Асимптотическое поведение решения осесимметричной динамической задачи теории упругости для трансверсально-изотропного сферического слоя малой толщины Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

УДК 539.3 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-61-71

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ МАЛОЙ ТОЛЩИНЫ

© 2020 г. М.Ф. Мехтиев1, Н.К. Ахмедов2, С.М. Юсубова3

1 Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан, 2Азербайджанский государственный экономический университет (UNEC), Баку, Азербайджан, 3Лицей имени Гейдара Алиева, Баку, Азербайджан

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE SOLUTION TO THE AXISYMMETRIC DYNAMICAL PROBLEM OF THE ELASTICITY THEORY FOR THE TRANSVERSALLY ISOTROPIC SPHERICAL LAYER OF SMALL THICKNESS

M.F. Mehdiyev1, N.K. Akhmedov2, S.M. Yusubova3

1 Baku State University, Baku, Azerbaijan, 2 Azerbaijan State University of Economics (UNEC), Baku, Azerbaijan, 3 G. Aliyev Lyceum, Baku, Azerbaijan

Мехтиев Магомед Фарман-оглы - доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Азербайджана, декан факультета прикладной математики и кибернетики, Бакинский государственный университет, ул. Академика Захида Халилова, 23, г. Баку, AZ 1148, Азербайджан, e-mail: mehtiev_magomed@mail.ru

Ахмедов Натик Каракиши-оглы - доктор математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и статистики, Азербайджанский государственный экономический университет (UNEC), ул. Истиглалият, 6, г. Баку, AZ 1001, Азербайджан, e-mail: anatiq@gmail.com

Юсубова Севиндж Мамед-кызы - преподаватель, Лицей имени Гейдара Алиева, ул. Н. Алиева, 50, г. Баку, AZ 1025, Азербайджан, e-mail: sevinc.yusubova.75@mail.ru

Magomed F. Mehdiyev - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Academician, National Academy of Sciences of Azerbaijan, Dean of the Faculty of Applied Mathematics and Cybernetics, Baku State University, Academik Zahid Khalilov St., 23, Baku, AZ 1148, Azerbaijan, e-mail: mehti-ev_magomed@mail. ru

Natik K. Akhmedov - Doctor of Mathematics, Professor, Head of the Department of Mathematics and Statistics, Azerbaijan State University of Economics (UNEC), Istiglaliyat St., 6, Baku, AZ 1001, Azerbaijan, e-mail: anatiq@gmail.com

Sevinj M. Yusubova - Lecturer, G. Aliyev Lyceum, N. Ali-yev St., 50, Baku, AZ 1025, Azerbaijan, e-mail: sevinc.yusubova. 75@mail.ru

Изучается осесимметричная динамическая задача теории упругости для трансверсально-изотропного сферического слоя малой толщины, не содержащего ни один из полюсов 0 и п. Предполагается, что лицевые поверхности сферического слоя свободны от напряжений, а на конических сечениях задана нагрузка. С помощью асимптотического интегрирования уравнений теории упругости проведен анализ динамической задачи теории упругости для трансверсально-изотропного сферического слоя при стремлении параметра тонкостенности к нулю. В зависимости от частоты вынуждающих нагрузок изучена возможная форма волнообразования. Построены однородные решения и проведена их классификация. Получены асимптотические разложения однородных решений, позволяющие рассчитать напряженно-деформированное состояние при различных значениях частоты вынуждающих нагрузок. Показано, что для высокочастотного колебания в первом члене асимптотики дисперсионное уравнение совпадает с известным уравнением Рэлея -Лэмба для упругой полосы. В общем случае нагружения сферы с помощью вариационного принципа Гамильтона краевая задача сводится к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Ключевые слова: трансверсально-изотропный сферический слой, уравнение движения, краевая задача, спектральный параметр, асимптотическое представление, принцип Гамильтона, пограничный слой, краевой эффект, функция Лежандра.

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 2

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

In this paper, we study the axisymmetric dynamic problem of the theory of elasticity for the transversely isotropic spherical layer of small thickness that does not contain any of the poles 0 and n. It is assumed that the lateral surface of the sphere is free of stresses, and boundary conditions are set on conical sections. Using the method of asymptotic integration of equations of the theory of elasticity, the dynamic problem of this theory is analyzed for the transversely isotropic spherical layer as the thin-walled parameter tends to zero. A possible form of wave formation in the transversely isotropic spherical layer has been studied depending on the frequency of the influencing forces. Homogeneous solutions are constructed and their classification is given. Asymptotic expansions of the homogeneous solutions are obtained, which make possible to calculate the stress-strain state for various values of the frequency of the influencing forces. It is shown that for the high-frequency oscillations in the first term of the asymptotics, the dispersion equation coincides with the well-known Rayleigh-Lamb equation for the elastic band. In the general case of loading on the sphere using the Hamilton variational principle, the boundary-value problem is reduced to the solving infinite systems of linear algebraic equations.

Keywords: transversely isotropic spherical layer, equation of motion, boundary value problem, spectral parameter, asymptotic representation, Hamilton principle, boundary layer, edge effect, Legendre function.

Введение

Теория оболочек является одной из важнейших областей современной механики. На её основе разрабатываются методы расчета тонкостенных конструкций, которые широко применяются в современных сооружениях и машиностроении. Требования прочности, легкости и экономичности, предъявляемые к современным конструкциям, делают тонкие оболочки незаменимыми конструкционными элементами. Однако расчет оболочек на основании трехмерных уравнений теории упругости связан со значительными математическими трудностями. Поэтому приходится обращаться к различным приближенным методам, позволяющим упростить расчет оболочек. Здесь в первую очередь принимается во внимание тот геометрический факт, что толщина оболочки по сравнению с двумя другими ее размерами мала. Проблема сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной составляет основное содержание теории оболочек [1].

Решение трёхмерных задач для анизотропных оболочек связано с дополнительными трудностями, обусловленными значительным увеличением числа механических параметров, характеризующих конструкцию. В отличие от изотропных оболочек спектр краевых задач для анизотропных оболочек имеет точки разветвления в верхней части спектра. Появляются новые группы решений, которые характерны только для анизотропных оболочек [2].

Постановка краевой задачи для трансверсально-изотропного сферического слоя малой толщины

Рассмотрим осесимметричную динамическую задачу теории упругости для трансверсально-изотропного полого сферического слоя малой тол-

щины. Предположим, что в сферической системе координат сферический слой занимает объем

Г = [г6 [Й! ; Я2], в 6 [в!; в2], ф 6 [ 0 ; 2 п]} и не содержит ни один из плюсов 0 и п.

