Об организации преподавания математики в Лондонской школе экономики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

В.А. Бабайцев

доцент кафедры ".Математика"

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ЛОНДОНСКОЙ ШКОЛЕ ЭКОНОМИКИ*

Лондонская школа экономики и политических наук (ЛШЭ) - единств енное такого рода образовательное учреждение в Великобритании. Она была основана в 1895 г. супругами Вебб и является одной из самых больших частей Лондонского университета. В мировом рейтинге за 1999 год она занимает почетное седьмое (и первое среди европейских учебных заведений) место в списке экономических вузов. К безусловному достижению можно отнести тот факт, что последний в XX веке Нобелевский лауреат по экономике Р. Манделл является одним из ее именитых выпускников. Уникальность школы заключается в интернациональном составе студентов: из

6000 обучающихся около 47% составляют выходцы из 100 стран, не входящих в Европейский Союз.

ЛШЭ находится в центре Лондона и занимает 17 зданий, расположенных на площади около 3 га. К услугам студентов Британская библиотека политических и экономических наук - одна из самых больших библиотек по данной отрасли знаний в мире, насчитывающая около миллиона томов, 28 000 наименований журналов, из которых 10 000 ныне издающихся, собрание манускриптов и редких изданий по экономике, транспорту, статистике, политическим наукам, международному праву и истории - всего вместе около 3 миллионов наименований.

Общие сведения об организации обучения

Обучение в ЛШЭ проводится по примерно 90 специальностям на степень бакалавра (undergraduate) в течение трех лет и степени магистра и мастера (postgraduate) в течение двух лет.

Желающие могут посетить сайт в Интернете по адресу: http://www. lse.ac.uk.

Обучение платное и составляет £1050** в год на младших курсах и £5712 на старших курсах для граждан стран, входящих в Европейский Союз, и £9384 для иностранцев на всех курсах. Кроме платы за обучение в расходы следует включить плату за квартиру, учебники и транспорт: всего около £1800 в месяц. Администрация ЛШЭ уведомляет, что иностранцам не следует рассчитывать на официальную подработку, хотя существуют широкие возможности для получения льготных кредитов на обучение. Отсутствует система вступительных экзаменов в отечественном варианте, однако для поступления в ЛШЭ на специальности, связанные с изучением математики, требуется, чтобы в документе о среднем образовании стояла высшая оценка по данному предмету. Для иностранцев и других лиц, математическая подготовка которых недостаточна для успешного обучения, организовано прохождение вспомогательного математического курса.

Учебная программа для студентов младших курсов включает обычно 12 предметов в течение трех лет, так что программа одного курса состоит из четырех предметов. Обращает на себя внимание профессиональная направленность обучения. Продолжительность семестра - 10 недель, в учебном году - три семестра (точнее сказать - триместра: октябрь-декабрь, январь-март, апрель-июль). По каждому предмету читаются лекции дважды в неделю продолжительностью 1 час (60 минут) и проводится однократно практическое занятие (1 час).

Перед началом семестра лектор подготавливает текст своих лекций, которые распространяются за умеренную плату, так что во время лекции студенты могут следить за ходом изложения по готовым записям и вносить туда пометки и дополнения. Еженедельно студентам раздаются практические задания, которые они должны выполнить и сдать в течение текущей недели преподавателю, ведущему практические занятия. Каждый преподаватель дважды в неделю проводит часовые консультации для желающих. В конце года студенты сдают экзамен по выбранной дисциплине. Перед экзаменом читаются обзорные лекции. Экзамен по семестровому курсу проводится в течение двух часов письменно, текст задания состоит из шести страниц, каждая из которых содержит от трех до шести теоретических вопросов или задач.

Все денежные величины приведены в фунтах стерлингов (фунт стерлингов равен примерно 1,6 американского доллара.

О КАФЕДРЕ МАТЕМАТИКИ ЛШЭ

В штат кафедры математики входит более 20 преподавателей, в том числе 6 профессоров и 12 доцентов, 7 из которых являются официальными научными советниками ЛШЭ. О качестве преподавания математики в ЛШЭ свидетельствует то, что по официальному рейтингу кафедра набрала 22 очка из 24 возможных. Кафедра занимается математическим образованием обучающихся по экономическим и другим специальностям в течение двух-трех лет. Особое внимание следует обратить на значительное разнообразие курсов, состоящих из 18 наименований, а именно:

1. МА100 Математические методы.

