Об одной задаче управления переменной структурой с дробными производными Капуто Текст научной статьи по специальности «Математика»

_ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_

2024 • Математика. Механика. Информатика* Вып. 2(65)

«Математика»

Научная статья УДК 517.977.56

DOI: 10.17072/1993-0550-2024-2-5-16

Об одной задаче управления переменной структурой с дробными производными Капуто

Жаля Билал кызы Ахмедова

Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджан Институт Систем управления НАН Азербайджана, г. Баку, Азербайджан [email protected]

Аннотация. Рассматривается задача оптимального управления с переменной структурой, описываемая в различных отрезках времени различными обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями дробного порядка. Применяя аналог метода приращений, доказано необходимое условие оптимальности первого порядка. В случае выпуклости областей управления доказано линеаризованное условие максимума, а при открытости областей управления получен аналог уравнения Эйлера.

Ключевые слова: задача оптимального управления; функционал качества; функция Гамильтона-Понтрягина; аналог принципа максимума Л.С. Понтрягина; необходимое условие оптимальности; допустимое управление, линеаризованное условие максимума, аналог уравнения Эйлера

Для цитирования: Ахмедова Ж.Б. Об одной задаче управления переменной структурой с дробными производными Капуто // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2024. Вып. 2(65). С. 5-16. DOI: 10.17072/1993-0550-2024-2-5-16.

Статья поступила в редакцию 08.04.2024; одобрена после рецензирования 25.05.2024; принята к публикации 11.06.2024.

«Mathematics»

Research article

On one Control Problem of a Variable Structure With Fractional Caputo Derivatives

Zhalya B. Ahmedova

Baku State University, Baku, Azerbaijan

Institute of control system of the National academy of sciences of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan [email protected]

Abstract. We consider an optimal control problem with a variable structure, described in different time intervals by various ordinary nonlinear fractional differential equations. Using an analogue of the incremental method, a necessary condition for first-order optimality is proved. In the case of convex control domains, a linearized maximum condition is proved, and in the case of open control domains, an analogue of the Euler equation is obtained.

Keywords: optimal control problem; quality functionality; Hamilton-Pontryagin function; analogue of the maximum principle of L.S. Pontryagin; necessary condition for optimality; admissible control, linearized maximum condition, analogue of Euler's equation

For citation: Ahmedova, Zh. B. (2024), "On one Control Problem of a Variable Structure With Fractional Caputo Derivatives", Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, no. 2(65), pp. 5-16. DOI: 10.17072/1993-0550-2024-2-5-16.

Эта работа О 2024 Ахмедова Ж.Б. распространяется под лицензией СС В У 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/

The article was submitted 08.04.2024; approved after reviewing 25.05.2024; accepted for publication 11.06.2024.

Введение

Задачи оптимального управления, описываемые различными дифференциальными, интегро-дифференциальными уравнениями с переменной структурой, или же задачи оптимального управления многоэтапными процессами или же задачи оптимального управления, описываемые различными дифференциальными, интегро-дифференциальными уравнениями постоянной структурой, широко исследованы. В этом направлении можно отметить работы [1-4].

В работе [5] рассмотрена одна задача оптимального управления с переменной структурой, но многоточечным функционалом качества. При различных предположениях на параметры рассматриваемой задачи доказаны аналоги принципа максимума Л.С. Понтрягина, линеаризованного условия максимума и аналог уравнения Эйлера.

Многочисленные свойства дробных операторов вызвали в последние годы большой интерес к дробному исчислению, а также к широкому кругу приложений, связанных моделированием областей подобных физических проблем. В последние годы особенно широко применяются дробные производные Римана-Лиувилля и Капуто. Простота применения этих производных привлекла внимание многих ученых. К настоящему времени задачи оптимального управления, описываемые различными дифференциальными уравнениями с дробными производными, интенсивно исследуются (см. например, [6, 7]).

В работах, например [6-9], изучены различные задачи оптимального управления, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с дробными производными.

В работе [10] исследована задача оптимального управления, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто, где функционал качества является многоточечным функционалом. Установлен аналог принципа максимума Понтрягина.

В предлагаемой работе рассмотрена дробная задача оптимального управления с переменной структурой, описываемой двумя системами дифференциальных уравнений.

Получен аналог принципа максимума Понтрягина.

В случае выпуклых областей управления доказан линеаризованный принцип максимума, а в случае открытости областей управления получен аналог уравнения Эйлера.

1. Постановка задачи

Пусть управляемый процесс описывается системой нелинейных уравнений:

tcoD?x = f(t, х, и), tETi = [to, hi (1)

cD?y = g(t, y, v), tET2 = [h, t2] (2)

с начальными условиями

x(Po) = xo,

y(tt) = G(x(t1)),

(3)

(4)

где

tCD?x(0 =

Г(п

1 Г х

—a) J О -

(п)(т)

г)

1+а-п

dr,

п = [а] + 1,а Е R+

левая дробная производная Капуто [9, 11, 12].

