Об оптимальности квазиособых управлений в одной граничной задаче управления дискретными системами типа Россера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 Управление, вычислительная техника и информатика № 49

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 517.917.56

Б01: 10.17223/19988605/49/1

С.Ш. Кадырова, К.Б. Мансимов

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ КВАЗИОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ ТИПА РОССЕРА

Рассматривается одна граничная задача оптимального управления двухпараметрическими дискретными системами типа Россера. При предположении выпуклости области управления установлены линеаризованное условие оптимальности и необходимые условия оптимальности в форме неравенства для квадратичной формы. Ключевые слова: дискретная двухпараметрическая система типа Россера; линеаризованное необходимое условие оптимальности; выпуклая область управления; оптимальное управление; квазиособое управление.

Многие технические процессы описываются различными дискретными многопараметрическими системами, в частности дискретными двухпараметрическими системами типа Россера [1-7].

В работе [8] рассмотрена задача оптимального управления гибридной системой типа Россера (дискретно-непрерывная задача оптимального управления) и доказаны необходимые условия оптимальности первого порядка. Доказательству необходимых условий оптимальности особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений, а также квазиособых управлений в гибридных системах типа Россера посвящены работы [9, 10].

В [11] найдено представление решения краевой задачи для линейной неоднородной гибридной системы уравнений типа Россера.

Достаточное условие оптимальности типа условий В.Ф. Кротова в задаче оптимального управления системами типа Россера доказано в работе [12]. Необходимое и достаточное условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в линейном случае установлено в [13]. Исследованию особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений на оптимальность в дискретных системах Россера посвящена работа [14].

В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления дискретными двухпара-метрическими системами типа Россера, управляемыми посредством выбора граничного условия, при предположении, что граничное условие является решением аналога задачи Коши для нелинейного обыкновенного разностного уравнения с запаздыванием. Таким образом, рассматриваемая в работе задача отличается от задач, которым посвящены работы [8-11], и является более общей, чем задачи из [12-14]. При предположении выпуклости области управления доказано необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума [15-19]. Далее, применяя модифицированный вариант метода приращений, развитый в работах [18, 19], выведены необходимые условия оптимальности квазиособых управлений [16, 19, 20].

1. Постановка задачи

Предположим, что управляемый дискретный процесс описывается системой двухмерных нелинейных разностных уравнений

г (г +1, х) = / (г, х, г (г, х), у (г, х)), г = г0, г0 +1,..., г1-1, х=х0, х0 +1,..., х, (1)

у (г, х+1) = g (г, х, г (г, х), у (г, х)), г = г0, г0 +1,..., х=х0, х0 +1,..., х -1, и краевыми условиями

г(¿0,х) = а(х), х = х0,х0 +1,...,х1,

у (г,х0 ) = Ь(г), г = *0,г0 +1,...,г1.

Здесь / (г, х, г, у) (g (г, х, г, у)) - заданная п (т) -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (г, у) до второго порядка включительно, г0, г1, х0, х1 заданы, причем разности г1 - г0, х1 - х0 есть натуральные числа, Ь(г) - заданная т -мерная дискретная вектор-функция, а (х) - п -мерная вектор-функция, являющаяся решением обыкновенного нелинейного разностного уравнения с запаздыванием

а(х +1) = Г(х,а(х),а(х-Ы),и(х)), х = х0,х0 +1,...,х1 -1, (3)

с начальными условиями

а(х0 - Ы) = ах0-Ы,...., а(х0 ) = ax0, (4)

где Г(х, а, с, и) - заданная п -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (а,с,и) до второго порядка включительно, а к,...,а - заданные постоянные векторы, N - заданное натуральное число (запаздывание), и (х) - г-мерный дискретный вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и выпуклого множества и с Яг, т.е.

и(х)еисЯг, хеX = {х0,х0 +1,...,х -1} • (5)

Такие управления назовем допустимыми управлениями, а соответствующие процессы (и (х), а (х), г (г, х), у (г, х)) - допустимыми процессами.

В дальнейшем предполагается, что при каждом заданном допустимом управлении и (х) система уравнений (1)-(4) имеет единственное решение (а (х), г (г, х), у (г, х)).