2. МА103 Введение в чистую математику.

3. МА106 Введение в количественные методы математики.

4. МА107 Количественные методы математики.

5. МА200 Математические методы II (математический анализ).

6. МА201 Математические методы II (линейная алгебра).

7. МА203 Действительный анализ.

8. МА207 Количественные методы математики II.

9. МА208 Теория оптимизации.

10. МА300 Теория игр.

11. МА303 Стохастические динамические системы.

12. МА305 Вариационное исчисление.

13. МА308 Теория графов.

14. МА309 Теория сложности.

15. МА310 Математика финансовых рынков.

16. МА311 Дискретная математика.

17. МА312 Выпуклый анализ и теорема о неподвижной точке.

18. МА313 Теория вероятностей для экономики и финансов.

Курсы МА100, МА201, МА203 являются обязательными для специальностей "Экономика и математика", "Бизнес и математика", курсы МА107, МА207 - для некоторых других специальностей. Остальные курсы являются курсами по выбору. Часть из них читается и на старших курсах.

Содержание основных математических курсов

Основными математическими курсами являются МА100 - МА200 Математические методы, читаемые на первых двух курсах.

МА 100 является годовым курсом и содержит следующие темы:

Матрицы, приведение к ступенчатому виду, ранг матрицы. Системы линейных уравнений, метод Гаусса. Определители. Линейные векторные пространства, линейная независимость, базис, размерность. Линейные преобразования, подобные матрицы. Собственные значения и собственные векторы.

Приведение к диагональному виду. Приведение к диагональному виду в ортонормированном базисе. Комплексные числа. Функции нескольких переменных, частные производные, градиент, касательная плоскость. Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум, функция Лагранжа. Векторно-значные функции, их производные. Обратные функции, теорема о неявной функции. Интегрирование, дифференциальные и разностные уравнения.

Некоторые приложения.

Лекции читаются дважды в неделю: одна по линейной алгебре и одна по математическому анализу - всего 44 лекции. Один раз в неделю проводятся практические занятия. Студенты обязаны выполнять еженедельно упражнения, которые дает лектор, и сдавать их для проверки преподавателю, ведущему практические занятия. После окончания занятий в летнем семестре студенты сдают письменный экзамен (образец задания приводится в Приложении), продолжительность которого составляет три часа.

На втором курсе данный курс распадается на два семестровых: отдельно по математическому анализу и отдельно по линейной алгебре - МА200 и МА201.

Курс МА200 содержит 20 лекций по темам:

Пределы и их свойства. Непрерывные функции. Производная как предел. Правило Лопиталя. Первообразная и неопределенный интеграл. Интеграл Ри-мана. Интеграл Римана-Стильтьеса. Дифференцирование под знаком интеграла. Несобственные интегралы. Абсолютная сходимость. Связь несобственных интегралов с рядами. Кратные интегралы.

Замена переменной в кратном интеграле. Преобразование Лапласа. Гамма-распределение, бета-функция, бета-распределение. Дифференциальные уравнения в частных производных.

После окончания занятий в летнем семестре студенты сдают письменный экзамен, продолжительность которого составляет 2 часа.

Курс МА201 содержит 20 лекций по темам:

Линейные векторные пространства, подпространство, базис и размерность. Линейные преобразования и связанные с ними подпространства. Линейная независимость векторов. Евклидовы векторные пространства. Ортонормальные базисы и ортого-нализация системы векторов. Собственные векторы и собственные значения. Приложения к решению систем линейных дифференциальных уравнений.

Приложения к нахождению степеней матрицы. Комплексные матрицы. Ортогональное дополнение и прямая сумма пространств. Проектирование параллельно подпространству. Приложение к методу наименьших квадратов и рядам Фурье. Выпуклые множества и линейное программирование.

После окончания занятий в летнем семестре студенты сдают письменный экзамен, продолжительность которого составляет 2 часа.

Приложение

Образец экзаменационного задания по курсу МА100 Математические методы

На экзамен отводится три часа. Для сдачи экзамена необходимо привести полный ответ на любые пять заданий из восьми. На экзамене можно пользоваться калькулятором.