Здесь а £ [0,1], х = (х1,х2,...,хп)' и у = (у1,у2, —,Ут)' — состояния управляемого объекта, х(Ь) £ Сп([Ь0,11]),у(1) £ Сп([11,12]),

Хо — заданный постоянный вектор,

/(Ь, х, и) ((да, Х,у)))— заданная п (т)-

мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по х (у), С(х) - заданная непрерывно-дифференцируемая га-мерная вектор-функция, и(Ь) и у(ь) - соответственно г и д-мерные кусочно-непрерывные (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор-функции, управляющих воздействий, принимающие свои значения из заданных непустых и ограниченных множеств и и V, т.е.

и(0 £и с Яг,1£ Тъ р(0 £У с №,1 £Т2. (5)

Требуется минимизировать следующий функционал качества:

](и,У) = Ф1(х(11)) + <Р2(у(Ь2)), (6)

определенный на решениях задачи (1)-(4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями.

t

t

о

Здесь (х) и ф2 (у) — заданные непрерывно-дифференцируемые скалярные функции.

Пару (и°(Ь),у°(Ь)), удовлетворяющую вышеприведенным свойствам, назовем допустимым управлением.

2. Вычисление приращения функционала качества

Пусть (и°^),у°^),х0^),у0(1:)) - некоторый фиксированный, а (й(£) = и°(Ь) + Аи(Ь),$(Ь) = у°(ь) + ау&), х(ъ) = х°(Ъ) + Лх(Ь),у(1) = у°(£) + Лу(Ь)^ — произвольный допустимые процессы.

Тогда приращение функционала качества записывается следующим образом: Л](и°,у°) = ](й,х>) — ]{и°, V0) = = [ф1(х(Ь)) — ф1(х0(11))] +

+ [(Р2(уа2)) — (Р2(у0а2))1 (7) Ясно, что (Ах(Ь), Ау(Ь)) является решением следующей задачи:

£о?&хю = г(ь,т,йЮ) —

-г(1,х°(1),и0т (8)

— I

Ах(г0) = о,

^Ау(ь) = д(ь,у(ь),-0(ь)) — —д(ь,у0(ь),*0(ь)),

Ау(11) = С(х(11)) — С(х°(11)).

(9)

(10) (11)

Пусть ^(0 и р(Ь) пока произвольные п и га-мерные, соответственно, вектор-функции.

Умножая обе стороны уравнений (8) и (10) скалярно на "ф(Ь) и р(Ь), соответственно, и интегрируя обе стороны полученных соотношений по £ от до и от до Ь2 соответственно, введя аналоги функции Гамильтона-Понтрягина следующим образом:

Н(Ь, х, и, тр) = х, и),

М(Ь,у,р,р) = р' д(Ь,у,у),

далее, применяя формулу интегрирования по частям для интегралов Римана-Лиувилля [8, 9], а также учитывая условие (9), получим

I

У(1)?р?Ах(1)<11 =

= I СгО?1ф'(1)Ах(1)с11 +

+^-аф(1)Ах(1)\11 =

= I (*0?1хр'(1)Ахт1 +

+^~аИк)Ах(11) + ¿¡~а№о)Ах(1о) = = I СгО?1ф'(1)Ах(1)сИ + +^а№1)Ах(Ь1) =

= I [н(ь,х(ь),и(ь),ф(ь)) —

—Н(1,х0(1),и0(1),-ф(1))]М. (12)

Аналогично получим t2

I р'(Ь)£0?Ау(Ь)<1Ь =

2

= !

сО?У(1)Ау(1)М +

+ Л~аР^2)Ау(12) + ¿1~ар(11)Ау(11) =

2

= !

сО?У(1)Ау(1)М +

+ ^КаР'(Ь)Ау(Ь2) + +Л2-ар'(11)[с(х(11)) — С(х°(11))] =

{2

= I [м(1,т,т,р(о) —

М(1,у0(1),у°(1),р(1)]<И. (13)

С учетом (12), (13) из формулы приращения (7) получим, что

А](и,у) = [^(х^)) — ^(х0^))] + + [<Р2(У&2))—<Р2(У°&2))] +

+ I СгО?1ф'(1)Ах(1)с11 + +Лга№1)Ах(ь) —

I [н(ь,х(ь),й(ь),ф(ь))

Н(Ь, х°(Ь), и°(Ь), тр(Ь))]М +

+ I №у(Ь)АуШЬ

+

+Л:ар'(£2)Ау(Ь2) +

с

1

г

1

г

1

с

1

г

с

с

0

С

1

г

г

0

+л2~ар'(ь)[с(т)) — с(х%11))] — I [м(с,у(о,т,р(о) —

—м(1,у0(0,р0(0,р(0)]м.