На решениях задачи (1)-(4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим функционал

х -1 г -1

5(и) = ф1 (а (х))+ 2 ^ (х, 2(?!, х))+ 2 С2 (г,у (г, х)). (6)

х1 -1 и -1

2 <

Здесь ф(а) , (х, г), G2 (г, у) - заданные скалярные функции, непрерывные по совокупности пере-

менных вместе с частными производными ^ , 2 , , 2

8ф1 (а) 82ф (а) 8в1 (х,г) 82Ох (х,г) дв2 (г,у)

8а ' 8а2 ' 8г ' 8г2 ' 8у '

82^2 (г, у)

8у2 '

Изучим задачу о минимуме функционала (6) при ограничениях (1)-(5).

Допустимое управление и (х) , доставляющее минимум функционалу (6), при ограничениях (1)-(5) назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и (х), а (х), г (г, х), у (г, х)) -оптимальным процессом.

(7)

2. Формула приращения второго порядка критерия качества

Пусть (и (х), а (х), 2 (г, х), у (г, х)) - фиксированный допустимый процесс. Через и (х; в ) = = в V (х) + (1 — в)и (х) обозначим произвольное допустимое управление, такое что соответствующее ему решение а (х;в) удовлетворяет соотношению

а(х +1; е) = ¥(х, а(х; е),а(х — N; е),и (х; е)) =

= ¥(х,а(х; е), а(х — N; е), еV(х) + (1 — е)и (х)) с краевыми условиями

а(хо — /V; е) = —N, а(хо;е) = ах0, (8)

где ее [0, 1] - произвольное число, а V (х) е и (х е X) - произвольное допустимое управление, соответствующее и (х; е).

Это возможно в силу выпуклости множества V.

Ясно, что при этом (г (г, х; в), у (г, х; в)) будет решением задачи

2 (г +1, х; в) = / (г, х, 2 (г, х; в ), у (г, х; в )), у (г, х +1; в) = g (г, х, г (г, х; в ), у (г, х; в )), 2 (г0, х; в) = а (х; в), у (г, х0; в)= Ь (г).

Положим

1{г,х) z (г, х ) =

&(г,х; е)

де

д2г(г,х; е)

т

(г, х ) =

ду(г,х; е)

е=0

де2

; у (г, х ) =

де

д2у (г, х; е)

а

(х ) =

да (х; е)

е=0

е=0

е=0

де2

; а (х ) =

де

д2а (х; е)

е=0

де 2

(9) (10) (11) (12)

е=0

^у(х)¥ ( х)= ¥ ( х, а ( х), а ( х — ^, V ( х))—¥ ( х, а ( х ), а ( х — Щ,и ( х)).

(13)

Используя свойство гладкости вектор-функций / (г, х, г, у), g (г, х, 2, у), ¥ ( х, а, и ), при помощи (7), (9), (10) доказывается, что вектор-функции а(х), У(7,х), ^(х), опреде-

ляемые соотношениями (11), (12), являются решением следующих уравнений:

m(t,x + \) = gz(t,x,z(t,x),y(t,x))i(t,x) + gy(t,x,z(t,x),y(t,x))m(t,x),

= а(х), тл(£,х0) = 0, а(х +1) = ¥а (х, а (х), и (х)) а(х) + ¥а (х,а (х), а (х — N),и (х)) а(х — N) + +¥а (х,а(х),а(х — ^,и(х))(у(х) — и(х)), а(х0 — ^ = 0,..., а(х0) = 0,

(14)

Z (г +1, х) = д/ (г,х,2 (^>,у (г,х» z (г, х) + д/ (г,х,2 ^),у (г,х» у (г, х) +

х) /уг (7, х,г^,х),у^,х))£ (7, х) + т' (7, х) /уу (г1, х, г (7, х), у (7, х)) т (7, х), У((,х + 1) = §2 (г,х,г(г,х),у(г,х))2(г,х) + ёу ((,х,г((,х),у((,х))У ((,х) + +£'(t,x)gzz(t,x,z(t,x),y(t,x))£(t,x)+f(t,x)gzy(t,x,z(t,x),y(t,x))m(t,x) + +^n'(t,x)gyZ(t,x,z(t,x),y(t,x))£(t,x) + m'(t,x)gyy(t,x,z(t,x),y(t,x))m(t,x),