Поверхность является поверхностью

изотропии. Сферические части границы тела будем называть лицевыми поверхностями.

Уравнения движения при отсутствии массовых сил в сферической системе координат имеют вид

[3]

2^ + 1^ + 1(2

or г дв г ^ д2иг

= 9

? в в - оф ф + or ectg6 ) = (1)

ТТ + 11ТГ + 1(Ы-Офф)^в + Загв) =

dt2

i= а^ v 9 dt2>

где иг = иг (г, в, С) , и0 = ид(г, в, С) - компоненты вектора смещений; д - плотность; огг, оГ0, Офф, - компоненты тензора напряжений, которые выражаются через компоненты вектора перемещений следующим образом [4]:

°Г0=Л + (2 )

°ФФ = А12 ^ + (А22 + А23)^ +

°вв =А12д-^+ (А22 + А23) ^ +

I л ив ^„о , А11 див +А23—С^в ^---ТТ" г ° г дв

Здесь - модули упругости.

Подставляя (2) в (1), получаем уравнения движения в перемещениях:

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

d2up b —-

+

J11

e2

(l+ep)2

X [ ( b 22 - bl 2 + b 2з + l )

[^ + d^fctg^ + г (b 1 2 - b 2 2 - b 2 з) u,] + - ( l + b1 2)I^C' (p ] = 0

dp1 ' l+ep 2

dUp ~dp

(1+ep):

■c(p)

+(! + + №2 - b22 - b23 - 1) x

l+ep dp + Ugl

C"(P)+ —c'(p) +

(1+ep)2 \ дв д2Щ_ 2e дщ

(^ál 4- K^cg?) =

.2 д2иР - дт2 '

(3)

+ [l2 - ((z2 - б) b22 + Ь2з + г) (1тЫ e2c(p)

+

+ ■

;(1 + Ь12)а'(р) +

(1+ер)'-

(2 + Ь22 +

др2 +

1+ер др

(l+ep)2 I (b 2 з + b 2 2 c tg 2 б + г ) Ue] +

+(1 + b12)

д2ип

l+epдвдр

+ (b22 + b23 + 2)

du,

(l+ep)2 дв

P

■ .

+b23)a(p) = 0,

[bl 1а' (p) (г « (p) - (z2 -6)c(p))]^1 = 0-

с' (p)+TV77(a (p)-c (p) ) ] =0 .

P=± 1

l + ep

= £

дт2

В (3) р = —— - новая безразмерная радиальная

eR0

координата; т = — I— - безразмерное время; Ко у 9

R +R

fí0 = ——- - радиус срединной поверхности сфе-

Анализ колебаний трансверсально-изотропного сферического слоя малой толщины при конечном значении

Изучим спектральную задачу (8) при е —> 0. Пусть X = О ( 1 ) при е — 0 . Спектральная задача (8) при конечном X имеет три группы спектрального

^ _^

ры; е = ——- - малый параметр, характеризующий параметра z со следующими асимптотическими

2 R0

толщину сферического слоя; ир = —, и д = —, А■ ■

Ьц = —^ - безразмерные величины; р е [ — 1 ; 1 ].

л44

Предполагаем, что лицевые поверхности сферического слоя свободны от напряжений

и»))=о (ч

при р = ± 1 , а на торцах (конических срезах) заданы следующие граничные условия:

00 вЬ=е5 = /1 5 (р) еат ,

0-ре|в=я =/2, (Р) еат, 5 = 1,2 . (5)

свойствами:

1 0\

1 ) первая группа состоит из двух спектральных параметров = О ( 1 ) , к = 1 , 2 ;

2 ) вторая - из четырех спектральных параметров г^, которые имеют порядок О ( е 2);

-,0ч

3 ) третья содержит счетное множество спектральных параметров , которые имеют порядок

О (е"1).

Решение (8) ищем в виде

а = а(1 ) + еа ( 1 )+..., с = с( 1 ) + е с( 1 )+.. . (9)

г = г0 + £г1+...

Подстановка (9) в (8) приводит к бесконечной системе. Последовательное интегрирование по р даёт соотношения для коэффициентов разложения (9). После некоторых преобразований для ампли-

Здесь X - частота колебаний; арр = —, тудных значений шремещет™ и напряжений

"" Алл

арв = Т^ - безразмерные напряжения.

А 44

Решения уравнений (3) будем искать в виде

ир = a (p) m (б ) е'Ят, ие = с (p) m' (б ) еа\ (6) где функция m (б ) - решение уравнения Лежан-дра [5]:

m' ' (б ) + ctg6 m' (б ) + (z2 - i) m (б) = 0 . (7)

Подставляя (6) в (3) и (4), с учетом (7) получим краевую задачу

2е

окончательно получаем

X2 + ti + (z2k - i) t2 + О(е) ] m fc (б ) , t3 + 0 (е) ]m¿ (б) , (10)

u, = Т к=1

ue = Т 2=1 2

O,, = ^ ^e { (p + l ) [ (Сз - I2) (х2 +tl +

k=l

+ (z2k -1) t2) + (z2k -1) С2] + О (e) } m,(б ) , о, e = О ( e 2 ) ,

Ь11а"(р)+^ГрЬ11а'(р) +

+ [( г ( b 1 2 b2 2 b2 з) - (z2 -1)) > ^ + l2]e2a (p) + (z2-i)x

Crfirfi —

= Z к=1 Гк {[ Сз (¿2 - tl (z!k - Э) + О (e) ] m, (б ) +

+ [ - с;сз + о (e) ]m; (б ) ctgб j,

V

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

^в = 2 *=if* {[ t3(Я2 + tj + 0(e) ]mk (0) + +( tit3 + 0 (e) ) m * (0 ) с tg0 }. Для определения z0 * имеем

t3t4) - ^ -я^Зя2^-^)

*ок = (M2

где

ti = й22 - й23; t2 = Ь^(Ь(2 - b11b22)',

+Я2 - t7+-t

з L2aok + h

«к + О (e) }m к (б ) ,

<W = U=1 eß к { ( t° «°к + ( t3 + 2 to) « °к) х х [ (t9 + l°-t7) (р + 1 )