(14)

Используя формулу Тейлора, получим, что

<р1(х(Ь)) — <р(х°(Ь)) = = (р'х(х0(Ь1))Ьх(Ь1) + о^ЦАх^Ц), (15)

^(9^)) — <Р2(У°&2)) = = <Ру(у°а2))АУ(12) + 02(ЦАУ(12)Ц) (16)

н(ь,х(ь),й(ь),^(ь))

—н(1,х0(0,и0(0,^(0)= = Н(ь,х(Ь),й(Ь),$(Ь)) — —Н(ь, х0(Ь), и(Ь), $(Ь)) + +н(ь, х0(Ь), и(Ь), $(Ь)) — —Н(ь, х0(Ь), и0(Ь), 'ф(Ь)') = = Н'(ь, х0(Ь), й(Ь), ^(ьУ)Ах(Ь) + +Оз(||Дх(0Ц) + Н(1, х0(1), ВД, №)) —н(ь,х°(ь),и°(ь),ф(0) = = Н&,х0(0,и(0,ф(0)Ах(0 + +Н&,х0(0,и0(0,ф(0)Ьх(0 — —н^,х0(0,и0(0,ф(0)ьх(0 + +н(ьх0(0,и(0,ф(0) — —н(1,х0(0,и0(0,^(0) +

+Оз(ЦАхт),

(17)

м(1,у(0,р(0,р(0) —

—м(1,у0(0,р0(0,р(0) = = м(1,у(0,р(0,р(0) + —М(1,у0(ь),у(1),р(1)) + +М(ь,у0(ь),^(ь),р(ь)) — —М(ь,у0(1), р0(Ь),р(Ь)) = = М'(1,у0(1),т,ра))Ау(1) + +о4(ЦАут) + +м(г,у0(1),у(1),р(1)) — —М(ь,у0(1), р0(Ь),р(Ь)) = = М'(1,у0(1),т,ра))Ау(1) + +М!у(1,у0(1),р0(1),р(1))Ау(1) — —М'у{1,у0(1),р0(1),р(1))Ау(1) + +М(ь,у0(ь), у(Ь),р(Ь)) — —м(ь, у0(Ь), Р0(Ь), р(Ь)) +

О4(||Ау(0||). (18)

Здесь ||а|| норма вектора а = (а1,а2, ...,ап)', определяемая формулой ||а|| =

Х]^«^, а о(а), есть величина более высокого

°(а) п п

порядка чем а, т. е. —--> 0 при а ^ 0.

Тогда формулу приращения (14) можно записать как

А](и,у) = <р'х(х0(11))Ах(11) + +<Ру(у0«2))Ау&2) + 01(||Ах(£1)||) +

I

+02(ЦАу(12)Ц) + I сМ'(С)Ах(0М +

+Ж1ГаМ*1)Ах(*1)

— I Н^(ь,х0(Ь),и0(Ь),ф(Ь))Ах(Ь)йЬ — — I [Н(ь, х0(Ь), и(Ь), 'ф(Ь)) —

I [нх(ь,х0(ь),й(ь),ф(ь))

—Нх(ь,х0(€),и0(€),-ф(€))] Ах(ь)аь —

— I оз(ЦАх(т)<Н + + I сЛа2р'(0Ау(0М +

+АгаР'(Ь)Ау(*2) +

+Лгар'(*1)Кт)) — о(х°(Ь1))]

— I [м(1,у°(1),т,р(1)) —

—м(ь,у0(ь)^0(ь),р(ь))]аь — — I М^(ь,у0(1), V0(Ь),р(Ь)^)Ау(Ь)& —

I о4(ЦАУ(т)м—

— I [му(ьу°(о,т,р(о) —

—Му(1,у0(1),р0(1),р(1))]'Ау(1)сИ. (19) Ведем обозначение:

Ы(р(11),х) = р'(11)С(х).

г

0

£

и

С

г

1

г

1

Используя формулу Тейлора, имеем

Ы(р(11),х(11)) — Ы(р(11),х°(11)) = = N¿1р(Ь1),х0(Ь1))Ах(Ь1) + о5(||АХ(£1)||).

Предположим, что векторы функций и р(Ь) являются решениями следующей системы уравнений:

^>(0 = —Нх(Ьх0(0,и°Ю,Ш),(20) ¿Ка№1) = —фх(х(Ь)) +

+Ы'(р(11),х0(11)), (21)

№2ра) = —Му(1,у°(1),р°(1),р(1)),(22)

¿¡ГаР&2) = —<РУ(У(Ь)). (23)

Задачу (20)-(23) назовем сопряженной системой для рассматриваемой задачи.

Учитывая систему (20)-(23) из (19), получим, что

1

А](и,у) = — I [Н(^х°(0,й(0,-ф(0) —

Н(Ьх°(0,и°(0,ф(0)]М

— /

1 [м(ьУ°ю,т,р(*))

1

1

— I [нх(с,х°(0,и(0,ф(0)

0

—нх(^х°(0,и°(0,-ф(0)]' Ах(ь)аь —

2

— I [му(1,у°(о,т,р(о) —

1

—Му( Ьу°(0,у°(0,р(0)]'Ау&)Ж +

+01(ЦАх(11)11) + 02(11Ау(12)Ц) —

1 2

— I о3(ЦАх(ОЦ)М—I о4(ЦАу(т)сИ —

0 1

—о5(ЦАх(11)Ц).