(15)

г (г0, х)=А( х), у (г, х0 )=0,

А(х +1) = Г (х,а (х),а (х - N),и (х)) А (х) + Г (х,а (х),а (х - N),и (х)) А (х - N) + +Г (х,а (х),а (х - N),и (х))(V(х)- и (х)) + а'(х)Гс (х,а (х),а (х - N),и (х)) а(х - N) + +а'(х - N) Га (х,а (х), а (х - N),и (х)) а(х) + +а'(х)Гаи (х, а (х), а (х - N),и (х(х)- и (х)) +

г

+(V (х) - и (х)) Гиа (х, а (х), а (х - N), и (х))а(х) + +а'( х - N) Гси (х, а (х), а (х - N), и (х))(V (х)-и (х))+ (17)

г

+(V(х)- и (х)) Гис (х, а (х), а (х - N),и (х)) а(х - N) +

г

+(V (х) - и (х)) Гии (х, а (х), а (х - N),и (х))(V (х) - и (х)), а(х0) = 0. При этом специальное приращение функционала качества (6), отвечающее допустимым управлениям и(х;е) и и (х), с использованием формулы Тейлора представляется в виде:

Д5,(» ) = 5 (и (х; б))-X (и (х )) = в8ф'( ^ х)) а( х1 ) + ^ а'( х1 /М" ( х» а( х1) +

2

2 да х=х0 дг 2 х=х0 дг

, ч г2 ^ д2ОЛх,гиъх)) ч-\дС2и,Уи,хЛ)

х1и,х) + — 2 -П V1 "ги,х) + е £ П 1"т(г,х1) +

2 х=х0 дг2 ?=?0 ду

(18)

+4'-¡с1 т (г, х т (г, х )4 1 ^^ у (г, х ) + о(62).

2 8у2 2 г=г0 ду V '

Введем аналоги функции Гамильтона-Понтрягина в виде:

Н (г, х, г, у, р, д) = р'/ (г, х, г, у) + д^ (г, х, г, у),

М ( х, а, и, у) = у' Г ( х, а, с, и ).

Здесь (у(х), р (г, х), у (г, х)) является решением сопряженной системы

Р (г -1 , х) = Нх (г, х, г (г, х), у (г, х), р (г, х), д (г, х)),

д (г , х -1) = Ну (г, x, г (г, х), у (г, х), р (^ х), д (^ х)),

у(х -1) = Ма (х, а (х),и (х), у(х)) +

+Мс (х + N, а (х + N), а (х), и (х + N), у(х + N)) + р (г0 -1, х),

р -!,х) = -8^1(х,г(г1,х)), д(г,х1 - 1) = -д^2(г,у(г,х1)),

8г 8у

у(х - 1) = -8ф(а(х1)), у(х) = 0, х > х-1. (20)

Учитывая введенные обозначения и уравнения (19)-(20), специальное приращение (18) критерия качества записывается с помощью следующей формулы:

А58(и ) = -е 2 Ма (х, а (х), и (х), у(х))^ (х)-и (х)) + — |а '(хх)—Ф( ( 1)) а(хх) +

х=х„ 2 \ 8а

(19)

+ 2 ?-'{Ч,х)-П и П1(^х)+ £ т\1,хх)-П ^ Х,)т{1,хх\

х=х0 дг ?=?„ ду

- 2 [а '( х ) Маа ( X, а ( х ), и ( х ), У( х ))а( х ) +

+а '(х)Мас (х, а (х), а (х - N), и (х), у(х))а(х - N) + +а '(х - N)Мса (х, а (х), а (х - N), и (х), у(х))а(х) + +а '(х - N)Мсс (х, а (х), а (х - N),и (х), у(х))а(х - N) + +2 а '(х)Маи (х, а (х), а (х - N),и (х),у(х))(V(х)- и (х)) + +2а '(х - N)Мси (х,а(х),а(х - N),и (х),у(х(х)-и (х)) +

г

+(V (х) - и (х)) Мии (х, а (х), а (х - N),и (х), у(х(х)- и (х))

и -1 х -1 I

?=?0 х=х0

+т' (г, х) Нуу (г, х, г (г, х), у (г, х), р (г, х), д (г, х)) т (г, х+ о(е2).