2

+a^(p + l)2t3+it8a2k(p2

1 4 12а0к

(3-

+

1 )]-

( t9 +1° - t7 +1 t°a°k + Сза°°к) х

х

+

(11° « Ок (Р + 1 ) ° +( t3 + 2 t°) а°°к (Р + 1 ) ) + О (е) }m к (б ) , о"рв = 2к=1 eß к {[t°a°k + ( t3 + 2 t°)« ° fc] х х [i^k(Р °-1 )-t3(Р + 1 ) ]+ + t°«°k(Р + 1 ) [ t9 + 1 ° - t7 + it°«°к + t 3«° к] + +О (е)К (б),

аФФ = _ V4

£к = 1ßfc {[ - f1 0« °к ( f9 + ^ - + "^«Ofc +

+ (t2«0k + (t3 + 2t2)aok)(t3 - tio«okP) + +О (e) ]тк (б ) +

(13)

3«ок) +

+e ti [ - а°«°к + ( t3 + 2 t°) «0k)p - t9 -1° + t 7-

~a0k +

3"ok

О (e) ] m к (б ) ctg6 } :

(11)

С3 = ЬГ1 (ЬцЬ22 + Й11Й23 - 2Ь12); С4 = Ь^(1)^22 + Ь11Ь23 - 2й22 + 2); С5 = ¿ГхЧ^пЬгз + ЬцЬ22 - 5й?2); С6 = Й-? (9 Й!^2 3 - 7Й!А2 - 2 Ь22 + 2 ) .

Из (11) получаем два чисто действительных или два чисто мнимых корня г0 к. Чисто мнимым корням соответствуют проникающие решения.

Все остальные спектральные параметры неограниченно возрастают при е —> 0 , т.е. гк —> оо при Спектральные параметры разделяются на следующие группы в зависимости от их поведения при е — 0: егк — 0 при е — 0 и егк — со г^ при е — 0 .

Определим такие гк — оо , для которых егк — 0 при е — 0. Решение (8) будем искать в виде

а = а(2) + еа(2)+.. . , с = е (с(;2) + е с(2)+...) ,

1

г = е-2 (а0 + е ...) . (12)

После подстановки (12) в (8) имеем ир = =к [ С2<4. + ( Сз + 2 С2)< + О(е) ]тк(в ) ,

и0 = - 2к=! е^к {[ С2«ок + (Сз + 2 С2)а^к] Р + С9 +

= 20={[ ( С2 аОк + (Сз + 2 С2)а2к) + + (С3 - С2а2кР) -

- а0к С2( С9 + ^ 2 - С 7 + !с2а0к + С3 а0к) +

+О (е) ]тк (в ) + е С^ (С2акк + ( С3 + 2 С2 ) а2к)р + +С9 + I2 - С7 + ^ С2ацк + Сз«ок + +О (е) ]т к (в ) с^в } ,

где

С 7 = 4 Й! 2Й Г!1 (Й!! - Й 2 2),

¿8 = Ь^(2Ь12Ь22 - ЙЦЙ22 - ЙЦЙ23 + 2Йц),

С9 = 2 (2 Й 1 2 - Й 23 - Й 22) , С1 0 = ЙГ11 (Й°2 - Й 11Й23) ;

определяем из соотношения «Ок = Зй^Сг:2(к(2Ь12Ь22 - йцС3 - 2йг22) --ЙцС212). (14)

Решение (7) можно записать через функции Ле-жандра. Однако, как показано в [6-8], удобно использовать приближенные методы.

В случае гк = О ( е 2) главный член асимптотического решения (7) при е — 0 принимает вид [9] тк(б) =

1 1 =е хр[ - е-^-4(в - в!)]. 1 + О (е2)

v/sin0 4

в окрестности б = б1;

1 1 [ e~V-«0k(б

v/sin 0 4

= е хр|

]

1 + О (ег) / в окрестности б = б°

Из (14) получаем четыре комплексных корня или два действительных и два чисто мнимых. Комплексным корням соответствуют затухающие решения, аналогичные простому краевому эффекту в статике оболочек, чисто действительным - проникающие решения.

Определим такие для которых

с о П5 С при е — 0 . Решение (8) ищем в виде

а = £(43) + еа®+...), с = е2(с0(3) + еС1(3)+...),

(15)

z = e-1(50 + efii+...)

Для первых членов разложения получаем спектральную задачу

( Ьо - 5°2Ь 1 ) ио = 0, (16)

( Мо-52М 1 ) и о1р=± 1 = 0,

где

V

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

м о = (Ь1 ^ _!_);М 1 = ( 0 Ь52);и о = (ао ,о) т

Характеристическое уравнение (16) имеет вид , где

2 в! = (2 Ь1 2 + Ь 22 — Ь11 Ь2 2) Ь"1 , е2 = Ь^ 2. Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) е1 > 0, — е2 * 0 . «1,2 = ± ^о , «3,4 = ± ¿5о ^2,

5/ = + (—1 ) *+Уе2 — в2 , к = 1,2 :

а) вещественные и различные, если еI - е2 > О;

б) и - комплексные, если

2) в1 > 0, е^ = е 2.

« 1 2 = «3, 4 = ± ВД где 5 = Тё";

3) е1 < 0, е2 — е2 * 0.

« 1,2 = ±До51, «3,4 = ± До^2;

5/ = I е 11 + (—1) в2 :

а) и вещественные и различные, если е2 - е2 > 0;

б) и комплексные, если ;

4) в1 < 0, е2 = в2 .