Введем обозначения

АиН[1,ф]= Н(ь,х(Ь),й(Ь),ф(Ь))

--Н(ь,х(Ь),и(Ь),$(Ь)),

АиМ[1,р] = М(1,у(1),р(1),р(1)) — —М(1,у(1),р(1),р(1)).

Тогда приращение функционала качества может быть представлено в виде

](и( 0 + Аи( 0, р(0 + ар(0) —

—] (и( о, КО) =

1 2

= — |AuHlt,Ч,],it—|AíM[t.m +

0 1 +]1(Аи,Ау) + ]2(Аи,Ар). (24)

Здесь ]1(Аи,Ар) и ]2(Аи,Ар) остаток формулы приращения, т.е.

1

у1(Аи,Ар) = — I [Нх(Ьх°Ю,й&),^)) —

0

—нх( ьх°(0,и°(0,ф(0)]' Ах(ь)аь +

1

+01(||А*а1)||) — I Оз(ЦАх(т)сН,

0

]2(Аи,Ар) =

2

= — I [мУ( ^у°ю,т,рю) —

1

—Му( 1,у°(1),у°(1),р(1))]' Ау(Ь)йЬ +

2

+02(ЦАу(12)Ц)— I 04(ЦАу(т)сИ

1

—о5(ЦАх(11)Ц).

Пусть Аи(О Ф 0, Ар(О = 0. Тогда по-

лучим

сО?Ах(1) = Г(1,х(1),т) —

—Г(1,х°(0,и°(0),

Ах( Ь°) = 0,

(25)

(26)

^ау(1) = д(ь,т,т) —

—д( 1,У°(1),У°(1)), (27)

Ау(^) = С(х(^)) — С(х°(Ь1)). (28) Отсюда следует, что 1

Ах(0 = -— х Г(а)

/(т,х(т),И(т)) — /(т,х°(т),и°(т))

( — )

XI

0

= ~г&j|(1 — т)а-1 [г(т,т,вд) —

0

—¡(т,х°(т),й(т)) + +¡(т, х° (т), й(т)~)—f(y, Х° (т), и° (т))] йт =

= г&j|(1 — т)а-1 [г(т,т,вд) —

2

t

-f(T,X0(T),U(T))]dT + j^ J (t-T)a

X

X

Auf{r,x0(T),u0(T))dT, (29)

X

L

J

Ay(t) X

Г(а)

д(т,у(т),у(т)) - д(т,у0(т),у0(т))

(t - т)1-а ti

+G(x(ti)) - G(x0(ti)) = t

= r&)J (1-т)а-1[Ф,У(т),v(t))-

ti

-g(^,y0(T),v(T)) +

dr

l|A*(t)ll<

1

Г(а)

J(

(t - т)а-1 X

X \\f(r, х(т), u(t)) - f(r, x(t), u(t))\\dr + t

+ Г&) J(t-T)a-1\\^uf(T,x(T),u(T))\\dT

to

t

<L1j^J(t-Tr-1llAx(T)lldT +

to

t

+ThJ(t-*r'1X

X \\A^/(T, х(т), u(T))\\dT,

(31)

где L1 = const > 0 некоторая постоянная. А из(30) получаем, что

t

llAy(t)ll < Ltj^ J(t-Tr-1UAy(T)lldT

+

+

i

Ha)J

(t-т)

a-1

X

X \\A^g(T,y0(T),v0(z))\\dT +

+L3UAx(t1)ll, (32)

где L,2,L3 = const > 0 некоторые постоянные. Применяя к неравенству (31) аналог леммы Гронуолла-Беллмана [13], приходим к оценке

llAx(t)U<L4

T(a)J(t-

r)

a-1

X

X\\Auf{r,x(T),u(T))\\dT. (33) Аналогично из (32) получим

llAy(t)ll <

+д(т, у0 СО, й(т)) —д(т, у0 СО, V0 (т))]dт +

+С(х(^)) — С(х0(^)) = г

= г&)I (1 — т)аг1Ыт,у(т),т) —

—д(-г,у0(-г),й(т))^т +

г

+ Г&) Iа — *)аг1Ауд(т,У0(т),к°(т)Ут

+С(х(^)) — С(х0(^)). (30)

Так как, в силу сделанных предположений, функция f(t,х,и) удовлетворяет условию Липщица по х, то, переходя к норме в (29), получаем, что

<U

hJ(t-

тГ-1[ЦАу(т)Ц +

Г (а)

ti

+ UAv(r)ll]dT + ЦАх(Ь)Ц], (34)

где L4,L5 = const > 0 некоторые постоянные.

Теперь пусть Au(t) = 0, а Av(t) Ф 0. При этом получим, что Ax(t) = 0, а Ay(t) является решением задачи

tcD?Ay(t) = g(t,y(t),v(t)) -

-g(t,y(t),v(t)), (35)

Ay(h) = 0. (36)

По аналогии с доказательством оценки (34) доказывается справедливость оценки

llAy(t)ll <

t

<L6j^J(t-Tr-1llAvg[T]lldT (37)

ti

где L6 = const > 0 некоторая постоянная.