3. Необходимые условия оптимальности

Специальная формула приращения (21) критерия качества (6) позволяет получить необходимое условие оптимальности первого порядка в форме аналога линеаризованного (дифференциального) условия максимума (см., напр.: [15-18]), а также неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений.

Из разложения (21) следует

Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления и (х) в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенство

х-1

2 Ми (х, а (х), и (х), у (х)) (V (х)- и (х))< 0 (22)

выполнялось для всех V(х)еи , хеX .

Теперь исследуем случай вырождения линеаризованного условия максимума (22). По аналогии с[16, 18]введем

Определение 1. Если для всех допустимых управлений V (х) е и , х е X, выполняется соотношение

х1 -1

2 М'и (х,а(х),и (х), у(х))^(х) -и(х)) = 0,

управление и(х) назовем квазиособым управлением в задаче (1)-(6).

Из разложения (21) следует, что если и (х) - квазиособое оптимальное управление, то неравенство

/ ч 52ср(а(х,)) / ч ху-\ д2СЛх,г(и,х\) /

да х=хп дг

+ 2 m'(г,x1 ^^¡Ьк:^^^!!m(г,х1)— £ [а'(х)Маа(х,а(х),и(х),у(х))а(х) +

г=г0 х=х0

+2лv( х )ма (ха (х), и (х), х ))а(х)+

+а'( х ) Мас ( х, а ( х ), а ( х — N ), и ( х ), у( х ))а( х — N) + +а'(х — N)Мса (х,а(х),а (х — N),и (х), у(х))а(х) + +а'(х — ^Мсс (х,а(х),а(х — N),и(х),у(х)) а(х — N) + +2 Л^х^Мс (х, а (х), и (х), у(х))а(х — N)

-Ч Хт![е'(г,х)Н22(г,х,2(г,х),у(г,х),р(г,х),д(г,х))е(г,х)+ (23)

?=?0 х=х0

(7,х)Ну2 х, г(7,х),у (7,х),р(7, х),д(7,х))£(7,х) + +т'(г, х)Иуу (г, х, 2 (г, х), у (г, х), р (г, х), д (г, х))т (г, х)] > 0

выполняется для всех V (х )еи , х е X .

Неравенство (23) является неявным необходимым условием оптимальности квазиособых управлений. Поэтому конструктивное использование этого условия оптимальности весьма затруднительно. Однако с его помощью удается получить ряд необходимых условий оптимальности квазиособых управлений, выраженных непосредственно через параметры задачи (1)-(6).

Пусть матричные функции ф(х,я), У^ (г,х; т,5), I,у = 1,2, являются решениями следующих

задач:

ф(х,я — 1) = Ф(х,я)¥а (я,а(я),и(я))+ (24)

+Ф(х,я + N)¥с (я + N,а(я + N),а(я),и(я + N)) + Ф(х,я)¥и (я,а(я),и(я(х) — и(х)),

Ф(х,х —1) = Е, Ф(х,я) = 0, я > х -1, (25)

Уп (г, х; т — 1, я) = Уп (г, х; т, я)/ (т, я, 2 (т, я),у (т,я)) +

+у12 (г, х; " я ) gz (" ^ 2 (" я ), у (" я )),

У\2 (г, х; т, я — 1) = Уп (г, х; т, я)/ (т, я, 2 (т, я), у (т, я)) +

+у12 (г, х;т, я) gz (т, ^ 2 (тя), у (тя)), у21 (г, х;т—1,я )=у21 (г, х;т я) /2 (т ^2 (т я), у (т я))+

+у22 (г, х;т я) gz (т ^ 2 (т я), у (т я)), у22 (г, х;т я—1)=у21 (г, х;т я) /2 (т ^ 2 (т я), у (т я))+ +у22 (г, х;т я) gz (т ^2 (т я), у (т я)),

у1 (г, х; г—1, х—1)= Е1, У22 (г, х; г—1, х—1)=Е2, У11 (г,х; г — 1,я) = 0, х0 <я<х — 2, У12(г,х; т,х — 1) = 0, г0 <т<г — 1, (27)

У21 (г, х; г—1, я) = 0, х0 < я < х—1, У22 (г, х; т, х—1) = 0, г0 <т< г — 2, где Е1, I = 1,2, - единичные матрицы соответствующих размерностей.