«1,2 = «3,4 = ±До 5, где 5 = ТкЦ. В случае 1 (е1 > 0 , е2 — е2 * 0 ) для перемещений и напряжений получаем два класса решений:

а) ир = X /= 1 Я/ ( 1 + Ь 1 2) 5152 Д^ х

[

— (Ь1 2 — Ь1 1 52 ) СО Б( До /А) со Б( До к52Р) + 0 (е) ]Ш// (б ),

ив = X /=1^2/ [—52 ( 1 + Ь1 1 52) (Ь 1 2 — Ь1 1 52) х х бш^о/^р) со5(30кБ2) + 5г(Ь12 - Ь^Б?) х х ( 1 + Ь 1 1 52) х (17)

х с о б (До /51) Бш (До //52 р) + О (е) ]тк (б ) ,

0рр = X /=(Ь 1 2 — Ь1 1 52) ( Ь 1 2 — Ь1 152) Д0\ х [

—51 с о б (До //51) б 1 л (До //52 р) ]+О (е) }тк (б ) , 0р0 =

= X /=1Яке (Ь 1 2 — Ь1 1 52) (Ь 1 2 — Ь1 1 52)51 52 Д^ х [

— с о б (До //52 р) со б (До //51) + О (е) ]т//(б ) ,

00 0 = X£= 1 «//{^2з ( 1 + Ь1 1 52) — Ь1 2 ( 1 + Ь1 2 52) ] х

X (¿12 - ^^СОБ^о^БШ^о^р) -

— [ Ь 2 з ( 1 + Ь 1 1 52) — Ь 1 2 ( 1 + Ь 1 2 ) 52 ] (Ь 1 2 — Ь 1 1 52) 51 х х с о б (До //51) б 1 л (До //52 р)+О (е) }тк (б ) ,

000 =

= X к=löfc Д0\([Ь 2 2 С 1 + ь 1 1 52 ) - ь! 2 С 1 + ь! 2) 52] X

X (¿12 - b11Si)S2sm(80kS1p) cos(80kS2) --[ b 2 2 С 1 + b 1 1 52) - b 1 2 С 1 + b 1 2) 52 ] СЬ 1 2 - b 1 1 52) x X 51 s i n С До //52 P ) С o s С До /51 ) + О Се) }тк Сб ) .

В (17) До / являются решениями уравнения (Si + S2) sin( (Si - S2)S0k) -

- С51 - 52) sin С С51 + 52) До /) = 0 ; (18)

б) up = X /=10/ С 1 + b 1 2) 5^3/X

[

- 2 b 1 152 )sin СДо /52 P) sin С До /51 ) ]т/ Сб )

ив = X /=10/Д2/ [52 С 1 + b 1 152 ) х (19)

х (¿12 - ¿ц52 ) cos( SokS1p) sin( 50/52) --Si(l + Ьц5|)(Ь12 - ¿ц52) cos( S0kS2p) х xs i n СДо /51 ) + О С е) ]т ^ Сб ) ,

0рр = X /= 1Ö/( сь 1 2 - b1 1 52 ) С b 1 2 - b1 152 ) ДО/ х [

- 52 с o s С До /51 р) s i n С До /52 ) ]+О Се) }т/ Сб ) , 0рв = X /=1^/еСЬ1 2 - Ь1 1 52) СЬ 1 2 - Ь11522) х х 51 52 Д°/ [si n С До /51 р ) s i n С До /52) -

- sin СДо /52 р) sin С До /51 ) + О Се) ]т/ Сб ) , 0фф =

= X /= 10/Д0/([Ь 1 2 С 1 + Ь 1 2) 52 - Ь2 0 С 1 + Ь1252) ] X

X (¿12 - ¿ц522) 52 cos(50fc5iP) sin( S0kS2) -[ ]

х 51 co s СДо /52 р) sin СДо /5J+О Се) }т/ Сб ) , 0в в = X /= 1-D /Д 0/([ Ь 1 2 С 1 + Ь 1 2 ) 52 - Ь 2 2 С 1 + Ь 1 1 52 ) ] X

X С Ь 1 2 - Ь11522)52 c o s СДо /51 р )s i n СДо Л) , [ ]

х 51 cos СДо /52 р) sin СДо /51 ) + О Се) }т/ Сб ) .

В (19) До / являются решениями уравнения (5i - 52) stn( (Si + S2)<S0fc) + +С51 + 52) s¿nС С51 - 52 ) До /) = 0 . (20)

В случае 2 С е1 > 0 , е 2 = е2 ) для перемещений и напряжений имеем:

a) ир = X£1 1Q/ (2Ь1 1 5 2 c o s СДо /5)c o s СДо /5р) + +СЬ1 2 - Ь1 15 2 ) До /5[sinСДо /5) co s СДо /5р) --рс o s СДо /5) sin СДо /5р)] + О Се) }т/ Сб ) ,

ив = X/=1 & (--X

[

+рс o s СДо /5) c o s СДо /5р) ] -

b?i54 + (3b11+b12b11)52-b12

á0ícS(l+b12)

х С o s СДо /5) s i n СДо /5р) + О Се) }т /С б ) ,

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Opp=Z к = lQk (i + bl i), Х (21) {{ ]

+S ¿okpc o s (¿okS) co s (¿okSp) + O (e) К(в ) , öpe =

= Zк=i E Q k ¿o kS{ s i n ( ¿o kS) c o s ( ¿o kSp ) -

-p sin (¿o kSp ) cos (¿okS) + O (e) ]m; (в) ,

ов в = Z к= iQ k^f—^c o s (¿okS) Х

Х { (b 1 1 - ( b i 1 + b °1 - b i ib 1 1 ) S1) <S°fcpc o s (¿ok Sp ) -

(( b J^ 2+ b i2 — b J^ b 2 2), 2+b2 2)

---5-¿¿o k s i n ( ¿o kSp ) ] +

, О Сb22+(b22bn-bi2-bi2)^2) w +à°k--x

Х { г b i i Sc o s (¿ofcS) + (b i 1 - b i i S1) ¿o k s in (¿okS)] Х Х s i n (¿o kSp ) + O ( E) }m k (в ) ,

(b„-b„S2

Ort

= Z к= iQ k{b

1+b-,

-cos(50kS) x

Х { (- (bio + b°i - bi ib oз )S 1 + bi з ) 5°fcpco s (¿okSp)

((bl 2+bZl—b i lb 2 З), 2+b 2 З)

¿o kpsin (¿o kSp ) ] +

, О Сb23+(b23bii-b12-b^2)52) W +ó°k--x

x [ 2 Ь! ! 5 с o s (50 fcS) + (Ь! 2 - Ьi i 52) 50 fc s in (50 k5) ] x xs i n (5o k5p ) + O ( e) }m k (6) .