3. Основной результат

Пусть в Е [to, t-1) произвольная точка непрерывности управляющей функции u(t), w1 Е U - произвольный вектор, а s > 0 произвольное достаточно малое число, такое, что 6 + e<t1 .

Специальное приращение управляющей функции u(t) определим по формуле

Au(t; s) = (W1 - u(t), t Е [в,в + Е), {0, t Е Т1\ [в,в + £). ( )

Пусть (Ax(t; е), Ay(t; г)) - специальное приращение траектории, отвечающее специальному приращению (38) управляющей функции u(t).

1

t

t

o

i

t

t

o

t

o

t

i

=С

Тогда из оценок (33), (34) следует, что

||Дх( t;£)|| <L7E,teT1, \\Ay(t;£)\\<L8£,tET2, (39) где L7,L8 = const некоторые положительные постоянные.

Принимая во внимание формулу (38) и оценки (39), из формулы приращения (24) получаем, что

J (и(t) + Au(t; s), v(t)) — j(u(t), v(t)) =

= sAWiH[e,^] + o(£). (40)

Теперь специальное приращение управляющей функции v(t) определим по формуле

Av(t;i) = \W2-v(t), te[f,f + i), {0, teT2\tfJ + i). ( )

Здесь W2 e V — произвольный вектор, ^ e [t-i, t^) произвольная точка непрерывности управляющей функции v(t), а i > 0 произвольное достаточно малое число, такое, что t + i<t2-

Ясно, что в этом случае специальное приращение Ax(t; i) траектории x(t) равно нулю, а для Ay(t;i), т.е. для специального приращения траектории y( ), отвечающее приращению (41) в силу оценки (37) имеет место оценка

\lAy(t;i)l\<L9£,teT2, (42)

где L9 = const > 0 некоторая постоянная.

Учитывая формулу (41) и оценку (42), из формулы приращения (24) получаем, что

] (и( t),v(t) + Av(t;i)) —j(u(t),v(t)) =

= —iAw2Mtf,p]+o(i). (43)

Из разложений (40), (43) следует

Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления (и(t),v(t)) необходимо, чтобы соотношения

max H(9,x(9),wi,^(9)) = w1eu v J

= Н(в,х(в),и(в),ф(в)),

maxM(%,y(0,W2,p(0) = 2= M(f,y(0,v(0,p(0)

выполнялись для всех в e [t0, t1) и ^ e [t1, t^) соответственно.

Теперь предположим, что множества U, V выпуклы, а f(t, x, u), g(t, y, v) имеют непрерывные производные также по u, v соответственно.

Здесь и в дальнейшем мы используем следующие обозначения:

dH[t,\p] _ dH(t,x(t),u(t),^(t))

du du

dM[t,p] dM(t,y(t),v(t),p(t))

dv

dv

Тогда, по аналогии с доказательством формулы приращения (24), доказывается, что

J (и, v) — J(u, v) =

"1

= — f

to

2

= — f

dH[t,ф] du

Au(t)dt + y3(Au,Av), (44)

J (u, v) — J(u, v) = dM[t,p]

dv

Av(t) dt + y4(Au,Av). (45)

Здесь ]3(Аи,Ар) и ]4(Аи,Ар) являются остаточными членами формулы приращения функционала, т.е.

]3(Аи,Ар) =

1

= — I [Нх(Ь,х°(Ь),й(Ь),ф(Ь)) —

0

—Нх( 1,х°(1),и°(1),ф(1))]' Ах(ь)аь +

1

+01(||Ах(£1)||)— I Оз(ЦАх(т)сИ,

0

]4(Аи,Ау) =

2

= — I [щ( 1,у°(о,т,р(о) — +

1

—Му( Ь,у°(Ь)^°(Ь),р(Ь)У[Ау(Ь)<1Ь +

2

(1|Ау(С2)||) — I 04(ЦАу(т)сИ —

1

—о5(ЦАх(^)Ц).

+ o

Далее из оценок (31) и (32) получаем,

что

\\Ax(t)U<Lw I \Au(t)\dt,

1 f1

WAym < Li- f \Av(t)\dt,

(46)

J11 I uAv[

o

где Li = const > 0,i = 10,11 некоторые постоянные.

1

o

А из оценки (37) получаем, что

tz

WAyWW < L12 ¡Wbvmdt, (47)

где = const > 0 — некоторая постоянная.

Пусть w1(t) Е U — произвольная допустимая управляющая функция, а £ Е [0,1]-произвольное число.

Тогда специальное приращение управляющей функции u(t) можно определить по формуле

Au(t; £) = £[w1(t) — u(t)], t Е T1. (48)

Через (Ax(t;£),Ay(t;£)) обозначим специальное приращение траектории (x(t),y(t)), отвечающее специальному приращению (48) управляющей функции u(t).

Тогда, учитывая оценки (46) и формулу (44) из частичной формулы приращения, получаем, что

](u(t) + Au(t; £), v(t)) — J(u(t), v(t)) =

=-I

дН[Ь,ф] ди

[w1(t) — u(t)]dt +

+o(£). (49)

dv

+o(^).

