CC BY
42
Zhukovskiy E.S., Munembe J.P. ON PERTURBATIONS OF MULTIVALUED VECTOR COVERING MAPS
For multivalued maps acting in the product of metric spaces, the notion of vector covering is proposed. The vector analogue of the theorem on perturbations of covering maps is obtained. This result is applied to investigate systems of implicit operator inclusions.
Key words: product of metric spaces; vector covering map of metric spaces; differential inclusion; boundary value problem.
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор института математики, физики и информатики, е-mail: [email protected]
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Institute of Mathematics, Physics and Informatics, е-mail: [email protected]
Мунембе Жоао Пауло, Университет имени Эдуардо Мондлане, г.Мапуту, Мозамбик, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и информатики, е-mail: [email protected]
Munembe Joao Paulo, Eduardo Mondlane University, Maputo, Mozambique, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematics and Computer Science Department, е-mail: [email protected]
УДК 517
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
© С.Е. Жуковский, Д.В. Петров
Ключевые слова: задача выпуклого программирования; необходимые условия минимума; принцип наибольшей энтропии.
В работе исследуется задача условной минимизации выпуклого интегрального функционала при линейных ограничениях в пространстве суммируемых функций. Получены необходимые и достаточные условия минимума для рассматриваемой задачи. Приводится пример использования полученного результата для решения задачи максимизации энтропии.
I. Постановка задачи. Пусть задана функция / : М ^ М, натуральное число к, измеримые по Лебегу существенно ограниченные на любом измеримом ограниченном множестве функции фг : М ^ М и числа аг , г = 1, к. Здесь М = М и {-то, +то}. Всюду далее будем предполагать, что
(Е1) функция / является выпуклой замкнутой и собственной, /(р) = +то для любого р < 0, /(0) = 0, т1(ёот(/)) = 0.
Здесь и далее ёот(/) = {р € М : /(р) < то} - эффективное множество функции /. Обозначим через Р множество всех функций р(-) € ^(М) таких, что
^(-)р(-) € ¿1(М) уг =17к (1)
(здесь ^(М) - линейное пространство всех интегрируемых по Лебегу функций р : М ^ М). Кроме того, обозначим через А множество всех функций р(-) € Р таких, что р(х) ^ 0 для почти всех х € М и / (р(-)) € Ь1(М). Рассмотрим экстремальную задачу
У /(р(х))йх ^ ш1п, (2)
к
р(-) € А, у <^(х)р(х)йх = а.г, % = 1,к. (3)
к
Задача заключается в том, чтобы среди всех допустимых, т. е. удовлетворяющих ограничениям (3), функций р(-) € Р, найти ту, для которой интеграл в (2) является наименьшим. Всюду далее мы также будем предполагать, что
(Е2) / принимает и отрицательные и положительные значения.
Определения и свойства используемых здесь понятий выпуклости, замкнусти и собственности функций, эффективного множества и других можно найти, например, в [1]. Можно показать, что сформулированная задача корректно определена, и является задачей выпуклого программирования (см. [2], гл. I, п.2.1). Цель настоящей работы - получить необходимые и достаточные условия минимума в задаче (2)-(3).
II. Основной результат. Приведем необходимые условия минимума для задачи (2)-(3). Здесь и далее мы полагаем, что операция умножения в Я удовлетворяет следующему свойству ■ 0 = 0 ■ (+го) = .
Теорема 1. Пусть выполняются предположения (Е1), (Р2).
1) Если функция Я') € Р является решением задачи (2)-(3), то существует ненулевой набор действительных чисел А = (Ао, А1,..., Ак) такой, что Ао ^ 0
к / к \ Ао/(Ях)) + £ А^(х)Ях) = тт( Ао/(р) + ^ А^(х)р) *х € М. (4)
г=1 ^ г=1 '
2) Если для некоторой допустимой функции р(') € Р существует ненулевой набор действительных чисел А = (А0, А1,..., Ак) такой, что А0 > 0 и выполняется (4), то функция рГ(-) является решением задачи (2)-(3).
Доказательство этого факта существенно опирается на правило множителей Лагранжа для выпуклых задач (см. [2], гл. I, п.2.1).