В (21) 5o k являются решениями уравнения sin (2 5o k5)-2 5o k5 = 0 ; (22)

б) up =

= Z fe=i Q k { - 2 bi !52 sin ( 5o k5) sin ( 5o k5p) + +(bi 2 - bi i5 2) 5o k5[ с os (5o k5) sin (5o k5p) --psin (5o k5) со s (5o k5p) ] + O (e) (6 ) ,

f(l+b11S2)(b12-b11S2) ,

ив = Z fc=i Qk {(

1+b-,

X

Х { co s (¿o kSp) co s (¿o k S) + sin (¿o k S)s i n (¿o kSp)] -

Ь^+ОЬ^Ьц+ЗЬц^-Ь^

■ X

(1+b12)S0kS

Х sin (¿o kS)co s (¿o kSp) + O (e) }mk (в ) ,

(bl2-bll52)2g0fc

(23)

_ _ Vе0

Opp = - Zk=l Qk (i+bli), Х

Х {{S ¿ok c o s (¿o kS) + s i n (¿o kS) ] c o s (¿o /Sp) +

+p ¿o kS sin (¿o kS) sin (¿o /Sp) + O (e) }mk (в ) ,

öpe =

= Z к= i Q k E ^^Z^5 { c o s (¿o kS) s i n ( ¿o kSp ) -p sin (¿o kS) co s (¿o kSp) + О (e) ]mk (в ) ,

(Ь12-Ьц52)_

Z {

1+b,

-sin(50kS) x

Х { (b i i - ( b °i + b i i - b i ib i i ) SO) <S2fcpsi n (¿ofcSp) +

, (bi2+b22—b11b22)52+b22 f , Г. c„yi ,

+-s-<îo к с о s ( 50 kSp ) ] +

, O b22-(bf2+b12-b11b22)S2 + ÔOk X

x [ 2 b ! ! 5 s i n (<So k5) - ( b ! 2 - b ! ! 5 2 ) <So к со s (5o к 5p ) ] X xg о s (5o k5p ) + О (е) }m fc (0 ) ,

^ Ф = Z k=!<?k{ -(b 1 ; f 2 )si n (5ok5)[ (b 2 3 -

-0>12 + bi2 - biib23)S2)ÔQkp sin( 50kSp) +

(b 1 2 + Ь 22- bl 1Й22 + b2 3 g „„„/-о СЛ1,

+-1-¿o к с о s (5o k5p )] +

! Ьгз-СЬ^+Ь^-ЬцЬгз)^2 ^ l+bi2

[ ]

xg о s (5o k5p ) + О (е) }m к (0 ) .

В (23) 5o к являются решениями уравнения sin (2 5o к5) + 2 5o к5 = 0 . (24)

В случае 3 (e-L < 0 , е^ — е2 ^ 0 ) асимптотические формулы для перемещений и напряжений получаются из (17)—(20) заменой 5-l , 52 на i5-l , i52 .

В случае 4 ( e-L < 0 , е^ = е2 ) результаты получаются из (21)-(24) заменой 5 на i5 .

Уравнения (18), (20), (22), (24) совпадают с уравнениями, определяющими показатели краевых эффектов Сен-Венана в теории трансверсально-изотропных плит [10].

В случае Zk = О (е- ! ) главный член асимптотического решения (7) при е —> 0 принимает вид [9]

mk(0) =

x

S2ok

e xpI

= exp

[-E-lV-

s20k(e

0

]

X

SokSik

IS Ik

(в-вl ) ) + о (e)

в окрестности в = в! ,

e xp [e- lV-^(в - в о)]

x

s Ok

exp

s20k

(в - в o) ) + О (e)

в о кр е стно сти в = в2.

Решения, соответствующие третьей группе спектральных параметров, имеют характер пограничного слоя и локализованы у конических сечений в = ву , / = 1 ,2 .

Для действительных погранслойные решения затухают весьма слабо. Их следует причислить к проникающим решениям. Когда - чисто мни-

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

мые или комплексные, общая картина напряженно-деформированного состояния в качественном отношении аналогична соответствующей картине для изотропных сферических оболочек [6-8].

В [11] выполнены исследования корней уравнений (18), (20), (22), (24).

Высокочастотные колебания трансверсально-изотропного сферического слоя малой толщины

Изучим высокочастотные колебания, т.е. рассмотрим случай X —> оо при е —> 0 . Здесь возможны следующие предельные варианты:

а) Хе — 0 при е — 0 ;

б) Хе — со n st при е — 0;

в) при

Спектральные параметры Z/ — оо , когда X — оо при .

a) допустим X е — 0 при е — 0 . В этом случае краевая задача (8) имеет две группы спектральных параметров:

10. Первая группа спектральных параметров состоит из двух Z/ = О (е -т) , если X = Х0е -т, 0 < у < 1 , или из четырех zk = О (е -т) , если X = X 0е 1 " 2т, 0 < у < 1 .

20. Вторая группа состоит из счетного множества спектральных параметров , которые имеют порядок .

Предполагаем, что главные члены асимптотики Z/ и X имеют вид z^ = г^е X = X^ где zko = 0( 1), Я0 = 0(1), 0 < у < 1, 0</?<1.

Легко доказывается, что // < у. При // = у имеем

zk = гме -т + zk 1ет+.. . , 0 < у < 1, (25)

zk = гме -т + zk 1е2 - Зт+.. . , 1 < у < 1 ,

2 2(1+V)(1-V1V2) -i2 п г—1

где z20 = -—f---X0, Go = G\ V2 = v^ \

и - технические константы

материала.

i

При // < у находим, что // = 2 у—1 и - < у<1 . Задавая для получаем

zk = е -т (zk0 + е4у- 2zk 1+...) , 1 < у < 2, (26)

zk = е-т (zM + е2 - 2Tzk 1+...) , 2 < у < 1 ,

4 _ 6(l+v)(l-v1v2) л2 J>n — Ал.

ЕпСп

где

Асимптотические представления для перемещений и напряжений, соответствующие (25), имеют вид

ир = О (е2у) , и д = О (е) , 0в в = О (е 1 " 2у) , 000 = О (е 1 " 2т) , (27)

- 0(£2~3У),арв = 0(£3~4У)

u, = О (e2 " 2Т) , u e = О (e) , оe e = О (e 1 " 2Т) , офф = О (e 1 " 2Т) , о, , = О (e2 " 3Т) , о, e = О (e3 "4Т)

и,

для 1 < 7 < 1 .

Асимптотические формулы для перемещений и напряжений, соответствующие (26), принимают вид

ир = — X4=1 Ск (г|о + О (е4т " 2) ) т/ (б ) ,

ив = X/=1 С/е (г2о р + О (е4т " 2 ) ) т/(б ) , (28) 1 ^ ^ 2

для -< 7 < -;

= — X/=1 С// (г2о + О (е2 " 2^) ) т / (б ) , ив = X/=1 С/е (г2о р + О (е2 " 2Т) ) т/(б ) , 0в в = О (е 1 " 2^) , 000 = О (е 1 " 2^) , 0рр = О (е4 , 0р в = О (е3 для 2 < 7 < 1 .