Как видно, уравнения (13), (14) являются линейными неоднородными разностными уравнениями. Решение задач (13), (14) допускают (см.: [18, 21]) представления

(26)

х-1

а(х)= 2 Ф(х, 5) Ги (5, а (5), и )) - и(я)), (28)

5 =х0

Х-1

£(г,х) = Уп(г,х + \\ г0-1,х)а(х) + X гп(г,х + 1; г0-1,5)0(5), (29)

л'=ли

х-1

т(г,х) = 2 ^21 (г +1,х; г0 -1,5)а(5). (30)

Положим

х-1

61(г,х,5)= 2 Уп (г,х +1;г0-1,т)ф(т,5) + Уп(г,х +1;г0-1,х)Ф(х,5),

Х=5+1

Q2(г,х,5)= 2 У21 (г +1,х;г0-1,т)Ф(х,5),

Х=5+1

Ф1 (x, 5) = Ф(x, 5) Ги (5 а (5), и (5)), бз (г> х;5)=61 (г> x, 5) Ги (5 а (5),и (5)), 64 (г, х; 5) = 62 (г, х, 5) Ги (5, а (5 ), и (5)),

тогда представления (28), (30) можно переписать в виде:

х-1

а(х)= 2 Ф1 (х, 5)(V (5)-и (5 )) , (31)

5 =х(

х-1

(5)) , (32)

х-1

т(г,х) = 2 64(г,х,5XV(5)-и(5)) . (33)

5=х(

Введем в рассмотрение матричную функцию

д2ф(а(х )) „ ч х1-1 82О (х, г (гь х))

К(т, 5) = -Ф '(X, 5) ф( ( 1)) Ф(X, Т)- 2 63 (г1, х,5) 1 ( ' 2( )) 6з (г1, х, т)-

да х=тах(т, 5 )+1 8г

<1 , 482О2 (г, у (г, х1))

- 2 64(г,х,5)-п/2( 164 (г,X,т) +

ду

+У У [63 (г,х, 5) Н22 (г,х, г (г,х), у (г,х), р (г,х), д (г,х))6з (г,х, т) +

г=0 х=тах(т, 5)+1

+63 (г,х, т) Ну (г, х г (г, х), у (г, х), р (г, х), д (г, х)) 6з (г,х, э) + +64 (г, х, т) Нуг (г, х, г (г, х), у (г, х), р (г, х), д (г, х)) 6з(г,х 5)+ (34)

+6' (г, х, т) Нуу (г, х, г (г, х), у (г, х), р (г, х), д (г, х)) 64 4 5)] + + 2 [ф; (х, т)Маа (х,а(х),а(х - N),и (х),у(х))Фх (х,^) +

х=тах(т, 5 )+1

+Ф '(х, т- N)Мса (х, а (х), а (х - N),и (х), у(х))ФХ (х, т) + +Ф1 (х, 5)Мас (х,а (х),а (х - N),и (х), у(х))ф(х, т- N) + +Ф'(х, т- N)Мсс (х,а (х),а (х - N), и (х), у(х))Ф1(х, 5 - N)].

Используя представления (31)-(33), и учитывая (34), неравенство (23) по схеме из [18, 19] преобразуется к виду

21 21 (V(т)- и (т)) ' К(т, 5)(V(5)- и (5)) +

x—1

+2 Е

Е (v(5) — u(5)) Mau (5,a(5),u(s),s))Oi (s,x) +

- x+1

+(v ( s ) — u ( s )) Mcu ( s, a ( s ), a ( s — N), u ( s ), y( s ))ф1 ( s — N, x ) (v ( x ) — u ( x ))+ (35)

x —1 '

+ Е (v (x) — u (x)) Muu (x, a (x), a (x — N), u (x), y(x))(v (x) — u (x))< 0.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 2. Если u (x) (x е X) квазиособое управление в задаче (1)-(6), то для его оптимальности необходимо, чтобы неравенство (35) выполнялось для всех v(x) е U , x е X .