III. Приложения. Результаты настоящего исследования применимы к решению некоторых задач, которые могут быть сформулированы в терминах теории вероятностей и математической статистики. Поясним сказанное на примере принципа Больцмана (см., например, [3]), утверждающего следующее. Пусть заданы числа й и ц. Среди тех плотностей распределения вероятностей р(-), для которых определена энтропия, математическое ожидание равно ц, дисперсия равна а, свое наибольшее значение энтропия принимает при
Ях) = Т5ЛЗ Ч-т) *х € М
Здесь под плотностью распределения вероятностей понимается функция р(-) € ^(М) такая, что
р(х) ^ 0 * х € М, / р(х) йх = 1;
математическое ожидание M(p) , дисперсия D(p) и энтропия E(p) определяются формулами
M(p)=/ xp(x) <fa, ОД = /(ж - M(p))2p(x) E(p) = — / p(x) ln(p(x))
R R R
Выведем принцип Больцмана из теоремы 1. Для этого положим
{p ln(p), при p > 0,
0, при p = 0, а = 1, а2 = = d,
при p < 0,
^i(x) = 1, ^>2(ж) = ж, ^>3(ж) = (ж — Vx € R.
Очевидно, что функция p5(-), являющаяся решением задачи (2)—(3), в приведенных предположениях является плотностью распределения вероятностей, математическое ожидание равно ^, дисперсия равна d, и энтропия максимальна. Кроме того, несложно видеть, что все приведенные функции удовлетворяют предположениям теоремы 1.
Применяя часть 1 теоремы 1, получаем, что минимум в равенстве (4) достигается при
p(x) = exp(—Ао — А1 — А2ж — А3(ж — ^)2) V ж € R
и Ао > 0. Положим Ао = 1. Из соотношений
/йж) = 1' M(p) =D(p) =d
R
следует, что
А1 = — 1, А2 = 0, Аз = 2d-
Таким образом, единственной подозрительной на экстремум является функция
Яж) = VS exp(—т) vж € R
Поскольку Ао > 0, то в силу части 2 теоремы 1 эта функция является решением задачи (2)—(3). Следовательно, энтропия на ней максимальна.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М.: Физматлит, 2014.
2. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. М.: Едиториал УРСС, 2003.
3. Веденяпин В.В., Аджиев С.З. Энтропия по Больцману и Пуанкаре // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69. № 6 (420). С. 45-80.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках в рамках реализации государственного задания министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности (код проекта 1.333.2014/К), при поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект № MK-5333.2015.1.) и гранта РФФИ (проект № 14-01-31185).
Поступила в редакцию 26 мая 2015 г. Zhukovskiy S.E., Petrov D.V. ON A CONVEX PROGRAMMING PROBLEM
A problem of a certain type convex functional minimization under linear constraints in a space of Lebesgue integrable functions is considered. Necessary and sufficient optimality conditions for this problem are obtained. As an application, the principle of maximum entropy is derived from the main result.
Key words: convex programming; necessary minimum conditions; principle of maximum entropy.
Жуковский Сергей Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Zhukovskiy Sergey Evgenyevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected].
Петров Данил Вадимович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, студент, e-mail: [email protected]
Petrov Danil Vadimovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Student, e-mail: [email protected]
УДК 517+512
О ВЫПУКЛОСТИ ОБРАЗОВ КВАДРАТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© С.Е. Жуковский, Р. Сенгупта
Ключевые слова: квадратичное отображение; выпуклый конус.
В работе обсуждается вопрос о выпуклости образа выпуклого замкнутого конуса при квадратичном отображении. Получены условия, при которых сужение квадратичного отображения на выпуклый замкнутый конус сюръективно.
В настоящей работе исследуются квадратичные отображения конечномерных пространств. Напомним, что отображение Q : Мп ^ Мк называется квадратичным, если существуют симметрические матрицы Ql, ...^к размерности п х п такие, что
/ \
Q(x) = . *х € Мп.
\ ^кх, х) )
Некоторые результаты о свойствах квадратичных отображений приведены в [1, 2].
Наряду с квадратичным отображением Q мы будем рассматривать билинейное симметричное отображение
(ж, u)
/ (Qix,u) \
\ (Qkx,u) /
V (ж, u) € Rn х Rn
значения которого будем обозначать через Q[x,u]. Будем говорить, что множество К С С Мп называется конусом, если ¿К = К для любого положительного ¿. Обозначим через Q(K) образ произвольного множества К при отображении отображения Q. Достаточно очевидно, что если множество К является конусом, то и Q(K) является конусом.