(50)

I

to

I

dH[t,\p] du

dM[t,p] dv

[w1(t) — u(t)]dt < 0,

[w2(t) — v(t)]dt < 0

выполнялись для всех w1 (Ь) 6 иЕ Тг и 6Т2 соответственно.

Предположим, что множества и и V являются открытыми множествами.

В этом случае, используя формулы приращения (44) и (45), в случае открытости областей управления и и V получается аналог уравнения Эйлера, а также аналог условия Лежандра-Клебша.

Для этого вычислим первую вариацию функционала качества.

Пусть £ достаточно малое по абсолютной величине число, а 8и^) Е Яг, I ЕТ1 произвольная г-мерная дискретная и ограниченная вектор-функция (вариация управляющей функции иЮ). Специальное приращение управляющих функций иЮ и р^) определим по формуле

Если специальное приращение Ар(^)рС) допустимой управляющей функции р^) определим по формуле

арц;^) = ^2(0 -

где ^ Е [0,1] произвольное число, а Е V

произвольная допустимая управляющая функция, то, учитывая также оценку (47) из формулы приращения (45), получаем, что

;(и(0,К0 + ар^;1л)) -^иЮМО) =

Г дМ[Ь,р] = -V ! И (О - +

(Au(t; £) = sSu(t), { Av(t; е) = 0.

(51)

Далее из формул (9), (11) получим, что Ax(t) =

L

Г(о)1

/х(т,х°(т),и°(т))Ах(т)

(t — r)

1-а

+

+

Ги(т,х0(т),и0(т))Аи(т)

+

(t — т)1-а t

1

dr +

Г (а)

I(

(t — т)а-1 х

С помощью разложений (49) и (50) доказывается

Теорема 2 (линеаризованный принцип максимума).

Если множества и и V открыты, а вектор-функции [^,х,и) и д^,у,р) непрерывно-дифференцируемы по (х,и) и (у,у) соответственно, то для оптимальности допустимого управления (иЮ, необходимо, чтобы соотношения

+

х о6([\\Ах(т)\\ + \\Аи(т)\\] )dz, (52)

Ay(t) = = Gx(x°(ti))Ax(ti) 1 fgy(t,T,y0(T),v°(T))Ay(T)

I

Г (a) J (t — r)1-a

ti

dr +

+

Г (a)

I(t — Ty-1o7(\\Ay(T)\\)dT +

+o8(\Hx(ti)\\).

(53)

t

i

t

i

t

o

t

o

t

o

t

i

t

1

t

i

Через (Ах(Ь; £),Ау(Ь; £)) обозначим специальное приращение траектории (х( Ь),у(Ь)), отвечающее специальному приращению (51), и определим их следующим образом:

Ахе(0 = £8х(0 + о(е; 0, (54) ДУе(Ь) = еЗу(Ь) + о(е; Ь). (55) Здесь 8х(Ь) и 8у(Ь) вариации траекторий (см., например, [14]), которые являются решениями, соответственно, следующих задач,

£ 8х( 0 + 0(6,0 =

Г (а)

I

Ъ(т,х°(т),и°(т))Ах(т)

+

(£ — т)1-а 0

Ги(т,х°(т),и°(т))Аи(т)

+

+

(£ — т)1-а — ^ I — т)а-1

йт +

Г( а)

х

+

хо6([|Их(т)|| + ЦАи(т)Ц])с1т + 0(Е,Ь), еЗу(0 + о(е, 0 = еСх(х°(11))5х(11) + £ Г ду(1,т,у0(т),р°(т))Ау(т)

Г( а)

( — )

1-а

йт +

+

Г( а)

I«-

тГ-1о7(ЦАу(т)Ц)с1т +

1

+о8(ЦАх(11)Ц) + о(£, Ь).

Разделив обе стороны этих соотношений на о (е, Ь) и переходя к пределу при £ ^ 0 получим, что вектор-функции 8х(Ь) и 8у(Ь) удовлетворяют соответственно соотношениям

их(т,х°(т),и°(т))8х(т)

8х(Ь)

Г (а) |

( — )

1-а

■ +

+

Ги(т,х°(т),и°(т))8и(т)

1-а

( — ) 8у(£) =

йт, (56)

= Г(а)|

ду(1,т,у0(т),у°(т))8у(т) (£ — т)1-а

+Сх(х0(Ь1))8х(Ь1).

йт +

(57)

&?8х(1) = Гх(1,х0(1),и0(фх(1) +

+¡и( 1,х°(1),ио(0)8и(1), (58)

8х(1°) = 0. (59)

&?8у(1) = Сх(х0(Ь1))8х(Ь1) +

+ду( 1,т,у0(т),у°(т))8у(т), (60)

8у(^) = С(х(^)) — С(х°(Ь1)). (61)

Уравнения (56) и (57) и задачи Коши (58)-(59) и (60)-(61) называются уравнениями в вариациях для рассматриваемой задачи.

