Задняя 5,81 5,88 10,1 10,2
Лицевая 4,22 4,14 8,91 9,14
0,15 0,340 Задняя 5,80 5,71 8,05 7,56
Лицевая 2,20 2,06 4,63 4,59
0,2 0,338 Задняя 15,6 3,46 19,4 6,86
Лицевая 5,84 1,11 6,95 2,26
Значительное расхождение в табл. 3 между ЯМБ поперечных перемещений, полученных по теории РТЧ и в Code_Aster, становится более ясным, если посмотреть на рис. 3. Поперечные перемещения, полученные в Code_Aster, не равны на границах
г = г[ и г = г значениям для теории РТЧ, что говорит о некотором дисбалансе пластины на опоре при решении двумя разными методами при увеличении полуширины гауссова распределения dw.
Таблица 3
Зависимость поперечных перемещений поверхностей от ширины нагрузки dw, h = 0,1 м / The dependence of the transverse displacements of surfaces on load half-width dw, h = 0,1 m
Полуширина dw, м Поверхность пластины PV, 10"8 м RMS, 10"10 м
РТЧ C A РТЧ C A
0,017 Задняя 5,81 5,88 10,1 10,2
Лицевая 4,21 4,14 8,91 9,14
0,033 Задняя 4,93 4,73 9,83 18,2
Лицевая 4,06 4,04 8,75 16,4
0,067 Задняя 4,24 4,26 9,14 17,1
Лицевая 3,75 3,82 8,23 15,5
0,139 Задняя 3,14 3,55 7,03 14,2
Лицевая 2,88 3,30 6,42 13,2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
Как показано на рис. 2, при к > 0,1 м и полуширине гауссова распределения = 0,017 м начинается проявление нефизического явления вогнутости на лицевой поверхности пластины. В численном решении осесимметричной задачи в пакете МКЭ Code_Aster, которое является аналогом решения трехмерной задачи теории упругости, это явление отсутствует.
При толщине пластины к = 0,1 м и полуширине < 0,033 м получаем аналогичную нефизическую картину (рис. 3). Сравнивая полуширину гауссова распределения и толщину пластины, можно сделать вывод, что при отношении
получаем нормальную картину
к2 "
распределения поперечных перемещений на лицевой (противоположной месту приложения распределенной нагрузки) поверхности пластины.
Это нефизическое поведение теории РТЧ ограничивает её применимость для толстых пластин с сосредоточенными нагрузками.
С уменьшением толщины качество зеркала ухудшается пропорционально 1/к2. Это связано с тем, что жесткость пропорциональна кубу, а момент -первой степени толщины.
Рис. 2. Поперечные перемещения на задней (рисунок слева) и лицевой (рисунок справа) поверхностях пластины, й=0,05^0,15 м. Сплошная линия - решение по теории РТЧ, пунктирная - решение в Code_Aster / Fig. 2. Transverse displacements on the rear (left) and the front (right) surfaces for the plate A=0.05-0.15 m. Solid line - the solution according
to the RTCh theory, dashed line - the solution in Code_Aster
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
Рис. 3. Поперечные перемещения на задней (рисунок слева) и лицевой (рисунок справа) поверхностях dw = 0,017 - 0,133 м. Сплошная линия - решение по теории РТЧ, пунктирная - решение в Code_Aster / Fig. 3. Transverse displacements on the rear (left) and the front (right) surfaces dw = 0.017 — 0.133 m. Solid line - the solution according to the RTCh theory, dashed line - the solution in Code_Aster
Выводы
Задача об упругой деформации плоской пластины кольцевой формы на кольцевой опоре, нагруженной собственным весом, решена двумя различными методами. В рамках теории оболочек рассмотрен неклассический метод РТЧ, в котором учитываются поперечный сдвиг и поперечное обжатие нормали к ПП оболочки. В рамках трехмерной теории упругости использован МКЭ, реализованный в свободно распространяемом пакете Code Aster.
Полученное решение позволило определить РУ и ЯМБ поперечных перемещений лицевой поверхности пластины - параметры, характеризующие качество поверхности, где нанесено отражающее покрытие для зеркала телескопа.