„ X, - гп Г117 5 ^

Задание 1. Пусть А = 3 _2 ц _ 5 .

-11 _3 3

V /

а) Привести А к ступенчатой форме.

б) Найти базис пространства столбцов С5(А). Показать, что С5(А) _ плоскость в Я3 и найти ее общее уравнение.

в) Считая, что А расширенная матрица системы из трех уравнений с тремя неизвестными, решить систему и записать решение в векторной форме.

г) Считая, что А матрица однородной системы уравнений, найти базис пространства решений.

д) Рассмотрим систему уравнений

Ах =

Г Л2 ^ 3Л _ 1

= ь (Л)

. Для каких значений па-

раметра 2 система 1) не имеет решений; 2) имеет ровно одно решение; 3) бесконечно много решений? В случае 3) выразить Ь(Х) в виде линейной комбинации векторов базиса СБ(А) и вывести общее решение, используя результаты пункта

г).

Задание 2. Пусть

Г1 > Г о > Г У1 Ї

0 1 У 2

1 > ^2 = 2 ’ У =

У3

,1 > ,3 > V У 4 ,

V _ пространство, порожден-

ное векторами VI, ч2.

а) Кратко объяснить, почему векторы VI, ч2 образуют базис V.

б) Записать матрицу Ат линейного преобразования Т: Я2 ^ Я4 такого, что образ Т равен V. (Обратить особое внимание на размеры Ат. Оно должно ото-

бражать Я в Я .) Выразить а

Г х Л

У

как вектор в Я (от х и у). Привести формули-

ровку теоремы о размерности образа для линейного преобразования и определить размерность ядра Т. Какое подпространство Я оно составляет?

в) Записать однородную линейную систему 2 уравнений с 4 неизвестными у1, у2, у3, у4, так что у е V о у решение этой системы. (Чтобы выполнить это

П =

задание, записать у в виде линейной комбинации векторов базиса, у = ам1 + ¡в/2 и исключить а ив). Записать матрицу А3 линейного преобразования £ : Я4 ^ Я2, так что кег(5) = V. Использовать теорему о размерности образа, чтобы определить размерность !т(5). Какое подпространство Я2 он образует?

г) Что делает сквозное отображение 8Т: Я2 —Я4 —Я2 ? Умножить матрицы А3АТ, чтобы подтвердить ответ.

д) Объяснить, почему сквозное отображение Т8 : Я4 —-^Я2 —Я4 имеет ядро, равное кег(ТЗ) = !т(Т5) = V, либо рассматривая действие каждого преобразования, либо из равенства Аге = АТА3.

е) Возможно ли найти линейное преобразование Т : Я3 ^ Я3, для которого кег( Т) = 1т( Т) ? Обосновать.

(0 1 1 ^

1 0 1

Задание 3. Пусть

А =

1 1 о

а) Доказать, что если сумма всех элементов каждой строки матрицы равна числу Л, то Л _ собственное значение матрицы. Показать, что Л = 2 собственное значение А, найдя вектор V, такой что Av = 2v.

б) Найти обратимую матрицу Р и диагональную матрицу О, так что Р_1АР = О. (Проверить, что АР = РО, но не вычислять Р_1.)

в) Найти ортонормальный базис В в Я3, состоящий из собственных векторов А. Далее найти ортогональную матрицу О, что ОТАО = О.

г) Пусть

Г 2 ^

х = -1 2

. Найти координаты вектора х в базисе В. Сравнить модули

этих двух векторов и объяснить результаты.

Задание 4. а) Записать данную систему линейных дифференциальных уравнений в матричной форме и найти общее решение у1(1), у2(/)

У1 = 6 У1 + 2 У 2 .

. У 2 =-6 У1 + 14 У 2

Найти решение, удовлетворяющее начальным условиям у1(0) = 2, у2(0) = 4.

б) Следующая система линейных разностных уравнений моделирует динамику изменения численности лисиц и кроликов в сельской местности от года к году: ^ - число лисиц, г - число кроликов в t - том году:

/ = 0,6/ + 0,2г, , (/'

и+1=-0,б/+1,4г , х'

Записать систему в матричной форме, хм = Bxí. Найти обратимую матрицу P и диагональную матрицу D, так что Р~^ВР = D. (Выполнить это непосредственно или использовать связь между собственными значениями и собственными векторами А и матрицы B = 0,1 А.)