Неравенство (35) является общим необходимым условием оптимальности квазиособых управлений. Из него можно получить ряд легко проверяемых, но более слабых условий оптимальности. Приведем одно из них.

Теорема 3. Если u (x) (x е X) квазиособое управление в задаче (1)-(6), то для его оптимальности необходимо, чтобы неравенство

t

(v — u(0)) [K(9,9)+ Мuu [e]](v — u(0))< 0 (36)

выполнялось для всех 0 е X , v е U .

Заключение

В работе рассмотрена задача оптимального управления дискретными двухпараметрическими 2D-системами типа Россера. Установлен аналог дискретного линеаризованного условия максимума и отдельно изучен квазиособый случай. Выведено общее необходимое условие оптимальности квазиособых управлений, из которого в частности, следует аналог условия оптимальности Габасова-Кирилловой.

литература

1. Барышев В.Г., Блюмин С.Л. К управлению системами с многомерными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1977.

№ 4. C. 34-42.

2. Блюмин С.П., Фараджев Р.Г. Линейные клеточные машины: подход пространства состояний // Автоматика и телемехани-

ка. 1982. № 2. C. 125-163.

3. Васильев О.В., Кириллова Ф.М. Об оптимальных процессах в двухпараметрических дискретных системах // Доклады

АН СССР. 1967. Т. 175, № 1. C. 17-19.

4. Гайшун И.В. Многопараметрические системы управления. Минск : Наука и техника, 1996. 199 с.

5. Roesser R.P. A discrete state-space model for linear image processing. // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. V. AC-20, No. 2.

P. 1-10.

6. Kaczorek T. Two-dimensional linear systems. Berlin : Springer-Verlag, 1985. 398 p.

7. Дымков М.П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления. Минск : Изд-во БГЭУ, 2005. 363 с.

8. Мансимов К.Б., Джаббарова А.Я. Необходимые условия оптимальности в одной гибридной системе типа Россера //

Известия НАН Азербайджана. Сер. Физ.-мат. наук. 2014. №. 3. С. 98-104.

9. Джаббарова А.Я., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых управлений в одной задаче управления

гибридными системамитипа Россера // Прикладная математика и вопросы управления. 2018. №3. С. 31-49.

10. Джаббарова А.Я., Мансимов К.Б. Исследование квазиособых управлений в дискретно--непрерывной задаче оптимального управления типа Россера // Вестник Белорусского государственного университета. Сер. физ.-мат. наук. 2004. № 4. С. 13-23.

11. Джаббарова А.Я., Мансимов К.Б. О представлении решений одной дискретно--непрерывной линейной системы типа Россера // Доклады НАН Азербайджана. 2013. № 8. С. 15-18.

12. Кадырова С.Ш. Достаточное условие оптимальности типа Кротова в одной двухпараметрической задаче управления // Вестник Белорусского государственного университета. Сер. физ.-мат. наук. 2016. № 1. С. 77-83.

13. Кадырова С.Ш. Об одной дискретной линейной задаче оптимального управления системами типа Россера // Вестник Белорусского государственного университета. Сер. физ.-мат. наук. 2015. № 4. С. 58-64.

14. Мансимов К.Б., Кадырова С.Ш. Об оптимальности особых смысле принципа максимума Понтрягина управлений в одной задаче оптимального управления системами типа Россера // Математическое и компютерное моделирование. Сер. физ.-мат. наук. 2017. Вып. 16. С. 80-92.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. М., 2011. 272 с.

16. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Либроком, 2013. 256 с.

17. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск : Наука, 1987. 226 с.

18. Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. Баку : ЭЛМ, 1999. 176 с.

19. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса-Дарбу. Баку : ЭЛМ, 2010. 363 с.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности высокого порядка. Минск, 1982. 48 с. (Препринт ИМ АН БССР. № 30 (155)).