Исследовано влияние толщины пластины и ширины опор на параметры РУ и ЯМБ. Показано, что трехмерное поле напряжений и деформаций можно представить в виде усеченных рядов по полиномам Лежандра по безразмерной толщине пластины, как это предполагается в теории РТЧ, при условии, что площадь опоры превосходит 5-6 квадратов толщины пластины.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
В дальнейшем предполагается исследовать предложенный критерий для оценки применимости теории РТЧ для расчета зеркал телескопов, покоящихся на нескольких локальных опорах.
Литература
1. Yoder P., Vukobratovich D. Opto-Mechanical Systems Design. Vol. 2: Design and Analysis of large mirrors and structures. CRC Press, 2017. 544 p.
2. Jedamzik R., Muller R., Hartmann P. Homogeneity of the linear thermal expansion coefficient of Zerodur measured with improved accuracy // Proc. SPIE 6273. 2006.
3. Doyle K.B., Genberg V.L., Michels G.J. Integrated optomechanical analysis. 2 ed. Bellingham, Washington, USA: SPIE Press, 2012. 383 p.
4. Sun E.Q. Shear locking and hourglassing in MSC Nastran, ABAQUS, and ANSYS // MSC Software Corporation's 2006 Americans Virtual Product Development Conference: Evolution to Enterprise Simulation. Santa Ana: MSC Software, CA, 2006. P. 1-9.
5. Сокольский М.Н. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, 1989. 221 с.
6. Radwanska M., Stankiewicz A., Wosatko A., Pamin J. Plate and shell structures. Chichester: Wiley, 2017. 398 p.
7. MacNeal R.H. Perspective on finite elements for shell analysis // Finite Element Analysis Design. 1998. Vol. 30. P. 175-186.
8. Altenbach H., Altenbach J., Naumenko K. Ebene Flachentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Berlin: Springer, 1998. 494 S.
9. Куимов К.В., Курт В.Г., Рудницкий Г.М., Сурдин В.Г., Теребиж В.Ю. Небо и телескоп. М.: Физмат-лит, 2017. 436 с.
10. Товстик П.Е. Неклассические модели пластин и оболочек // Изв. Саратовского ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2008. Т. 8, вып. 3. С. 72-85.
11. Бауэр С.М., Ковалев А.М., ПетровМ.Б., Тихомиров В.В., Товстик П.Е., Улитин М.И., Филиппов С.Б. Расчет и оптимизация металлических зеркал телескопов / под ред. М.И. Улитина. СПб.: С.-Петерб. ун-та, 1997. 228 с.
12. Schneider P., Kienzler R. Comparison of various linear plate theories in the light of a consistent second-order approximation // Shell Structures: Theory and Applications. Proc. 10th SSTA 2013 Conf. 2014. Vol. 3. Р. 109112.
13. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., ЧерныхК.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 279 с.
14. Сало В.А. О сходимости вариационно-структурного метода расчета нетонких упругих оболочек // Вюн. Нац. техн. ун-та «Харшвський полггехшчный
шститут». Динамжа та мщшсть машин. 2002. № 10. С. 113-118.
15. Сало В.А. Расчет напряженно-деформированного состояния толстостенного цилиндра при различных граничных условиях на его торцевых поверхностях // Интегрированные технологии и энергосбережение. 2004. № 3. С. 43-47.
16. Бауэр С.М., Ермаков А.М., Каштанова С.В., Морозов Н. Ф. Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нанотрубок // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 1. С. 22-30.
17. Bauer S.M., Voronkova E.B. Nonclassical theories for bending analysis of orthotropic circular plate // Shell Structures: Theory and Application. Proceeding of the 10th SSTA 2013 Conference. 2014. Vol. 3. P. 57-60.
18. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с.
19. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.
20. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный: Интеллект, 2008. 504 с.
21. Годунов С.К. Метод ортогональной прогонки для решения систем разностных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2, № 6. С. 972-982.
22. UKL: www.code-aster.org/ (дата обращения: 13.11.2020).
References
1. Yoder P., Vukobratovich D. (2017). Opto-Mechan-ical Systems Design. Vol. 2: Design and Analysis of latge mirrors and structures. CRC Press, 544 p.