В случае , , определим та-

кие , которые имеют порядок :

^ = ^ + е 1 " П

В первом члене асимптотики получаем спектральные параметры, определяемые формулами (18), (20), (22), (24). Решения (17), (19), (21), (23) остаются в силе;

б) допустим Хе — с ол при е — 0 . Краевая задача (8) в случае при имеет счетное множество спектральных параметров , порядок которых .

■р ^

Для X = - решение (8) ищем в виде (15). Первые члены разложения удовлетворяют соотношениям ( Ь о + р 2Е — Д2Ь 1) и о = 0 , (29)

( М о — Д2 М 1 ) и о1р=± 1 = 0 , где ( ),

Характеристическое уравнение (29) принимает вид , где

2 01 = 2 е^2 + ( 1 + Ь1 1) Ь-1 р 2, д 2 = е2 Д4 + [р 4 — ( 1 + Ь 2 2) Д2Р2 ]Ь-11 . Существуют следующие возможные случаи: 1.

«1,2 = ± ¿^1; «3,4 = ±

ирр

для 0 < у < 1

dn = Jg 1 + (- l ) n+Vgl-g i,n = l,г :

а) d 1 , d ; - вещественные и различные, если

g 1 - gi > 0 ;

б) и комплексные, если 2. ,

a i, i = a з,4 = ± t q , где q = -/g".

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

3. gi < 0 , g2 -g2 * 0 ,

«i,2 = ±d- -«3,4 = ±^2,

d„ = Jig il + ( - i ) n+Vgi2-gl , n = 1,2 :

а) cí-l и d 2 - вещественные и различные, если

g 2 - g2 > 0 ;

б) d -l и d2 - комплексные, если g2 - g 2 < 0 .

4. g - < 0 , g 2 = g 2,

«i,2 = «3,4 = ± q, где q = ТЫ".

В случае 1 (g l > 0 , g 2 - g 2 * 0 ) для перемещений и напряжений получаем

10. up = Z k=iFk( 1 + b i 2) di kd 2 k502k x

x [Xk2CO s d2 k со s (di kP) -

- Xk i с os d i k с o s (d 2 kP ) + O (e) ]m k (6 ) , (30) и в = Z fc=iFk[d i кУк 2X k i с O sd i k s i n ( d 2 kP ) -

- d 2 kyk ^osd 2 ksin (di kp) + O (e) ]m 'k (6 ) , Opp = Z fe=í^okl^2 kXk 2qk 1с os d 2 ks i n (d i kP ) -

- dikXkiqk2sin (d2kP) сosdlk + O (г)]т(£ (6 ) ,

Op в = e ZiFkd i kd 2 kXk iXk2[с o sd 2 'C o s (d - kP ) -

- с o s d-L kCo s (d 2 kP ) + O (e) ]т 'k (6 ) ,

°в в = L ^k5ok([d 2kXk2 x

x О22УЫ - bi2(l + bi2)difc) x x cosd2ksin(dlkp) — dlkxkl x x(b12(l + b12)d2k-b22yk2)x x с o s d-L ksin (d2 kP) ]mk (6 ) + O (e) } ,

Офф = Zk=i^'k50k{[d2 kXk 2 x

X ОгзУы - ¿12(1 + bi2)d2k)cosd2ksin(dlkp) --dlkxkl(b12(l + b12)d22k - b23yk2) x x сosdlksin (d2kP)]mk (6) + O (e)}.

Здесь 5°k являются решениями уравнения d±kxklqk2smd2kcosdlk —

~d2kxk2qklsindlkcosd2k = 0 , (31)

где ;

q k í = b i 2 (5°k - P2) - b i id °k ; yk í = bi id 2k - p 2 + 52k, /=1, 2.

20. = 2k= ^k ( 1 + b i 2)5°kd i kd 2 k x x [Xk2sind2 ksin (di 'P) -

- Xk -s i n d i ksi n (d 2 kP ) + O (e) ]m k (6 ) ,

и в = Z k= i^k[d 2 kyk lXk 2si n d 2 kC o s (d i kP ) -

- d i kyk2Xk isind - kCO s (d2 kP) + O (e) ]m 'k (6 ) ,

OPP = EkLlFk5(2k[dlkqk2XklsindlkCOs(d2kP) -

] , (32)

Op в = eZ fc = i^kd i kd 2 k[xk i Xk 2 (s i n d 2 ks i n (d i kP ) -

- sin С- k sin (d2kP) ) + O (e) ]mk(6 ) , ств в = l^7k5ok{[d i kXk i x

x (Ь22Ук2 - ¿i2(1 + ¿>i2)dfk)sindlkcos(d2kp) -~d2kxk2(b22yí - b12(l + b12)d2lk) x x sind2kсo s (dlkP)]mk (6) + O (e)},

Офф = Zk=l ^k5ok{[d ikXk i x

X (b23yk2 - bí2{ 1 + bí2)d2k) sindlkcos(d2kp) --d2kxk2(b23ykl - b12{ 1 + b12)d2lk) x ] }. В (32) 5o k являются решениями уравнения d\kqk2xkicosd2ksmdlk —

~d2kqklxk2cosdlksind2k = 0 . (33)

В случае 2 , ) для перемещений

и напряжений имеем: 10.

= 2Г= ^k1 (2^ b - -/1 - 'сo s q k + /1 2 ksi n q^ с o s (qkP ) -

- / i k / 3 kP с o s qk s i n (q kP ) + O ( e) ]m' (6 ) ,

Щ = Z i#k{ (2q'bi AkCO sqk + /2 ksinqk) x x /i4ksin((7kp) - h3k8$k(l + b12)cosqk x x [ (2bi -/г-' + bi 2 + 1 ) sin (q'P) -

- ( 1 + bi 2) qkPC o s (q'P) ] + O (e) }m 'k (6 ) , 0pp =

= -Z k= i^k{ (2q'bi -/г- 'C o s qk + /2 ksinq^ x x h6ksm(qkp) + h3k82k(l + b12)cosqk x x [( /i- b - - ( 1 - b - 2) + b - 2 ( 1 + b - 2) )52ks i n (q kP ) + + (5o/A2(l + b12) +