21. Кадырова С.Ш., Мансимов К.Б., Масталиев Р.О. Об одном представлении решения линейных разностных уравнений типа Россера // Известия НАН Азербайджана. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 2013. № 3. С. 12-17.

Поступила в редакцию 24 апреля 2019 г.

Gadirova S.Sh., Mansimov K.B. (2019) ABOUT OPTIMALITY QUASI-SINGULAR CONTROLS IN ONE BOUNDARY CONTROL PROBLEM OF ROSSER TYPE DISCRETE SYSTEM. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 49. pp. 4-13

DOI: 10.17223/19988605/49/1

Suppose that controlled discrete process by system of two-dimensional nonlinear difference equations is described

Z (t + 1, x) = f (t, x, Z (t, x), y (t, x)), t = t0,t0 + 1,..., t1 - 1, x = x0, x0 + 1,..., Xj, (1)

y(t,x +1) = g(t,x,z(t,x),y(t,x)), t = t0,t0 + 1,...,tj; x = x0,x0 +1,...,x -1,

and boundary conditions

z (t0,x) = a (x), x = x0,x0 +1,..., x , У (t, xo ) = b (t), t = to,to + 1,...,t1.

Here f (t, x, z, y) (g (t, x, z,y)) - given n (m) -dimensional vector function continuous set of variables together with partial derivatives with respect to (z, y) to second order inclusive, t0, t1, x0, x1 - given, and the difference t1 -10, x1 - x0 - to second order inclusive, b(t) given - m -dimensional discrete vector function, a(x) - n-dimensional vector function that is a solution of an ordinary nonlinear difference equation with delay

a(x +1) = F(x,a(x),a(x -N),u(x)), x = x0,x0 +1,...,x1 -1, (3)

with initial conditions

a(xo -N) = ax0-n,...., a(xo) = ax0, (4)

where F (x, a, c, u) - given n -dimensional vector function continuous over a set of variables together with partial derivatives with respect to (a,c,u) to second order inclusive, a N,..,a4 - given constant vectors, N - given natural number, u(x) -

r -dimensional discrete vector of control actions with values from given non-empty, bounded and convex set U с Rr, i.e.

u(x)eU сRr, xeX = {x0,x0 +1,...,x1 -1} . (5)

On the solutions of problem (1)-(5) generated by all possible admissible controls we define the functional

x-1 t -1

S(u)^^(x1))+ 1 G1 (x,z(i1,x))+ 1 G2(t,y(t,x1)) . (6)

We study the problem of the minimum of the functional (6) with constraints (1)-(5). A necessary condition for the optimality of quasi-singular controls is established.

Keywords: discrete two-parameter system of Rosser type; linearized necessary optimality condition; convex control domain; optimal control; quasi-singular control.

MANSIMOVKamil' Bayramali ogly (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Baku State University, Institute of Control problems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan). E-mail: kamilbmansimov@gmail.com

GADIROVA Sevinj Shamistan gyzy (Institute of Control problems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Azerbaijan). E-mail: nacafova.melahet@mail.com

REFERENCES

1. Baryshev, V.G. & Blyumin, S.L. (1977) To control systems with multidimensional parameters. Avtomatika i telemekhanika -

Automation and Remote Control. 4. pp. 34-42.

2. Blyumin, S.P. & Faradzhev, R.G. (1982) Linear cellular machines: state space approach. Avtomatika i telemekhanika - Automation

and Remote Control. 2. pp. 125-163.

3. Vasilyev, O.V. & Kirillova, F.M. (1967) Ob optimal'nykh protsessakh v dvukhparametricheskikh diskretnykh sistemakh [On optimal

processes in two-parameter discrete systems]. Doklady AN SSSR. 175(1). p. 17-19.

4. Gayshun, I.V. (1996)Mnogoparametricheskie sistemy upravleniya [Multi-parameter control systems]. Minsk: Nauka i tekhnika.

5. Roesser, R.P. (1975) A discrete state-space model for linear image processing. IEEE Transactions on Automatic Control.

AC-20(2). pp. 1-10.