А теперь, используя разложения (54) и (55) из формулы приращения (24), получим, что

](и0(Ь) + £8и(0,у°(1)) —](и°(1),у°(1)) = = — £ I Н'и(ь,х0(ь),и0(ь),-ф0(ь))8и(ь)(И +

+о(£). (62)

А теперь специальное приращение допустимого управления (и°(Ь),у°(Ь)') определим по формуле

(Аи(1;^) = 0,

[ар( Ь;ц)= ^(Ь),Ь6Т2. ( )

Здесь у — достаточно малое по абсолютной величине число, а 8^(0 6 К4, Ь 6Т2 произвольная ^-мерная дискретная и ограниченная вектор-функция (вариация управляющей функции р( £)).

Далее через (ах^( 1),Ау11(Ь)) обозначим специальное приращение траектории (х°(Ь),у°(Ь)'), отвечающее специальному приращению (63) допустимого управления

(и°а),у°а)).

Ясно, что в этом случае Ах^(1) = 0, а специальное приращение Ау^(Ь) траектории у0(£) удовлетворяет равенству

ДуЛО =

х

Из интегральных уравнений (56) и (57) получаем, что 8х(Ь) и 8у(Ь) является решением следующих линейных неоднородных дифференциальных систем уравнений дробного порядка:

Г( а)

X I (1 — 5)а-1[ду(1,5,у0(5),Р0(5))Лу^(5) + +ду( I, Я, у0 (б), Р0^))^^; у.)](15 + о(£; у).

Используя выше использованные рассуждения, имеем

Ауц(0 = ц8г(0 + о(Ь ц), (64) где 8 ( ) является решением следующего вариационного уравнения:

1

8г(£) =—- х Г( а)

0

1

0

1

1

X I (I - 5Г-1[ду(1,5,у°(5),Р°(5))8У1,(5) +

(65)

Используя формулы (64), (65) из формулы приращения функционала (24) получим

1(и(1),р(1) + Ар(1;1л)) -](и(1),у(1)) =

= -ц I М^({,у0({),р0({),р0({))£р({)М +

+о(/л). (66)

Из разложений (62), (66) следует, что первые вариации функционала качества (6) имеют соответственно вид

81](и°, V0; 8и) =

= -1 1Н^(1,х0(1),и0(1),хр0(1))3:

5и(1)М,(67)

81](и°, V0, 8Р) =

I у0(1), у0(1), р0(фу(1)сИ. (68)

1Л1

Учитывая основной результат вариационного исчисления (см., например, [14, 15]), получаем, что для оптимальности допустимого управления (и1(1),и2(1)) в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы соотношения

81](и, V; 8и) = 0, (69)

81](и, V; 5р) = 0, (70)

выполнялись для всех 8и и 8у соответственно.

Тождества (69) и (70) являются неявными необходимыми условиями оптимальности первого порядка.

Используя произвольность 8и и 8у, из тождеств (69) и (70), получаем справедливость условия оптимальности первого порядка, типа аналога уравнения Эйлера [14, 15].

Теорема 3 (аналог уравнения Эйлера). Если множества и и V открыты, то для оптимальности допустимого управления (и(Ь), у(Ь)') необходимо, чтобы соотношения дН[в,\р]

ди дМ[%,р]

др

= 0,

= 0,

(71)

(72)

выполнялись для всех 9 Е [£0, Ь-) и ^ Е [Ь-, Ь2) соответственно.

Каждое допустимое управление, которое является решением уравнения Эйлера, называется классической экстремалью. Как

видно уравнения Эйлера (71)-(72), конструктивно проверяемые необходимые условия оптимальности при сделанных предположениях и являются необходимым условием оптимальности первого порядка.

Заключение

В статье рассматривается одна двухэтап-ная (с переменной структурой) задача оптимального управления, описываемая в различных отрезках времени различными обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями дробным производным Капуто.

С помощью модифицированного варианта метода приращений, в рассматриваемой задаче построена формула приращения первого порядка минимизируемого функционала, учитывающа я его особенности и с помощью специальной вариации управления (и0(£)^°(£)) вычислена его первая вариация и, используя ее, доказано необходимое условие оптимальности первого порядка.

В случае выпуклости областей управления для рассматриваемой задачи управления доказано линеаризованное условие максимума, а при открытости областей управления получен аналог уравнения Эйлера.

Список источников

1. Мансимов К.Б., Рзаева В.Г. Квазиособые управления в задачах оптимального управления, описываемых гиперболическими интегро-дифференциальными уравнениями // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 1(48). С. 13-20.

2. Габелко К.Н. Оптимизация многоступенчатых процессов. Аннотация дисс. на конкурс уч. канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1975.17 с.

3. Масталиев Р.О. О задаче оптимального управления линейной системой с переменной структурой // Владикавказский математический журнал. 2016. Вып. 1. С. 63-70.

4. Муслумов В.Б. Условия оптимальности в одной системе с распределенными параметрами: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Баку, 2006. 21 с.

5. Мансимов К.Б., Ахмедова Ж.Б. Об одной задаче оптимального управления с переменной структурой // Вестник Бакинского гос. университета. Серия физико-математических наук. 2022. № 3. С. 5-16.