+b i 1/ i k5°k( 1 + b i 2)) qkP с O s (qkP ) ] + O (e) }m k(6 ) ,

Op в = e Z¡k= 1^k5°k ( 1 + b 1 2) x {

-h3kcosqk(h2kp sin(qkp) + 2qkb1±hlk eos(qkp)) + +O (e) }m ' ' (6 ) ,

ов в = -Z k= i#k{[ (2q'bi 1/1 'CO s qk + /2 'sin q') x x (_qkb12 + b2282kh4k)sm(qkp) + h3k8*k(l + b12) x x cosqk((b12hlk(l + b12) — ¿22 (1 + ¿12 + x

x sin (qk P ) + ( 1 + bi 2 ) (b2 2 + К'bi 2 ) qfcP co s (q kP )) ] x },

Офф = -Zk= -Я'{[ (2q'bi -/г- 'CO s qk + /2 'sin q') x x (qkb12 + b23S$kh4k)sm(qkp) + h3k8$k( 1 + b12)cosqk x

x C(bi2^ifc(l + ¿i2) - b23(b12 + 2b1±hlk + 1)) x

x sin((7kp) + (1 + b12)(b23 + hlkb12)qk x

xp co s (q'P) ) ]mk (6 ) + O (e) } . (34)

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

В (34) 50 k являются решениями уравнения

(.ЧФзкФи + KiKk) ~ h2khk)cos(2qk) + +(2b11qkhlkhsk + h3k x

Ьц(1-Ь12) ,

X

l+bi

¿1 fc + bi 2)) sin (2 qk) =

= -( ¿2 fc ¿5 fc + 4fc ¿3 k (bi 2 + ¿i A k) );

))

(35)

h

lk

_ P2-Slkb22-q2k . , _ 2 = ~ 77~,-— ; ¿2k = P

50fc(l + bi2)

<*Ofc & 2 2 + Ь 1 24k,

¿3 fc = P 2 + ДщА 2 - ¿1 l4°; ¿4 fc =

P2-S0k~bii4k. SofcQ fc ( 1+2 ) ;

=

bnqfc+bi2(p2-^fc)

4fc(l+bi2)

2°. ^p = 1i/fc[ ¿1 fc¿з fcP s i n 4fcC о S ( 4fcP ) + + (2¿ii4fchifcSin 4 fc - ¿2fcCO s 4Jsin (qfcp) + О (e) ]mfc(0 ) ,

"e=S 2= ^fe^sm4fc x (36)

[

X c о s (4fcp ) ] - ¿4 fc[2Ь 1 ^ 1 fc4fcS i n 4 fc - ¿ 2 fcC о s 4fc] x x c о s (4fcp) + О (e) }m'fc (0 ) ,

*pp = Z 2= 1/^{Лз fc[(^I^ + b1 2) sin

I sin4k x

x c о s (4fcP) - (&1 A fc + ¿1 2)4fcP s i n(4fcP)] + +¿ 5 fcC о s (4fcP)[2Ь 1 ^ 1 fc4fc • s i n 4 fc - ¿2 fcC о s 4fc] + +О (e) }mfc (0 ) ,

ap e = eX 2= 1iifc{^(rfc)X [ ]

[ ]

+О (e) }m 'fc (0 ) ,

= 1iifc(^ 3 fcs i n 4fc (Ь 1 2 ¿-

lk

( )

+

Zbuftifc 1+bi,

+1

)

+

+(_2b11hlkqk sinqk - h2kcosqk) x x (1 2 + k502kb 2 2) с о s (4 kp ) ]m k(0 ) + О ( e) } ,

аФФ =

= 1/ik{[^ik^3kbio(cos (4kP:>-4kP sin (4kP) )

-^о2/Лз((1 + bi2)4fePsin(4kp) + +(2b11hlk + b12 + l)cos (qkp) + + (2b11hlkqk ■ sinqk - h2kcosqk) X x (4k^i2 + ^2 з^^C05 (4kP)]mk (0 ) + О (e) } .

В (36) 50 k являются решениями уравнения (.ЧФзкФи + KiKk) ~ h2khsk) cos(24k) +

+

( 2 Ь 1 14 fc^ fc¿ 5 + fc

+

(37)

+Ь1 2 ) ¿3 fc) sin (2 4fc) = ¿2 fcft5fc + 4/сЛз fc (Ь11Й1 fc + ^ 2 ) .

В случае 3 (д 1 < 0 , д 2 — д 2 * 0 ) асимптотические выражения для перемещений и напряжений получаются из (30)-(33) заменой с? 1 /, с?2 / на ¿с?1 /, 1с12к.

В случае 4 результаты полу-

чаются из (34)-(37) заменой 4/ и ¿4/.

Уравнения (31), (33) в изотропном случае переходят в уравнение Рэлея - Лэмба [2, 8, 12];

в) допустим при Краевая задача

(8) в этом случае имеет счетное множество спектральных параметров zk, порядок которых О ( е -у) , 7 > 1.

В случае X е — оо при е — 0 уравнения (31), (33) остаются в силе.

Решения, соответствующие случаям ,

при , в прикладной теории оболочек

отсутствуют.

Удовлетворение граничных условий на торцах сферы

Перемещения представим в виде

«p = Z "= i^k (P) ™k (0 ) еат , ufl=I k=i^kCk (P) mk (0 ) . Для напряжений имеем

e = X "= i^k (^ (P ) mk (0 ) +

(38)

+а^(р)т'к(_в) ctg0)e

e = X 2= 1^02 fc (P ) m ' (0 ) e

¿At

¿At

(39)

где

^ (p) = 1 [ Ь 12^ (P) +

+ TT^ ( ( Ь 2 2 + Ь 2 3) a fc О ) - Ь 2 2 (z° - j) Cfc О) )]

rt\p)=g^àck(pU2k(p) =

=1 [ Ck О ) + ^( afc О ) - cfc oo ) ] .

Для определения неизвестных констант воспользуемся вариационным принципом Гамильтона [3]. Поскольку решения (38) удовлетворяют уравнениям движения (3) и однородным граничным условиям (4) на боковой поверхности, с учетом (5) из вариационного принципа получаем

2°2=i/-i[( +

+( ^pe -/2;)5up]Lfl. ( 1 + eP) ¿P = 0 .