6. Kaczorek, T. (1985) Two-dimensional linear systems. Berlin: Springer-Verlag.

7. Dymkov, M.P. (2005) Ekstremal'nye zadachi v mnogoparametricheskikh sistemakh upravleniya [Extreme problems in multipa-

rameter control systems]. Minsk: BSEU.

8. Mansimov, K.B. & Dzhabbarova, A.Ya. (2014) Neobkhodimye usloviya optimal'nosti v odnoy gibridnoy sisteme tipa Rossera

[Necessary conditions for optimality in a single Rosser hybrid system type]. Izvestiya NANAzerbaydzhana. Ser. Fiz.-mat. nauk. 3. pp. 98-104.

9. Dzhabbarova, A.Ya. & Mansimov, K.B. (2018) Necessary conditions for the optimality of special controls in one control problem

for hybrid systems of the Rosser type. Applied Mathematics and Control. 3. pp. 31-49.

10. Dzhabbarova, A.Ya. & Mansimov, K.B. (2004) ssledovanie kvaziosobykh upravleniy v diskretno-nepreryvnoy zadache opti-mal'nogo upravleniya tipa Rossera [Investigation of quasi-singular controls in a discrete-continuous optimal control problem of Rosser type]. VestnikBelorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. fiz.-mat. nauk. 4. pp. 13-23.

11. Dzhabbarova, A.Ya. & Mansimov, K.B. (2013) O predstavlenii resheniy odnoy diskretno-nepreryvnoy lineynoy sistemy tipa Rossera [Presentation of solutions of one discrete-continuous linear system of Rosser type]. Doklady NAN Azerbaydzhana. 8. pp. 15-18.

12. Kadyrova, S.Sh. (2016) Dostatochnoe uslovie optimal'nosti tipa Krotova v odnoy dvukhparametricheskoy zadache upravleniya [Sufficient condition of optimality of the Krotov type in a single two-parameter control problem]. Vestnik Belorusskogo gosudar-stvennogo universiteta. Ser. fiz.-mat. nauk. 1. pp. 77-83.

13. Kadyrova, S.Sh. (2015) Ob odnoy diskretnoy lineynoy zadache optimal'nogo upravleniya sistemami tipa Rossera [On a discrete linear optimal control problem for Rosser-type systems]. Vestnik Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. fiz.-mat. nauk. 4. pp. 58-64.

14. Mansimov, K.B. & Kadyrova, S.Sh. (2017) Ob optimal'nosti osobykh smysle printsipa maksimuma Pontryagina upravleniy v odnoy zadache optimal'nogo upravleniya sistemami tipa Rossera [On the optimality of the singular sense of the Pontryagin principle of controls in one optimal control problem for Rosser-type systems]. Matematicheskoe i kompyuternoe modelirovanie. Ser. fiz.-mat. nauk. 16. pp. 80-92.

15. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (2011) Printsip maksimuma v teorii optimal'nogo upravleniya [The maximum principle in the theory of optimal control]. Moscow: Nauka.

16. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (2013) Osobye optimal'nye upravleniya [Singular optimal controls]. Moscow: Librokom.

17. Ashchepkov, L.T. (1987) Optimal'noe upravlenie razryvnymi sistemami [Optimal control of discontinuous systems]. Novosibirsk: Nauka.

18. Mansimov, K.B. (1999) Osobye upravleniya v sistemakh s zapazdyvaniem [Singular controls in systems with delay]. Baku: ELM. 179 p.

19. Mansimov, K.B. & Mardanov, M.J. (2010) Qualitative theory of optimal control of Goursat-Darboux systems. Baku: ELM.

20. Gabasov, R., Kirillova, F.M. & Mansimov, K.B. (1982) Neobkhodimye usloviya optimal'nosti vysokogo poryadka [High order necessary conditions for optimality]. Minsk: AS BSSR.

21. Gadirova, S.Sh., Mansimov, K.B. & Mastaliev, R.O. (2013) Ob odnom predstavlenii resheniya lineynykh raznostnykh uravneniy tipa Rossera [On one representation of the solution of linear difference equations of Rosser type]. Izvestiya NAN Azerbaydzhana. Ser. fiz.-tekhn. i mat. nauk. 3. pp. 12-17.