2. Jedamzik R., Muller R., Hartmann P. (2006). Homogeneity of the linear thermal expansion coefficient of Zerodur measured with improved accuracy. Proc. SPIE 6273.
3. Doyle K.B., Genberg V.L., Michels G.J. (2012). Integrated optomechanical analysis. 2 ed. Bellingham, Washington, USA, SPIE Press, 383 p.
4. Sun E.Q. (2006). Shear locking and hourglassing in MSC Nastran, ABAQUS, and ANSYS. MSC Software Corporation's 2006 Americans Virtual Product Development Conference: Evolution to Enterprise Simulation. Santa Ana, MSC Software, CA, pp. 1-9.
5. Sokolskiy M.N. (1989). Optical image tolerances and quality. Leningrad, Mashinostroenie Publ., Leningrad Branch Press, 221 p. (in Russian).
6. Radwanska M., Stankiewicz A., Wosatko A., Pamin J. (2017). Plate and shell structures. Chichester, Wiley, 398 p.
7. MacNeal R.H. (1998). Perspective on finite elements for shell analysis. Finite Element Analysis Design, vol. 30, pp. 175-186.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
8. Altenbach H., Altenbach J., Naumenko K. (1998). Ebene Flächentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Berlin, Springer, 494 S.
9. Kuimov K.V., Kurt V.G., Rudnitskiy G.M., Surdin V.G., Terebizh V.Yu. (2017). Sky and telescope. Moscow, Fizmatlit Press, 436 p. (in Russian).
10. Tovstik P.E. (2008). Non-classical models of plates and shells. Izv. Saratovskogo un-ta. Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 8, iss. 3, pp. 72-85. (in Russian).
11. Bauer S.M., Kovalev A.M., Petrov M.B., Tikho-mirov V.V., Tovstik P.E., Ulitih M.I., Filippov S.B. (1997). Calculation and optimization of metal telescope mirrors. M.I. Ulitin (Ed.). St. Petersburg, St. Petersburg University Press, 228 p. (in Russian).
12. Schneider P., Kienzler R. (2014). Comparison of various linear plate theories in the light of a consistent second-order approximation. Shell Structures: Theory and Applications. Proc. 10th SSTA 2013 Conf., vol. 3, pp. 109-112.
13. Rodionova V.A., Titaev B.F., Chernykh K.F. (1996). Applied theory of anisotropic plates and shells. St. Petersburg, St. Petersburg University Press, 279 p. (in Russian).
14. Salo V.A. (2002). On the convergence of the varia-tional-structural method for calculating non-thin elastic shells. Visn. Nats. tekhn. un-ta «Kharkivs'kii politekhnich-nyi institut». Dinamika ta mitsnist' mashin, No. 10, pp. 113-118. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
15. Salo V.A. (2004). Calculation of the stress-strain state of a thick-walled cylinder under various boundary conditions on its end surfaces. Integrirovannye tekhnologii i energosberezhenie, No. 3, pp. 43-47. (in Russian).
16. Bauer S.M., Ermakov A.M., Kashtanova S.V., Mo-rozov N.F. (2011). Application of non-classical models of shell theory to the study of mechanical parameters of multilayer nanotubes. Vestn. SPbGU. Ser. 1, iss. 1, pp. 22-30. (in Russian).
17. Bauer S.M., Voronkova E.B. (2013). Nonclassical theories for bending analysis of orthotopic circular plate.
Shell Structures: Theory and Application. Proceeding of the 10th SSTA 2013 Conference, vol. 3, pp. 57-60.
18. Connor J., Brebbia C. (1979). Finite element techniques for fluid flow. Leningrad, Sudostroenie Publ., 264 p. (in Russian).
19. Timoshenko S.P., Goodier J. (1975). Theory of elasticity. Moscow, Nauka Publ., 576 p. (in Russian).
20. Fedorenko R.P. (2008). Introduction to Computational Physics. Dolgoprudny, Intellekt Publ., 504 p. (in Russian).
21. Godunov S.K. (1962). Ortogonal sweep method for solving systems of difference equations. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki, vol. 2, No. 6, pp. 972982. (in Russian).
22. Available at: www.code-aster.org/ (accessed November 13, 2020).
16 ноября 2020 г. /November 16, 2020