(4°)

Подставим (38), (39) в (40). Считая ДО/ независимыми вариациями, для определения получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений:

X £== , 7 = 1, 2 ,.. . , (41)

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

где

= ¿^'(Р)С(р) ( 1 + ер) ¿р (22=1Шк (в5)ш; (в5)) + + /!1о1(2) (Р) с; (Р) ( 1 + ер) с?рх X (2°=1Шк ( в5)ш; (в5)Л§вх) +

1°2к О )а; ^ ( 1 + еР )¿Р (22=1ш к (вя)ш; (вя)) , И^- =

= 22 = 1[ш; (в5) Да 5 (Р) С; (Р) ( 1 + ер) ф + Ш; (в5) X X /Д/2 5 (Р ) а;(р) ( 1 + ер ) ¿р].

Если в (41) подставить асимптотические выражения (10), (13), (17), (19), (21), (23), (27), (28), (30), (32), (34), (36) для ир, и0,000, ор 0, соответствующие различным группам спектрального параметра , и использовать малость параметра , то можно построить асимптотическое решение системы (41).

В случаях X = О ( 1 ) , X = О (е-т) , X = О ( е 1 - 2Т) , 0 < у < 1 , системы (41) фактически совпадают с бесконечными системами, полученными в [7]. В случае , , получаем бесконечную

систему, связанную с динамической задачей теории упругости для упругой полосы [8, 12].

Условия разрешимости и сходимости метода редукции для (41) следуют из результатов работы [13, 14].

Решение динамических краевых задач теории упругости в общем случае, как и в статике, сводится к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство, которое усложняет решение бесконечных систем (41) методом урезания. Дело в том, что, как видно из выражения для компонент вектора перемещения и тензора напряжений, их амплитудные характеристики сложным образом зависят от параметра частоты. Физическая сущность рассматриваемого явления здесь такова, что при некоторых значениях частоты амплитуды напряжений и смещений и, естественно, неизвестные, определяемые из бесконечных систем, должны становиться бесконечно большими. Это обстоятельство приводит к тому, что обычные методы решения бесконечных систем, опирающихся на предварительное доказательство их регулярности, напрямую неприменимы при анализе бесконечных систем (41), поскольку с самого начала очевидна невозможность получения оценок регулярности, равномерных относительно частоты колебаний.

Литература

1. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек //

Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета пластин и оболочек. Тбилиси, 1975. С. 51-150.

2. Mekhtiev M.F. Asymptotic Analysis of Spatial Problems in Elasticity. Springer, 2019. 241 р.

3. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

4. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции : в 3 т. : пер. с англ. М.: Наука, 1965. Т. 1. 296 с.

6. Лурье А.И. Равновесие упругой симметрично нагруженной сферической оболочки // Прикладная математика и механика. 1943. Т. VII, вып. 6. С. 393404.

7. Виленская Т.В., Ворович И.И. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для сферической оболочки малой толщины // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30, вып. 2. С. 278295.

8. Mekhtiev M.F. Vibrations of Hollow Elastic Bodies. Springer, 2018. 212 р.

9. Akhmedov N.K., Sofiyev A.H. Asymptotic analysis of three-dimensional problem of elasticity theory for radially inhomogeneous transversally-isotropic thin hollow spheres // Thin-Walled Structures. 2019. Vol. 139. Р. 232-241.

10. Космодамианский А.С., Шалдырван В.А Толстые многосвязные пластины. Киев: Наукова думка, 1978. 239 с.

11. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Мат. сб. 1968. Вып. 4. С. 556-566.

12. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 283 с.

13. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. Ростов н/Д.: ЦВВР, 2006. 257 с.

14. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе // Прикладная математика и механика. 1973. Т. 37, вып. 4. С. 706-714.

References

1. Vorovich I.I. (1975). Some results and problems of the asymptotic theory of plates and shells. Materialy I Vsesoyuznoi shkoly po teorii i chislennym metodam rascheta plastin i obolochek [Materials of the I all-Union school on the theory and numerical methods of calculating plates and shells]. Tbilisi, pp. 51-150. (in Russian).

2. Mekhtiev M.F. (2019). Asymptotic analysis of spatial problems in elasticity. Springer, 241 p.

3. Lurie A.I. (1970). Theory of elasticity. Moscow, Nauka Publ., 939 p. (in Russian).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

4. Lehnitsky S.G. (1977). Theory of elasticity of an anisotropic body. Moscow, Nauka Publ., 415 p. (in Russian).

5. Bateman G., Erdeyi A. (1965). Higher transcendental functions: in 3 vols. Trans. with English. Moscow, Nauka Publ., vol. 1, 296 p. (in Russian).

6. Lurie A.I. (1943). Equilibrium of an elastic symmetrically loaded spherical shell. Prikladnaya matematika i mekhanika, vol. VII, no. 6, pp. 393-404. (in Russian).

7. Vilenskaya T.V., Vorovich I.I. (1966). Asymptotic behavior of the solution of the problem of elasticity theory for a spherical shell of small thickness. Prikladnaya matematika i mekhanika, vol. 30, no. 2, pp. 278-295. (in Russian).

8. Mekhtiev M.F. (2018). Vibrations of hollow elastic bodies. Springer, 212 p.

9. Akhmedov N.K., Sofiyev A.H. (2019). Asymptotic analysis of three-dimensional problem of elasticity theory for radially inhomogeneous transversally-isotropic thin

hollow spheres. Thin-Walled Structures, vol. 139, pp. 232-241.

10. Kosmodamiansky A.S., Shaldyrvan V.A. (1978). Thick multi-connected plates. Kiev, Naukova Dumka Publ., 239 p. (in Russian).

11. Lidsky V.B., Sadovnichy V.A. (1968). Asymptotic formulas for roots of one class of integer functions. Mat. sb., iss. 4, pp. 556-566. (in Russian).

12. Grinchenko V.T., Meleshko V.V. (1981). Harmonic vibrations and waves in elastic bodies. Kiev, Nau-kova Dumka Publ., 283 p. (in Russian).

13. Ustinov Yu.A. (2006). Mathematical theory of transversely inhomogeneous plates. Rostov-on-Don, TsVVR Publ., 257 p. (in Russian).

14. Ustinov Yu.A., Yudovich V.I. (1973). On the completeness of the system of elementary solutions of the biharmonic equation in a half-band. Prikladnaya matematika i mekhanika, vol. 37, no. 4, pp. 706-714. (in Russian).

Поступила в редакцию /Received

3 апреля 2020 г. /April 3, 2020