Для данного вектора начальных условий x0 показать, что xt = Btx0. Выразить

xt через матрицы P, Р-1, D и x0. Для вектора х _ Г 100 1 найти решение xt, ис-

0 [200 )

пользуя собственные векторы и значения матрицы B. Описать асимптотическое поведение численности лисиц и кроликов.

Задание 5. Рассмотрим функцию / : Я2 ^ Я2, определенную следующим

образом: Ги 1 _ /(х у)_ 4х +10ХУ + 4У .

IV) ’ I 5 у + 4 х ,

а) Найти производную и множество критических точек этой функции.

б) Проверив условия ее существования, найти производную локальной об-

ч . V

ратной функции в точке / 4 1 "

.........2

(х УН0-2) ■

в) Проверить, что (х у)_(3 0) - критическая точка / Записать векторы

градиента У и и Уу в этой точке и объяснить зависимость между ними.

г) Найти уравнение линии уровня функции и: 4Х2 + 10ху + 4у2 = с, проходящей через точку (х у)_(3 с)) и истолковать ее следующим образом:

Выразить ее уравнение в форме хТАх = с, где А - симметрическая матрица и х е Я2. Диагонализировать А с помощью ортогональной матрицы Р и диагональной матрицы D, такой что РТАР = D. Использовать Р и D, чтобы нарисовать эскиз графика, отмечая все точки пересечения с осями.

д) На том же графике начертить эскиз линии уровня функции V: 5х + 4у = с(, проходящей через ту же точку (х у)_Г3 0

Задание 6. а) Функции спроса фирмы-монополиста, производящей связанные товары X и У, имеют вид:

/1(х, у) = 109 - х - у,

/2(х, у)=121 - 3х - 4у, где х и у обозначают количества X и У соответственно.

Соответствующая функция затрат дается выражением С(х, у) = 2Х2 + 2ху + у2 - 16х - 12у + 260.

Найти значения х и у, при которых максимизируется функция прибыли

п(х, у) = х/1(х, у) + у/2(х, у) - С(х, у).

б) Минимизировать функцию затрат С(х, у) для каждого из ограничений

2х + у > 7,

2х + у > 9.

Использовать метод множителей Лагранжа по крайней мере в одном из случаев. В этом случае привести эскиз линии уровня функции С(х, у) = с и области, определяемой неравенством в первом квадранте, чтобы оправдать использование функции Лагранжа.

Найти и истолковать значение множителя Лагранжа в точках минимума

Задание 7. а) Каждое из нижеприведенных дифференциальных уравнений является либо линейным, либо однородным степени п, либо точным:

Классифицировать уравнения, не решая их. Решить линейное уравнение и уравнение в точных дифференциалах.

б) Найти общее решение следующих дифференциального и разностного уравнений:

Найти У/ - градиент / в точке (х, у, z) = (1, 1, 1). Найти также уравнение касательной плоскости к поверхности /(.х, у, z) = 9 в этой точке.

б) Изобразить эскизы линий пересечения этой поверхности с координатными плоскостями Oxz и Oyz, отмечая точки пересечения с осями.

в) Проверить, что точки графика векторно-значной функции g: Я2 ^ Я3 лежат на той же поверхности:

С(х, у).

йх

х ^ ) dx

(х +1)-^ _ ех - 2у. ах

ах3 ах2 ах

Ух + 3 - 2 Ух + 2 - Ух + 1 + 2 Ух _ 0 х е N .

Рассмотреть асимптотическое поведение решений. Задание 8. а) Рассмотрим функцию / : Я3 ^ Я

/(х, у, г)_ 4х2 + у2 + 4г2.

_ g(s, {)_

( 3 . ^

— 81П 5 008 t 2

381п t

3

— 008 5 008 t 2

Показать, что точка (х, у, z) = (1, 1, 1) получается из точки ( t)_(П аг0з1п1

' ’ ’ V 4 3

г) Найти производную д и вычислить ее значение в точке из предыдущего задания. Использовать ее для нахождения уравнений касательной плоскости в той же точке.

д) Проверить, что эти уравнения определяют касательную плоскость, уже найденную в пункте а).