6. Постнов С.С. Исследование задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка методом моментов: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2015. 26 с.

7. Bahaa G.M. Fractional optimal control problem for differential system with delay argument // Advances in Difference Equations. 2017. № 1. P. 32-51.

8. Agrawal O.P. A General Formulation and Solution Scheme for Fractional Optimal Control Problems. Nonlinear Dynamics. 2004. № 38. P. 323-337.

9. Ali H.M., Pereira F.L., Gama S.M. A. A new approach to the Pontryagin maximum principle for nonlinear fractional optimal control problems // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2016. № 39. P. 3640-3649.

10.Мансимов К.Б., Ахмедова Ж.Б. Аналог принципа максимума Понтрягина в задаче оптимального управления системой дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто и многоточечным критерием качества // Вестник Пермского университета. 2022. Математика. Механика. Информатика. Вып. 3(58). С. 5-10.

11.Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications, Gordon and Breach Science publishers, Yverdon, Switzerland, 1993. 780 p.

12.Ахмедова Ж.Б. Принцип максимума Понт-рягина для одной нелинейной дробной задачи оптимального управления // Математический вестник Вятского государственного университета. 2021. № 1(20). С. 5-11.

13.Lin S.Y. Generalized Gronwall inequalities and their applications to fractional differential equations // Journal of Inequalities and Applications. 2013. No 1.

14.Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Либроком, 2011. 256 с.

15.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2018. 384 с.

References

1. Mansimov, KB. and Rzaeva, V.G. (2020), "Quasi-osome controls in optimal control problems described by hyperbolic integro-differential equations", Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, no. 1(48), pp. 13-20.

2. Gabelko, K.N. (1975), "Optimization of mul-tistu-penchat processes", Abstract of the dissertation for the degree of Candidate of Phys. -Mat. Sciences. Irkutsk, 17 p.

3. Mastaliev, R.O. (2016), "On the problem of optimal control of a linear system with a variable structure" Vladikavkaz Mathematical Journal, no. 1, pp. 63-70.

4. Muslumov, V.B. (2006), "Optimality conditions in one system with distributed parameters", Abstract of dissertation for the degree of Candidate of Phys.-Mat. Sciences, Baku, 2006, 21 p.

5. Mansimov, K B. and Ahmedova, J.B. (2022), "About one task of optimal control with a variable structure", Bulletin of Baku State University, series of physical and mathematical sciences, no. 3, pp. 5-16.

6. Postnov, S.S. (2015), "Research of the optimum control tasks of the dynamic systems of the fractional order by the method of moments", Author's abstract of the dissertation for the degree of candidate of physical and mathematical sciences, Moscow, 26 p.

7. Bahaa, G.M. (2017), "Fractional optimal control problem for differential system with delay argument", Advances in Difference Equations, no. 1, pp. 32-51.

8. Agrawal, O.P. (2004), "A General Formula-

tion and Solution Scheme for Fractional Optimal Control Problems", Nonlinear Dynamics, no. 38, pp. 323-337.

9. Ali H.M., Pereira F.L. and Gama S.M. (2016), "A new approach to the Pontryagin maximum principle for nonlinear fractional optimal control problems", Mathematical Methods in the Applied Sciences, no. 39, pp. 3640-3649.

10. Mansimov, K.B. and Akhmedova, J.B. (2022) "Analog of Pontryagin's maximum principle in the problem of optimal control of the system of differential equations with fractional Caputo derivative and multipoint quality criterion", Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, no. 3(58). pp. 5-10.

11. Samko, S.G., Kilbas, A.A. and Marichev O.I. (1993), Fractional integrals and derivatives: Theory and applications, Gordon and Breach Science publishers, Yverdon, Switzerland.

12. Akhmedova, J.B. (2021), "Pontryagin's maximum principle for one nonlinear fractional optimal control problem", Mathematical Bulletin of Vyatka State University, no. 1(20), pp. 5-11.

13. Lin, S.Y. (2013), "Generalized Gronwall inequalities and their applications to fractional differential equations", Journal of Inequalities and Applications, 549, no. 1.

14. Gabasov, R. and Kirillova, F.M. (2011), "Osobye optimal'nye upravleniya" [Special

optimal controls], Librocom, Moscow, Russia.

15. Alekseev, V.M., Tikhomirov, V.M. and Fomin, S.V. (2018), "Optimalnoe uprav-lenie" [Optimal control]. Fizmatlit, Moscow, Russia.

Информация об авторе:

Ж. Б. Ахмедова - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической кибернетики факультета прикладной математики и кибернетики Бакинского государственного университета (1148, Азербайджан, г. Баку, ул. З. Халилова, 23), AuthorID: 1229288.

Information about the author:

Zhalya B. Ahmedova - Candidate of Sciences (Physical and Mathematical), Associate Professor of the Mathematical Cybernetics Department, the Applied Mathematics and Cybernetics Faculty, Baku State University (23, Z. Khalilov St., Baku, Azerbaijan, 1148), AuthorID: 1229288.